矩阵论试卷(2011A) - 360文档中心

研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全

1 4
1 3
0 0

的
Jordan
标准形。
1 0 2
解：求 E A 的初等因子组，由于
1 1 E A 4 3
0 0

1
3
0
1 3 4
0 0
1 0 2
0
1
2
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E

1 1
0 2
1 1
2 1

1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
0 2
1 0
23
于是有
1 A 1
2
110
1 0
0 2
1 0
23 BC
A C H CC H 1 BH B 1 BH
或
A C H B H AC H 1 B H
六、(10
分)求矩阵
A

行 0
2 0 31
1
0
0 0 0 0 1 1 1
可求得：
1 0 0 P 1 1 0
1 1 1
1 0 0
P 1

1
1
0
2 1 1
1 B 1
2
0 1 1
，
C

1 0
对任意 k F ，有 k V1 ，且 k V2 ，因此知 k V1 V2 ，故知V1,V2 为 V 的子空间。

2011年重庆大学研究生矩阵理论试题及答案

一、（8分）已知311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求11,,,,,()m F m A A A A A A ρ∞∞。

解：1112,96,5m Fm A AA A A ∞∞===== （5分）因为 ()()221--=-λλλA I ，2,1321===λλλ , 故2m ax )(==i iA λρ. （3分）二、（15分）在4R 中有两组基，基(I)1234,,,αααα，基(II)1234,,,ββββ满足：1232341232342222ααβααβββαββα+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 求（1）由基(I)到基(II)的过渡矩阵；（2）向量12342αββββ=-++在基1234,,,αααα之下的坐标；（3）判断是否存在非零元素4R α∈在两组基下有相同坐标。

解：（1）由已知关系式求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+--=-++=3242134212432112242284ααβααβαααβααααβ于是，由基（I ）到基（II ）的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0012200112480124C （5分）（2）α在基（II ）下的坐标为（2，-1，1，1）T ，再由坐标变换公式计算α在基（I ）下的坐标为C （2，-1，1，1）T=（11，23，4，-5）T. （5分）（3）由()()11221123412343344,,,,,,C ξξξξαααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知若存在非零元素4R α∈在两组基下有相同坐标则112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭不难计算得det （C-E ）=0，方程组有非零解，即存在非零α4R ∈，使得α在基（I ）和基（II ）下有相同的坐标. （5分）三、（10分）定义在由数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间2[]K x ,对任意的[]2(),()f x g x K x ∈,定义()11(),()()()f x g x f x g x dx -=⎰.证明： (1)()(),()f x g x 构成(),()f x g x 的内积,从而2[]K x 对这个内积构成欧氏空间.（2）把基21,,x x 化为标准正交基。

2011线性代数试卷A标准答案和评分标准

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第2学期考试科目：线性代数试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（B ）成立(A) AB = AC ，A ≠ 0，则B = C (B) AB = AC ，A 可逆，则B = C (C) A 可逆，则AB = BA (D) AB = 0，则有A = 0，或B = 02. 设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2= I ，其中I 为单位阵（下同），则必有（C ）(A) A 的行列式等于1 (B) A 的逆矩阵等于I (C) A 的秩等于n (D) A 的特征值均为13．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（A ）(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 (B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 (C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 (D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4．设n 元齐次线性方程组x 0A =的系数矩阵A 的秩为r ，则x 0A =有非零解的充分必要条件是（B ）5. 设A 为n 阶方阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵。

则：*A 等于 (C )(A) n r =(B) n r <(C) n r >(D) n r ≥(A) A(B)A1 (C) 1-n A(D) nA二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 已知行列式011103212=-a ，则数a =3.7. 设向量组1(,1,1)T k α=,2(1,2,1)T α=-, 3(1,1,2)T α=-线性相关，则数k =2-. 8. 设(1,1,5,3)T α=--, (9,2,3,5)T β=---,则α与β的距离为9，内积为37. 9. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1, 2, …, n ，则使tI A -为正定矩阵的数t 取值范围是t n >．10. 设矩阵A 和B 相似，其中A = 20022311x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B = 10002000y -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则x =0，y =2-.三、计算题11.(满分8分) 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T .解答：C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 T A 计算正确2分，T 4BA 正确分， C BA +T 2分12.（满分8分）计算行列式 D = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1 2 … n 1 x 2 … n 1 2 x … n … … … …1 2 3 … x 的值。

矩阵论考试题

dx T 4. 设 x (1 , 2 , , n ) 是向量变量, 那么 = dx
T

任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的向量。（8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明：（1） e iA 为酉矩阵；（2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
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中国民航大学 2010－2011 学年第一学期研究生《矩阵论》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
第 2 页共 2 页
9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1

矩阵论往年部分真题讲解题(含解答)

2011年《矩阵论》习题解答一、掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-=== 求（1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为 ()()()12341234123420561336,,,,,,,,,11211013C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭所以由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵2056133611211013C ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或解非齐次线性方程组的解 11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1T k -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x x x x ++-，k 非零常数。

二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯, (1) 证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。

矩阵论试题参考答案(2011年)

从而
cos Atdt
0
1
3t sin t 3t sin t cos t 2sin1 3cos1 3sin1 3cos1 dt . 0 3t sin t 3t sin t cos t 3sin1 3cos1 4sin1 3cos1
A b 0,
故 A 0． 2） C, A C 3） A, B C
n n
n n
，
A
A a A b
2
2

2
Aa
2
2
Ab A ．
2
，记 x
A a B a , y A B , 则 A x 2 , b b
k k k
证法 3．由 A A 可得：k 1 有 A A ，故 lim A A 0 ，因而 A 不是收敛矩阵，从而 A 1, 三、(20 分) 设 A
A a A 1 .
4 3 ． 3 2
1.(6 分) 求
dF x x1 T ，其中 x ， F x x A ； T dx x2

的实轴上， G1 , G2 , G3 的半径依次为
'
'
'
2 3 17 1 3 11 1 2 17 ' ' . , R2 2 , R3 2 2 3 4 12 2 4 16 2 3 36 综合前面的结论可知 A 的 3 个特征值所在的 3 个实数区间分别为
从而 A 只有实特征值，它们分别位于 A 的 3 个 1 知 A 的每个盖尔圆中只有 A 的一个特征值，盖尔圆的实轴上，由此得到 A 的 3 个特征值所在的 3 个实数区间分别为

11级-矩阵论试题与答案

参考答案一（20分） V 表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。

对2()f x ax bx c V ∀=++∈，在V 上定义变换：2[()]3(223)(4)T f x ax a b c x a b c =++++++（1）验证T 是V 上的线性变换；（2）求V 的基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵P ；（3）求T 在基2,,1x x 下的表示矩阵A ；（4）在V 中定义内积1(,)()()f g f t g t dt =⎰，求基2,,1x x 的度量矩阵G 。

解：（1）设22111222(),()f x a x b x c g x a x b x c =++=++2121212()()()f g a a x b b x c c +=+++++[]212121212()3()2()2()3()T f g a a x a a b b c c x +=+++++++[]121212()()4()a a b b c c ++++++()()2111111132234a x a b c x a b c =++++++()()2222222232234a x a b c x a b c +++++++()()T f T g =+类似可验证: ()()T kf kT f =或把T 写成：2300[()][,,1]223114a T f x x x b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）再来验证就更方便了。

（2）由22100(1),1,1,,1210111x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦得基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵为100210111P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（3）由22()321T x x x =++,()21T x x =+,(1)34T x =+得T 在基1,,2x x 下的表示矩阵为：300223114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（4） 11431112210011,54g x dx g g x dx =====⎰⎰ 11221331220011,33g x dx g g x dx =====⎰⎰11233233001,12g g xdx g dx =====⎰⎰ 故度量矩阵11154311143211132G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二（20分）设311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的行列式因子、不变因子、初等因子；（2）求A 的Jordan 标准形J ；（3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=；（4）计算Ate 并求解微分方程组。

矩阵论真题讲解题(含解答)

2011年《矩阵论》习题解答一、掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-===求（1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为()()()12341234123420561336,,,,,,,,,1121113C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ 所以由基123,,,αααα到基123,,,ββββ的过渡矩阵20561********13C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或解非齐次线性方程组的解11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1Tk -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x xx x ++-，k 非零常数。

二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯,(1)证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。

矩阵论试卷及答案(2011A)

共5页第3页
三（20分）设
（1）证明：是的线性子空间，并求的基和维数；
（2）在中定义变换 ,其中为的伴随矩阵，证明：为线性变换；
（3）求在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4）求（2）中线性变换的值域和核，并确定它们的维数.
（1）因为，则非空。对任意都有则是的子空间.
（iii）写出的Jordan标准形；
（2）设，试问A和B是否相似？并说明原因。
（1），；………5分
行列式因子
不变因子
初等因子 ……...8分
A的Jordan标准形为 ……..3分
（2）矩阵A，B的行列式因子均为 , A,B相似.
………4分
或A，B 的特征值均为-1和2，有两个互异的特征值，所以A，B均相似于，所以，A,B相似。
………3分
共5页第5页
五（20分）（1）设， .
（i）求A的奇异值分解；
（ii）计算广义逆矩阵；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解;
（2）设，判定矩阵级数是否收敛。若收敛，求其和。
（1）（i），的奇异值为，对应于特征值3和2的标准正交特征向量为，对应于特征值3和2，0的标准正交特征向量分别为，，则的奇异值分解为
Ni南京航空航天大学2010级硕士研究生
共5页第1页
2010~ 2011学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷答案
考试日期：2011年1月12日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：
学院专业学号姓名成绩
一（20分）（1）设。
（i）求的特征多项式和的全部特征值；

研究生期末试题矩阵论a及答案

；
验证是中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵，写出矩阵函数的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算。
长春理Leabharlann 工大学研究生期末考试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第一学期□开卷√闭卷
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于，
于是有，故
（10分）
七、当时，；当不恒等于零时，由其连续性知必在的某个子区间上不等于零，从而有
，
对于，有
，
对于，有
，
故是中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为，所以，，于是
由此知的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长春理工大学
研究生期末考试试题
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：理工科审核人：
开课学期：2012——2013学年第一学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设是的一个基，试求由，
，生成的子空间的基．
二、(10分)在中，设，定义实数为，判断是否为中与的内积。
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为，由坐标变换公式计算在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子；
不变因子；（6分）
那么A的初等因子为，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出的特征根（二重），计算对角化相似因子及其逆为

2011年矩阵论A试卷、成绩分析表

2.考核知识点覆盖情况：
章
节
第一章
线性空间
第二章
内积空间
第三章
若当标准型
第四章
矩阵分解
第五章
范数
第六章
函数矩阵
第七章
广义逆
综合题
分数
分布
11分
12分
15分
10分
10分
15分
10分
17分
3.试题难易程度分析
本次考试难度适中，试题覆盖面较广，既有一定的深度又有一定的广度。对学生的学习效果是很好的检验。
在三种题型中，填空题重点考察定理、性质、公式的简单运用；计算题重点考察学生的综合解题能力，证明题主要是考察学生对所学知识的拓展和数学思维。
6、及格率_95%_；平均分__75__；最高分__99__；最低分__34_。
试卷、成绩分析（包括覆盖面情况分析、难易程度分析、成绩分析、学生对知识点掌握情况分析和工作中存在的不足和今后努力方向）：
一、本门《矩阵论A》课程讲授的学时数为48学时，各章课程讲授时间分配：
章节
第1章
第2章
第3章
第4章
3．多增加一些为学生答疑的时间
4.在教学中根据大纲要求及所选教材，适当地补充讲解一些与学生以后所学专业相关的例子，使学生对所学知识能够提高兴趣、活学活用，进一步为其专业课的学习奠定良好的基础。
分析人签名：
2011年12月16日
备注：本表由开课教研室或课程负责人填写，分析、总结每门课程的整体考核情况。
各类试题在试卷中所占百分比如下：
三、考试的成绩分布直方图及出现的问题
1.学生成绩分布如下：
从本次考试成绩看，大部分学生对知识的掌握较好，达到了预期的教学目的。从本次期末考试试题情况看，命题属于正常范围。从考试成绩曲线图上看，学生成绩分布基本呈正态学生成绩表现与平时考察有异常外，大部分学生的考试成绩与平时、作业及课堂表现的情况基本吻合。

11-12(1)-11级-矩阵论试题与答案

参考答案一（20分） V 表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。

对2()f x ax bx c V ∀=++∈，在V 上定义变换：2[()]3(223)(4)T f x ax a b c x a b c =++++++（1）验证T 是V 上的线性变换；（2）求V 的基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵P ；（3）求T 在基2,,1x x 下的表示矩阵A ；（4）在V 中定义内积1(,)()()f g f t g t dt =⎰，求基2,,1x x 的度量矩阵G 。

解：（1）设22111222(),()f x a x b x c g x a x b x c =++=++2121212()()()f g a a x b b x c c +=+++++[]212121212()3()2()2()3()T f g a a x a a b b c c x +=+++++++[]121212()()4()a a b b c c ++++++()()2111111132234a x a b c x a b c =++++++()()2222222232234a x a b c x a b c +++++++()()T f T g =+类似可验证: ()()T kf kT f =或把T 写成：2300[()][,,1]223114a T f x x x b c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）再来验证就更方便了。

（2）由22100(1),1,1,,1210111x x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦得基2,,1x x 到基2(1),1,1x x --的过渡矩阵为100210111P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（3）由22()321T x x x =++,()21T x x =+,(1)34T x =+得T 在基1,,2x x 下的表示矩阵为：300223114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（4） 11431112210011,54g x dx g g x dx =====⎰⎰11221331220011,33g x dx g g x dx =====⎰⎰11233233001,12g g xdx g dx =====⎰⎰ 故度量矩阵11154311143211132G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二（20分）设311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的行列式因子、不变因子、初等因子；（2）求A 的Jordan 标准形J ；（3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=；（4）计算Ate 并求解微分方程组。

2011矩阵论复习题答案

2011矩阵论复习题答案一、简答题1. 请简述矩阵的基本运算有哪些，并给出相应的运算规则。

答：矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置。

加法和减法是对应元素相加或相减；数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个数；矩阵乘法是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘后求和；转置是将矩阵的行和列互换。

2. 什么是特征值和特征向量？它们在矩阵理论中有何重要性？答：特征值是方阵A的一个标量λ，使得存在非零向量v满足Av=λv。

特征向量是与特征值λ相对应的非零向量v。

特征值和特征向量在矩阵理论中非常重要，因为它们可以用来描述线性变换的性质，如可对角化、稳定性分析等。

3. 矩阵的秩是什么？如何计算矩阵的秩？答：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。

计算矩阵的秩通常通过高斯消元法，将矩阵转换为行最简形式，然后计算非零行的数量。

二、计算题1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。

答：首先计算矩阵A的行列式，det(A) = 1*4 - 2*3 = -2。

然后计算A的伴随矩阵，得到A的逆矩阵为\[ \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \]。

2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵B的特征值和特征向量。

答：首先计算矩阵B的特征多项式，det(B - λI) = (5-λ)(3-λ) - 2 = λ^2 - 8λ + 13。

解得特征值λ1 = 2, λ2 = 6。

对于λ1 = 2，解方程组(B - 2I)v = 0，得到特征向量v1 = k\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]。

2011华科期末考试矩阵论答案解析

2
它们相应的标准正交的特征向量为v1

1 0, v2

10
A的奇异值为1 5， 2 2
1
0
(2)u1

Av1 1

1 5

0 2 0
,
u2

Av2 2

1 2

101.
1 0 0 0
T 1 2 n 1 2 n A T , ,T , HT (T )H
1 H 1 1 H 1
2

n

An2

1 1 1 1 1 0 3 2 A 0 2 4 2 0 1 2 1
1 1 5 3 0 0 0 0
由此可知rank ( A) 2.
取B

1 0
-1
12 ，C 1

1 0
0 1
3 2
故A C H CC H 1(BHB)1 BH
二，（15
分）设
A

2
0
2

1 1 3
（1）求矩阵 eAt.
（2）求 d (eAt ) . dt
解(1) | A | 0, 1 2 3 2 A的最小多项式m() ( 2)2 令g() c0 c1, f (z) etz f (2) e2t c0 2c1 f ' (2) te2t c1 c0 (1 2t)e2t , c1 te2t .
(3t 3)e2t

te2t te2t
(t

2011矩阵理论参考答案

2011级矩阵理论评分标准一．选择题（每题4分，共20分） B B A C D二．判断题（每题4分，共20分） X √ X √ √三．证明和计算 1. 证明是范数：（1）正定性：若0A ≠，有{}0,()max ij i jA m n a =+>，A=0，0A =；…… 2分（2）齐次性，{}{},,()max ()max ij ij i ji jkA m n ka k m n a k A =+=+=⋅；…….…4分（3）三角不等式，{}{}{},,,()max ()(max max )ij ij ij ij i ji ji jA B m n a b m n a b A B +=++≤++=+。

…6分相容性：1122,,max max nn ik kjik kj i ji jk k AB n a b n a b ==⎧⎫⎧⎫=≤⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑ …………………………8分 {}{}{}{}2222,,,,max max max max ij ij ij ij i ji ji ji jn a b n a n b A B ≤⋅≤⋅=⋅…………..10分2. 证明：根据盖尔圆盘定理知矩阵A 的5个行盖尔圆盘为412111z i i ⎡⎤⎛⎫-≤-<⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，i=1,…,5（或具体写出5个圆盘）………………………… 8分因为圆心都是正数，并且相邻两个盖尔圆圆心距离为2，故都是孤立的，实矩阵复特征值的出现都是共轭的，因此5个不同盖尔圆里面都有1个正特征值。

………………..……..10分3. 解：（1）021*********A BD ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，不唯一。

……………………………………..3分（2）1101012015020()()H H H HA D DDB B B +--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.……………………………….……..7分 (3)61553AA b b +⎡⎤⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，不相容方程组，无解。

研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全

矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。

解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。

解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。

()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。

矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)

2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1）对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线性子空间，设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因为 AX = XA, 所以， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ）对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠

矩阵论试题(2011)

矩阵论试题（2011）一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1. A -B 的Jordan 标准形为J =2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。

（）4. ()p vec B =（），其中+∞<≤p 1。

5 .若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（）。

6. A ⊗B 的全体特征值是（）。

7. =⊗2BA （）。

8. B 的两个不同秩的{1}-逆为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1(,B B 。

二.(10分)设n m C A ⨯∈,对于矩阵的2-范数2A 和F -范数F A ，定义实数222F A A A +=，（任意n m C A ⨯∈）验证A 是n m C ⨯中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011)0(,0)(,11120211133x e e t b A t t 。

1. 求At e ；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0) 的解。

四.(10分)用Householder 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4021030143010021A 的QR 分解。

五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i A 116864120的特征值。

（要求画图表示）六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3131,1212010121211010b A 。

1. 求A 的满秩分解； 2. 求A +；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解；4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)已知欧式空间R 2⨯2 的子空间,0032414321⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x x x xx x X V R 2⨯2中的内积为,,),(222112112121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==a a a a A b a B A ij i j ij ,22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b B V 中的线性变换为T (X )=XP +XT , 任意X ∈V ，.0110⎪⎭⎫⎝⎛=P 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八. (7分) 设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，T e 表示V n 的单位变换，证明：存在x 0≠0，使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是21=λ为A 的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J = 2. 设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 2 3. 若A 是正交矩阵，则cos(πA )=4. 设n m C A ⨯∈，A +是A 的Moore -Penrose 逆，则(-2A , A )+=5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A ⊗B +I 2⊗I 3的全体特征值是（）。