向量组线性相关性的判别定理
向量组的线性相关性
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
三、应用举例
例1 设 1 1,1,0T ，2 0,1,1T ， 3 (3,4,0)T
3 1
求
,
,
其中(
,
)
(1
,
2
,
3
)
2 1
1 1
.
解
，
31
22
，
3
1
2
3
1 0 3 0
31 22 3
k k ka1, ka2, , kan
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （1） （交换律）
（2） ( ) ( ) （结合律） （3） O （4） ( ) O （5） 1 （6） () ( ) ( ) （7） ( )
二、向量的运算
1、加法 (a1,a2,...,an ), (b1,b2,...,bn ),
a1 b1, a2 b2 , , an bn
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
注：向量组 1,2 ,,r (其中1 0) 线性相关
的充要条件是至少有一个向量 i (1 i r) 可由
1 ,2 ,,i 1
线性表示。---P44-45
性质
性质1 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
性质2 两个向量相关的充要条件是 它们的
两个向量组的线性表示、等价关系 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 , , s .
若向量组A中的每个向量都可由向量组 B 中的向量线性表示，则称向量组 A 可由 向量组B线性表示。 若向量组A可由向量组B线性表示，向 量组B也可由向量组A线性表示，则称向量 组A与向量组B等价。
故 1 , 2 , , m 线性相关.
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m 0.
因k1 , k 2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
主要 线性相关性的判定、 内容： 线性相关性的性质
定理1:向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1 个向量线性表示．
证明： 充分性 设
1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
向量组与向量组之间的线性表示关系， 具有传递性。
例如 ：向量组A可由向量组B线性表示； 向量组B可由向量组C线性表示； 则向量组A可由向量组C线性表示。
向量组的线性相关性
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
线性相关性的判定
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例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E ( e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数x , y , 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
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定理 5 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
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证明 （1） A (a1 , , am ), B (a1 , , am , am 1 )，有 记
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量b能由向量 组A线性表示，且表示式唯一.
4-2 向量的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
1
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 给定向量组 A: a1, a2, ... ,am , ,a
如果存在不全为零的实数 如果存在不全为零的实数 k1, k2, ..., km , 使
因为 λ1, ... , λm − 1, −1 这 m 个数不全为 0 (至少 −1 ≠ 0)，所以向量组线性相关 证毕 至少 ，所以向量组线性相关.
6
向量组的线性相关与线性无关的概念也 可移用于线性方程组. 可移用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时, 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的, 方程组(各个方程)是线性相关的; 这个方程就是多余的 称方程组(各个方程)是线性相关的 当方程组中没有多余的方程, 当方程组中没有多余的方程 称该方程组 (各个方程)线性无关(或线性独立). 各个方程)线性无关(或线性独立)
12
证法二 利用方程组有解的条件
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) 1 1 0 , 记作 B = AK . 0 1 1 设 Bx = 0，以 B = AK 代入得 A(Kx) = 0 . ，
8
1 0 0 0 1 0 例 4 n 维向量组 e1 = , e2 = , L, en = M M M 0 0 1
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性 试讨论它的线性相关性. 称为n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性
4.2向量组的线性相关性
向量组的线性相关性向量组线性相关与线性无关的概念向量组线性相关性的判别向量组线性相关性的有关结论向量组线性相关与线性无关的概念()1122*0ααα，m m k k k +++=定义：给定向量组，12:,,,αααm A 如果存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得则称向量组是线性相关的.A 则称向量组是线性无关的.A 仅当时式才成立，120m k k k ====()*例：向量组，1231111, 5, 1281ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123320,ααα--=线性相关.123,,αααn 维单位坐标向量121000100,0,,0001e e e ，n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122e e e n nk k k +++12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关.12,,,e e e n 10,n k k ⇔===例：考虑只有一个向量的向量组，α如果，0α=则对任意常数都有,0k ≠0α=k 所以当时是线性相关的；0α=如果，0α≠所以当时是线性无关的.0α≠则仅当常数时才有,0k =0α=k则.2121αα=-λλ存在不全为零的实数，12,λλ不防设，10≠λ维向量组线性相关，12,αα例：n 11220.αα+=λλ使得线性相关的分量对应成比例.12,αα12,αα⇔例：向量组12301240,5,4,509710ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.含零向量的向量组必线性相关.0，k ≠对任意1230000.0αααk ⋅+⋅+⋅+⋅=均有向量组线性相关性的判别如何判断它的线性相关性？1212(,,,)m m k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭0A .β=0A 给定向量组，12:,,,αααm A 考虑等式，1122m m k k k ααα+++=0β元线性方程组有非零解m=0Ax12(,,,)mααα=，A()T12,,,mx x x=x().R m<A定理：向量组线性相关12:,,,αααmA().R m=A向量组线性无关12:,,,αααmA元线性方程组只有零解m=0Ax解123102102(,,)124~022157000rααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例：已知，1231021,2,4157ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试讨论线性相关，12(,)2R αα=，向量组及向量组的线性相关性.123,,ααα12,αα向量组123,,ααα向量组线性无关.12,αα123(,,)2R ααα=，223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证一131122233x x x x x x ()()()0a a a +++++=112223331x x x ()()()a a a a a a ⇒++++例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，112233x x x 0，b b b ++=设131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩10111020011=≠线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证二例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作设,=Bx 0()=AK x ⇒0,=Kx ⇒0,20,K =≠=x ⇒0,223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证三例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作()R =3.A ⇒20K =≠又由知可逆，K 从而()()R R ==3.B A向量组线性相关性的有关结论111111.j j m j j j m j j j jk k k k k k k k ααααα-+-+=-----其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明1122m m k k k ααα+++=0.（必要性）设线性相关，()122m m ααα,,,≥则存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得0j k ≠不防设，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明（充分性）设()122m m ααα,,,≥线性相关.111111j j j j j m m k k k k ααααα--++=++++，111111j j j j j m m k k k k ααααα--++++-++=0，111,,,1,,,j j m k k k k -+-不全为零，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由12m 证明（必要性）设线性无关，()122m m ααα,,,≥若存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -()122m m ααα,,,≥则必线性相关，与已知矛盾.任何一个向量都不能由其余个向量线性表示.1m -其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由定理：向量组线性无关()12:2m A m ααα,,,≥证明（充分性）假设线性相关，()122m m ααα,,,≥必存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -与已知矛盾.所以线性无关.()122m m ααα,,,≥证明定理：向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,向量组线性无关，则向量组也线性无关.A B 反之，因为向量组线性相关,12:m A ααα,,,所以存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 1122m m k k k ααα+++=0.使得112210m m m k k k αααα+++++⋅=0.于是所以向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,结论：则该向量组线性相关. 一个向量组若有线性相关的部分组，一个向量组若线性无关，一般地，向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m s B ααααα,,,,,,则它的任何部分组也线性无关.定线性相关. 12(,,,)m ααα=，A 证明例如，向量组线性相关.123202110ααα,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理：个维向量组成的向量组，当m 时一n n m <特别地，个维向量必线性相关.n 1n +n m ⨯个维向量构成矩阵m n 12m ααα,,,设R n <m ().A ≤n m <当时，有个维向量线性相关.m n 12m ααα,,,证明定理：向量组线性无关,()12:2m A m ααα,,,≥而向量组线性相关，12:m B αααβ,,,,必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.A β则向量记()12=m ααα,,,，A ()12=m αααβ,,,,,B 由于R R ()()，A B ≤有惟一解，从而结论成立.因此方程组βAx =而1R m R m ()()，，A B =<+所以1m R m ()，B ≤<+即.R m ()B =问题转化为讨论方程组是否有惟一解.βAx =证明:证明(2)用反证法. 矛盾.例设向量组线性相关，线性无关，123,,a a a 234,,a a a (1)能由线性表示；1a 23,a a (2)不能由线性表示.123,,a a a 4a 因线性无关，知线性无关，(1)234,,a a a 23,a a 再由线性相关，知能由表示.123,,a a a 1a 23,a a 假设能由线性表示，4a 123,,a a a (1)知能由线性表示；1a 23,a a 又由于是能由线性4a 23,a a 表示，。
一个向量组线性相关的判定方法
交流Experience ExchangeDI G I T C W 经验262DIGITCW2019.05定义：给定一个向量组I ，若存在m 个不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。
否则，称向量组线性无关。
等价定义：若向量组I 中至少有一个向量能由其余的向量线性表出，则该向量组线性相关。
给出任意一个向量组，判断其线性相关性，有以下几种判定方法：（1）包含零向量的向量组必线性相关。
若，则有，所以向量组线性相关。
（2）只含有一个向量的向量组线性相关该向量是零向量。
“”若，有，所以α线性相关。
“”若线性相关，则存在，使得，得到。
（3）含有两个向量的向量组线性相关它们的对应分量成比例。
“”若线性相关，存在不全为零的数，使得成立。
假设，则有，故对应分量成比例。
“”若对应分量成比例，一定存在数，使得或者，则有线性相关。
例1：对应分量不成比例，所以向量组线性无关。
（4）单位向量组必线性无关。
由于，有，所以单位向量组线性无关。
（5）向量组的向量个数>向量维数，必线性相关。
任意一个向量都可以由单位向量线性表出，即有下，又因为单位向量组是线性无关的，由等价定义可得，该向量组必线性相关。
判断一个向量组是否线性相关等价于判断一个齐次线性方程组是否有非零解，令向量组中向量的维数等于方程的个数，向量的个数等于方程中未知量的个数，即可构成一个齐次线性方程组。
例2：讨论的线性相关性。
解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组由于齐次线性方程组系数矩阵A 的秩，故该齐次线性方程组有非零解，即不全为零，所以向量组线性相关。
（6）向量组的向量个数 向量维数时，判断对应的齐次线性方程组是否有非零解，只需要根据其系数行列式和系数矩阵来判定即可，故有以下两种判定方法：方法一：以各向量为列向量组成行列式D ，方法二：以各向量为列向量组成矩阵A ，进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，例3：讨论向量组，，的线性相关性。
解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组所以向量组线性相关。
线性相关的判定
定理6 设A 是一个n阶方阵，则A的行(列)向量组线
性相关的充要条件是A的行列式等于零
推论 n维向量组 是矩阵
线性无关的充要条件
或者用书本的表述
的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。
定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。 推论 当m>n时,m个n维向量组线性相关。
推论2
解 （ 1）在A中，有 3个2维行向量，线性相关。
(2) 因 | B | 0, 故B的3个3维行向量线性无关。
（3）对C进行初等行变换
1 3 2 2 1 3 2 2 C ~ 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 0 6 3 5 0 0 0 0 知R(C ) 2 3, 故C的3个4维行向量线性相关。
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
推 论4
如果在 m n矩 阵A中 有 一 个 r阶 子 式| D | 0,
那么含有 D的r个 行 向 量 线 性 无 关 , 含 有D的r个 列 向 量 线性无关。反之 , A中 所 有 的 r阶 子 式 全 为 零 , 则A的 任 意r个 行 向 量 线 性 相 关 , 任 意r个 列 行 向 量 也 线 性 相 。 关
a a
1n
A称为由 n维行向量组 1 , 2 ,, m所构 成的矩阵 , i 称为矩阵 A的第i个行向量。
一 个 含 有 有 限 个 向 量向 的量 组 ， 总 可 以 看 成 是 由 一 个 矩 阵 的 全 体向 行量 所 构 成 。
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
3.3向量组线性相关性的判别定理-PPT文档
定理4 向量组 r(A )m , A ： , , , 线性相关 1 2 m
其中 A ( , , , ) 1 2 m r(A ) m 向量组 A ： , , , 线性无关 1 2 m
( n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性无关 A 0 .)
解 . e 1 , 0 , 0 , e 0 , 1 , 0 , e 0 , 0 , 1 线性无 1 2 3 T T T 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4 线性无 1 2 3
是自然数 1 ， 2 ， n 的某个排列， p p 1 n
齐次方程组（ 1 ）与齐次方程组（ 2 ）同解，
则向量组 A 与向量组 B 相同的线性相关性
定理3向量组 A : a a , 即 j添上一个分量得 j j 1 j a 2 j rj
T T
向量组 B : a a ,( j 1 , 2 , , m ), j 1 j a 2 j rj a r 1 , j
则向量组必线性相关 .
推论1： n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性相关 A 0 .
当维数 n 向量个数 m 时 , 推论2： m个n维向量组成的向量组，
例1
讨论下列向量组的线性相关性：
T
1 . 1 , 2 3 , 5 , 1 2 T T T T 2 . 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 1 2 3 4
4 . 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4
向量的线性相关性
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
a1 x1 a 2 x 2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ，对于任何一
向量 组实数 k 1， k 2， , k m ， k 1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个
向量 b 能
即线性方程组 x 1 1 x 2 2 x m m b 有解 .
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b )的秩 .
定义２ 设有两个向量组
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22 am2
设矩阵 A 经初等行变换变成 向量都是 A 的行向量组的线性组合 组能由 A 的行向量组线性表示 可知， A 的行向量组能由 于是 A 的行向量组与
, 则只有当
1 n 0时 , 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 线性相关 . , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量
时 , 若 0 则说
.
线性相关 , 若 0 , 则说 线性无关
（ b1 , b 2 , , b s ) 1 , 2 , , m （
向量组的线性相关性的判定方法浅析
目录摘要： (I)关键词： (I)Abstract (II)Keywords： (II)1．前言 (1)2．预备知识 (1)2.1线性相关性的概念及性质 (1)2.1.1线性相关的概念 (1)2.1.2线性相关的性质 (2)3.向量组线性相关的判定方法 (3)3.1定义法 (3)3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4)3.3利用矩阵的秩进行判定 (5)3.4利用行列式值进行判定 (6)3.5反证法 (7)3.6 数学归纳法 (7)3.7用线性变换的性质进行判定 (8)3.8利用朗斯基行列式来判定 (10)4.结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (13)向量组的线性相关性的判定方法浅析摘要：本文总结综述了向量组线性相关性的判定方法，并阐述了不同判定方法适用的条件.关键词：线性相关；线性无关；判定方法.Several Methods of Judging the Linear Dependence of A VectorGroup is analysedAbstract：This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods applicable conditions.Keywords：linear correlation; linear independence; judging methods .1．前言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与线性空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的。
3线性代数线性相关性判定定理
01 2 2 3 0
所以线性相关
但 1 不能写成其余向量的线性组合
例3 假定 能用 1 , 2 , , m 表示为 k11 k2 2 km m
问向量组 1 , 2 , , m , 是否线性相关？
由定理1知 1 , 2 , , m , 线性相关
例8 设向量组 1 , 2 , 3 线性相关，向量组 2 , 3 , 4 线性无关，问
1能否由 2 , 3 线性表示？证明你的结论
解 能
因为 2 , 3 , 4 线性无关， 整体无关则部分无关
所以 2 , 3 线性无关 而 1 , 2 , 3 线性相关 由定理2， 1可唯一的由 2 , 3 线性表示
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1 即 1 能由其余向量线性表示.
定理1的逆否命题 向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性无关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m中任何一个向 量都不能由其余 m 1个向量线性表示．
两式相减有 1 1 1 2 2 2 r r r 0 ∵Ａ线性无关， 1 1 0, 2 2 0,r r 0
1 1 , 2 2 ,r r 即表达式唯一.
定理2的逆否命题 设向量组A： 1 , 2 , , r 线性无关，而向量β不能 由向量组A线性表示，则向量组B：1 , 2 , , r , 线性无关。
推论4 如果在m × n型矩阵A中有一个r阶子式
D0
，则含有D的r个行向量和r个列向量都线
性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的 任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。
线性代数第三章第二节相关性的矩阵判别法
推 论4
如果在 m n矩 阵A中 有 一 个 r阶 子 式| D | 0,
那么含有 D的r个 行 向 量 线 性 无 关 , 含 有D的r个 列 向 量 线性无关。反之 , A中 所 有 的 r阶 子 式 全 为 零 , 则A的 任 意r个 行 向 量 线 性 相 关 , 任 意r个 列 行 向 量 也 线 性 相 。 关
若方程组中有某个方程 是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多 余的，这时称方程组（ 各 个方程）是线性相关的 ；当方程组中没有多余 方 程，就称该方程组（各 个方程）线性无关（或 线 性独立） .
方程组 结论 向量组A线性相关就是齐次线性 x1 1 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 x, y, 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
定理2.4 设有两个向量组
(I ) : j (a1 j , a2 j , anj ) ,
) : j (a p1 j , a p2 j , a pn j )T , j 1,2, , m
量组(I )与(II )有相同的线性相关性 . 证明 设
必 有r阶 非 零 子 式 。
线性代数向量组线性相关性的判别定理
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
3.3线性相关性的判别定理
内容：4个定理
定理1 若向量组 A：1,2, ,r 线性相关,则向量组
B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关.(部分相关，则整体相关）
反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关.
证明 向量组 A：1,2, ,r 线性相关,
不全为零的数 k1, k2, , kr ，使得k11 k22 krr 0 即为 k11 k22 krr 0r1 0m 0
向量组B : j a1 j
a2 j
arj
T
ar1, j ,
( j 1,2, , m),
若向量组
A：1,2 ,
,
线性无关
m
,
则向量组
B：1
,
2
,
,
也线性无关
m
.
（逆否命题，若向量组 B线性相关,则向量组A也线性相关 .）
推论： r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组 若r维向量组线性无关， 则n维向量组也线性无关。
(2) 用反证法 假设 a4 能由 a1 , a2 , a3 表示 ，
而由 (1) 知 a1 能由 a2 , a3 表示 ， 因此 a4 能由 a2 , a3 线性表示 ， 这与 a2 , a3 , a4 线性无关矛盾 .
p1 pn是自然数1 n某个排列，则向量组A与B有相同的线性相关性
向量组的线性相关性
2) 对称性：如果向量组 1 , 2 , … , t 与
1, 2, …, s 等价，那么向量组 1, 2, …, s 也与 1 , 2 , … , t 等价.
3) 传递性：如果向量组 1 , 2 , … , t 与
1, 2, …, s 等价， 1, 2, …, s 与 1 , 2 ,…, p 等价
那么向量组 1 , 2 , … , t 与 1 , 2 ,…, p 等价.
二、向量组的线性相关性
1. 定义
定义 12 如果向量组 1 , 2 , … , s (s 2)中
有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组
1 , 2 , … , s 称为线性相关的.
例如，向量组
第三节
主要内容
向量组的线性相关性
向量组等价 向量组的线性相关性 用定义判别线性相关性
线性相关性的判别定理 极大线性无关组
方程组与向量组的关系的进一步研究
一、向量组等价
以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维向
量空间中进行，不再每次说明了.
1. 线性表出
定义 10 向量 称为向量组 1, 2, …, s 的一
1 (2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
是线性相关的，因为 3 =31 - 2 .
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量 组一定是线性相关的. 向量组的线性相关的定义还可以用另一种说法
定义 12 向量组 1 , 2 , … , s (s 1) 称为 线性相关，如果有数域 P 中不全为零的数 k1 , k2 ,
则称向量 1 , 2 , …, n 为 n 维单位坐标向量.
显然，任一 n 维向量 = (a1 , a2 , … , an ) 均可
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。
在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。
本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。
因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。
则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。
在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。
通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。
3-2向量组的线性相关性
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证明 存在性 ∵ α1,α2, ,αm, β线性相关
∴ 存在不全为 0的k1, k2 , , km , k, 使得 k1α 1+k2α 2+ + kmα m+kβ = 0
3
推论1： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若向量组A 能由向量组B线性表示, 且 r > s,则向量组 A必线性相关. (如果个数多的向量组能由个数少的向 向量组线性表示，则个数多的向量组必线性相关)
推论2： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若此两个向量组等价且皆线性无关，则 r = s . (等价的线性无关向量组所含向量个数相同)
⎪⎩ x2 + x3 = 0
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0
011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，
所以
向量Байду номын сангаасβ1
,
β
2
,
β
线性无关
3
.
注 若向量组坐标没给出，则用定义做.
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二、向量组线性相关性的判定
P67例5
定理1（判别法一）
n个n维向量所组成的向量组 α1,α 2,
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣−5⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
解： 因为向量个数等于向量维数，
1 0 −1 1 0 0 ∴ −2 2 1 = −2 2 −1 = 5 ≠ 0
相关性的判定
r2 2 r1
1 2 0 2 0 0
3 5 1
∵R（B）=3， ∴B的3个行向量线性无关
推论 n个n维向量线性无关的充分必要条件是 它们所构成的方阵的行列式不等于0
（3）
C 1 0 0 3 2 0 2 1 0 2 3 0
即R（A）=2＜3，故C的3个行向量线性相关
3
2
2 0
1 1
2 3 5
解： （1）∵R（A）=2＜3，∴A的3个行向量线性相关 推论：当m＞n时，m个n维向量a1,a2, …，am一定线性 相关（即向量组中的向量个数大于维数则必线性相关）
（ 2）
1 2 3 r3 r2 r1 B 2 2 1 0 0 1 源自2 a x
n
n
0
故：一个向量组与一个齐次线性方程组是一一对应的
定理1：向量组
1,2 ,
,m （m≧2）线性相
关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余
m-1个向量线性表示.
证明： 如果向量组 A: a1 , a2 ,……, am ( m≥2 ) 线 性相关， 则有不全为零的数 1 , 2 ,, m 使
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 x, y, 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
2， ， r 线性相关，故有 证：因 1， 不全为0，使
k1 ,k2 ,
,kr