长沙理工大学信号与系统课程硕士研究生入学考试试题与答案

图A-3 4．如图A-4所示，已知某连续系统如图5所示，其中系统的单位冲激响 应为： ，
1求 的系统单位冲激响应 和频率响应 ，并画出 的图形； 2 判定该系统有何种滤波波作用？ 3当 时，求系统的输出 。
图A-4
1． 离散时间系统如图A-5所示，已知
，
，试求： （1）写出描述该系统的差分方程； （2）设该系统为因果系统，求系统函数
，则有
因此，该系统是时变系统。 因果性分析：由
输入无关，因此，该系统是因果系统。 稳定性分析：设输入有界，即：
，则有
因此，该系统是不稳定系统。 2．解：对于无失真传输系统，其时域形式为：
。对其取傅立叶变换，得
根据系统函数的定义，有：
，因此，无失真传输系统，其幅频特性为常数，相频特性为过原点的一 条直线，或称之为具有线性相位的全通滤波器。 3．解：对差分方程取单边Z变换，得：
的高次谱波分量，其幅度均为
，即 ，从而有 ，即 ，因此， 次以上谐波的幅度 。 2解：因为 ，根据频域卷积性质，有
=
3解：对系统微分方程取单边拉斯变换，得 将初始条件 、 代入上式，并整理，得 其中： 。因此零输入响应为： ，
又因为： ，因此有 由于： ，根据拉斯变换的微分性质，有： 即： 。同理： 又因为： ，根据时域卷积性质，有： 即系统零状态响应为： 。根据卷积的微积分性质，得
，根据系统函数定义，有 ， 。由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响 应为： 很显然，该滤波器是一个高通滤波器。 4．解：因为：
，又因为：
，根据傅立 叶变换的对称性，有：
。设
，则有
，即：
，因此，得
5．解：因为
（1） 相邻谱线间隔为：
或
； 带宽为：
或
； 基波幅度为：
（2） 邻谱线间隔为： 或 ； 带宽为： 或 ； 基波幅度为： ； 基波幅度之比为1：3。
因此，
其频率响应如图A-7所示：
图A-7 ②由上图可知，该系统具有高通滤波作用。 ③ 而 ，所以有： 又因为 所以：
，从而得：
。 5．解： （1）系统的差分方程为： 对差分方程取单边Z变换，得 整理得： 其中：
（2）系统传输函数为： 系统单位脉冲响应为：
（3）系统零输入响应为： 系统零状态响应为： 系统全响应为： （4） 的零极点分布如图A-8所示，由于极点全部在单位园之内，所以系统 是稳定的。
，求该号的傅里叶变换。 3．已知系统的微分方程为
初始条件为 输入信号 ，试求系统的全响应，并指出系统的零输入响应，零状态响应以及系统 函数 ，系统的单位冲激响应 和系统的频率响应，并判断系统的稳定性。 4．已知二阶离散系统的差分方程为 且 求系统的完全响应 、零输入响应 、零状态响应 、系统函数、系统单位样值响应。 5．某连续LTI系统是因果稳定的，其系统函数的零极点分布如图A-3所 示。已知当输入信号
如图A-7所示：
图A-6 其中
图A-7
，所以采样周期的取值范围应为：
。 （3）
的幅频特性如图A-8所示：
图A-8
且截止频率 的取值范围应为： 。
时，系统输出的直流分量为
。 （1）确定该系统的系统函数
； （2） 当输入信号
时，求系统的输出
。
6．如图A-4所示，信号
图A-3
的频谱为
，它通过传输函数为
的系统传输，输出为
，冲激序列为：
（1） 画出
的频谱图
； （2） 画出表示无频谱混叠条件下，
的频谱图
，并确定无频谱混叠条件下，抽样间隔T的取值范围； （3） 为了从 中恢复 ，将 通过传输函数为 的系统，试画图表示 ，并指明 截止频率的取值范围。
图A-2
试判断其线性，时不变性，因果性，稳定性，和记忆性等特性，并说明 理由。 5．已知序列：
、
、
则
为何序列？
三、分析计算题（每小题15分，共90分）
1．某理想低通滤波器，其频率响应为
当基波周期为
，其傅里叶级数系数为
的信号
输入到滤波器时，滤波器的输出为
，且 。问对于什么样的 值，才保证 ？ 2．己知信号
三、分析计算题（共90分，每小题15分）
1． 解：（1）因为： ，令 ，则有， 。 由 的波形可知，当 时， ； 时， ； 时， 。因此，
的波形如图A-6所示：
（2）由作图法可知，
图A-6
设
，又因为：
，即：
，由傅立叶变换的时域性质，有：
；
。再根据傅立叶变换的微分性质可得：
，整理得：
因此，
（3）由
得：
系统全响应为： ， 系统函数为： ， 因为：
，所以， ，即系统单位冲激响应为：
由于 是系统的二阶极点，且在S左半平面，因此，系统是稳定的。由于收敛 域 包含 轴，因此，系统的频率响应为： 4解：对系统差分方程取单边Z变换，得 将初始条件 和 代入上式，并整理得： 其中： ； 又由于： 因此，系统的零输入响应为： 又因为： ，因此，有
和 次谐波
的频率成份。 4．解： 代表的系统是线性，时变性，因果，不稳定，无记忆的系统。理由如 下： 线性特性：已知 ，对于任意给定的不为零的常数 和 ，设 ； ，则有 因此，该系统是线性系统。 时不变性：已知 ，则有 因此，该系统是时变系统。 因果性：由 可知，系统的当前输出仅与当前输入有关，与未来输入无关，因此是因 果系统。
和单位脉冲响应
； （3）求系统零状态响应
、零输入响应
和全响应
； （4）在Z平面上画出
的零极点分布图，并判断系统的稳定性； （5）设信号的采样周期
秒，请画出系统的幅频响应特性图。
图A-5
参考答案： 一、填空题（共30分，每空3分）
1．数学表达式属于奇异函数； 2．线性微分方程或线性差分方程； 3．外加输入信号；系统的初始状态； 4．输入为单位冲激信号时，系统的零状态响应； 5．离散的；连续的； 6．离散系统的频谱具有周期性； 7． ； 8．越窄； 9．
；
7．设连续时间信号
的傅立叶变换为
，则
的傅立叶变换为
；
8．单位门信号
的频谱宽度一般与其门信号的宽度
有关，
越大，则频谱宽度
；
9．设某带限信号
的截止频率为10KHz，则对该信号进行时域采样时，采样频率至少应为
，理由是
；
10．拉普拉斯变换域傅立叶变换的基本差别是
；它们的关系是
；
11．
。
二、问答题（共30分，每小题6分）
；防止频谱混叠现象； 10．信号满足绝对可积条件时才存在傅立叶变换；而信号不满足绝对可
积条件时也可能存在拉普拉斯变换；
11． 。
二、问答题（共30分，每小题6分）
1．解：该系统为线性、因果、时变、不稳定系统。理由如下： 线性特性分析：已知：
，对于任意不为零的常数
和
，设：
，
，则有
因此，该系统是线性系统。 时不变性分析：已知：
，设
；
，则有
因此，该系统是线性系统。 时不变性：已知：
，则有
因此，该系统是时不变系统。 因果性：由
可知，系统的当前输出不仅与当前和过去的输入有关，而且还与未来的 输入有关，因此，该系统是时变系统。 稳定性：设输入有界，即：
，则有
，即输出也有界，因此，该系统是稳定的系统。 记忆性：由
可知，系统的当前输出历史输入有关，因此，该系统是记忆系统。 2．解：因为：
图A-4
参考答案：
一、填空题（共30分，每空3分）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
； 6．
； 7．
； 8．
；防止频谱混叠现象； 9．
。
二、问答题（共30分，每小题6分）
1．解：
代表的系统是线性，时不变性，非因果，稳定，有记忆的系统。理由如 下： 线性特性：已知：
，对于任意给定的不为零的常数
和
1． 已知某系统：
试判断其线性，时不变性，因果性，稳定性，和记忆性等特性，并说明 理由。 2．给出下列波形函数的卷积结果波形，其中图A-1（a），（b）分别为
和
的波形。
(a)
(b)
图A-1
1． 已知周期信号
的波形如图A-2所示，将
通过截止频率为 的理想低通滤波器后，输出中含有哪些频率成分？
4．已知某系统：
。 5．已知两个周期矩形脉冲信号 和
： （1） 若 的矩形宽度
，周期
，幅度
，试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是多少？ （2）若
的矩形宽度
，周期
，幅度 ，试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是多少？ （3） 和 的基波幅度之比是多少？
三、分析计算题（共75分，每小题15分）
1． 已知 的波形如图A-1所示， ， 的频谱为 ， （1）画出 的波形；（2）计算 ；（3）计算 ； （4）计算 ；（5）计算 。
当输入 时，输出响应为 ；
当输入 时，输出响应为 ；
当输入 时，输出响应为 ；则当输入为 时，系统的输出响应为 。 6．
； 7．设 是 的傅里叶变换，则信号 的傅里叶变换表达式为 。 8．设某带限信号
的截止频率为100KHz，则对该信号进行时域采样时，采样频率至少应为
，理由是
；
9.
。
二、问答题（每小题6分，共30分）
因为： ，又Z域微分性质，得： 因此，系统的零状态响应为： 系统全响应为： 系统函数为： 系统单位样值响应为： 5．解：（1）由系统的零极点分布可写出系统函数为： 又
是周期为 的周期信号，其傅立叶级数的直流分量为： 由题意知：
(2) 输入信号只有直流分量，即 ，所以输出为：
6解：（1） 的频谱