专题一 规律探索型

数字探究规律问题一般解法是根据数字特点通过分析、观察、归纳,发现 规律,进而猜想出具有一般性的结论.对于不容易找到规律的问题,可以将 每个数分解成和、差、积、商、乘方等形式,探究其隐含的规律.
强化运用1:(2019安顺)如图,将从1开始的自然数按如下规律排列,例如位于 第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是 2 019 .
个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,如果第n幅图中有2 019
个菱形,则n= 1 010
.
解析:根据题意分析,得第1幅图中有1个.第2幅图中有2×2-1=3个.第3幅 图中有2×3-1=5个.第4幅图中有2×4-1=7个.….可以发现,每个图形都比 前一个图形多2个,第n幅图中共有(2n-1)个.当图中有2 019个菱形时, 2n-1=2 019,∴n=1 010.
2 4 3 5 4 6 19 21 2
2 20 21 840
算式规律类
[类型解读] 算式规律类一般给定一些代数式、等式、不等式等.常见的类 型有 (1)由给定的一些等式找出规律; (2)给出计算公式,通过具体的计算猜想规律; (3)给出一些具体的不等式,猜想规律.
[例 3] 观察以下等式: 第 1 个等式: 1 + 0 + 1 × 0 =1,
专题一 规律探索型
数字规律类 [类型解读] 数字规律类试题一般是给定一些具有某种特定关系的数字,考 查学生的观察、分析、类比、猜想和归纳能力.常有以下类型: (1)等差数列类.即相邻数字的差值相等,整个数字序列依次递增或递减的一 类数. (2)等比数列类.即相邻数字的比值相等. (3)加、减、乘、除、平方规律型. (4)个位数字规律类.
直角边作Rt△OA1A2,并使∠A1OA2=60°,再以OA2为直角边作Rt△OA2A3,并使
∠A2OA3=60°,再以OA3为直角边作Rt△OA3A4,并使∠A3OA4=60°…按此规律
进行下去,则点A2 019的坐标为
(-22 017,22 017 3 )
.
解析:由题意,得点 A1 的坐标为(1,0),点 A2 的坐标为(1, 3 ),点 A3 的坐标为(-2,2 3 ), 点 A4 的坐标为(-8,0),点 A5 的坐标为(-8,-8 3 ),点 A6 的坐标为(16,-16 3 ),点 A7 的坐 标为(64,0),…由上可知,A 点的方位是每 6 个循环,与第一点方位相同的点在 x 正半轴上, 其横坐标为 2n-1,其纵坐标为 0,与第二点方位相同的点在第一象限内,其横坐标为 2n-2,纵 坐标为 2n-2 3 ,与第三点方位相同的点在第二象限内,其横坐标为-2n-2,纵坐标为 2n-2 3 , 与第四点方位相同的点在 x 负半轴上,其横坐标为-2n-1,纵坐标为 0,与第五点方位相同的 点在第三象限内,其横坐标为-2n-2,纵坐标为-2n-2 3 ,与第六点方位相同的点在第四象限 内,其横坐标为 2n-2,纵坐标为-2n-2 3 , ∵2 019÷6=336……3, ∴点 A 2 019 的方位与点 A3 的方位相同,在第二象限内,其横坐标为-2n-2=-22 017,纵坐标为 22 017 3 .
∴ 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 1 ×(1- 1 +
a1 a2 a3 a4
a19 1 3 2 4 3 5 4 6
19 21 2
3
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 )= 1 ×(1+ 1 - 1 - 1 )= 589 .故选 C.
解:(1) 1 + 5 + 1 × 5 =1. 676 7
(2) 1 + n 1 + 1 × n 1 =1. n n1 n n 1
证明: 1 + n 1 + 1 × n 1 n n 1 n n1
= n 1 nn 1 n 1 nn 1
= n2 n =1=右边.
nn 1
∴等式成立.
按由特殊到一般的原则,把给出的式子进行计算、转化变形,发现规律,运用规 律.
(1)写出第6个等式
;
解:(1)第 6 个等式为 2 = 1 + 1 . 11 6 66
(2)写出你猜想的第n个等式 (用含n的等式表示),并证明.
解:(2) 2 = 1 + 1 .
2n 1 n n2n 1
证明如下:∵右边= 1 + 1 = 2n 1 1 = 2 =左边.
n n2n 1 n2n 1 2n 1
第 3 幅图形中“ ”的个数为 a3,…,依此类推,则 1 + 1 + 1 +…+ 1 的值为
a1 a2 a3
a19
( C)
(A) 20 (B) 61
21
84
(C) 589 840
(D) 431 760
解析:首先根据图形中“ ”的个数得出数字变化规律 a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15= 3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2).
解决图形规律类问题,常用的方法首先从简单的图形入手,观察图形、数字随 着“序号”或“编号”增加时,在数量上的变化情况或图形变化情况,找出变 化规律,从而推出一般性结论.
强化运用 2:如图所示,将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆
成下列图形,第 1 幅图形中“ ”的个数为 a1,第 2 幅图形中“ ”的个数为 a2,
解析:观察图表,知第n行第一个数是n2,∴第45行第一个数是2 025,∴第45行、 第7列的数是2 025-6=2 019.
图形规律类
[类型解读] 图形规律类常有以下类型: (1)图形数量方面的规律; (2)图形形状方面的规律; (3)图形各组成部分的相对位置的规律.
[例2] (2019甘肃)如图,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1
22
22
A5(- 2 ,- 2 ),A6(-1,0),A7(- 2 , 2 ),A8(0,1),…,观察可得旋转后点 A 的对应点的
22
22
坐标每旋转 8 次一循环,∴2 019÷8=252……3,∴点 A2 019 的坐标为( 2 ,- 2 ).故选 A. 22
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(A)( 2 ,- 2 ) 22
(B)(1,0)
(C)(- 2 ,- 2 ) (D)(0,-1) 源自文库2
解析:∵四边形 OABC 是正方形,且 OA=1,∴A(0,1),如图,将正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转
45°后得到正方形 OA1B1C1,∴A1( 2 , 2 ),同理,得 A2(1,0),A3( 2 ,- 2 ),A4(0,-1),
强化运用 3:(2019 安徽)观察以下等式:第 1 个等式: 2 = 1 + 1 ,第 2 个等式: 1 11
2 = 1 + 1 ,第 3 个等式: 2 = 1 + 1 ,第 4 个等式: 2 = 1 + 1 ,第 5 个等式:
326
5 3 15
7 4 28
2 = 1 + 1 ,……,按照以上规律,解决下列问题: 9 5 45
(1)写出第6个等式: (2)写出你猜想的第n个等式:
; (用含n的等式表示),并证明.
解题思路:观察等式可以发现,第一列数与第三列数相同,第二列数与第四列数相同,
第一列数的分子是 1,分母是正整数,∴可表示为 1 ,第二列数的分母比第一列数的 n
分母大 1,分子比分母小 2,∴可表示为 n 1 .然后用 n 将这个关系表示出来即可. n 1
[例1] 观察“田”字中各数之间的关系:
则c的值为 270(或28+14)
.
解析:经过观察每个“田”左上角数字依次是1,3,5,7等奇数,第n个图形为 2n-1,此位置数为15时,2n-1=15,n=8,即此“田”字图形为第8个.观察每 个“田”字左下角数据,可以发现规律是2,22,23,24等,第n个图形可表示为 2n,则第8个图形为28.观察左下角和右上角,每个“田”字的右上角数字依次 比左下角大0,2,4,6等,第n个图形的右上角比左下角大2n-2,到第8个图形右 上角比左上角大2×8-2=14,则c=28+14=270.
∴等式成立.
坐标规律类
[类型解读] 围绕直角坐标系中点的坐标,常有以下类型: (1)在渐进中探索点的坐标规律; (2)在缩放中探索点的坐标规律; (3)在旋转中探索点的坐标规律; (4)在图形的滚动中探索规律.
[例4] (2019广安)如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标为(1,0),以OA1为
121 2 第 2 个等式: 1 + 1 + 1 × 1 =1,
232 3 第 3 个等式: 1 + 2 + 1 × 2 =1,
343 4 第 4 个等式: 1 + 3 + 1 × 3 =1,
454 5 第 5 个等式: 1 + 4 + 1 × 4 =1,
565 6 … 按照以上规律,解决下列问题:
求平面直角坐标系中变化后的点的坐标,先要求出前几个点的坐标,然后根据 几个点横、纵坐标变化情况找出后面点的坐标变化规律,从而求出要求点的 坐标.
强化运用4:(2019张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕
点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2 019次得到 正方形OA2 019B2 019C2 019,那么点A2 019的坐标是( A )