11上实验几何与小学几何教学研究(,2014)
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• 中小学阶段开设几何课程的目的是形成学 生的空间素养。
空间素养
空间观念：对客观物体、几何形体的形状、大小、 结构、位置以及它们之间的关系、变化等在头脑中 形成的概括化的形象，它与表象、想象密切相关。
方法：分析 综合、抽象 概括……
空间 素养
形式：以 形象思维 为主
内容：图形知识、生活经验
(二)中小学几何研究的对象
（4）相异两点定直线，相交两直线定一点 ——基本性质。
• 应用：上述结论成为几何学中不定义概念和 公理。
课例
• 北师大版《数学》七年级上册第一章“丰富 的图形世界” 课题：第 1单元“生活中的立体图形”第2课 时• 教材第7页给出了一幅情境图：“立交桥”
• 有些教师看不懂教材在这里放这幅情境图的 用意是什么？这是初中几何的开篇课，学习内
(一) 点、直线与平面的相互关系
1.位置与路径 • 问题：几何学是研究“空间”的科学，而空 间中最原始、最基本的概念是“位置”。空 间看作由所有可能的位置所组成的总体。
(1)位置 抽象 点 运动 路径
抽象 线段（曲或直）
（2）连接P、Q两点的路径有许多，哪一 条最短？ • 实验：借助光学实验 ： • 由光学实验：光在均匀介质中走直线； 光走最省时间的路，所以，连接P、Q两 点最短的路径是直线段 PQ.
容当然是介绍几何的基本元素，教材编写的意 图就是通过对立交桥中的物体进行抽象得到 “位置”，再抽象成“点” ，这些点分为定 点和动点；动点运动的路径抽象成“线 段”(直的或曲的)。
• 在第8页的“想一想”中，又出现了3副情境 图：分别是风筝、汽车雨刷和圆锥。这三幅情 境图说明点动成线、线动成面(平的或曲的)、 面动成体。丰富的图形世界就是由“点”、 “线”、“面”、“体”这四种元素组成。
二、实验几何概说
• 数学教学是数学思维的教学。数学思维是 一种创造性的思维活动，知识是其外在化的 结果，数学观念、数学精神、数学素养、数 学方法等则是结晶。 • 小学学习的几何以“实验几何”为主，实 验几何揭示了数学思维与数学知识的产生、 数学观念、精神、素养、方法形成的规律和 关系。下面简要介绍“实验几何”的主要内
中小学几何主要是研究图形的形状、 位置关系和度量关系。最基本的几何图形是 点、线、面，由线可围成平面图形，由面可 围成几何体。中小学几何研究的图形可分为 两类，一类是直边或直面图形，例如，直线， 由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、 长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如， 圆，球等。
• 在中小学几何中，基本几何图形点、线、 面之间的位置关系主要有平行、垂直、结 合（如点在直线上，线在平面内，点在平面 内等），由基本图形围成的平面图形之间 的关系主要有全等、相似（位似作为相似 的特例）等。图形的度量主要有夹角、长度、 面积、体积等。
3.从课程改革的现状中感悟当前小学教学的特 点，能来自百度文库领教研组的教师开展几何教学的校本 研修，提高学校的教育教学的质量。
研修提纲
一、绪言：几何学及其教育价值 二、实验几何概说 三、小结 四、几点说明
一、绪言：几何学及其教育价值
• 几何学是描述物理空间的一种工具，但它不 代表物理空间本身。反映在几何学上主要有传 统的欧氏几何（中小学教科书中的平面几何、 立体几何、解析几何）；此外，还有非欧几何 (罗氏几何： 过直线外一点至少有两条直线与 其平行；黎曼几何：在同一平面内任意两条直 线一定相交；几何拓扑学：研究几何图形在连 续变形下保持不变的性质)。等等。
(一)几何的教育功能
在基础教育阶段的数学课程中，几何的作 用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论 证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对 数学本质的理解都是非常重要的。
• 在数学课程中，几何是“图”、“文”并 茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形 象思维有机地结合起来。几何思想主要体现 在几何直观能力，即把握图形的能力。几何 直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、 用图形语言来思考问题的能力。借助几何这 个载体，可以地培养学生的逻辑推理能力。
2014“国培计划”中小学骨干教师培训项目
实验几何与小学几何 教学研究
朱维宗
云南师范大学
几何学是一门源远流长，多姿多彩的 学科，在人类理性文明中它是当之无愧的 老大哥。
——项武义
研修目标
1.了解实验几何的基本内容，认识几何学教育 的价值，掌握“图形与几何”教学的方法。
2. 通过研修，学习实验几何处理几何问题的方 式，进一步理解几何教学中的关键因素：几何 直观、几何变换、推理等在几何教学中的作用。
【注】由此可说明：三角形两边之和大于第 三边。
• 推广： （1）由P出发的光线可向点Q无限延伸，点 Q出发的光线可以向点P无限延伸，因此，两 点确定唯一的直线PQ。 （2）相交两直线定一点。
反证：若 l1 l2 A，l1 l2 B，A B，
则l1＝AB＝l2
此与l1，l2 相交矛盾。
• 光学实验：两眼成像。
• 在教材的第一单元第1课时中，教材以“几 何之旅”为题，给出了情境图（赛车、建筑 物、地球等），再以“议一议”的方式，让 学生从生活中的物体（窗、书桌、书柜、铅 笔盒、笔筒、书籍、魔方、足球等）再次抽 象几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、 棱柱、球。之后，课本再以牛奶盒、螺丝钉 为情境，说明几何体可以由两个以上的几何 体组成，最后介绍直棱柱和斜棱柱。
• 结论：
（1）“位置”与“路径”是空间中最原始、 最基本的概念，在几何学的讨论中，点是位 置的抽象化、线是路径的抽象化。 【生活概念：位置、路径抽象成科学概念： 点、直线（或曲线）】
（2）对空间中任意给定的两点（相异）P、Q， 连接P、Q两点所有的路径中，以直线段
PQ 为最短。
（3）直线可以向两端无限延伸——基本规律
• 实验几何的中心课题是：确定空间的基本 概念、把握空间的基本性质。 • 实验几何学研究的一般程序是：
问 题 直观性实验 结 论 验证（推广、拓展） 应 用
• 实验几何在研究过程中强调：过程、体验、 累积得到的经验。 • 论证几何学的研究程序则是：
问题 公逻理辑法法 结论（推广、拓展）
应用
• 它强调的是培养逻辑思维和推理能力。
空间素养
空间观念：对客观物体、几何形体的形状、大小、 结构、位置以及它们之间的关系、变化等在头脑中 形成的概括化的形象，它与表象、想象密切相关。
方法：分析 综合、抽象 概括……
空间 素养
形式：以 形象思维 为主
内容：图形知识、生活经验
(二)中小学几何研究的对象
（4）相异两点定直线，相交两直线定一点 ——基本性质。
• 应用：上述结论成为几何学中不定义概念和 公理。
课例
• 北师大版《数学》七年级上册第一章“丰富 的图形世界” 课题：第 1单元“生活中的立体图形”第2课 时• 教材第7页给出了一幅情境图：“立交桥”
• 有些教师看不懂教材在这里放这幅情境图的 用意是什么？这是初中几何的开篇课，学习内
(一) 点、直线与平面的相互关系
1.位置与路径 • 问题：几何学是研究“空间”的科学，而空 间中最原始、最基本的概念是“位置”。空 间看作由所有可能的位置所组成的总体。
(1)位置 抽象 点 运动 路径
抽象 线段（曲或直）
（2）连接P、Q两点的路径有许多，哪一 条最短？ • 实验：借助光学实验 ： • 由光学实验：光在均匀介质中走直线； 光走最省时间的路，所以，连接P、Q两 点最短的路径是直线段 PQ.
容当然是介绍几何的基本元素，教材编写的意 图就是通过对立交桥中的物体进行抽象得到 “位置”，再抽象成“点” ，这些点分为定 点和动点；动点运动的路径抽象成“线 段”(直的或曲的)。
• 在第8页的“想一想”中，又出现了3副情境 图：分别是风筝、汽车雨刷和圆锥。这三幅情 境图说明点动成线、线动成面(平的或曲的)、 面动成体。丰富的图形世界就是由“点”、 “线”、“面”、“体”这四种元素组成。
二、实验几何概说
• 数学教学是数学思维的教学。数学思维是 一种创造性的思维活动，知识是其外在化的 结果，数学观念、数学精神、数学素养、数 学方法等则是结晶。 • 小学学习的几何以“实验几何”为主，实 验几何揭示了数学思维与数学知识的产生、 数学观念、精神、素养、方法形成的规律和 关系。下面简要介绍“实验几何”的主要内
中小学几何主要是研究图形的形状、 位置关系和度量关系。最基本的几何图形是 点、线、面，由线可围成平面图形，由面可 围成几何体。中小学几何研究的图形可分为 两类，一类是直边或直面图形，例如，直线， 由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、 长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如， 圆，球等。
• 在中小学几何中，基本几何图形点、线、 面之间的位置关系主要有平行、垂直、结 合（如点在直线上，线在平面内，点在平面 内等），由基本图形围成的平面图形之间 的关系主要有全等、相似（位似作为相似 的特例）等。图形的度量主要有夹角、长度、 面积、体积等。
3.从课程改革的现状中感悟当前小学教学的特 点，能来自百度文库领教研组的教师开展几何教学的校本 研修，提高学校的教育教学的质量。
研修提纲
一、绪言：几何学及其教育价值 二、实验几何概说 三、小结 四、几点说明
一、绪言：几何学及其教育价值
• 几何学是描述物理空间的一种工具，但它不 代表物理空间本身。反映在几何学上主要有传 统的欧氏几何（中小学教科书中的平面几何、 立体几何、解析几何）；此外，还有非欧几何 (罗氏几何： 过直线外一点至少有两条直线与 其平行；黎曼几何：在同一平面内任意两条直 线一定相交；几何拓扑学：研究几何图形在连 续变形下保持不变的性质)。等等。
(一)几何的教育功能
在基础教育阶段的数学课程中，几何的作 用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论 证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对 数学本质的理解都是非常重要的。
• 在数学课程中，几何是“图”、“文”并 茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形 象思维有机地结合起来。几何思想主要体现 在几何直观能力，即把握图形的能力。几何 直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、 用图形语言来思考问题的能力。借助几何这 个载体，可以地培养学生的逻辑推理能力。
2014“国培计划”中小学骨干教师培训项目
实验几何与小学几何 教学研究
朱维宗
云南师范大学
几何学是一门源远流长，多姿多彩的 学科，在人类理性文明中它是当之无愧的 老大哥。
——项武义
研修目标
1.了解实验几何的基本内容，认识几何学教育 的价值，掌握“图形与几何”教学的方法。
2. 通过研修，学习实验几何处理几何问题的方 式，进一步理解几何教学中的关键因素：几何 直观、几何变换、推理等在几何教学中的作用。
【注】由此可说明：三角形两边之和大于第 三边。
• 推广： （1）由P出发的光线可向点Q无限延伸，点 Q出发的光线可以向点P无限延伸，因此，两 点确定唯一的直线PQ。 （2）相交两直线定一点。
反证：若 l1 l2 A，l1 l2 B，A B，
则l1＝AB＝l2
此与l1，l2 相交矛盾。
• 光学实验：两眼成像。
• 在教材的第一单元第1课时中，教材以“几 何之旅”为题，给出了情境图（赛车、建筑 物、地球等），再以“议一议”的方式，让 学生从生活中的物体（窗、书桌、书柜、铅 笔盒、笔筒、书籍、魔方、足球等）再次抽 象几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、 棱柱、球。之后，课本再以牛奶盒、螺丝钉 为情境，说明几何体可以由两个以上的几何 体组成，最后介绍直棱柱和斜棱柱。
• 结论：
（1）“位置”与“路径”是空间中最原始、 最基本的概念，在几何学的讨论中，点是位 置的抽象化、线是路径的抽象化。 【生活概念：位置、路径抽象成科学概念： 点、直线（或曲线）】
（2）对空间中任意给定的两点（相异）P、Q， 连接P、Q两点所有的路径中，以直线段
PQ 为最短。
（3）直线可以向两端无限延伸——基本规律
• 实验几何的中心课题是：确定空间的基本 概念、把握空间的基本性质。 • 实验几何学研究的一般程序是：
问 题 直观性实验 结 论 验证（推广、拓展） 应 用
• 实验几何在研究过程中强调：过程、体验、 累积得到的经验。 • 论证几何学的研究程序则是：
问题 公逻理辑法法 结论（推广、拓展）
应用
• 它强调的是培养逻辑思维和推理能力。