【全国百强校word】衡水金卷2018届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)文数试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20M x x x =-≤，{}|3N x N x =∈<，则M N =（ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若sin cos 0θθ⋅<，tan 0sin θθ>，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3.已知复数11z i =-，22z a i =+（其中i 为虚数单位，a R ∈），若12z z ⋅a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．04.已知向量(4sin ,1cos )a αα=-，(1,2)b =-，若2a b ⋅=-，则22sin cos 2sin cos αααα=-（ ） A ．1 B ．1- C ．27- D ．12-5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，记21(log )5a f =-，0.5(2)b f -=-，4(log 9)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<6.《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（ ） A ．83钱 B ．72钱 C ．136钱 D ．3钱7.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 与圆222x y c+=（222c a b =+）在第一象限交于点A ，且12|||AF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）A 1B 1+CD8.已知一几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）9.定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则23231313(sin )*(cos )2*(log 3log 4)1212ππ+⋅的值为（ ）A ．174B ．52124+C ．2sin412π+ D ．522sin212π+10.已知函数2()f x x ax b =++有两个零点1x ，2x ，且满足110x -<<，201x <<，则22b a -+的取值范围为（ ） A ．2(2,)3--B ．1(1,)3--C ．11(,)23-D ．1(1,)3-11.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 作直线PQ 分别交抛物线C 与直线l 于点P ，Q （如图所示），若||1||3PF QF =，则||FQ =（ ）A ．83B ．4C ．8D ．1212.当0x >时，函数()y k x a =-（1k >）的图象总在曲线2x xy e=的上方，则实数a 的最大整数值为（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.四张扑克牌上分别写有“战”“狼”“2”“火”这四个文字，则随机从这四张牌中抽取两张，恰好抽中的两张牌能拼成“战狼”二字的概率为 ．14.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，1AC BC CC ==，过点D 、C 作截面交1BB 于点E ，若点E 恰好是1BB 的中点，则直线1AC 与DE 所成角的余弦值为 ．15.已知自主招生考试中，甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学，三人分别给出了以下说法：甲说：“我报考了清华大学，乙也报考了清华大学，丙报考了北京大学．” 乙说：“我报考了清华大学，甲说得不完全对．”丙说：“我报考了北京大学，乙说得对．”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则报考了北京大学的是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，22a =，121n n n S a a +++=-（*n N ∈），记121(1)(1)n n n n a b a a +++=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对*n N ∀∈，n k T >恒成立，则k 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222(2)()2cos a c a b c abc C --+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆，2b =，求ABC ∆的周长．18.为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（2）（i ）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（ii ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．19.如图，直角梯形ABCD 与梯形EFCD 全等，其中////AB CD EF ，112AD AB CD ===，且ED ⊥平面ABCD ，点G 是CD 的中点．（1）求证：平面//BCF 平面AGE ； （2）求平面BCF 与平面AGE 的距离．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率12e =，短轴长为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，则1F AB ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数()xf x ax be =-，且函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为1a -． （1）求b 的值，并求函数()f x 的最值； （2）当[]1,1a e ∈+时，求证：()f x x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求圆C 的参数方程和直线l 的普通方程； （2）求AOB ∆的面积． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≤；（2）若函数()()|1|g x f x x =++，不等式()|1|g x k ≤-有解，求实数k 的取值范围．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（一）答案一、选择题1-5:BDCAA 6-10:CADAA 11、12：CA二、填空题13.16甲、丙 16.[1,)+∞三、解答题17.解：（1）∵222(2)()2cos a c a b c abc C --+=，∴222(2)cos 2a c b a c b C ac+--⨯=，∴(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， ∴2sin cos sin()sin A B B C A =+=， ∵sin 0A ≠，∴60B =︒．（2）∵1sin 2ABC S ac B ∆== ∴4ac =，由余弦定理，得2222cos 60b a c ac =+-︒2()3a c ac =+-， 即216()a c =+， ∴4a c +=，∴ABC ∆的周长为6a b c ++=．18.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=， 则估计全校这次考试中优秀生人数为20000.3600⨯=． （2）（i ）设样本数据的平均数为x ，则450.05550.15650.2750.3850.2950.172.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．（ii ）由分层抽样知识可知，成绩在[70,80)，[80,90)，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人． 记成绩在[70,80)的3人为a ，b ，c ，成绩在[80,90)的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ， 则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d e ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中2名优秀生的结果有(,,)a d e ，(,,)b d e ，(,,)c d e ，(,,)a d f ，(,,)b d f ，(,,)c d f ，(,,)a e f ，(,,)b e f ，(,,)c e f 共9种，所以恰好抽中2名优秀生的概率为920P =． 19.解：（1）∵//AB CD ，12AB CD =，G 是CD 的中点， ∴四边形ABCG 为平行四边形，∴//BC AG ， 又∵AG ⊂平面AEG ，BC ⊄平面AEG ， ∴//BC 平面AEG ，∵直角梯形ABCD 与梯形EFCD 全等，////EF CD AB ， ∴EF AB =，∴四边形ABFE 为平行四边形， ∴//BF AE ，又∵AE ⊂平面AEG ，BF ⊄平面AEG ， ∴//BF 平面AEG ， ∵BFBC B =，∴平面BCF //平面AGE ．（2）设点C 到平面AGE 的距离为d ，易知AE EG AG ===由C AGE E ACG V V --=， 得21111sin 603232AE d CG AD DE ⨯⨯⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯，即2sin 60CG AD DE d AE ⨯⨯==⨯︒， ∵平面//BCF 平面AGE ，∴平面BCF 与平面AGE ．20.解：（1）根据题意，得2221,2,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，21c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，不妨设10y >，20y <， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，∴112121||()2F ABS F F y y ∆=-=t =，可知1t ≥，则221m t =-，∴1212121313F AB t S t t t∆==++， 令1()3f t t t =+，则21'()3f t t=-，当1t ≥时，'()0f t >，即()f t 在区间[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)4f t f ≥=，∴13F AB S ∆≤，即当1t =，0m =时，1F AB ∆的面积取得最大值3， 此时直线l 的方程为1x =．21.解：（1）由题得，'()xf x a be =-， 根据题意，得'(0)1f a b a =-=-，∴1b =， ∴'()xf x a e =-．当0a ≤时，'()0f x <，()f x 在R 上单调递减，()f x 没有最值；当0a >时，令'()0f x <，得ln x a >，令'()0f x >，得ln x a <， ∴()f x 在区间(,ln )a -∞上单调递增，在区间(ln ,)a +∞上单调递减，∴()f x 在ln x a =处取得唯一的极大值，即为最大值，且max ()(ln )ln f x f a a a a ==-． 综上所述，当0a ≤时，()f x 没有最值；当0a >时，()f x 的最大值为ln a a a -，无最小值． （2）要证()f x x ≤，即证(1)xa x e -≤， 令()(1)xF x e a x =--，当1a =时，()0xF x e =>，∴(1)xa x e -≤成立； 当11a e <≤+时，ln(1)'()(1)xxa F x e a e e-=--=-，当ln(1)x a <-时，'()0F x <；当ln(1)x a >-时，'()0F x >，∴()F x 在区间(,ln(1))a -∞-上单调递减，在区间(ln(1),)a -+∞上单调递增， ∴[]ln(1)()(ln(1))(1)ln(1)(1)1ln(1)a F x F a e a a a a -≥-=---=---．∵11a e <≤+，∴10a ->，[]1ln(1)1ln (1)10a e --≥-+-=， ∴()0F x ≥，即(1)xa x e -≤成立， 故原不等式成立．22.解：（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入， 可得2240x y x +-=，∴圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=， ∴圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），由直线l 的参数方程，可得直线l 的普通方程为10x y --=．（2）将直线l 的参数方程代入圆C ：22(2)4x y -+=，整理得230t -=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，∴12t t +=123t t =-，则12||||AB t t =-==． 又点O 到直线l的距离d ==，∴11||22AOB S AB d ∆=⋅== 23.解：（1）由题得，3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩则不等式()3f x ≤， 即为1,33x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤，即原不等式的解集为{}|11x x -≤≤．（2）由题得，()()|1||21||22||2122|3g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时取等号，所以不等式()|1|g x k ≤-有解等价于|1|3k -≥，解得4k ≥或2k ≤-， 即实数k 的取值范围为(,2][4,)-∞-+∞．。