二次函数试卷讲评
二次函数试卷讲评课讲述
9 2
9 2
（正确率：7/28）
（固学）顶点
1.函数y=(x-3)2+16有最 值，最值为
2.已知x=t+3,y=3-t,s =xy,求s最值
3.从地面垂直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的 时间t(s)的函数关系式h=9.8t – 4.9t2, 求小球运动中的最大高度h 最大值
五、（拓学）利用二次函数一般式求解析式
（1）求抛物线的函数表达式；
（正确率：6/28）
三、固学
练一练
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3）， C（0，-3）。 （1）求此函数的解析式及图象的对称轴
四、（助学）利用二次函数顶点式求解析式
1.如图 平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
A、y=x2
B
y=2x2
（正确率：10/28）
固学（顶点式）
一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示)，拱高6 m，跨度20 m，相 邻两支柱间的距离均为5 m. (1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示)，其表达式是 的 形式.请根据所给的数据求出 的值. (2) 求支柱MN的长度.
（助学）求最值
13.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v 0 （m/s）竖直向上抛 物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s） 满足：s=v 0 t﹣ gt 2 （其中g是常数，通常取10m/s 2 ）．若在距离地面 2m高的某处把一物体以初速度v 0 （m/s）竖直向上抛物出，在不计空 气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s=v 0 t﹣ gt 2 （其中g是常数，通常取10m/s 2 ）．若v 0 =10m/s，则该物体在运 动过程中最高点距地面 m．
二次函数试卷讲评
教学过程
复备
一、考试测验（第1课时）
二、试卷分析（第2课时）
1.存在问题
从评卷情况看，学生存在一些问题，主要表现在以下几个方面：
A、书写潦草，字迹模糊，卷面乱，答题不规范，计算比较粗心。
B、审题不清，题目中的重要条件不注意，还有些同学作完题后都不知道此题最后求什么。
C、不会运用已学过的基本理论解决相关问题。
∴该经销商1至3月份共盈利546×(2800－2300)＝273000(元)。
3、课堂小结
通过这次考试谈谈你有哪些收获和遗憾，说说你今后努力方向。
布置作业
必做题：订正错题，分析错因。
选作题：出得失分统计分析，结合个人实际，拟订出下阶段学习方略。
教
学
后
记
本课原有教案能在研究学情的基础上，以统计数据和课标为依据，做到了重点突出，学生知道的少讲或不讲，20%以上学生做错的题详细辨析，并进行了查漏补缺和典型错题举例，但课堂练习量偏少。改进教案后添加了“练习”部分，主要针对中下层面进行强化练习，趁热打铁，从检查的结果来看，效果还是明显的。“冰冻三尺非一日之寒”，不及格学生，主要是学习方法和态度问题，非本节课能一次解决的，一定要在课后与学生谈心，解决思想问题为先，课业指导为重。
2、试卷讲解
（一）知识点查漏补缺
（1）配方法：依据完全平方公式，当二次项系数为1时配一次项系数的一半的平方。
师：这里有两步要做，1是化二次项系数为1的一般形式并将常数项移至右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方；2是括到括号里的数是一次项系数的一半。
举例：第2题。练习：用配方法更正第14题（没用该法的在课堂练习本上做）
情感态度与价值观
通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用
思想引领+纵横联系——一道比较二次函数的函数值大小的试题分析与讲评
Ｄ．ｙ２＞ｙａ＞ｙ３ Ｃ．Ｙ１秒３＞ｙ２ 设计意图：通过不完全给出函数解析式，即不能直
接求解出函数值的情形，引导学生结合大致图像，比较 函数值大小，进一步感受二次函数值的大小与对称轴的 位置的关联．
（４）若二次函数ｙ＝ｍｘ２＋２删＋ｍ２＋１（ｍ＜０）的图像经过
１８
寸’？擞・７初中版
万方数据
ห้องสมุดไป่ตู้
２０１４年７月 ３．横向辐射．以点及面
型蛊婆瓣
Ｂ．ｙ３＞ｙａ＞ｙ２ Ｄ．ｙ２＞ｙａ＞ｙ３
Ａ．Ｙ１秒２＞ｙ３
Ｃ．ｙ３＞ｙ２＞ｙ１
二次函数的变化趋势不同于一次函数和反比例函 数，它不具有单调性．为了加深印象，避免混淆．笔者又给 出了两个变式：
设计意图：通过具体数值，直观感受二次函数的函 数值大小． （２）已知。ｈＡ（戈。，Ｙ。），Ｂ（Ｙ２ Ｙ：）在抛物线ｙ＝一戈２＋戮＋１ 上． ①若戈。Ⅺ：＞１，则ｙ。、ｙ２的大小关系是
１．中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课 程标准（实验稿）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００１． ２．李树臣．精心做好教学设计．努力提高教学效率 『Ｊ］．中学数学杂志，２０１１（２）． ３．金立淑．“异构”指向最佳教学路径『Ｊ］．中学数学
（下），２０１２（１０）．圃
１．黄宏兰．以动制静：函数值比较的有效策略『Ｊ］．中 学数学（下），２０１４（１）． ２．夏时琨．“三线四区法”的探索及应用『Ｊ］．中小学数
错解分析：此类问题，主要是学生从条件“”＞ｖ，≥ Ｙｏ”，错误地得出“ｙ随菇的增大而减小”或只画出抛物线的 对称轴在直线ｘ－－３的右侧的一种情况，进而片面地认为
“ＸＯ≥３”或“ｘｏ＞３”，对二次函数的性质理解不到位
人教版九年级数学上册二次函数试卷讲评《配方与配方法》教学设计
教学方式：本节课采用自主探究式教学．通过学生自主探究、小组合作交流、师生对话交流等方式，让他们自己亲历参与、探究发现、归纳总结配方和配方法区别和联系，自主建构知识网络；在不断拓展引申中，学生总结反思，实现意义建构的目的．（1）课前准备工作．①为便于管理，采取异质分组，每组6人左右，安排小组长．组内要求有分工，有合作，有交流，并推选交流发言代表．②印发“探究报告”单，使每名学生明确学习任务，同时便于交流．（2）课堂自主探究、合作探究过程．①引导学生诊断二次函数配方顶点式的错例分析．②研究如何应用二次三项式配方解决有关问题．这部分内容较多，也是本节课的重点和难点，因此采用自主探究据和解题思路程中的关键之处配方法解一元二次方程二次三项式配方都有哪些应用？对比配方法和配方依据和操作方法的不同通过对比分析配方和配方法，建立结构性认识教学流程示意(可选项)教学过程(表格描述)教学阶教师活动学生活动设技时的最近发展区自主探究分析解决各小组展示分析错因，一名同学在实物投影处做笔记，各小组分别分析错因问题：为什么二次项系数化为1就不对了？追问：本题的解题目错因：二次项系数化为1理清配方每一步骤和需要注意的问题，实物展台10标是什么？根据这个同学的错因分析，我们要明确配方必须是一个恒等变换.问题：配方在这一步时需要注意什么？你有没有什么妙招避免这个错误？因为右边×-2，左右式子不相等。
将二次函数化成顶点式，a是不变的，仍然是21-错因：第二步，一次项系数应该是除以二次项系数，做成乘法了.为正确配方做好准备问题：我们推测他出现这个错误很有可能受后面-6的干扰，所以忘记－16了，那么我们分析一下，常数项在括号了的作用，想想在这位同学的步骤上，你有没有好的建议？问题：如何避免最后一步的错误呢？配方是恒等变形，所以可以做完这步，用去括号检验一下正取率错因：在第三步，括号里应该同时加上和减去一次项系数一半的平方.这位同学只加16，没有减去16括号内配方时与常数项没有关系，所以在第一步只-16出括号时要乘以前面的二次项系数最后一步做完后，要逆向运算检验一下是否能还原成一般式分享交流归纳提高前面我们诊断了这道题的各种错误，下面我们通过配方把此二次函数化成顶明确二次PPt实物展5点式.配方过程中要注意我们刚刚关注的各种易错点.教师要关注学生配方过程步骤的错误，并及时给予纠正.请一位同学黑板板书问题：我们观察一下二次函数一般式配方成顶点式的过程与左边的y有关系吗？追问：下面我们来归纳一下二次三项式的配方步骤. 右边的变形其实就是二次三项式的配方.提、配、乘、合三项式配方步骤，并整理出算法步骤台（5）.acbc ab c b a ++=++222又知a 、b 、c 为三角形的三条边，求证：该三角形是等边三角形思考：根据上面的练习，总结一下二次三项式的配方都有哪些应用？解题依据是：完全平方的非负性.路.点拨指导对比探究从前面分析我们可以看出，配方法解一元二次方程是二次三项式配方的一个重要应用.用配方法解PPT 实物展台5。
中考数学二次函数综合题赏析 知识精讲
中考数学二次函数综合题赏析 知识精讲余丽 朱昌宝二次函数是初中数学的重点，也是初中数学与高中数学联系的纽带，它与代数、几何三角函数等知识都有密切的联系。
函数综合题是各地中考题的热点，它经常要运用一元二次方程的判别式，根与系数的关系等知识，解题过程中常渗透数形结合思想、整体思想等，解决好此类题，有利地增强学生的理解能力，在读题、建模、解模、答题等思维过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力。
一、与线段结合，求点的坐标例1（市海淀区）已知抛物线2m mx x y 2-+-=。
（1）求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点。
（2）若m 是整数，抛物线2m mx x y 2-+-=与x 轴交于整数点，求m 的值。
（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ，若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标。
分析：（1）略。
（2）方程m 为整数，当()42m +-为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点，解得m=2。
（3）m=2时，()11x x 2x y 22--=-=，顶点为A （1，-1）的抛物线与x 轴的交点O （0，0），B （2，0），设抛物线对称轴与x 轴交于1M ，则1M 点坐标为（1，0），可证△ABO 为等腰直角三角形，由B M A M 11=可得1M （1，0）。
若2M 在y 轴上，并设()y ,0M 2，由勾股定理可得()22222y 11y +=++解得1y =，可得符合条件的M （1，0）或（0，1）。
解：略。
点评：在第（2）小题中，难点是如何求m ，在第（3）小题中m 有两种情况，不能漏解，难点是根据勾股定理列方程。
二、与角结合求字母的值例2（某某省某某市）已知抛物线上A （-2，0），B （1，0），C （0，2）三点。
（1）求这条抛物线的解析式。
（2）在这条抛物线上是否存在点P ，使∠AOP=︒45，若存在，求P 点坐标，若不存在，请说明理由。
二次函数试卷讲评教案
二次函数复习试卷讲评课教案范少会一、教学目标：1、通过学生自主订正试卷，让学生知道解题过程中应细心谨慎，并且加深对知识点的理解。
2、通过学习小组的合作订正和讨论，培养学生的合作精神、分析能力和逻辑推理能力，让不同层次的学生均有所提高。
3、指出解题中普遍存在的问题以及典型错误，分析解题错误的主要原因及防止解题错误的措施，使学生今后不再出现类似错误。
4、引导全体学生积极主动参与，构建和谐、有效、生动的课堂。
二、教学重点与难点：教学重点：用待定系数法求函数解析式。
教学难点：根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。
三、教学方法：分类化归四、学习方法：合作探究自主交流五、教学用具：班班通六、讲评过程：（一）试题分析：试题考查内容范围：《数学九年级上》二次函数5、7两节，包含确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程。
试卷以教材为载体，立足基础，适当变式拓展，考查了数形结合、分类讨论等数学思想。
学生的总体感觉：题型熟悉，难度适中，但部分学生在综合应用上失分较多，解题方法与能力的培养有待进一步加强，所以这节课应从注重双基、揭示知识发生过程着手，增强解题方法指导性教学，能更好的发展学生有条理地进行归纳和总结的能力。
（二）成绩分析：优秀人数：11优秀率19；及格人数：46，及格率：81 （三）试卷存在问题：1）基础知识不牢固, 不能形成体系,一个题目如果用到几个知识点时,往往不知道如何着手。
2）拘泥成法，思路不够开阔。
3）不会充分利用图像所提供的信息。
4）审题能力，题型归类能力，简化运算的能力，急待提高。
（四）重点错题分析（五）小组合作：组长职责：1、帮助小组成员弄明白错题错在哪；2、批他们的改错；3、帮助他们总结今后在做此类题目时该注意的问题，必要时可求助老师。
组员职责：1、先自己找错题错在哪，再找组长讲述；2、红笔在原题旁边改错；3、在组长帮助下总结今后在做此类题目时该注意的问题。
二次函数试卷讲评课解析
（正确率：7/28）
（固学）顶点 1.函数y=(x-3)2+16有最 值，最值为
2.已知x=t+3,y=3-t,s =xy,求s最值
3.从地面垂直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的 时间t(s)的函数关系式h=9.8t – 4.9t2, 求小球运动中的最大高度h 最大值
五、（拓学）利用二次函数一般式求解析式
（正确率：14/28）
（助学）利用二次函数一般式求解析式
22. （2013•威海）如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y 轴交于点C,对称轴为直线x=2． （1）求抛物线的函数表达式；
（正确率：6/28）
三、固学
练一练 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3）， C（0，-3）。 （1）求此函数的解析式及图象的对称轴
二次函数综合检测卷讲评
（函数解析式与顶点最值）
金菊荣
一、引学
复习引入：
1.二次函数的三种解析式：
一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点式：y=a(x－m)2+k (a≠0) 交点式：y=a(x － x1)(x － x2) (a≠0)
顶点（ b ， 4ac b2 ）
2a
4a
顶点（m,k) 顶点横坐标x=
四、（助学）利用二次函数顶点式求解析式
1.如图 平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
A、y=x2
B y=2x2
1
C y= x2
2
D y=4x2
（正确率：23/28）
（助学）利用二次函数顶点式求解析式
21. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度 为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水 深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽 度不得小于18米，则水深超过多少米时就会影响过往 船只在桥下的顺利航行？
二次函数y=ax2+k的图象和性质--点评(全国优秀课)
评课稿
孙老师所讲的内容是《二次函数y=ax2+k的图象及其性质》，这节课在人教版九年级上册，孙老师通过深度挖掘教材，精心地设计教学环节和内容，巧妙地运用学生活动，突破了重点，突出了难点，使学生循序渐进地接受了新知，给人以水到渠成的感觉。
1.本节课的教学安排合理，将旧知自然过渡到新知，运用了类比一次函数的学习方法，并结合一次函数的性质猜想二次函数的性质，通过猜想验证得到结论也是数学学习一个重要的思想。
对于初三的学生来说，数学思想和方法已经有一定的积累，能够顺利通过旧知的学习方法迁移到对于新知识的模仿学习中，这本身就是数学学习效果的体现。
2.在学习二次函数y=ax2+k的图象及其性质的时候，孙老师安排先由学生列表画图，并从图像中发现性质，之后的从特殊函数得到的性质进一步讨论一般情况，这样的发现规律既符合学生认知，又对于后续反比例函数的学习也是一种铺垫。
3.整节课的学习效果来看，突出数形结合思想。
通过让学生画图、观察图象、分析列表、发现规律和性质，老师在适时的时候进行引导和归纳，这样的课堂学生是主体，学生能够获得学习的成就感，在学生之间的交流中，互相查漏补缺，实现了“自主、探究、合作”的学习方式，同时实现了本节课的过程目标和情感价值目标。
本节课能够感受到始终贯穿着对数学思想和数学方法的引导，是充满数学味道的一节课。
初三数学二次函数试卷评讲
一、试卷分析本次初三数学二次函数试卷主要考查学生对二次函数的基础知识、基本技能和综合应用能力。
试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，共25题，满分100分。
整体难度适中，既有对基础知识的考查，也有对综合应用能力的考察。
二、试卷点评1. 选择题选择题共10题，主要考查学生对二次函数的基本概念、性质以及图像的识别。
其中，第1题考查二次函数的定义，第2题考查二次函数的顶点坐标，第3题考查二次函数的对称轴，第4题考查二次函数图像与x轴的交点，第5题考查二次函数图像与y轴的交点，第6题考查二次函数的增减性，第7题考查二次函数的开口方向，第8题考查二次函数的平移，第9题考查二次函数的对称性，第10题考查二次函数的实际应用。
选择题难度不大，但部分学生对基础知识的掌握不够牢固，导致错误率较高。
例如，第3题中，部分学生没有正确理解对称轴的定义，导致答案错误。
第7题中，部分学生混淆了开口向上和开口向下的二次函数，导致答案错误。
2. 填空题填空题共5题，主要考查学生对二次函数的解析式、图像、性质等方面的应用。
其中，第11题考查二次函数的解析式，第12题考查二次函数的顶点坐标，第13题考查二次函数的对称轴，第14题考查二次函数图像与x轴的交点，第15题考查二次函数图像与y轴的交点。
填空题难度适中，但部分学生计算能力不足，导致答案错误。
例如，第11题中，部分学生在求解二次函数的解析式时，计算过程出现错误，导致答案错误。
3. 解答题解答题共10题，主要考查学生对二次函数的综合应用能力。
其中，第16题考查二次函数图像与x轴的交点，第17题考查二次函数图像与y轴的交点，第18题考查二次函数图像的平移，第19题考查二次函数图像的对称性，第20题考查二次函数的实际应用，第21题考查二次函数的解析式，第22题考查二次函数的顶点坐标，第23题考查二次函数的对称轴，第24题考查二次函数图像与x轴的交点，第25题考查二次函数图像与y轴的交点。
二次函数的图象与性质 试卷讲评
1 2 x 1 1 的图象. 2
(2)指出二次函数 y a x h k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2
“运河”—开放的情怀
“实验”—创新的精神
y
1 ( x 1) 2 1 2
y
-1
O
1
x
1 y - ( x 1) 2 1 2
-5
“运河”—开放的情怀
y的最小值是-1，最大值是8.
“运河”—开放的情怀
“实验”—创新的精神
2 10. 已知二次函数 y x 6 x 8.
（1）将 y x 2 6 x 8 化成 y a x h k 的形式；
2
（2）当 0≤x ≤2 4 时，y的最小值是 0 ，最大值是 8 ；
“运河”—开放的情怀
“实验”—创新的精神
y
-1
O
1
x
-5
“运河”—开放的情怀
“实验”—创新的精神
y
-1
O
1
x
-5
“运河”—开放的情怀
“实验”—创新的精神
9. 把二次函数 y a x h k 的图象先向左平移2个单位，
2
再向上平移4个单位，得到二次函数 y (1)试确定 a, h, k 的值；
“实验”—创新的精
数
y=a x2 + b x+ c
形
y
O
型
x 由图象确定含 a,b,c的代数式 的符号
a,b,c的符号
0 x4 -3 x 0
y 0 ...
y 确定取值范围
O
x
y=a(x-h (h,k)
)2+k
二次函数测试题讲评课(课题5)
《二次函数》试卷讲评课一、学习目标：1、让学生认真细致进行错例分析，用心思考，积极交流，总结经验，查漏补缺，体会数学方法和思想在解题中的应用。
2、教师在对试题内容、功能进行挖掘、补缺，对学生存在的问题或薄弱环节进行补救的过程中，培养学生分析、比较、归纳、概括的能力。
3、开拓思路，探索捷径，掌握数学思想和解题技巧，培养灵活处理问题的能力。
二、课前准备：1、学生课外独立改错；教师发放已批改好的测试卷，要求学生细心查阅自己的试卷，遇错即改；2、学生分小组自查，对试卷进行查缺补漏，检查哪些做得比较好，哪些不该答错，自检答错或空白得原因。
3、小组长统计本小组成员得答题情况：包括每人出错得题型，小组犯错频率高的题，小组尚未解决的问题，一题多解及典型解题方法等；4、教师收集、整理各小组反馈的信息，做到课内讲评具有针对性。
三、课堂合作研究（针对训练）:目标：1、巩固基础，加强练习2、弥补试卷缺失知识点，全面提升数形结合的运算能力和相关性质等知识的应用。
3、添加中考题，提高对中考题目的认识能力。
四、重点讲评8．已知反比例函数)0(≠=a xa y ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则函数a ax y +=2的图象经过的象限是 （ B ）A 、三、四B 、一、二C 、二、三、四D 、一、二、三点评：反比例函数的性质：a>0时，y 随x 的增大而减小；a<0 y 随x 的增大而增大。
与一次函数的性质不同，要区分开。
9、在同一直角坐标系中，函数y=ax 2-b 与y=ax+b 的图象大致是（ ）点评：本题考查一次函数与二次函数的性质，本题可从一次函数的性质入手，例如A ：因为一次函数经过一二四象限，所以a<0，b>0，由此判断，二次函数的开口向下，顶点坐标应在y 轴的负半轴上，所以A 不符合题意。
10. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个点评：本题考查a 、b 、c 的符号由-ab 2<1得，2a+b>0；当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c>0. 24.农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业。
“人教版 第22章二次函数习题讲评”教学案例及分析
课题 “提高初中数学讲评课提问有效性”的教学案例----第22章二次“函数习题讲评”教学案例及分析作者 强玉琴学校 大通县东峡民族中学案例实施背景 中学生进入九年级，数学知识渐趋复杂，学生的认知差异和情感差异更为突出，学生的成绩分化也渐趋明显。
知识基础和认知能力的差异对学生学习信心，兴趣的影响也日趋明显。
所以教学中对于典型习题的讲评需要关注学生认知差异和情感差异，精心设置课堂提问，让不同层级的学生都有展示自己的机会，都有获得成功的体验。
准确、恰当的课堂提问能激发学生的学习兴趣，集中学生的注意力，点燃学生思维的火花，激发学生的求知欲望，为学生发现问题、解决问题搭建桥梁，从而提高课堂教学效率。
案例描述教学案例为人教版九年级数学上册“第22章二次函数”一道典型习题讲评。
选题具有较好的区分度，不同学生的知识基础和能力差异体现较明显。
教学目标：1.通过精选习题的讲评，以梯度化的问题启发学生由浅入深思考，使每个层次的学生都有所收获，提高学生分析问题、解决问题的能力。
2.教师通过设疑导思，引导学生总结解题经验和答题技巧，让学生在合作交流中，发展有条理地思考、表达。
3.教师通过课堂提问后激励性的评价，帮助学生树立信心，激发学生数学学习兴趣。
教学片断：（通过图像研究二次函数具有的性质）已知二次函数c bx ax y 2++=的图像如图所示，下列结论：①abc>0；②a+b+c<0；③ac 4-b 2>0; ④b=2a. 其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C. 3个D.4个师：此题考查同学们的读图能力以及创造性的获取图表息的能力.拿到此题，你们是怎么思考的？给学生3-5分钟时间独立思考、并尝试解答，教师巡视，观察学生在思考过程中遇到的认知困难和情绪波动，以针对性提供指导和帮助.。
善于提问：难题讲评前的预设视角——由两道较难二次函数习题讲评为例
2016年11月善于提问:难题讲评前的预设视角—由两道较难二次函数习题讲评为例筅江苏省如东县岔河中学冒亚萍数学作业(包括各类作业、考试)讲评课是日常数学 教学中常见的一种课型，然而讲评有些较难试题时，由 于缺乏深人的预设和充分的准备，往往讲评效果并不 理想.我们认为，南京大学哲学系郑毓信教授提出的数 学教师的三项基本功之一的“善于提问”就是值得我们 在难题讲评前认真构思的一种备课视角.一、两道较难习题的讲评案例案例1:已知二次函数y =ax 2+bx+C 中，其函数y 与自变 量x 之间的部分对应值如下表所示：x 012345y41149(1)求二次函数的解析式;(2) 点^(^。
、^(，，:^丨在该函数的图像上：当^xi <2，3<x 2<4时，分析yi 与y 2的大小关系；(3)若将此图像沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图像所对应的函数关系式；⑷设点Pi (m ，y i )、P 2(m +l ，y 2)、P (m +2，y 3)都在二次 函数y =ax 2+bx +c 的图像上，问：当m <-3时，y i 、y 2、y 3的值一 定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？讲评预设：前三问比较简单，这里直接给出它们的 答案.（1 )y =(x -2)2; (2)yi <y 2;⑶y =(x -5)2或y =x 2-10x +25. 以下重点讲解第(4)问的思路突破.首先，要思考问题的 起点，即需要考虑这三个点在函数图像上的大致位置， 因为它们的位置会影响y i 、y 2、y 3大小的排列（y i >y 2>y 3> 0)，而它们的大小顺序又影响着三角形三边的大小的排 列和作差比较;接下来思考贯通的路径，需要把相应的 横坐标分别代人解析式，得到y i 、y 2、y 3的表达式，再作差 比较.BPy ^yg-yF ( m -1 )2+m 2- ( m -2 )2=m 2+2m -3.这个式子 的正、负影响着三角形能否围成目标的实现，有不同的 路径，比如将其因式分解为(m +3 ) (m -1)，结合m <-3时， “负负得正”，说明y 2+y 3-y 1>0,即卩y 1、y 2、y 3的值一定能作为 同一个三角形三边的长.也可将m 2+2m -3配方得(m +1 )2-4,视它为一个关于m 的二次函数，当自变量m <-3时，该 函数一定为正数.基于上述认识，我们构思如下的PPT (如图1 )，在不同的障碍点处分别安排了“起点”“目标” “贯通思路”“难点突破”等提示语，使得学生在研习时抬 级而上，既获得帮助又需要自己努力思考.案例2:已知关于x 的方程mx 2 3+(3m +1 )x +3=0.⑴求证:不论m 为任何实数，此方程总有实数根；(2)若抛物线y =mx 2+(3m +1 )x +3与x 轴交于两个不同 的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；⑶若点P U ，y )与Q U +n ，y 2)在⑵中抛物线上(点 P 、Q 不重合），且y 1=y 2,求代数式4x 12+12x 1n +5n 2+16n +200的值.讲评预设:在网络上检索出该题出自2012年北京海 淀区中考一模，后很多地区模考或所谓的月考纷纷引 用，只是将最后的待求代数式的常量进行一些简单的改编，因为代数式“4x 12+12xm +5n 2+16n ”是定值16.前两问比 较常规，我们只给出第(2 )问的思路点拨(PPT 如图2 ).(2012海淀一模）己知关于;c 的方程m x 2+ (3#w +l )x +3=0. (1)求证：不论w 为任何实数，此方程总有实数根；值得一说的是，在PPT 中三个箭头分别提醒学生如初中版十教，？ 65何得到(m +3)(mx +1 )=0,并如何分析这个方程，从而确 认 m =1.接下来重点说说最后一问.这里比较难思考的是：^=y 2能带来怎样的信息，如果仅从函数值相等，把代人然后变形得出2^+^+4=0，则有一定意义，进一步可变形 得2^=^-4，再代人待求代数式中（注意整体代人2^比 较恰当，可使运算简化）,经过运算、化简会发现参数n 被 消去，得到16+200=216.这里后一阶段的运算量仍然较 大，对较为繁杂的运算能力是又一次考验.如果能从另 外的角度发挥yi =y 2的作用，则可以进一步简化求解.这里可以引人高中解析几何中的重要性质，当/(力) =/(X 2)时，一定有/(Xi +X 2)=/(0)=C 的性质.即本题有/(x ) =/(丨1+«),则有/(1+%1+«)=/(0)=3,而抛物线7=：2+4%+3的 对称轴方程为x =-2,则/(-4)=/(0)=3,即而 这与之前经过较繁杂运算得出的2^+n +4=0殊途同归， 接下来再代人待求代数式中即可明确解答，循此思路， 我们预设如下的PPT (如图4).(2)中进展：m = l .即少(2012•海淀区一模）已知关于x 的方程mx 2+ (3w +l ) x +3^0.(3)若点P Oc ”与g ('+«，少2>在（2)中抛物线上（点i»、g 不重合），且求代数式的值.u 〇q^一 i 心算：整体代入iv ,可以简化运算，最后消 去w ,得 16+200 = 216.重要进展：把尸、2两点的 坐标分别代入解析式)， W +4^3中，变形得/ll (lic 1+r t +4)=0r /、有 2^=-«-4‘‘V，_____________深刻认识：若/^1)=/^2)时，有/(xi +x 2) =/(0) =c =3.则/(x i +xi+n ) =/(0) =3，而对称轴是x = -2，则/(-4) =/( 0) =3，即xi +xi+n =-4.图4在这一页PPT 中，当引导学生分析出2xi +n +4=0之 后，没有直接代人代数式化简求值，而是引导学生深刻 认识yi =y 2的性质，从而解读出xi +xi +n =-4.二、进一步的思考1.深刻理解问题，辨明难点所在是善于提问的前提面对较难的数学习题，作为教师，首先要贯通思路，66 十.？教，？初中版2016年11月然后从不同角度追求更简化、更优化的思路，或更自然、 更初等的方法来揭示问题的解法，这是深刻理解问题的 内涵之一.在此基础上，回看问题的难点有哪些？这些难 点基于什么来破解？与我们在教材上哪些概念直接相 关？与哪些经典问题有相似或关联之处？多思考这样的 问题，就是学会辨明难点和难点突破，也是进一步开展 教学设计的前提.2. 增设恰当提示，通过课件渐次呈现、相机引导和启发思考在教师本人深刻理解问题之后，辨析了数学习题有 哪些难点、易错点、歧路之后，就可以在这些难点、阻碍 点、歧路处设计“路标”，即恰当的提示，以PPT 标注的方 式动画呈现，一方面，引导学生向着正确的方向前进，另 一方面，也为“相机引导”（李庾南老师语)提供了可能， 同时还为促进学生思维较大限度地被“卷人”课堂思考 中提供了有效保证.3. 问题适度拓展，引导学生洞察和理解问题深层结 构在本文中，我们所指的问题适度拓展并不是指在原 考题的基础上再次拓展变式、增加思维挑战，而是指在 思路贯通之后，能反思回顾，并把原有解法纳人到一个 “高观点”下俯视，追求更加简约、深刻的解题路径，当然 我们也需要向学生传递“算法简单的方法往往要付出逻 辑思维的代价”.比如上文题例2中最后一问待求的代数 式“4x 12+12x 1n +5n 2+16n ”是一个定值，如果不能理解这一 结构，则会误以为后面的常数200是一个有效的数据，干 扰思路，形成思维歧路.参考文献：1. 郑毓信.善于提问[J ].人民教育，2008(19).2. 郑毓信.多元表征与概念教学[J ].小学数学教育，2011(10).3.陈爱军.预设互动促进对话，课件简约渐次展 现——李庾南老师“函数的图像”课例赏析[J ].中学数学(下），2016(10).4.鲍建生，顾泠沅，等.变式教学研究[J ].数学教学，2003(1，2,3).5.许燕.从解题赏析走向教学研究—以2016年无锡卷第27题为例[J ].中学数学（下），2016(10).[^。
人教版九年级上册二次函数练习卷-讲评卷
人教版九年级上册二次函数练习卷-讲评卷一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A. (3，1)B. (3，－1)C. (－3，1)D. (－3，－1)【答案】A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．2. 2A. 抛物线的开口向下B. 当x>－3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是－2D. 抛物线的对称轴是x＝－5 2【答案】D【解析】从表中选取三组值(－4，0)，(－1，0)，(0，4)，由此设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x＋1)．将(0，4)代入y＝a(x＋4)(x＋1)，求得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x＋4，即y＝(x＋52)2－94.由此可见，只有选项D中的说法是正确的．3. 抛物线y＝2x2－22x＋1与坐标轴的交点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】抛物线y＝2x2－22x＋1，令x＝0，得到y＝1，即抛物线与y轴交点坐标为(0，1)；令y＝0，得到2x2－22x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，解得：x1＝x2＝22，即抛物线与x轴交点坐标为(22，0)，则抛物线与坐标轴的交点个数是2.4. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A选项错误；由于当x＝2时，y＝8－3＝5，所以B选项错误；由于y＝2x2－3的对称轴是y轴，所以C选项错误；由2x2－3＝0得b2－4ac＝24>0，则该抛物线与x轴有两个交点，所以D选项正确．5. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：A. －11B. －2C. 1D. －5【答案】D 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上，把点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－2c ＝1a ＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝0c ＝1，∴函数解析式为y ＝－3x 2＋1，x ＝2时y ＝－11.6. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( )A. 34或1B. 14或1C. 34或12D. 14或34【答案】A 【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.7. 若二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点(－1，0)，则方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为( )A. x 1＝－3，x 2＝－1B. x 1＝1，x 2＝3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－3，x 2＝1【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a ＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.8. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc >0；②9a ＋3b ＋c <0；③c >－1；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个根为－1a .其中正确的结论个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以－b2a＝2＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a＋3b＋c＞0，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即－c＜1，∴c＞－1，故③正确；假设方程的一个根为x＝－1a，把x＝－1a代入方程可得1a－ba＋c＝0，整理可得ac－b＋1＝0，两边同时乘c可得ac2－bc＋c＝0，即方程有一个根为x＝－c，由②可知－c＝OA，而x＝OA是方程的根，∴x＝－c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个．9. 已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为()A．1或－5 B．－1或5 C．1或－3 D．1或3【答案】B【解析】∵二次函数y＝(x－h)2＋1，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝h，∴二次函数值在x<h时，y随x的增大而减小，在x>h时，y随x的增大而增大，∴①当h＜1时，在1≤x≤3中，x＝1时二次函数有最小值，此时(1－h)2＋1＝5，解得h＝－1或h＝3(舍去)；②当1≤h≤3时，x＝h时，二次函数的最小值为1；③当h＞3时，在1≤x≤3中，x＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h)2＋1＝5，解得h＝5或h＝1(舍去)，综上所述，h的值为－1或5.10. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是() 【答案】B【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝12x×32x＝34x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共4道小题）11. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .12. 如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有________．(请写出所有正确说法的序号)【答案】①②④ 【解析】由于二次函数开口向上，且与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，即①正确；又由于二次函数与x 轴交点的横坐标为－1，3.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3即②正确；当x ＝1时，二次函数上的点在第四象限，即a ＋b ＋c ＜0即③错误；由于(－1，0)，(3，0)两点关于二次函数的对称轴为轴对称，∴此二次函数的对称轴方程为：x ＝1，因为二次函数开口向上，所以当x＞1时y随x的增大而增大，即④正确. 故①②④正确13. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．【答案】0<a≤5【解析】设未来30天每天获得的利润为y，y＝(110－40－t)(20＋4t)－(20＋4t)a化简，得y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大，则－（260－4a）2×（－4）≥30，解得a≤5，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤5.14. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．三、解答题（本大题共7道小题）15. 如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出B、C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)【答案】解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝21－b ＋c ＝0，(2分) 解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝－5，(3分)解图∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －5.(4分)(利用抛物线对称性先求出点B 的坐标，再求出解析式也可)(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)(3)如解图，连接BC ，易知△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，(8分)由勾股定理得BC ＝52＋52＝52，∴所以所求圆的面积是π×(522)2＝252π.(10分)16. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)，适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t 的值；(3)若存在实数t 1和t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．【答案】解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15(米)，∴此时足球距离地面的高度为15米．(2分)(2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t 1＝2＋2，t 2＝2－2，∴经过2＋2或2－ 2 秒时，足球距离地面的高度为10米．(4分)(3)∵m≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝(－20)2－20m ＞0，∴m ＜20，∴m 的取值范围是0≤m ＜20.(8分)17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．【答案】解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194.∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功．18. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM ′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积；(3)是否存在过A 、B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】43解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.(2分)(2)由抛物线y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点M 的坐标为(1，－4)．∵M 与M ′关于x 轴对称，∴点M ′的坐标为(1，4)，(4分)设直线AM ′的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A(－1，0)，点M ′(1，4)代入得⎩⎨⎧－k ＋m ＝0k ＋m ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝2m ＝2， ∴直线AM ′的解析式为y ＝2x ＋2，(6分)与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得⎩⎨⎧y ＝2x ＋2y ＝x 2－2x －3， 解得⎩⎨⎧x 1＝－1y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝5y 2＝12， ∴点C 的坐标为(5，12)，又AB ＝4，∴S ΔABC ＝12×4×12＝24.(7分)(3)存在；理由如下：∵四边形APBQ 是正方形，∴PQ 垂直且平分AB ，AB 垂直且平分PQ ，且PQ ＝AB ，设PQ 与x 轴交点为N ，则PN ＝12AB ＝2，∴点P 的坐标为(1，2)或(1，－2). (9分)设过A 、B 两点的抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将点(1，2)代入得a ＝－12，此时抛物线解析式为y ＝－12(x ＋1)(x －3)＝－12x 2＋x ＋32；(10分)将点(1，－2)代入得a ＝12，此时抛物线解析式为y ＝12(x ＋1)(x －3)＝12x 2－x －32.故存在过A 、B 两点的抛物线，使得四边形APBQ 为正方形，且抛物线解析式为y ＝12x 2－x －32或y ＝－12x 2＋x ＋32.(12分)19. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？(2)写出该文具店一次销售x (x ＞10)只时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】解：(1)设一次至少买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为：0.1(x －10)元，由题意得，20－0.1(x －10)＝16，解得x ＝50.答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2分)【一题多解】设一次购买x 只计算器，才能以最低售价购买，则每只降低为：0.1(x －10)元，由题意得，20－0.1(x －10)≤16，解得x ≤50，∴最大整数x ＝50.答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买．(2)由题意得，当10＜x ≤50时，y ＝[20－12－0.1(x －10)]x ，即y ＝－0.1x 2＋9x(3分)当x ＞50时，则每只计算器都按16元销售．∴y ＝16x －12x ＝4x ，综上可得y ＝⎩⎨⎧－0.1x 2＋9x （10＜x ≤50）4x （x ＞50）.(5分) (3)由y ＝－0.1x 2＋9x 得，其图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝－92×（－0.1）＝45， ∵a ＝－0.1＜0，当x ＞45时，y 随x 的增大而减小，(6分)又∵50＞46＞45，∴当x ＝46时的函数值大于x ＝50时的函数值，即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多．(8分)由二次函数的性质知，当x ＝45时，y 最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5，这时售价为20－0.1×(45－10)＝16.5(元)．答：店家一次应卖45只，这时的售价是16.5元．(10分)20. 如图，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)经过点A (0，3)，B (－1，0)．请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△MBC 的面积是4？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)，∴⎩⎨⎧c ＝3a ＋2×（－1）＋c ＝0 解得⎩⎨⎧a ＝－1c ＝3∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，B (－1，0)，∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)，∴DE ＝4，BE ＝2，∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝25，即BD 的长是25；(3)假设在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4，设点M 的坐标为(1，m )，∵B (－1，0)，E (1，0)，∴点C 的坐标为(3，0)，∴BC ＝4，∵△MBC 的面积是4，∴S △MBC ＝BC ×|m |2＝4×|m |2＝4，解得m ＝±2，即点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．21. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A (2，4)与B (6，0)．(1)求a ，b 的值；(2)点C 是该二次函数图象上A 、B 两点之间的一动点，横坐标为x (2<x <6)．写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． ∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分)(2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)解图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12，设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ，其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6，∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上，∴点C(x ，－12x 2＋3x)，如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图③。
元二次方程试卷讲评
元二次方程试卷讲评 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一元二次方程单元测试讲评课一、依据：1、依据新课程教学目标，讲评学生阶段性学习成果，通过测试和讲评检测学生达成目标的程度；2、依据数学单元测试的目的和要求，引导学生系统复习学过的数学知识，检查其理解、掌握数学基础知识及基本应用技能的情况，评定学生学习成绩和教师的教学效果。
3依据我校改变数学落后现状，开展“培优”、“补差”的目标和要求；教师必须重视学生的个体差异，优化单元测试讲评课，让每位学生都能学到有价值的数学，发现薄弱环节，及时纠正和反馈。
二、目标：1、学生通过自查、互查、分析答错的原因，总结解题的方法等，明确在数学学习中，要及时反思；明确自己学习上的长处和短处，问题所在，然后采取适当的措施“扬长补短”，充分发挥自己的长处，弥补不足，克服存在的缺陷和缺点；2、教师在对试题内容、功能进行挖掘、补缺，对学生存在的问题或薄弱环节进行补救的过程中，培养学生分析、比较、归纳、概括的能力；3、开拓思路，探索捷径，掌握数学思想和解题技巧，培养灵活处理问题的能力；4、讲评后进行单元二次测验，促使差生更好地巩固该单元的基础知识，突破该单元的薄弱环节，进一步拓展学生思维，增强他们解决问题的能力；同时，激发学生学好数学的勇气和决心。
三、课前准备：1、全面批改好学生的单元测试卷，按学习成绩把全班学生分成小组，并让每个小组都有好、中、差的学生；2、做好有关数据统计：包括全班的平均分、最高分、最低分、及格率、优秀率、各分数段人数、各题得分率等；3、将学生出错的试题进行归类整理；4、统计好进步学生和退步学生的名单；5、发放试卷要求学生课外自查；（1）学生课外独立改错；教师发放已批改好的测试卷，要求学生细心查阅自己的试卷，遇错即改；（2）学生分小组自查，对试卷进行查缺补漏，检查哪些做得比较好，哪些不该答错，自检答错或空白得原因。
初中联赛题型解读五：二次函数
a b a (a 1) 2a 1，于是 1 a 0, 1 2a 11
又 a b 为整数，2a 1 0, 故 a 1 b, ab 1 ，故选 B.
2
4
（3） 与坐标轴 【例4】 （2007 年联赛）设 m ， n 为正整数，且 m 2 ，如果对一切实数 t ，二次函数
a2 b2 1,
由方程组
ab
1 4
③
消去 b ，得16a4 16a2 1 0 ，所以 a2 2 3 或 a2 2 3 ，
4
4
又因为 a≥0 ，所以 a 6 2 或 a 6 2 ．
4
4
于是方程组③的解为
a
6 4
2
,
或
a
联赛题型解读之五——二次函数
一、“二次函数”真题分值分析
函数是代数知识的的大熔炉，也是代数和几何的纽带，数形结合思想在函数中得到淋漓 的展现。
下面我们通过统计近 15 年初中数学联赛中数论与组合的分值（注：至少在结构和形式 上是对函数的考察才会计入分值统计），帮助大家更好的了解二次函数在联赛中的分值比重。
因为 2 | ab | a2 b2 1 ，所以 1 ab 1 ，从而 3 ab 1 1 ，
2
2
4
44
故 0 (ab 1)2 9 ，因此 0 2(ab 1)2 9 9 ，即 0 a4 ab b4 9 .
2. 二次函数的常见问题 一般来说二次函数有五大类问题 （1） 图像与系数的关系 绝对值方程；分式方程；根式方程； （2） 图像变换 平移；轴对称；中心对称；绝对值函数 （3） 区间最值 利用函数单调性，寻找给定区间上的最值 （4） 函数与方程不等式 利用数形结合懒一元二次方程，二次不等式问题. （5） 代几综合题 结合全等，相似圆等
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师：这里也有两步要做，1是方程的右边必须是0，再分解因式，2是根的符号总是与因式中的常数相反。如第7题。
练习：用因式分解法做第15题。
（3）公式法：依据是
师：在 ≥0的前提下把a，b，c的值带入公式x= 进行计算，最后写出方程的根。
练习 ：用公式法做
（二）典型计算错误举例
1、第7题：若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A．m> B．m> 且m≠2 C．－ <m<2 D. <m<2
因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1＋x2＞0，x1·x2＞0，
故
即 或
故 ＜m＜2，故选D.
2、第11题：若两个不等实数m，n满足条件：m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2＋n2的值是________。
情感态度与价值观
通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用
重点
理解并掌握一元二次方程的概念及解法，会运用方程模型解决实际问题。
难点
认真细致进行错例分析，用心思考，积极交流，总结经验，查漏补缺，体会数学方法和思想在解题中的应用
教学具准备
多媒体、课本
教法
启发诱导、合作探究、
这时应进货500－10x＝400(个)。
答：售价应定为60元，这时应进货400个。
5、第16题：电动自行车已成为市民日常出行的首选工具。据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆。
(1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；
(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1至3月份共盈利多少元？
2、试卷讲解
（一）知识点查漏补缺
（1）配方法：依据完全平方公式，当二次项系数为1时配一次项系数的一半的平方。
师：这里有两步要做，1是化二次项系数为1的一般形式并将常数项移至右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方；2是括到括号里的数是一次项系数的一半。
举例：第2题。练习：用配方法更正第14题（没用该法的在课堂练习本上做）
[解析]： 4或－1 根据题意，得x2－3x＋2＝6，整理，得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1。
4、第15题：某超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8000元的利润，你认为售价(售价不能超过进价的160%)应定为多少？这时应进货多少个？
评---讲---练
教学过程
复备
一、考试测验（第1课时）
二、试卷分析（第2课时）
1. 存在问题
从评卷情况看，学生存在一些问题，主要表现在以下几个方面：
A、书写潦草，字迹模糊，卷面乱，答题不规范，计算比较粗心。
B、审题不清，题目中的重要条件不注意，还有些同学作完题后都不知道此题最后求什么 。
C、不会运用已学过的基本理论解决相关问题。
[解析] ∵m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，m≠n，∴m，n是方程x2－2x－1＝0的两实数根．由根与系数的关系，得 ∴ m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝22－2×(－1)＝6.
3、第13题：现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________。
解：设此商品的售价为(50＋x)元，则每个商品的利润是[(50＋x)－40]元，销售数量为(500－10x)个。由题意，得[(50＋x)－40](500－10x)＝8000，
整理得x2－40x＋300＝0.
解得x1＝10，x2＝30.
∵商品售价不能超过进价的160%，即不能超过64元，
∴取x＝10.
备课日期
9.3
上课日期
审批日期
审批意见
审批人
课题
一元二次方程测试讲评
授课课时
2课时
课型
复习
教
学
目
标
知识与能力
学生通过自查、互查、分析答错的原因，总结解题方法，明确在数学学习中，要及时反思。
过程与方法
通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法；通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。
解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x.根据题意，得150(1＋x)2＝216
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为20%.
(2)该品牌电动自行车2月份的销售量为150×(1＋20%)＝180(辆)，
∴该品牌电动自行车1至3月份的销售量为150＋180＋216＝546(辆)，
∴该经销商1至3月份共盈利546×(2800－2300)＝273000(元)。
3、课堂小结
通过这次考试谈谈你有哪些收获和遗憾，说说你今后努力方向。
布置作业
必做题：订正错题，分析错因。
选作题：出得失分统计分析，结合个人实际，拟订出下阶段学习方略。
教
学
后
记
本课原有教案能在研究学情的基础上，以统计数据和课标为依据，做到了重点突出，学生知道的少讲或不讲，20%以上学生做错的题详细辨析，并进行了查漏补缺和典型错题举例，但课堂练习量偏少。改进教案后添加了“练习”部分，主要针对中下层面进行强化练习，趁热打铁，从检查的结果来看，效果还是明显的。“冰冻三尺非一日之寒”，不及格学生，主要是学习方法和态度问题，非本节课能一次解决的，一定要在课后与学生谈心，解决思想问题为先，课业指导为重。