1.3 函数的基本性质
函数的基本性质奇偶性 陈秀群.
概念剖析
问题1： 奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意”
几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与 单调性有何区别？
强调定义中“定义域内任意”二字，说明函数 的奇偶性是定义域上的一个整体性质，而函数的单 调性不是定义域上的一个整体性质 .
数形结合
概念生成
函数f(x)=x2的图象特征 ——关于y轴对称
xx, ,f fxx
f 1 1 f 1 f 2 4 f 2 f 3 9 f 3
偶函数
f xf x x2f xx2 f x
S2：描点 S3：连线
f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3
f xfxx3fx3 f x
概念生成
函数f(x)=x3的图象特征
——关于原点对称
f x
f x f x
奇函数
复习回顾——图像的对称
在初中你学习过轴对称图形和中心对称图形吗？
轴对称图形：
如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍 是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称图形，这 条直线称作轴对称图形的对称轴。
中心对称图形：
如果一个图形上的任意一点关于某 一点的对称点仍是 这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称图形，这个 点称作中心对称图形的对称中心。
（4）若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)一定成立.
2.判断函数f x 1 x x 1的奇偶性。
课堂小结
通过本堂课的探究： （1）你学到了哪些知识？ （2）你最深刻的体验是什么？ （3）你心里还存在什么疑惑？
课堂小结——知识
1.3函数的基本性质(教案)
[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年10月8日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第7 周星期一至三[课标、大纲、考纲内容]：【教材与学情分析】学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。
学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。
1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。
2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。
第4课时 1.3.2函数的奇偶性教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．教学过程：一、引入课题1．实践操作：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．2．观察思考（教材P33观察思考）二、新课教学（一）函数的奇偶性定义象上面实践操作○1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作○2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．1．偶函数（even function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2．奇函数（odd function）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）典型例题1．判断函数的奇偶性例1．（教材P35例5）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）解：（略）总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．巩固练习：（教材P36练习：1）说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．2．利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材P39习题1.3 A组:6）规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．3．函数的奇偶性与单调性的关系（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．三、归纳小结，强化思想本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．四、作业布置书面作业：课本P39习题1．3（A组）第6题，五、教学反思：分段函数奇偶性的判断中，学生对f(－x) =－f(x)或f(－x) = f(x)中f(x)取哪一部分比较不明确。
新课标人教版高中数学必修一 1.3函数的基本性质 教学设计
1.3 函数的基本性质[教学目标]1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．3．结合具体函数了解奇偶性的含义．4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．[教学要求]讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．[教学重点]函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．[教学难点]1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性新课导入一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32︒C ），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调性．二、观察函数图象，认识“上升”与 “下降”请同学们画出函数x x f =)(和2)(x x f =的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．新课进展一、函数的单调性1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．（2）请你仿照增函数的定义给出函数)(x f 在区间D 上是减函数的定义．如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）．3．对定义要点分析问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D 上的任意两个自变量都有…”的含义．课堂例题例1 （课本第29页例1）课堂练习课本第39页习题1.3A 组第4题．课本第32页练习第1、2、3题．课堂例题例2 （课本第29页例2）课堂练习课本第32页练习第4题．4．本课小结（1）增减函数的图象有什么特点？增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小．（3）如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第1、2、3题．课本第44页复习参考题A 组第9题．第二课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：如何判断函数的单调性？观察上节课例1中的图象（课本第29页），发现，函数图象在2-=x 时，其函数值最小，而在1=x 时，其函数值最大．函数2)(x x f =的图象有一个最低点)0,0(，函数2)(x x f -=的图象有一个最高点)0,0(，而函数x x f =)(的图象没有最低点，也没有最高点．新课进展二、函数的最大（小）值1．函数的最大（小）值的定义设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值(maximum value)．请你仿照函数最大值的定义，给出函数)(x f y =的最小值的定义．设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值(minimum value)．课堂例题例1 （课本第30页例3）说明：本例题是一个实际应用题，教学时应让学生体会问题的实际意义．例2 （课本第30页例4）说明：本例题表明，高一阶段利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法．通过本例题的教学，再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法．课堂练习课本第32页练习第5题2．函数的最大（小）值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系．我们再看一个例子．例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1) 若函数()y f x =的定义域为[],x b e ∈，求最大值和最小值；(2) 若函数()y f x =的定义域为[],x a e ∈，求最大值和最小值；(3) 若函数()y f x =的定义域为[),x b d ∈，求最大值和最小值；解：(1)在定义域[],b e 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f e f c <，则函数()y f x =在[],b e 上的最大值为()f c ，最小值为()f d ；(2) 在定义域[],a e 上，函数()y f x =在区间[],a c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f a f d <，则函数()y f x =在[],a e 上的最大值为()f c ，最小值为()f a ；(3) 在定义域[),b d 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[),c d 上是减函数， 由于函数在x d =处没有定义，则函数()y f x =在[),b d 上的最大值为()f c ，没有最小值．思考：为什么要讨论)()(c f e f <？说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．3．本课小结函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．4．布置作业课本第39页习题1.3A 组第5题；课本第39页习题1.3B 组第1、2题第三课时1.3.2 奇偶性创设情景，导入新课从对称的角度，观察下列函数的图象： 函数2()1,().f x x g x x =+=这两个函数图象有什么共同的特征?请列出从-3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等．反映在图象上，函数图象关于y 轴对称．新课进展三、函数的奇偶性1．偶函数如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=那么函数()f x 就叫做偶函数(even function)．定义域关于坐标原点对称．请你举出偶函数的例子．2)(x x f =，21)(xx f =等等． 2．奇函数 观察函数x x f =)(和x x f 1)(=的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；（3）从函数值看，x 与x -的函数值的绝对值相等且符号相反．如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=-则函数()f x 叫做奇函数(old function)．请你举出奇函数的例子．3．函数的奇偶性奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．课堂例题例1 （课本第35页例5）课堂练习课本第36页练习第1（1）——（4）、第2题．4．本课小结本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法．我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考． 定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性．由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第6题，B 组第3题．课本第44页复习参考题A 组第10题．补充：1．已知2(),f x ax bx cx =++∈R 是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是( )．(A)偶函数 (B)奇函数(C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 2． 已知函数1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩试判断并证明它的奇偶性．。
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学1.3函数的基本性质 PPT课件 图文
f (x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数． 2、 证明函数f(x)=x 3 在(-∞，+∞)上是增函数.
思考：讨论函数 f(x )x22ax 3
在(-2,2)内的单调性.
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的
1.3函数的基本性质——单调性
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法 有图象法、定义法．
3. 证明函数单调性的步骤： 取值→作差→变形→ 定号→结论．
f ( x) x
a (a 0) x
课后作业
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．书面作业 必做题：课本 P.39 1、2、3
1
2
3
t
典型例题
例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间 及单调性，并运用定义进行证明 定义法 (1) 证明：函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数． 变式1：函数f(x)＝－3x＋2在R上是增函数还是减函数？
变式2：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上是增函数还是减函数？
1 (2) 证明：函数f(x)＝ 在(0, ＋∞)上是减函数． x 1 变式1：f(x)＝ 在(－∞, 0)上是增函数还是减函数？ x 1 变式2：讨论函数f(x)＝ 在定义域上的单调性． x
3 2 1
y
2 3 4 5x
解 ： 函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)， [－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]， 其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数， 在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
训练题1： （1）请根据下图描述某装配线的生产率与生 产线上工人数量间的关系.
f ( x) x 2
探究1：画出函一次函数f (x) = x的图 象、二次函数f (x) = x2的图象.
1 -1 O
y＝x
x
y＝x2
1 -1 O x
①观察图象的升降. 并说出自己对图象的直观认识. ②不同函数，其图象变化规律相同吗？ ③同一函数在不同区间上的变化规律相同吗？ ④讨论：随x的增大，函数值y怎样变化？当x1<x2时，f(x1) 与f(x2)的大小关系怎样？ ⑤函数值是随自变量的增大而增大，或随自变量的增大而 减小，这种变化规律即函数的单调性.请思考：如何根据 图象上升、下降判断函数单调增、单调减？
函数的基本性质
§1.3函数的基本性质教材分析函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。
基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。
学情分析学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。
另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。
总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。
教学建议以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。
教学目标知识与技能（1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征（2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性（3）单调性与奇偶性的综合题（4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力过程与方法（1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念（2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学情感、态度与价值观（1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳（2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达课时安排（1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时（2）习题课：5课时第一课时单调性教学重点借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题 教学难点（1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述（2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取21,x x ，且21x x <”的理解）教学过程一、由特殊到一般，引入课题学生画图x y =与x y -=，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受.提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中x 和y 的对应来表达这种变化的规律？二、新课教学老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量x 越来越大的情况下，上升意味着函数值y 越来越大，下降意味着函数值y 越来越小.）一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势.三、重点强调1——单调区间老师板书函数图象2x y =，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调性是不一致的，即单调性是一个区间概念.例1 图1.3-4是定义在区间]5,5[-上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？注记：①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理.②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号 、“或”字，加一个逗号就行了.（因为]5,3[)1,2[ -代表的是一个集合，任取21,x x 的时候有可能是]5,3[1∈x 而)1,2[2-∈x ，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）.③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域}7,5,3,1{是不谈单调性的. 练习 xy 1=的单调区间是什么 四、重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例2 物理学中的玻意尔定律V k p =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明之由于k 为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自变量21,x x ，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想——逻辑证明.五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比较函数值的大小关系. 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值，必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大），在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作.第一，在指定区间任意取21,x x ，并且21x x <.第二，做差 =-21y y ，为了便于判断符号必须变形至①出现21x x -，②出现多项式乘除的形式. 第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意逻辑！六、课堂回顾本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数.单调区间的写法七、作业P 39 T 1-3八、板书设计（2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题教学难点最值定义的数学语言表述的抽象过程教学过程一、复习旧知学生画图x y =与12+=x y ，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否在两个图中找出最低点和最高点？如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最低点？对任意的R x ∈，都有1)(≥x f ，那么函数值1就是函数12+=x y 的所有函数值中最小值.对于函数12+-=x y 容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值. 二、定义一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；②存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值，最小值的概念请一个学生口述.最大值的图形特征是图像中的最高点，是函数值当中的最大的；最小值的图形特征是图像中的最低点，是函数值当中的最小的.三、强调在定义中，最值首先必须是定义域内的自变量对应的函数值，并且是唯一的.1)(M x f ≤？1M 反例：如图，对于任意的I x ∈，是否有能否作为函数的最大值？提问：函数x y 5=，}5,4,3,2,1{∈x值域是 定义域是 单调区间 最大值是 最小值是四、例题例 3 “菊花“烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm 与时间ts 之间的关系为187.149.42++-=t t h ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？审题：何时爆裂最佳？即问何时高度最高？直接画出图象求顶点坐标，写出结果.例4 已知函数])6,2[(12)(∈-=x x x f ，求函数的最大值与最小值 强调：观察——猜想——证明——求解这一逻辑过程.五、课堂练习与作业练习P 32T 5 作业P 39T 4-5六、课堂小结1、函数最值的定义2、求最值的一般方法①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数，可画出草图，由函数图象的性质直接写出最值.②不熟悉的函数先画草图，观察单调性，用定义证明单调性，利用单调性求最值.教学难点分段函数奇偶性问题的处理教学过程一、导入及新课1、观察图1.3-7，找出两个函数有什么共同特征？如何定量的表示这种关系2.一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 就叫做偶函数. 偶函数的图形特征是关于y 轴对称！3、再观察图1.3-9，类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义.①奇函数的图形特征是关于原点对称！②学生思考计算：在奇函数中，若0在定义域内的话，利用定义如何计算)0(f 的值（提示：“任意”二字的特殊化处理，从一般走向特殊）4、利用奇偶函数的图形特征，考察函数0=y 的奇偶性5、再看图两个图像是否关于y 轴对称？是不是偶函数？为什么？二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法例1 判断下列函数的奇偶性①]3,2(,)(2-∈=x x x f ②)2,2(,1)(2-∈-=x x x f ③R x x x f ∈-=,)1()(2 ④x x f =)( ⑤x x x f +=2)(判别奇偶性的一般步骤：（学生总结）第一，判别函数定义域是否关于原点对称；第二，判别)(x f 与)(x f -三、奇偶性函数图象的画法例2 P 35 P 36T 21、奇函数关于原点对称，如何体现在画图中2、通过P 36T 2要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化四、分段函数的奇偶性解析式把P 35思考问题变换成如下问题：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f +=3)(，求)(x f 的解析式解略条件变为)(x f 是奇函数，学生独立完成，强调分段函数的各段能合并则合并.五、回顾小结1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征3、分段函数的奇偶性问题六、作业P 39T 6七、板书设计。
函数最值教案
1．3函数的基本性质-----最大（小）值（一）教学目标知识与技能：理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.过程与方法：学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
情感、态度与价值观：在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）教学方法合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程课前预习案使用说明与学法指导： 1.用10分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一、相关知识1.复习初中学过的二次函数的最大（小）值.2.请同学们复习上节课的内容，回忆研究函数单调性的方法.学习建议：请同学们回忆初中及上节课的知识并作出回答.二、教材助读1.函数的最大（小）値是如何定义的？2.是不是每个函数都有最值？三、预习自测学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”.1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是（ ）. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52. 函数2=+2+2y x x 的最小值是___________.我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.课堂探究案一、学始于疑-------我思考，我收获1.函数1=y x有最值吗？ 2.函数的最值与定义域、单调性之间有什么样的关系？学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。
二、质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点：函数最值的有关概念请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案： 最值的概念：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有__________M ；（2）存在0x I ∈，使得_________M.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值的定义吗？归纳总结：注意：①函数最大（小）值首先应该是一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．③函数最大（小）值不一定是唯一的，有的函数可能有多个。
函数的基本性质全面版
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10.
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ 2 .
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
讲授新课
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
(课件2)1.3函数的基本性质奇偶性
偶函数的性质
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内 任意一个$x$，都有$f(-
x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的性质
偶函数在$x=0$处有定义，即 $f(0)=0$。
偶函数的导数
如果一个函数是偶函数，那么 它的导数可能是奇函数或偶函 数，取决于导数的定义和计算
偶函数在其定义域内是连 续的，并且在$x=0$处有 定义。
02
CATALOGUE
奇偶性的判断方法
奇函数的判断方法
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$ ，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数的性质
奇函数在原点对称，即当$x=0$时，$f(0)=0$。
奇偶性与周期性的关系
奇函数与周期性的关系
奇函数的周期性
奇函数在数学上具有一些特殊的性质，其中之一就是它的周 期性。奇函数通常具有一个或多个周期，这些周期是函数值 重复出现的点。对于奇函数，其周期通常为2π的整数倍。
奇函数的对称性
奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，但符号相反。因此 ，奇函数在对称轴两侧的函数值会以对称的方式重复出现， 这也是奇函数周期性的一个表现。
THANKS
感谢观看
偶函数在数学问题中的应用
概率分布
在概率分布中，偶函数可以用来 描述随机变量的概率密度函数， 帮助确定随机变量的概率分布规
律。
微分方程
在求解微分方程时，偶函数可以提 供一种对称性，简化方程的求解过 程。
几何形状
在几何形状中，偶函数可以用来描 述对称的几何图形，如圆形、椭圆 形等。
高一数学函数的基本性质4
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
漫地改革出缕缕光雾……紧接着腾赫瓜大副又连续使出四百五十五门八鳄车厢舞，只见他弯曲的脑袋中，威猛地滚出五簇耍舞着『黄影疯魔野象语录』的肥肠状的手掌 ，随着腾赫瓜大副的耍动，肥肠状的手掌像花篮一样念动咒语：“九脚咐啊喝，高粱咐啊喝，九脚高粱咐啊喝……『黄影疯魔野象语录』！仙家！仙家！仙家！”只见 腾赫瓜大副的身影射出一片青远山色奇影，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的亮灰色光猴，似银辉一样直奔青古磁色鬼光而来。，朝着壮扭公主扁圆的如同天边 小丘一样的蒜瓣鼻子横抓过来……紧跟着腾赫瓜大副也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向壮扭公主横抓过来壮扭公主超然秀了一个，颤鸽闹钟滚两千一百六十度外加猴 吼扣肉转十三周半的招数！接着又整出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。接着像雪白色的银脸部落鸽一样大嚎了一声，突然使了一套蹲 身闪烁的特技神功，身上顿时生出了七只活似牛头形态的土黄色大腿。紧接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出 紫红色的丝丝惨烟……酷似钢铁般的手臂窜出深黄色的阵阵疑寒！最后抖起异常结实的酷似钢铁般的手臂一闪，酷酷地从里面窜出一道银辉，她抓住银辉痴呆地一耍， 一件光溜溜、森幽幽的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边闪烁，一边发出“喇喇”的奇音！。骤然间壮扭公主旋风般地念起咿咿呀呀的宇宙 语，只见她熏鹅一样的银剑雪峰服中，快速窜出六串摆舞着¤雨光牧童谣→的小星星状的海胆，随着壮扭公主的转动，小星星状的海胆像羊粪一样在身后浪漫地改革出 缕缕光雾……紧接着壮扭公主又连续使出一百五十七招狠驼海马睡，只见她奇如熨斗的手掌中，飘然射出五道甩舞着¤雨光牧童谣→的引擎状的脑袋，随着壮扭公主的 甩动，引擎状的脑袋像航标一样念动咒语：“原野嘤嘱啭，肥妹嘤嘱啭，原野肥妹嘤嘱啭……¤雨光牧童谣→！公主！公主！公主！”只见壮扭公主的身影射出一片亮 白色神光，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的浓黑色光狗，似妖影一样直奔暗白色亮光而去……，朝着腾赫瓜大副肥壮的暗绿色金钵形态的鼻子横抓过去…… 紧跟着壮扭公主也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向腾赫瓜大副横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了暗橙色、景物 变成了青兰花色、天空变成了亮黄色、四周发出了壮丽的巨响。壮扭公主扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看腾赫瓜大副短小的耳朵 ，此时正惨
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
1.3函数的基本性质——奇偶性
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(偶)
(6) g (x)＝x (x＋1)；
(非奇非偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(奇)
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(非奇非偶)
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称.
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2. 判断下列论断是否正确
练习
1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶)
(3) h (x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)；
高一数学函数的基本性质4
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
讲授新课
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的
函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减，
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/naotanyf 脑瘫如何进行预防 脑瘫预防最主要阶段 脑瘫要怎么预防
；
上帝便把他派到人世，上帝很想听一下人们对他的评价。 结果出人意料，十全十美的人同样遭受到一些人莫明其妙地攻击和诋毁。这是怎么回事？上帝便打发天使去调查原因。 天使很快就回来了，向上帝并报说：“他的确一点过错、一点瑕疵也没有。某些家伙嫉妒得发狂，他 们造谣、诬陷、谩骂、攻击，使用了各种卑鄙的手段。并借此提高自己的知名度。还有……” “别说了。”上帝生气地一挥手，制止天使再讲下去。 “上帝，”天使忽然又嗫嚅着说，“就连您也莫明其妙地遭到一些人的诅咒呢。” “是吗？”
函数的性质知识点及习题
1.3函数的基本性质（1）函数的单调性○25②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最大（小）值定义○26①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．（3）函数的奇偶性函数的奇偶性○27 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． （2）利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去1．3.1 单调性与最大(小)值1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)3．(2013·天津高一检测)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．(2013·盐城高一检测)已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________． 5．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 7．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．8．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．(易错题)函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． 10．讨论函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性． 1．(2013·温州高一检测)设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x ) ( )．A ．只有最大值B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值2．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )．A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－143．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )．A.45B.54C.34D.434．函数f (x )＝xx ＋2在区间[2,4]上的最小值是________．5．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________． 6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________． 7．(2013·梅州高一检测)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)，的图象，并写出函数的单调区间及最小值．8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．29．已知函数y ＝f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是________．10．(2013·南昌高一检测)某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450元为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元，假设一个旅行团体不能超过70人．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？奇偶性1.下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]2．(2013·济南高一检测)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．13．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )．A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.5．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 6．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)．7．(2013·泰安高一检测)函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25.(1)求实数a ，b ，并确定函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并且用定义证明你的结论．8．已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－4)＜f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f (－1)＜f (3)B ．f (2)＜f (3)C ．f (－3)＜f (5)D ．f (0)＞f (1)9．已知函数y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，则g (－1)＝________. 10．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．周练(三) 函数的基本性质一、选择题(每小题5分，共40分)1．若点(－1,3)在奇函数y ＝f (x )的图象上，则f (1)等于( )．A ．0B ．－1C ．3D ．－32．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )． A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )．A ．2 B.12 C.13 D ．－125．函数y ＝1－x 2＋91＋|x |是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 6．已知f (x )在实数集上是减函数，若a ＋b ≤0，则下列正确的是( )．A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )]B ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )]D ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )7．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1，则f (x )＝( )．A ．x 2B ．2x 2C ．2x 2＋2D ．x 2＋18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12B.45 C ．2 D ．9 二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝ 10．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，且f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝________.11．(2013·长沙高一检测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x ＜1)x 2 (x ≥1)是R 上的增函数，那么a 的取值范围是________．12．若函数f (x )＝－x ＋abx ＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．三、解答题(每小题10分，共40分) 13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 4＋1x 2；(2)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|.14．已知y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．16．已知函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x ＞1时f (x )＞0.(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。
1.3 函数的基本性质 (奇偶性)
深化概念
一般地，如果对函数 f (x) 定义域内 任意一个x，都有 f (x) f (x，) 那么 函数 f (x) 就叫奇函数。
Q5: 奇函数的定义域有何特征？
定义域关于原点对称 判断奇函数的前提
1.3.2 奇偶性
深化概念
一般地，如果对函数 f (x) 定义域内
任意一个x，都有 f (x) f (x，) 那么 函数 f (x) 就叫奇函数。
Q1:
-x与x在几何上有何关系？ 偶函数的定义域有何特征？
定义域关于原点对称 判断偶函数的前提
1.3.2 奇偶性
深化概念
一般地，如果对函数 f (x) 定义域内 任意一个x，都有 f (x) f (x)，那么 函数 就叫偶函数。
Q2: 偶函数的图像有什么特征？
图象关于y轴对称
1.3.2 奇偶性
深化概念
和
均不成立
f (x) f (x) f (x) f (x)
1.3.2 奇偶性
练一练
函数的奇偶性： (1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数
既是奇函数又是偶函数？
1.3.2 奇偶性
练一练
【变式】 分段函数奇偶性的判断
f
(x)
1 1
x, x,
x x
0 0
证明：函数的定义域为x R | x 0 注意：
LOGO
1.3.2 奇偶性
观察与思考
1.3.2 奇偶性
观察与思考
图像关于y轴对称 图像关于原点对称
1.3.2 奇偶性
图像关于y轴对称的函数
f (x) x2
你发现什么规律？
猜想f(1：) = f(-1)
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1.3 函数的基本性质 学习目标：
（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点：
（1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
学习过程
一、 函数的单调性与最大（小）值
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法
（1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2
1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在]
,[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相
同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=
的单调递减区间是 ，单调递增区间
为 ． （2）5412
+-=
x x y 的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
上
是增（或减）函数
4．例题分析 证明：函数1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。
证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <， 则21121212
11()()x x f x f x x x x x --=-=， 由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->，
∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > 所以，1()f x x
=在(0,)+∞上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x
y 1=不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间； 练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数()f x x =的单调性。
二、函数的奇偶性
1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，
那么函数()f x 就叫做偶函数。
例如：函数2()1f x x =+, 4()2f x x =-等都是偶函
数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，
那么函数()f x 就叫做奇函数。
例如：函数x x f =)(，x
x f 1)(=都是奇函数。
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．
2、函数的奇偶性判定方法
（1）定义法
（2）图像法
（3）性质罚
3．例题分析：
判断下列函数的奇偶性：
（1）2
()||f x x x =- （ ） （2）2
1()2|2|
x f x x -=-+（ ） 说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑
()()f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑()()f x f x -与1或1-的关系。
五．小结：1．函数奇偶性的定义；
2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。