2021届黑龙江省哈尔滨第三高级中学高三上学期第四次验收考试理科数学试题

哈三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试理科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，集合()(){}240B x x x =+-<，则A B =（ ）

A.{}1,0,1,2,3-

B.{}0,1,2,3

C.{}1,0,1,2-

D.{}1,0,1,2,3,4-

2.已知直线420mx y +-=与直线2510x y ++=垂直，则实数m =（ ）

A.10

B.10-

C.5

D.5-

3.已知α，β是两个平面，m ，n ，l 是三条直线，下列四个命题中正确的是（ ）

A.若//m n ，n α⊂，则m α⊂

B.若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ

C.若l α⊥，m β⊥，//m l ，则//αβ

D.若αβ⊥，αβm =，n β⊂，则n α⊥

4.若实数x ，y 满足约束条件0

26020

x y x y x y -≥+-≤+-≥⎧

⎪⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）

A.12

B.10

C.8

D.4

5.若圆C ：225x y m +=-与圆E ：()()223416x y -+-=有三条公切线，则m 的值为（

） A.2

C.4 6

6.

若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为6π，则其表面积为（

）

A.32π+

B.32π

C.34

π+

D.34π7.已知直线l ：2y x a =+（0a >）与圆C ：22220x y ay +--=（0a >）相交于A ，B 两点，

若AB =则a 的值为（ ）

B. C.2 D.4

8.哈三中群力校区食堂二楼的好七牛肉面是学生喜欢的快餐之一，现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm .每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）

A.

B.

C.

D. 9.已知函数()()2sin 1ωx f φx =+-（0ω>，()0,φπ∈）的图象与x 轴的两个交点的最短距离为

3π.若将函数()f x 的图象向左平移

12π个单位长度，得到的新函数图象关于()0,1-中心对称，则φ=（ ） A.6π B.3π C.23π D.56

π 10.已知定义在R 上的函数()f x 满足条件()()2f x f x -=，且函数()1y f x =+为偶函数.当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则方程()102

f x -=在[]1,2-上的实根之和为（ ）

A.4

B.3

C.22log 3+

D.23log 3- 11.球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，1AB AC ==

，BC =，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的体积的最大值为（ ）

12.对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，已知正项数列{}n a 满足：11a =，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中n S 为数列{}n a 前n 项和，则12100111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢

⎥⎣⎦（ ） A.20 B.19 C.18 D.17

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a ，b 是两个不共线的向量，若向量ka b +与a b -共线，则实数k =______.

14.已知圆C 经过两点()5,1A ，()1,3B ，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为______.

15.正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，将此正方形沿DE ，DF 折起，使点A ，C 重合于点P ，则点P 到平面DEF 的距离为______.

16.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为______.

三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每题12分。第22、23题为选考题，共10分，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17.（12分）

在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin c a B A =.

（1）求角A 的大小；

（2）若5a =，b =，求ABC △的面积.

18.（12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，点E 是PC 的中点，2PD CD BC ==.

（1）证明：//PA 平面BDE ；

（2）求二面角E BD C --的余弦值.

19.（12分）

已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足224n n n a a S +=，n *∈N .

（1）求证：数列{}n a 为等差数列；

（2）若2n a n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20.（12分）

四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，AC CD ⊥，O 为AD 中点，112A A A D AD ===，60ABC ∠=°.

（1）求证：CD ⊥平面11AOC ；

（2）求1C O 与平面1A CD 所成角的余弦值.

21.（12分）

已知函数()a x x x f e +=-（a ∈R ）.

（1）若1a =，求函数()f x 在0x =处的切线；

（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：122x x +>.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系内，直线l 过点()2,1M ，且倾斜角6

πα=

.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.

（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB +的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数()21f x x =-.

（1）求()3f x ≤的解集；

（2）若存在0x ∈R ，使得()200225f x x m m ++≤-+成立的m 的最大值为M ，且实数p ，q 满足33p q M +=，证明：02p q <+≤.