2021届黑龙江省哈尔滨第三高级中学高三上学期第四次验收考试理科数学试题
2021年2月黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三毕业班线上学习阶段性考试数学(理)试题
､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(
表示一根阳线，
表示
一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 3 根阳线的概率
为
A． 1 8
B． 1 4
C． 3 8
5．函数 f x log3 x2 x 6 的单调递减区间为
D． 1 2
A．
2,
1 2
B．
,
1 2
C．
1 2,D． Nhomakorabea1 2
哈三中 2020-2021 学年度高三年级线上学习阶段性考试
理科数学试卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．已知集合 M y y x2 1 ， N x lg x 1，则 M N
A． 0,10
B． 1,10
A． 2 3
B． 3
C． 4 3
9． (1 2x2 )(x 1)8 的展开式中，含 x2 的项的系数是 x
A． 84
B． 84
C．196
D． 6 D．14
10．在圆
x2
y2
5x
内，过点
5 ，3 22
有n
条弦的长度成等差数列，且最短弦长为首项 a1 ，最长弦长为 an
，
若公差
d
1 5
,
1 3
D． 4
12．已知数列
an
满足
a1
1，
an1 1 ean
1 ．若
an1
tan
1
0
恒成立，则实数 t
A．最小值是 2e 1
B．最大值是 e2 1
C．最大值是 e
D．最小值是 e
2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三第四次模拟数学(理)试题
【点睛】
本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．C
【分析】
利用相等函数的定义对每一个选项的两个函数分析判断得解.
【详解】
当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，两个函数才是同一函数.
A. 的定义域是R， 的定义域是 ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．下列各Leabharlann 函数中，表示同一个函数的是（）A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．下列函数中为偶函数的是（）
A． B． C． D．
6．下列函数中，在区间 上是减函数的是（）
A． B． C． D．
7．已知某幂函数的图象过点 ，则此函数解析式是（）
A． B． C． D．
5．C
【分析】
利用奇偶函数的定义判断每一个选项得解.
【详解】
A. 的定义域是 ，定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数；
B.函数 为奇函数；
C.二次 图象的对称轴为 轴，该函数为偶函数；
D.对于函数 ，该函数在 有定义，在 没定义，即函数 的定义域不关于原点对称，该函数是一个非奇非偶函数.
故选：C.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．C
【分析】
设幂函数为 ，根据已知求出 的值得解.
【详解】
设幂函数为 ，因为幂函数的图象过点 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查幂函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．A
【分析】
2021届高三上学期数学第四次月考(理科)试题
쿀 ⳏ，数列
（2） 为 的前 项和，求证： 쿀 쿀 쿀
．
是公差为 的等差数列，若 䐈
18 . （本题满分 12 分）在 쵀 中，角 ，쵀， 的对边分别为 ， ， ，若 tan쵀，쵀 边的中线长为 ，
（1）求角 A （2）求边 的最小值
tan 쿀 tan쵀 䐈
19. （本题满分 12 分）如图，在四棱锥
正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）若直线
的极坐标方程为
䐈
π ⳏ
쿀 ，且与 轴相切．以坐标原点为极点， 轴的 ．设 与 的交点是 ，쵀，求 쵀 的面积．
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8. 一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为
A.
B. ඈ
C. ⳏ
D. ⳏ
3，0 9. 已知点(－1,2)和 3 在直线 l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是( )
π，π A． 4 3
0，π 3π，π B． 3 ∪ 4
3π，5π C． 4 6
2π，3π D． 3 4
쵀 中，
䐈 䐈 ，쵀 䐈 ⳏ ， 䐈 ．
平面 쵀 ， ∥쵀 ，
，且
20.（本题满分 12 分） 已知椭圆
쿀䐈
的离心率为 ，右焦点 是抛物线
䐈 ඈ ඈ 的焦点，点 쿀ⳏ 在抛物线 上． （1）求椭圆 的方程；
（2）已知斜率为 的直线 交椭圆 于 ，쵀 两点， 쿀 ，直线 与 쵀 的斜率乘积为
，若在椭圆上存在点 ，使 䐈 쵀 ，求 쵀 的面积的最小值．
21. （本题满分 12 分）设 䐈 e
쿀．
（1）若
，
高三数学第三次四校联考试题 理 试题
2021届高三年级第三次四校联考数学〔理〕试题本套试卷分必考题和选考题两局部，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．一共150分,考试时间是是为120分钟．第一卷〔选择题 一共60分〕一．选择题：〔本大题一一共12小题．每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．i 为虚数单位，复数121iz i+=-，那么复数z 的虚部为 〔 〕 A ．32i B ．32 C ．12i -D ．12-2．集合{}{}=>=∈-==B A x x B R x x y y A 则,0log ,,122〔 〕A ．{}1>x xB ．{}0>x xC ．{}1-<x xD ．{}11>-<x x x 或3．以下命题①命题“假设1≠x ，那么0232≠+-x x 〞的 逆否命题是“假设0232=+-x x ，那么1x =〞.②命题 22000:,10,:,10.P x R x x P x R x x ⌝∀∈++≠∃∈++=则③假设q p ∨为真命题，那么p 、q 均为真命题. ④“2x >〞是“0232>+-x x 〞的充分不必要条件。
其中真命题的个数有〔 〕 A. 1个 个个D.4个4．函数2()sin cos f x x x x =-图象的一个对称中心是〔 〕A ．2(,3πB ．(,6π5C ．2(3π-D ．(,0)3π5．a 是函数12()2log x f x x =-的零点，假设000,()x a f x <<则的值满足〔 〕A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不能确定6．读下面的程序： ks5u INPUT N I=1 S=1WHILE I<=NS =S*I I = I+1 WEND PRINT S END上面的程序在执行时假如输入6，那么输出的结果为〔 〕A ．6B ．720C ．120D ．17．O 、A 、B 、C 是平面上任意三点不一共线的四个定点，P 是平面上一动点，假设点P 满足：，()()0,OP OA AB ACλλ=++∈+∞，那么点P 一定过ABC ∆的A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心8．两个正数1、9的等差中项是a ，等比中项是b ，那么曲线122=+by a x 的离心率为〔 〕A ．105B ．2105C ．45D ．105与21059．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不一样的安排方法的种数为〔 〕A. 72B. 120C. 252D. 11210．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，那么该几何体的外接球的外．表积．．为 〔 〕 ks5u A ．π12 B ．π34 C ．π3D ．π31211．双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，那么 12PA PF ⋅最小值为 ( )A ．2-B.8116-C.1D.012．设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩假设关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，那么m =〔 〕A ．6B ．4或者6C ．6或者2D ．2第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．数列}{n a 的通项公式为,12+=n a n 其前n 项和为n S ，那么数列}{nS n的前10项的和为 .14．732x ⎛ ⎝的展开式中，常数项为.正视图 侧视图 俯视图15．随机地向区域2040y x y x ⎧≤≤⎪≥⎨⎪≥⎩内投点，点(,)x y 落在区域内的每个位置是等可能的，那么3y x <的概率为_________________. 16．如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直, 且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内 一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是 三棱锥M-PAB 、 三棱锥M-PBC 、三棱锥M-PCA 的体积. 假设1()(,,)2f M x y =,且18ax y+≥恒成立,那么正实数a的最小值为___ _ __.ks5u三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分〕 17．〔本小题12分〕如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且100AB =米。
2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高考四模数学(理科)试卷(解析版)
2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）．1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，B＝{（x，y）|x+y＝6}，则A∩B中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．52．已知复数z1＝﹣1+i，z2＝2，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是（）A．B．2C．D．43．圆C：x2+y2﹣2y＝1的圆心到双曲线＝1的渐近线的距离为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）＝sin x，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3”是“b﹣a≥π”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand（）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k∈N*），则π的值约为（）A．B．C．4﹣D．6．已知a＝sin3，b＝log3sin3，c＝3sin3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，点D是BC边的中点，则的值为（）A．B．3C．﹣D．﹣38．函数的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．9．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q（﹣3，3），则|PQ|+d 的最小值为（）A．4B．+1C．﹣1D．510．我校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750m2的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参（其中两个小矩形区域形状、大小相同）．中药种植的总面积为Sm2．当S取得最大值时，x的值为（）A．15m B．20m C．25m D．30m11．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，b＝2，则△ABC的面积的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝mx+1无实数解，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣eln2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（sin x+）dx＝．14．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是．15．如果数列{a n}满足a1＝2，a2＝1，且＝（n≥2），则这个数列的第2021项等于．16．体积为8的四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，底面ABCD的中心为O1，四棱锥P﹣ABCD的外接球球心O到底面ABCD的距离为1，则点P的轨迹长度为；异面直线PO1与AB所成角的余弦值的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB＝CA＝CB＝3，AB＝6，＝，O为线段AB中点，点F线段AB上，且PO∥平面CEF．（1）求线段OF的长；（2）求直线CF与平面CBP所成角的正弦值．18．2021年4月23日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重y （单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：序号1234567身高x（cm）166180174183178173185体重y（kg）57675975716278根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为＝1.15x+．（1）求；（2）已知R2＝1﹣，且当R2≥0.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（R2的结果保留到小数点后两位）参考数据：（y i﹣）2＝52.36．19．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n+2＝2a n+1+3a n，设数列b n＝a n+1+a n．（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为S n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知函数f（x）＝ax+1（x＞0），g（x）＝lnx﹣+2a．（1）若a＝，比较函数f（x）与g（x）的大小；（2）若m＞n＞0，求证＞；（3）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l 交椭圆C于P，Q两点．（1）若△F1PQ的周长为8，△F1PF2面积的最大值为，求椭圆C的标准方程；（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线PA，QB的斜率分别为k1，k2，k2＝λk1，若λ∈（3，4），求椭圆C的离心率的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为（2，0），过点P作直线l的垂线交曲线C于D、E两点（D 在x轴上方），求|PD|﹣|PE|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x+（x＞1），函数g（x）＝a log2（x+3）﹣2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意x1∈（1，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，B＝{（x，y）|x+y＝6}，则A∩B中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．5解：∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，B＝{（x，y）|x+y＝6}，∴A∩B＝{（x，y）|x，y∈N}＝{（6，0），（5，1），（4，2）}，∴A∩B中元素的个数为3，故选：B．2．已知复数z1＝﹣1+i，z2＝2，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是（）A．B．2C．D．4解：复数z1＝﹣1+i，z2＝2对应的点的坐标分别为（﹣1，1），（2，0），所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离是．故选：C．3．圆C：x2+y2﹣2y＝1的圆心到双曲线＝1的渐近线的距离为（）A．B．C．D．解：圆C：x2+y2﹣2y＝1的圆心（0，1）到双曲线＝1的渐近线x±2y＝0的距离为d＝＝，故选：B．4．已知函数f（x）＝sin x，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3”是“b﹣a≥π”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f（x）＝sin x，其周期T＝2π，最大值为，最小值为﹣，若存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3，则区间[a，b]的长度必须大于等于半个周期，即b﹣a≥π，反之，若b﹣a≥π，如b＝π，a＝0，对于任意的x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）﹣f（x2）≤，故不存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3，综合可得：“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3”是“b﹣a≥π”的充分不必要条件；故选：A．5．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand（）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k∈N*），则π的值约为（）A．B．C．4﹣D．解：根据程序框图知，a∈[0，1]，x∈[﹣1，1]，y∈[0，1]，而x2+y2＜1表示个圆，如图所示：则落在阴影部分的面积与长方形面积比为＝，解得π＝．故选：D．6．已知a＝sin3，b＝log3sin3，c＝3sin3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解：∵0＜sin3＜1，∴log3sin3＜log31＝0，3sin3＞30＝1，∴c＞a＞b．故选：C．7．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，点D是BC边的中点，则的值为（）A．B．3C．﹣D．﹣3解：在△ABC中，AB＝2，AC＝1，点D是BC边的中点，则＝•＝（）＝＝﹣．故选：C．8．函数的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．解：f（x）＝sin x（）+＝＝，令（k∈Z），整理得（k∈Z），当k＝0时，对称中心为（）．故选：A．9．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q（﹣3，3），则|PQ|+d 的最小值为（）A．4B．+1C．﹣1D．5解：由抛物线的定义可知PF＝d+1，所以d+PQ＝PF+PQ﹣1，因为PF+PQ≥QF所以当P、F、Q三点共线时，PF+PQ取最小值为QF，因为QF＝＝5，所以d+PQ的最小值为：5﹣1＝4．故选：A．10．我校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750m2的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参（其中两个小矩形区域形状、大小相同）．中药种植的总面积为Sm2．当S取得最大值时，x的值为（）A．15m B．20m C．25m D．30m解：设中药园的长度为y，由题意可得xy＝750，∴y＝，又因y≤30，∴25≤x≤30，s＝（x﹣2）a+（x﹣3）a＝（2x﹣5）a，∵y＝2a+3，∴a＝＝，∴s＝（2x﹣5）（）＝，x∈[25，30]，∴s＝，当且仅当3x＝，即x＝25时，取到等号，故选：C．11．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，b＝2，则△ABC的面积的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．解：在△ABC中，由余弦定理知：cos A＝＝＝，又A∈（0，π），△ABC为锐角三角形，故A＝，故S△ABC＝bc sin A＝×2×c×sin＝c，当CB⊥AB时，c min＝b cos A＝1，当CB⊥AC时，c max＝＝4，故c∈（1，4），故S△ABC∈（，2），故选：B．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝mx+1无实数解，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣eln2，0）解：若f（x）＝mx+1有解，①若f（x）＝mx+1在x＜0时有解，即＝mx在x＜0时有解，即y＝和y＝mx的图像在x＜0时有交点，设y＝和y＝mx相切于点（x0，y0），则，解得：，故m≤﹣eln2时，符合题意，②若f（x）＝mx+1在x＞0时有解，即xe x﹣lnx﹣x＝mx+1在x＞0时有解，∵xe x＝e x+lnx≥x+lnx+1在x＞0时有解，∴xe x﹣lnx﹣x≥1，∴mx+1≥1，∴m≥0时符合题意，综上：若f（x）＝mx+1有解，则m∈（﹣∞，﹣eln2]∪[0，+∞），故若f（x）＝mx+1无解，则m∈（﹣eln2，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（sin x+）dx＝2π．解：根据题意，（sin x+）dx＝sin xdx+d x＝0+×π×22＝2π，故答案为2π．14．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是．解：甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的对立事件是两个人都没有命中，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．故答案为：．15．如果数列{a n}满足a1＝2，a2＝1，且＝（n≥2），则这个数列的第2021项等于．解：∵a1＝2，a2＝1，且＝（n≥2），∴﹣＝﹣（n≥2），∴数列{}是以＝为首项，1﹣＝为公差的等差数列，∴＝+（n﹣1）＝，∴a n＝，∴a2021＝，故答案为：．16．体积为8的四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，底面ABCD的中心为O1，四棱锥P﹣ABCD的外接球球心O到底面ABCD的距离为1，则点P的轨迹长度为2π；异面直线PO1与AB所成角的余弦值的最大值为．解：（1）点P的轨迹小圆，如图所示，设O1为底面ABCD的中心，O2小圆的圆心，∵＝，解得h＝3，所以O1O2＝3，∵OO1＝1，∴R＝OB＝＝，则小圆的半径r＝O2P＝＝＝1，∴小圆的周长C＝2πr＝2π；（2）设直线PO1与平面ABCD所成的角为θ，∴异面直线PO1与AB所成角的余弦值的最大时，则异面直线PO1与AB所成角最小时，而异面直线PQ与AB所成角最小即为θ，∴cosθ＝sin∠PO1O2＝＝＝＝．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB＝CA＝CB＝3，AB＝6，＝，O为线段AB中点，点F线段AB上，且PO∥平面CEF．（1）求线段OF的长；（2）求直线CF与平面CBP所成角的正弦值．解：（1）因为PO∥平面CEF，又PO⊂平面APB，且平面APB∩平面CEF＝EF，所以PO∥EF，又因为＝，则，故OF＝2；（2）因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC＝AB，PO⊥AB且PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABC，故以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以F（2，0，0），C（0，3，0），B（3，3，0），P（0，0，3），所以，设平面CBP的法向量为，则有，即，令x＝1，则y＝z＝﹣1，故，所以＝，故直线CF与平面CBP所成角的正弦值为．18．2021年4月23日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重y （单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：序号1234567身高x（cm）166180174183178173185体重y（kg）57675975716278根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为＝1.15x+．（1）求；（2）已知R2＝1﹣，且当R2≥0.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（R2的结果保留到小数点后两位）参考数据：（y i﹣）2＝52.36．解：（1）由题意可得，，，又y关于x的线性回归方程为＝1.15x+，所以；（2）由题意，＝（﹣10）2+02+（﹣8）2+82+42+（﹣5）2+112＝407，所以R2＝1﹣＝1﹣，所以该线性回归方程的拟合效果是良好的．19．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n+2＝2a n+1+3a n，设数列b n＝a n+1+a n．（1）求证：数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和为S n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】证明：（1）∵a n+2＝2a n+1+3a n，∴a n+2+a n+1＝3a n+1+3a n，又b n＝a n+1+a n．∴b n+1＝3b n，b1＝a1+a2＝1+2＝3，∴数列{b n}是等比数列，首项为3，公比为3，∴b n＝3n．（2）数列{b n}的前n项和为S n＝＝．＝＝（﹣），∴数列{}的前n项和为T n＝（﹣+﹣+……+﹣）＝（﹣）＜，∴T n＜．20．已知函数f（x）＝ax+1（x＞0），g（x）＝lnx﹣+2a．（1）若a＝，比较函数f（x）与g（x）的大小；（2）若m＞n＞0，求证＞；（3）若f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）a＝时，f（x）＝+1，g（x）＝lnx++1，F（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣lnx﹣，F′（x）＝﹣+＝≥0，F（x）在（0，+∞）递增，且F（1）＝0，综上，x＝1时，F（x）＝0，f（x）＝g（x），x∈（0，1）时，F（x）＜0，f（x）＜g（x），x∈（1，+∞）时，F（x）＞0，f（x）＞g（x）；（2）证明：m＞n＞0，＞1，要证＞，即证＞lnm﹣lnn，即证﹣＞ln，设t＝，且t＞1，则即证t﹣＞lnt2＝2lnt，即证﹣lnt﹣＞0（t＞1），由（1）知，x∈（1，+∞）时，F（x）＞0成立，故不等式成立；（3）ax+1≥lnx﹣+2a在[1，+∞）上恒成立，则a（x+﹣2）≥lnx+﹣1在[1，+∞）上恒成立，①x＝1时，a∈R使得上式成立，②x∈（1，+∞）时，x+﹣2＞0，则a≥（x＞1），x∈（1，+∞）时，有lnx+﹣1＜﹣+﹣1＝+﹣1，则h（x）＝＜＝，故a的取值范围是[，+∞）．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l 交椭圆C于P，Q两点．（1）若△F1PQ的周长为8，△F1PF2面积的最大值为，求椭圆C的标准方程；（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线PA，QB的斜率分别为k1，k2，k2＝λk1，若λ∈（3，4），求椭圆C的离心率的取值范围．解：（1）|PF1|+|QF1|+|PQ|＝4a＝8，即a＝2，b2+c2＝4，S＝bc＝，解得b＝，c＝1，椭圆的方程为+＝1；或b＝1，c＝，椭圆的方程为+y2＝1；（2）设A（﹣a，0），B（a，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可得直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my+c，与椭圆方程联立，可得（a2+b2m2）y2+2mcb2y+b2c2﹣b2a2＝0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝，（*）k1＝，k2＝，由题意可得k2＝λk1，则有λ＝＝＝，将（*）代入整理可得λ＝＝＝•＝＝，所以e＝＝1﹣，λ∈（3，4），所以e∈（，）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为（2，0），过点P作直线l的垂线交曲线C于D、E两点（D 在x轴上方），求|PD|﹣|PE|的值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，根据，转换为直角坐标方程为：y2＝4x．（2）与直线l垂直的直线方程的斜率为，所以经过点P（2，0）的直线的方程为，转化为参数方程为（t为参数），代入C：y2＝4x，得到：设D、E对应的参数分别为t1（t1＞0）、t2（t2＜0），则，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x+（x＞1），函数g（x）＝a log2（x+3）﹣2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意x1∈（1，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）＝x+（x＞1），则f′（x）＝1﹣＝，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（2，4）时，f′（x）＜0，x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，负f（x）在（1，2）递增，在（2，4）递减，在（4，+∞）递增，故f（x）min＝f（4）＝5；（2）由题意可知f（x）值域为g（x）值域的子集且f（x）∈[5，+∞），则a＞0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）＝2a﹣2，即2a﹣2＜5，解得：a＜，故a的取值范围是（﹣∞，）．。
2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(学生版+解析版)(理科)
2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-，{|01000}B x lgx =<，{|}2aC x x =<，若(){|03}AB C x x =<，则(a = )A ．lB ．3C ．6D ．82．（5分）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f a -=，则f （7）(= ) A ．12B ．12-C ．2log 3D ．23．（5分）为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，某中学团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：)cm 的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值（同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替）．则估计的平均值为( )A ．21.75B ．22.25C ．23.75D ．20.754．（5分）《九章算术》是我国一部经典的数学著作，《九章算术⋅商功》有这样的载述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．“堑堵”就是底面为直角三角形的直三棱柱，“鳖臑”是四个面均为直角三角形的三棱锥，将底面为短形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知由某“堑堵”“阳马”“鳖臑”组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．5C ．4D ．35．（5分）有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：)mm 都服从正态分布2(20,)N σ，且2(1921)3P X <=，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为( ) A ．64243B ．80243C ．1681D ．402436．（5分）函数9()11x f x e x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1010[，)+∞ B ．(5-1010[，5) C ．(-∞，55[，)+∞ D ．[5-5]8．（5分）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈9．（5分）226(2)(1)x x +-的展开式中，5x 的系数为( ) A ．52-B ．88-C ．62-D ．110-10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点M 为此渐近线上的一点，O 为坐标原点．双曲线C 的左、右顶点为A 、B ，焦距为2||OM ，则AM B∠为( ) A ．2πB ．6π C ．3π D ．4π 11．（5分）已知复数z 的模为1，复数23w z z =+，则在复平面内，复数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是( )A ．6B ．254C．D．12．（5分）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元，则y x -的值为( )（参考数据：121.015 1.2)≈ A ．170-B ．1200C ．1030D ．900二、填空题：本大愿共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+，则λ= ．14．（5分）已知变量x ，y 满足3303020x y x y x y m -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，若3z x y =+的最小值为5，则实数m = ．15．（5分）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B ，E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），点F 到直线AE，则椭圆C 的离心率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 满足：152a =，2*112()2n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021[]T = ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围．18．（12分）在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A 、B 两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A 、B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望； （2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．附：k 2.072 2.70 3.841 5.024 6.6357.87910.82822()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BB AB AB BC===，D为AC的中点，1AB B D⊥，190B BC∠=︒．（1）求证：平面11ABB A⊥平面ABC；（2）求二面角1D BB A--的余弦值．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，AOB∆（点O为坐标原点）的面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝3（x﹣1）e x﹣ek有两个不同的零点（其中e为自然对数的底数）．（1）当x＜﹣1时，求证：（x﹣1）e x﹣1＞﹣；（2）求实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1、x2，求证：＜e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:(1sin2xCyααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+；求|||OA OB 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()32f x x =-，()21g x x =-．（1）若()|()||()|h x f x g x =+，且()h x a 恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()x ϕ，求()x ϕ的最大值．2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-，{|01000}B x lgx =<，{|}2aC x x =<，若(){|03}AB C x x =<，则(a = )A ．lB ．3C ．6D ．8【解答】解：220x x -，02x ∴，[0A ∴=，2]， 01000lgx <<，1000110x ∴<<，(1B ∴=，100010)，[0A B ∴=，100010)，()[0AB C =，3)，∴32a=，6a ∴=． 故选：C ．2．（5分）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f a -=，则f （7）(= ) A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【解答】解：因为函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f f -=-（3）a =，所以f （3）a =-， 即23a a +=-， 所以12a =-，则f （7）2log 873 3.50.5a =+=-=-． 故选：B ．3．（5分）为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，某中学团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：)cm 的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值（同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替）．则估计的平均值为()A．21.75B．22.25C．23.75D．20.75【解答】解：由频率分布直方图可得，平均值为(0.0112.50.0717.50.0822.50.0227.50.0232.5)521.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．故选：A．4．（5分）《九章算术》是我国一部经典的数学著作，《九章算术⋅商功》有这样的载述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．“堑堵”就是底面为直角三角形的直三棱柱，“鳖臑”是四个面均为直角三角形的三棱锥，将底面为短形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知由某“堑堵”“阳马”“鳖臑”组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．5C．4D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱锥和棱柱组成的组合体；如图所示：所以：111113223112313263223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=++=．故选：A ．5．（5分）有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：)mm 都服从正态分布2(20,)N σ，且2(1921)3P X <=，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为( ) A ．64243B ．80243C ．1681D ．40243【解答】解：2~(20,)X N σ，∴正态分布曲线的对称轴为20x μ==，又2(1921)3P X <=， 11(2021)(1921)23P X P X ∴<=<=， 故在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为： 3235114140(1)()1033927243P C =⨯-⨯=⨯⨯=． 故选：D ．6．（5分）函数9()11x f x e x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，设()1x g x e x =--，其导数()1x g x e '=-， 在区间(,0)-∞上，()0g x '<，则()g x 为减函数， 在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则()g x 为增函数， 则()(0)0min g x g ==， 故9()11xf x e x =+--的定义域为{|0}x x ≠，且()1f x >恒成立，其图像在1y =上方，排除BCD ，故选：A ．7．（5分）已知直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1010[，)+∞ B ．(5-1010[，5) C ．(-∞，55[，)+∞ D ．[5-5]【解答】解：因为直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ， 所以圆心到直线的距离114d =<+，解得55m -<<，又0OA OB ⋅，所以2d，即25，解得10m 或10m -②， 由①②得(5m ∈-1010][，5)． 故选：B ．8．（5分）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈【解答】解：由题意可知，函数()f x 在“4LD π-”区间单调递增，函数()4f x π+在“4LD π-”区间单调递减，函数()3sin(2)6f x x π=-，则令222,262k x k k Z πππππ-+-+∈，解得,63k xk k Z ππππ-++∈，故()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈，又()3sin(2)3sin(2)4263f x x x ππππ+=+-=+，令3222,232k x k k Z πππππ+++∈， 解得7,1212k xk k Z ππππ++∈， 故()4f x π+的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈，两个单调区间的公共区间为[,],123k k k Z ππππ++∈，所以此函数的“4LD π-”区间为[,],123k k k Z ππππ++∈．故选：C ．9．（5分）226(2)(1)x x +-的展开式中，5x 的系数为( ) A ．52-B ．88-C ．62-D ．110-【解答】解：因为226426426(2)(1)(44)(1)(44)(1)x x x x x x x x +-=++-=++-，则6(1)x -的展开式的通项公式为166()(1)r r rr r r T C x C x +=⋅-=-， 所以原二项式的展开式中含5x 项为41123335555666(1)4(1)4(1)110x C x x C x C x x ⋅-+⋅-+⋅-=-， 所以5x 的系数为110-， 故选：D ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点M 为此渐近线上的一点，O 为坐标原点．双曲线C 的左、右顶点为A 、B ，焦距为2||OM ，则AM B∠为( )A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π【解答】解：由题意可得渐近线by x a=，即有b a =， 设(,)M m n ，(,0)m n >，可得bn m a=，① 又||OM c =，即222m n c +=，②由①②可得m a =，n b =，即(,)M a b ， 又(,0)A a -，(,0)B a ，可得AB MB ⊥，直线AM 的斜率为tan 2b MAB a ∠== 可得6MAB π∠=， 所以263AMB πππ∠=-=．故选：C ．11．（5分）已知复数z 的模为1，复数23w z z =+，则在复平面内，复数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是( )A ．6B ．254C ．D ．【解答】解：设z x yi =+，(,)x y R ∈，因为||1z =，则221x y +=，22223()3()(3)(23)w z z x yi x yi x y x xy y i =+=+++=-+++，故复数w 对应的点为22(3x y x -+，23)xy y +， 设复数w 所对应的点与点(4,0)的距离为d ， 则22222(34)(23)d x y x xy y =-+-++2222(2134)(23)(1)x x x x =-+-++- 22(1)[(1)(25)(1)(23)]x x x x x =--+-++(1)(1634)x x =--- 2161834x x =--+，对称轴为916x =-，因为[1x ∈-，1]，所以当916x =-时，225625(25)1616max d =-⨯-=， 故254max d =， 所以数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是254． 故选：B ．12．（5分）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元，则y x -的值为( )（参考数据：121.015 1.2)≈ A ．170-B ．1200C ．1030D ．900【解答】解：由题意可得：121210000(1 1.5%)10000 1.01512000x =⨯+=⨯≈， 1000010000 1.525%1211830y =+⨯⨯=， 1183012000170y x ∴-=-=-，故选：A ．二、填空题：本大愿共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+，则λ=1- ．【解答】解：向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+， 则22(3)(2)2(6)324(6)21cos12030a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=++⋅+=⨯++⨯⨯⨯︒+=， 1λ=-，故答案为：1-．14．（5分）已知变量x ，y 满足3303020x y x y x y m -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，若3z x y =+的最小值为5，则实数m = 0 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立3020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩，解得6(3m A -，3)3m +，由3z x y =+，化为33x z y =-+，由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为639533m m -++=，解得0m =． 故答案为：0．15．（5分）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B ，E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），点F 到直线AE 2，则椭圆C 的离心率为102- ． 【解答】解：由题意可得(,0)A a -，设0(E x ，00)0y y >，由四边形OABE 为平行四边形可得1(B x ，0)y ，且OA EB =，所以(a -，100)(x x =-，0)， 所以10x x a =-，即0(B x a -，0)y ，由B ，E 在椭圆上，所以220022220022()11x a y a b x y a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得20220ax a a -=， 解得02ax =，代入可得03y =， 即(2aE 3)， 所以3322AEbb k a a ==+ 所以直线AE 的方程为：3)by x a =+，30ay -=，右焦点(,0)F c 到直线AE的距离d =， 整理可得：23420e e +-=，解得：e ==，由椭圆的离心率可得：e =． 16．（5分）已知数列{}n a 满足：152a =，2*112()2n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021[]T = 2023 ．【解答】解：数列{}n a 满足：152a =，21122n n n a a a +=-+， 整理得111122n n na a a +=---，所以111122n n n a a a +=---． 所以1220211202120211111112222a a a a a a ++⋯+=-=----， 由于2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=+-=->，所以数列{}n a 单调递增， 由于152a =，2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n 时，3n a >， 所以20213a >， 12202111112a a a <++⋯+<， 整理得122021111[]2a a a ++⋯+=． 111n n n na b a a +==+， 2021[]202122023T ∴=+=，故答案为：2023．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围． 【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， (2)cos cos 0b c A a C --=，(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C ∴--=，2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin()2sin cos sin 0B A C A A C B A A C B A B ∴--=-+=-=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=， (0,)2A π∈，3A π∴=．（2）由（1）知，23B C π+=， 锐角ABC ∆，∴022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62B ππ<<，211cos cos cos cos()cos cos cos sin()3226B C B B B B B B B B ππ∴+=+-=-=+=+，62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，sin()6B π∴+∈，1]， 故cos cos B C+的取值范围为，1]． 18．（12分）在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A 、B 两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A 、B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．附：2(()()()()n ad K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（1）由已知，学生为优秀的概率为720.6120=， 记优质学生数为X ，由题意可孩子，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以033(0)(0.4)0.064P X C ===， 123(1)(0.4)0.60.288P X C ==⨯=，223(2)0.4(0.6)0.432P X C ==⋅=，333(3)(0.6)0.216P X C ===，所以X 的分布列为：故X 的数学期望()30.6 1.8E X =⨯=； （2）22⨯列联表如下：所以222()120(40282032) 2.22 2.706()()()()60607248n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关． 19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BB AB AB BC ===，D 为AC 的中点，1AB B D ⊥，190B BC ∠=︒．（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ； （2）求二面角1D BB A --的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 中点O ，连接OD 、1OB ，所以//OD BC ， 因为11BB AB =，所以1OB AB ⊥， 又因为1AB B D ⊥，111B DOB B =，所以AB ⊥平面1OB D ，又因为OD ⊂平面1OB D ，所以AB OD ⊥， 因为190B BC ∠=︒，//OD BC ，所以1OD B B ⊥， 又因为1B BAB B =，所以OD ⊥平面11ABB A ，又因为OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ， 于是平面11ABB A ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知OD 、OA 、1OB 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB =，1(0BB =，13)，(1BD =，1，0)， 设平面1BB D 的法向量为(m x =，y ，)z ，130BB m y z BD m x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3y =-(3m =，3-1)， 平面1BB A 的法向量为(1n =，0，0)， 所以二面角1D BB A --的余弦值为||321||||71m n m n ⋅==⋅⋅．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，AOB ∆（点O 为坐标原点）的面积为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，设直线OP 、OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点．【解答】（1）解：根据题意可得焦点(2p F ，0)，因此可得(,),(,)22p pA pB p -， 所以12222AOB pS p ∆=⋅⋅=，解之可得2p =，故可得抛物线的方程为：24y x =．（2）证明：根据题意，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，易知直线l 的斜率存在，假设直线l 的方程为y kx m =+，联立抛物线方程得，224404y kx mky y m y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩， 由韦达定理可得，121244,my y y y k k+==，则222121212122142[()2]444y y m x x y y y y k k +=+=+-=-，2221212244y y m x x k =⋅=， ∴121212164OP OQ y y kk k x x y y m ⋅=⋅==， 12121212122()4OP OQ y y kx x m x x k k x x x x m+++=+==， 又因为tan OP k α=，tan OQ k β=， 所以4tan tan m αβ+=，4tan tan kmαβ⋅=，所以当4παβ+=时，4tan tan tan()141tan tan 1m k m αβαβαβ++===-⋅-，解得44m k =+，所以直线l 的方程即为：444(4)y kx k y k x =++⇔-=+， 即得直线l 恒过定点(4,4)-．21．（12分）已知函数f （x ）＝3（x ﹣1）e x ﹣ek 有两个不同的零点（其中e 为自然对数的底数）．（1）当x ＜﹣1时，求证：（x ﹣1）e x ﹣1＞﹣；（2）求实数k 的取值范围；（3）若函数f （x ）的两个零点为x 1、x 2，求证：＜e ．【解答】证明：（1）当x ＜﹣1时，要证（x ﹣1）e x ﹣1＞﹣，只需证明（x ﹣1）e +1＞0，令x ﹣1＝t ，则t ＜﹣2，设g （t ）＝te +1，则g ′（t ）＝e（1+t ），当t ＜﹣2时，g ′（t ）＜0，在（﹣∞，﹣2）上，g （t ）为单调递减函数， 此时g （t ）＞g （﹣2）＝1﹣＞0，所以原不等式成立． 解：（2）∵f ′（x ）＝3xe x ，当x ＜0时，f ′（x ）＜0，当x ＜0时，当f ′（x ）＞0，可得函数f （x ）在（﹣∞，0）上为单调递减函数，在（0，+∞）上为单调递增函数， 所以f （x ）min ＝f （0）＝﹣3﹣ek ，（i ）当﹣ek ≥3时，f （x ）min ≥0，不合题意，（ii ）当﹣ek ≤0时，f （1）＝﹣ek ，若x ＜1，则f （x ）＜﹣ek ， 当x ≥1时，f （x ）≥ek ，又因为当x ＜﹣1时，由（1）可得f （x ）＞﹣﹣ek ，由﹣﹣ek＞0得x＜2ln（﹣ek）+1，取x0满足x0＜﹣1且x0＜2ln（﹣ek）+1，则f（x0）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）上有唯一的零点，综上所述，﹣＜k＜0．证明：（3）函数f（x）的两个零点为x1、x2，所以3（x1﹣1）e﹣ek＝0，同理3（x2﹣1）e﹣ek＝0，由（1）得（x1﹣1）e ＞﹣，（x2﹣1）e ＞﹣，所以，，所以＜﹣（+），因为x1＜1，所以＜0，所以＞﹣，同理＞﹣，所以＜1＜e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:(1sin2xCyααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+；求|||OA OB 的取值范围． 【解答】解：（1）P 为曲线122cos :(1sin 2x C y ααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点， 设(,)P x y ''，(,)Q x y ，则212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 消去x '和y '得到：22(1)1x y -+=．即222x y x +=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+； 由于(,)23ππθ∈-，故2(,)636πππθ-∈-，所以|||cos 2sin()[26A B OA OB πρθθθ=-=-∈-，1)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()32f x x =-，()21g x x =-．（1）若()|()||()|h x f x g x =+，且()h x a 恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()x ϕ，求()x ϕ的最大值．【解答】解：（1）()32f x x =-，()21g x x =-，()|()||()||32||21||(21)(32)|2h x f x g x x x x x ∴=+=-+--+-=， 当且仅当1322x 时等号成立． ()2min h x ∴=，又()h x a 恒成立，∴实数a 的最大值为2；（2）()x ϕ由柯西不等式可得，()11x ϕ22(11)(22+=．=1x =时等号成立．()x ϕ∴的最大值为2．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三上学期第四次验收考试理科综合试题(含答案)
哈三中2021～2022学年度上学期高三第四次验收考试理科综合试卷(考试时间: 150分钟试卷满分: 300分)注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
:4.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量: H-1 C-12 N-14 O-16 Cu-64 Zr-91第I卷(选择题共126分)一、选择题:本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.关于内环境稳态，以下说法正确的是( )A.正常情况下毛细血管处血浆和组织液之间相互转化的品总是平衡的B.内环境是机体进行生命活动和细胞代谢的主要场所C.若局部毛细血管通透性增加，则组织液生成增多D.内环境稳态是指内环境的温度、pH、渗透用保持相对稳定2.果蝇大脑中的饱觉感受器能够快速探测到血糖升高，该信息通过神经传导，最终激活胰岛素生成细胞释放胰岛崇，从而抑制果蝇进-步进食，具体过程如下图所示。
下列叙述正确的是( )A.从饱觉感受器接受刺激到释放胰岛素的过程属于神经调节B.乙神经元接受适宜刺激产生兴奋后会将兴奋双向传递出去C.神经递质TK通过特异性通道进入乙神经元而发挥作用D.抑制饱腹果蝇的甲神经元活性不会导致其进一步摄食3.下列关于植物激素调节的叙述，错误的是( )A.不同浓度的生长素对植物生长产生的效果可能相同B.生长素不直接参与细胞代谢只能给细胞传达促进生长的信息C.赤霉菌产生的赤霉索会使水稻得恶苗病D.秋天落叶中脱落酸的合成量增加既受基因调控也受环境影响4.2020年3月4日，国家卫健委发布了新增新冠病毒特异性1gA[和lgG抗体作为血清学诊断标准。
解析2022届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次验收考试数学(理)试卷及答案
2022届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次验收考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}20,,4,M x x x R N x x x R =≥∈=<∈∣∣，则M N =（ ）A ．[]0,2B ．[)0,2C ．(]0,2D ．()0,2答案：B化简集合N ，再由交集运算即可求解. {}{}24,22N x x x R x x =<∈=-<<∣，则[)0,2MN =.故选：B2．已知220.2log 5,2,log 6a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>答案：A根据指数与对数函数的单调性比大小. 由已知得22log 5log 21a =>=，02122b -<==，且0b >，所以01b <<， 0.20.2log 6log 10c =<=，所以a b c >>， 故选：A.3．若直线()1:410l x k y +-+=与2:330l kx y ++=平行，则k 的值为（ ） A ．1或3 B ．3 C ．1 D ．1-答案：C由两直线平行的条件得结论． 显然0k =时，两直线不平行， 因此由两直线平行得14133k k -=≠，解得1k =， 故选：C ．4．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：D由三视图还原直观图，结合柱体体积公式即可求解.如图，为还原后的直观图，则该“堑堵”的体积等于123262V =⨯⨯⨯=.故选：D5．已知()1tan 2πα+=，则sin2cos2αα+=（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．75答案：D根据诱导公式，同角三角函数关系式及二倍角公式化简整理即可. 由()1tan tan 2παα+==， 所以22sin2cos22sin cos cos sin αααααα+=+- 22222sin cos cos sin sin cos αααααα+-=+ 222tan 1tan 7tan 15ααα+-==+，故选：D.6．在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为1CC 中点，11114EC C D =，截面EFGH 交1AA 于H ，交AB 于G ，则直线GH 与直线1BD 所成角的余弦值是（ ）A 15B 15C 15D 15答案：A利用向量法来求得直线GH 与直线1BD 所成角的余弦值. 设正方体的边长为4，根据正方体的性质可知，平面11//ABB A 平面11DCC D ， 平面11ABB A 平面EFGH GH =，平面11DCC D 平面EFGH EF =，所以//GH EF .所以直线GH 与直线1BD 所成角也即是直线EF 与直线1BD 所成角，设为θ.建立如图所示空间直角坐标系，()()()()14,4,0,0,0,4,0,3,4,0,4,2B D E F ，()()14,4,4,0,1,2BD EF =--=-,所以1115cos 435BD EF BD EFθ⋅===⨯⋅故选：A7．已知函数()g x 是R 上的奇函数．当0x <时，()()ln 1g x x =--，且()()2,0,0x x f x g x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1--D ．()2,1-答案：D【解析】根据奇偶性可求得()g x 在0x >时的解析式，由此可确定()f x 的单调性，利用单调性可将所求不等式化为22x x ->，解一元二次不等式求得结果. 当0x >时，0x -<，()()ln 1g x x ∴-=-+，()g x 为R 上的奇函数，()()()()ln 10g x g x x x ∴=--=+>，()()2,0ln 1,0x x f x x x ⎧-≤⎪∴=⎨+>⎪⎩，2y x =-在(],0-∞上单调递增，()ln 1y x =+在()0,∞+上单调递增，且当0x =时，()2ln 1x x -=+，()f x ∴在R 上单调递增，∴由()()22f x f x ->得：22x x ->，即220x x +-<，解得：21x -<<， ∴实数x 的取值范围为()2,1-.故选：D .本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.8．正四面体A BCD -中，棱长为2，其中E 为AD 中点，F 为AC 中点，则下列四个命题中正确的个数是（ ）①EF ∥面BCD ； ②EF AB ⊥；③直线BE 与面ACD 3 ④若P 为棱AC 上一点，则BP PE +6. A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B由线面平行的判定之理判断①，由线面垂直的性质定理判断②，求出线面角判断③，把空间最小距离问题转化为平面上的最短距离，求得结论判断④．E 为AD 中点，F 为AC 中点，则//EF CD ，而EF ⊄面BCD ，CD ⊂面BCD ，所以EF ∥面BCD ，①正确；取CD 中点G ，连接,AG BG ，则AG CD ⊥，BG CD ⊥，AG BG G =，,AG BG ⊂平面ABG ，所以CD ⊥平面ABG ，又AB平面ABG ，所以CD AB ⊥，所以AB EF ⊥，②正确；设H 是ACD △的中心，连接,BH HE ，则BH ⊥平面ACD ，BEH ∠是直线BE 与面ACD 所成角，正四面体棱长为2，则3BE =3=HE 1cos 3HE BEH BE ∠==，③错；把ABC 和ACD △摊平，如图，当P 是BE 与AC 交点时，BP PE +最小， 最小值为2221221cos1207+-⨯⨯⨯︒=．④错． 因此正确的有2个． 故选：B ．9．已知函数()sin ω>06f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（），函数()()3g x f x =[]0,2π上有3个不同的零点，则ω的取值范围是（ ） A ．135,124⎛⎫⎪⎝⎭B ．135,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．525,412⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．525,412⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：B函数()()3g x f x =[]0,2π上有3个不同的零点，即()30f x =有3个不同的根，再结合正弦函数性质即可求解. 由题意知，函数()()3g x f x =[]0,2π上有3个不同的零点，即()30f x =有3个不同的根，所以3sin 6x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为[]0,2x π∈，所以2,2666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为2222363πππππωπ+≤+<+， 所以135124ω≤<， 故选：B.10．已知数列{}n a 的首项为10，且满足123n n a a ++=，其前n 项和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的n 的最小正整数值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案：B利用构造法可得数列{}n a 的通项公式，以及前n 项和n S ，解不等式即可.由123n n a a ++=，即11322n n a a +=-+，得()11112n n a a +-=--，且119a -=， 所以数列{}1n a -是以9为首项，12-为公比的等比数列，所以11192n n a -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，11912n n a -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，19121661212n nn S n n ⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 所以16125n S n --<即为1162125n⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，即11132125n -⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，12375n ->，n *∈N ， 所以10n ≥， 故选：B.11．已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 是直线:0l x y +=上一动点，过点P 作圆C 的切线,PA PB 切点分别是A 和B ，下列说法正确的为（ ） A ．圆C 上恰有一个点到直线l 的距离为12 B ．切线长PAC ．四边形ACBP 面积的最小值为2D ．直线AB 恒过定点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：D利用圆心到直线的距离可判断A ，利用圆的性质得切线长21PA PC =-利用点到直线的距离判断B ，由题意四边形ACBP 面积为PA CA PA =判断C ，由题知A ，B 在以PC 为直径的圆上，利用两圆方程得直线AB 的方程判断D.由圆C ：22(2)1x y -+=，则圆心()2,0C ，半径1r =， ∴圆心C 到直线l ：0x y +=的距离为222=，而121212-<<+，故A 错误； 由圆的性质，切线长2221PA PC r PC =-=-，∴当PC 最小时，PA 有最小值，又min 2PC =，则min 1PA =，故B 错误； ∵四边形AMBP 面积为PA CA PA =， ∴四边形AMBP 面积的最小值为1，故C 错误；设(),P t t -，由题知A ，B 在以PC 为直径的圆上，又()2,0C ，∴()()()()200x t x y t y --++-=，即()22220x y t x ty t +-+++=，又圆C ：22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=，∴直线AB 的方程为：()2320t x ty t -+-+=，即()2320x t x y ----=，由23020x x y -=⎧⎨--=⎩，得31,22x y ==-，即直线AB 恒过定点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.12．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．5103π B ．10π C ．9πD ．()423π+答案：B由题作出图形，易得PAC △外接圆圆心在AC 中点，结合正弦定理可求ABC 外接圆半径，结合图形知，()()222222R AO AO OO ==+，再结合二面角大小求出2OO ，进而得解.根据题意，作出图形，如图所示，因为PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以PAC △的外心在AC 中点，设为2O ，设ABC 的外心为1O ，BC 中点为E ，11AO r =，因为6AB AC ==，所以1O 必在AE 连线上，则123sin AB ABr AEC AC===，即132r =，因为两平面交线为AC ，1O 为平面ABC 所在圆面中心，所以12O O AC ⊥，()22121232O O r AO =-=，又因为二面角P AC B --的大小为120︒，2PO AC ⊥，所以2121120,30PO O OO O ∠=︒∠=︒，所以212213OO O O =⨯=，锥体P ABC -外接球半径()()222222265122R AO AO OO ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为2410S R ππ==，故选：B二、填空题13．已知圆222:(3)(0)C x y r r -+=>和圆22:870D x y y +-+=外切，则r =_____ 答案：2根据两圆外切列方程，化简求得r . 圆C 的圆心为()3,0，半径为r . 圆D 的圆心为()0,464283-=. 22345+，由于两个圆外切，所以352r r +=⇒=. 故答案为：214．若变量,x y 满足约束条件：3040,10x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则42z x y =+的最小值为___________.答案：5由题画出可行域，结合几何意义即可求解.如图，阴影部分面积为对应可行域，由42z x y =+得22z y x =-+，要使z 最小，即22zy x =-+对应截距最小，此时22zy x =-+与可行域交于点A 13,22⎛⎫⎪⎝⎭，求得42235z x y =+=+=，故42z x y =+的最小值为5.故答案为：515．已知平面向量1e 和2e 满足12132e e e -==，则1e 在2e 方向上的投影的最小值为___________. 答案：423423应用数形结合法，结合题设作出1e OA =，13e OC =，123e e BC -=且1||||||3BC OA OC ==，进而判断2e 终点B 的轨迹，即可求1e 在2e 方向上的投影的最小值.如下图，若1e OA =，13e OC =，123e e BC -=且1||||||3BC OA OC ==，∴2e OB =，即B 点在以C 为圆心，2为半径的圆上，∴要使1e 在2e 方向上的投影的最小，即BOC ∠最大，此时BC OB ⊥，则22cos 3BOC ∠=， ∴1e 在2e 方向上的投影的最小值为142||cos 3e BOC ⋅∠=. 故答案为：423. 三、双空题16．已知函数(),()ln xx e f x g x x x ==，若存在实数12,x x 使得()()12f x g x m ==，则m 的取值范围是___________；若20x <，则()2212g x x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值是___________.答案： (,0)[,)e ∞∞-⋃+24e 对()(),f x g x 分别求导，求出求出函数单调区间，画出()(),f x g x 大致图象，结合()(),f x g x 共同值域可求m 的取值范围；对()f x 变形得()()12ln 112112,ln ln x x x e e f x g x x x x ===，即得12ln x x =，即21xx e =，()2212g x x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可等价处理为22222x e x x e e x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，令22x e t x =，构造()2t h t t e =⋅，结合()h x '可求()max h t ，进而得解.()221ln ln 1ln ln x xx x f x x x-⋅-'==，1x ≠，当()()0,1,1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 单减；当(),x e ∞∈+时，()f x 单增；当0x →时，()0f x →，当1x -→时，()f x →-∞，当1x +→时，()f x →+∞，()f e e =，画出()f x 大致图象，如图：()()221xx x e x e x e g x x x -⋅-'==，故当()(),0,0,1x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单增，当x →-∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，当1x =时，()1g e =，故将()(),f x g x 画出，如图所示：由图可知，若()()12f x g x m ==，则()[),0,m e ∈-∞+∞；若20x <，211212(),()ln x x e f x g x x x ==，()()12ln 112112,ln ln x x x e e f x g x x x x ===，因为()()12f x g x =，所以12ln 12ln x x e e x x =，即12ln x x =，即21xx e =， ()222222221x e x g x x x e ex x e ⎛⎫=⋅ ⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝，令22x e t x =，因为20x <，所以(),0t ∈-∞，构造()2th t t e =⋅，()()2t h t e t t '=⋅⋅+，当(),2t ∈-∞-时，()0h t '>，()h t 单增，当()2,0t ∈-时，()0h t '<，()h t 单减，故()()22max424h t h e e -=-=⋅=，故()2212g x x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是24e .故答案为：(,0)[,)e ∞∞-⋃+；24e 四、解答题17．已知圆C 1的圆心为坐标原点，且与直线34100x y +-=相切． (1)求圆C 1的标准方程；(2)若直线l 过点M （1，2），直线l 被圆C 1所截得的弦长为23l 的方程． 答案：(1)224x y += (2)1x =或3450x y -+=（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C 1的标准方程；（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l 被圆C 1所截得的弦长为3l 的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k ，则直线方程可求． (1)∵原点O 到直线34100x y +-=2210234-=+，∴圆C 1的标准方程为224x y +=； (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，代入224x y +=，得y =l 被圆C 1所截得的弦长为当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=． ∵直线l 被圆C 1所截得的弦长为2，则圆心到直线l的距离1d =34k =． ∴直线l 的方程为332044x y --+=，即3450x y -+=．综上，直线l 的方程为1x =或3450x y -+=．18．已知数列{}n a 各项都为正数，其前n 顼和为n S ，且12n n nS a a =+ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)nn n b a -=，求数列{}n b 的前2022顼和2022T .答案：(1)n a(2)2022T （1）令1n =可得111a S ==，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入已知条件整理可得{}2n S 是等差数列，进而可得{}2nS 的通项公式，结合0nS>再开方可得{}n S 的通项公式，再由11,2n nn Sa S S n -⎧=⎨-≥⎩可得{}n a 的通项公式；（2）由题意可得(1)(1)n nn n n b a -==-，由裂项求和即可求解.(1)当1n =时，11112a a a =+即111a a =，因为0n a >，所以10a >，所以11a =， 当2n ≥时，1112n n n n n S S S S S --=-+-，即111n n n n S S S S --+=- 所以2211n n S S --=，可得{}2n S 是以22111S a ==为首项，公差为1的等差数列，所以()2111n S n n =+-⨯=，因为0n a >，所以0n S >，所以=n S n ，当2n ≥时，11-=-=--n n n a S S n n ， 11a =也满足上式，所以1=--n a n n .(2)由（1）知：1=--n a n n ， 所以()()()()(1)1(1)(1)(1)1111nn nnn n n n b n n a n n n n n n -+---====-+-----+-，所以20221234520212022T b b b b b b b =+++++++10213243542021202020222021=--++--++--+--++2022=19．如图，哈三中某研究性学习小组同学为测量哈尔滨防洪纪念塔AB 的高度及塔顶A 相对取景点D 与F 的张角DAF ∠.（其,,,B C D F 在一水平面上，纪念塔垂直水平面点B ，且,,B C D 三点共线），小组同学在,,C D F 仰角分别为45,30,30，若()4560,312FCB CD ∠==-米.(1)求防洪纪念塔AB 的高度. (2)求cos DAF ∠. 答案：(1)452米； (2)14. (1)在Rt △ABD 与Rt ABC △中，用AB 长表示BD 、BC ，列式求解即可作答.(2)连接DF ，根据给定条件分别在BCF △，CDF ，ADF 中用余弦定理即可求解作答. (1)设AB x =米，在Rt △ABD 中，30ADB ∠=，则3tan ABBD x ADB==∠，在Rt ABC △中，45ACB ∠=，则BC x =，而()45312CD =-，即453(31)2x x -=-，解得452x =，所以防洪纪念塔AB 的高度是452米. (2)连接DF ，如图，由(1)及已知有3BF BD BC ==，在BCF △中，由余弦定理得：2222cos BF CF BC CF BC FCB =+-⋅∠，即2220CF CF BC BC -⋅-=， 则245CF BC ==，在CDF 中，120DCF ∠=，由余弦定理得：2222222454532cos (23)45(31)45222DF CD CF CD CF DCF =+-⋅∠=-++-=⨯，在ADF 中，245AD AF AB ===，由余弦定理得：22222232454512cos 22454AD AF DF DAF AD AF ⨯-⨯+-∠===⋅⨯， 所以1cos 4DAF ∠=. 20．如图，在棱柱111ABC A B C -中，112,4BA BC AA A C ====，1120,60.ABC A AB ∠∠==(1)证明：1A B ⊥面ABC ；(2)点P 在线段1BB 上，若直线1A P 与面ABC，求二面角1P A C A --的余弦值. 答案：(1)证明见解析(2)（1）利用勾股定理和线面垂直定理即可证明；（2）由（1）知，可建系，设()1,01BP BB λλ=≤≤且(),,P x y z ，结合直线1A P 与面ABC 所成角的正弦值可求出点P 坐标，利用法向量可求二面角1P A C A --的余弦值.(1) 证明：14,2A A AB ==,160A AB ︒∠=，1A B ∴== 222111A B AB AA A B ∴+=⇒AB ⊥，而222111A B BC A C A B BC +=⇒⊥又AB BC B ⋂=，1A B ∴⊥平面ABC . (2)由（1）知，如图建系，其中BQ AB ⊥，则有()0,0,0B，1(1A C -,(2,0,0),A (1B -, 设()1,01BP BB λλ=≤≤且(),,P x y z ，则20x y z λ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩， 所以()(110,0,23,2BA A P λ==--， 又直线1A P 与面ABC所成角的正弦值为1111sin cos =2BA AP BA A Pθθ⋅==解得2=3λ或=2λ（舍去）所以43P ⎛- ⎝⎭又1(1AC =--, 1(2,0,A A =-设平面1PA C 与平面1ACA 的一个法向量分别为()1111,,x n y z =,()2222,,n x y z =, 111100n PA n AC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩1111114030x z n x ⎧=⎪⇒⇒⎨⎪--=⎩3,2)=-- 212100n A A n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22222220(3,3,1)0x n x ⎧-=⎪⇒⇒=⎨--=⎪⎩ 设平面1PAC 与平面1AA C 夹角为θ,所以1212|cos |4n n n nθ⋅===⨯所以二面角1P A C A --的余弦值为21．已知函数()2ln f x ax x =+.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若1,13x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，有()()22f x a x ≥+-，求a 的取值范围.（参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986≈≈）答案：(1)答案见解析； (2)1a ≤.（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求()f x '，讨论0a ≥和0a <时，解不等式()0f x '>与()0f x '<即可求解；（2）由题意可知()()22ln 20g x ax a x x =+++≥-对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，且()10g =，分别讨论0a =，0a <，01a <≤，12a <<，2a ≥时判断()g x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，判断()0g x ≥是否成立，即可得a 的取值范围(1)()2ln f x ax x =+的定义域为()0,∞+，由()2ln f x ax x =+可得()21212ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x '>对于()0,x ∈+∞恒成立，此时()fx 在()0,∞+上单调递增， 当0a <时，由()0f x '>可得0x <<()0f x '<可得x >所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减， 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递减， (2)由题意可知()2ln 22ax x a x +≥+-对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()22ln 20ax a x x +++≥-对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设()()22ln 2g x ax a x x =+++-，则()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，且()()12ln120g a a =+++=-，()()()()()2221211122ax a x x ax g x ax a x x x-++--'=++=-=， 当0a =时，()2ln 2g x x x =++-，()1122xg x x x-'+=-=，此时11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '<，此时()2ln 2g x x x =++-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，而12144ln 2ln 3 1.0986033333g ⎛⎫=++=-≈-> ⎪⎝⎭-，()10g =，此时()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以0a =符合题意；当0a <时，()g x 在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()1111422ln 2ln 30393339g a a a ⎛⎫=+⨯++=--> ⎪⎭-⎝，()10g =，此时()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以0a <符合题意；当0a >时，若112a ≤即2a ≥时，()g x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()10g x g <=不符合题意， 当1112a <<即12a <<时，()g x 在1,1a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时当1,1x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()10g x g <=不符合题意，当11a ≥即01a <≤时，()g x 在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 此时()1111422ln 2ln 30393339g a a a ⎛⎫=+⨯++=--> ⎪⎭-⎝，()10g =，此时()0g x ≥对于1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以01a <≤符合题意；综上所述：a 的取值范围为1a ≤.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y +-=，曲线221x y +=经过伸缩变换x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩后得到曲线C .以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设射线(0,02)θαραπ=>≤<与直线l 和曲线C 分别交于点,A B ，求2241||||OA OB +的最大值. 答案：(1):cos sin 40l ρθρθ+-=，22:12y C x +=(2)1 （1）结合直角坐标与极坐标互化即可求解l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）将曲线C 转化为极坐标方程，结合极径的几何意义可求2241||||OA OB +的最大值. (1)由40x y +-=可得cos sin 40ρθρθ+-=，又对曲线x x y '='=⎧⎪⎨⎪⎩，则221x '+=，即2212y x ''+=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=，曲线C 的普通方程为2212y x +=； (2)直线极坐标方程整理得4sin cos ρθθ=+，即2161sin 2ρθ=+，曲线C ：2212y x +=变形得22220x y +-=，即22222cos sin 20ρθρθ+-=，2222sin 2cos ρθθ=+，由题可知2161sin 2OA α=+，2222sin 2cos OB αα=+，则2222411sin 2sin 2cos 4sin 2cos 2||||424OA OB ααααα+++++=+=，124πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当且仅当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即,8k k Z παπ=+∈，当8πα=时，2241||||OA OB +的最大值为14+. 23．已知函数()f x x a x b =++-.(1)若0a b +=，且不等式()8f x >的解集为{xx c <∣或}3x >，求abc 的值； (2)若,a b 均为正实数，且141a b+=，对任意的R x ∈，不等式()221f x t t ≥++恒成立，求实数t 的取值范围.答案：(1)5abc =； (2)42t -≤≤.（1）将b a -=代入()8f x >可得4x a +>，求出不等式的解集与已知解集比较可求出a 、c 的值，进而可得b 以及abc 的值；（2）根据绝对值三角不等式可得()f x a b ≥+，再由基本不等式1的妙用求出a b +的最小值，进而可得()min f x ，解不等式()m 2in 21t t f x ++≤即可求解.(1)由0a b +=可得a b =-，所以()28f x x a x a x a =+++=+>即4x a +>， 所以4x a +>或4x a +<-，可得4x a >-或4x a <--， 即不等式()8f x >的解集为{|4x x a <--或}4x a >-，因为不等式()8f x >的解集为{x x c <∣或}3x >，所以434a a c -=⎧⎨--=⎩，可得15a c =⎧⎨=-⎩，所以1b a =-=-，所以()()1155abc =⨯-⨯-=. (2)因为,a b 均为正实数，由绝对值三角不等式可得()()f x x a x b x a x b a b a b =++-≥+--=+=+， 所以()f x a b ≥+，因为141a b +=，所以()144555229a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+=+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4141b aa ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即36a b =⎧⎨=⎩时等号成立，9a b +≥，()9f x a b ≥+≥，所以()min 9f x =，若不等式()221f x t t ≥++恒成立，则2219t t ++≤，即2280t t +-≤，所以()()420t t +-≤，解得：42t -≤≤，所以实数t 的取值范围为42t -≤≤.。
黑龙江省哈三中高三数学上学期第四次验收考试试题 理 新人教A版
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合 ，则B 中所含元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知复数（i 是虚数单位），则的虚部为A ． -3B ．-3iC ．3D ．3i3．给定命题p ：函数ln[(1)(1)]y x x =-+为偶函数；命题q ：函数为偶函数，下列说法正确的是 A ．是假命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且472a a 与的等差中项为54，则5S = A ．36 B ．33 C ．31D ．295．下列几个命题中，真命题是 A ．,.l m n 是空间的三条不同直线，若B ．α，β，γ是空间的三个不同平面，若C ．两条异面直线所成的角的范围是D ．两个平面相交但不垂直，直线，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与垂直．6．已知a,b 是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t ，的最小值是A ．2B ．22C ．4D ．427．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是A．2B．22C．3D．238．函数的零点所在的区间是A．B．C．D．9．已知正三棱锥P—ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为10．已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么实数k的取值范围是A．B．C．D．11．设点P在△ABC内部及其边界上运动，并且的最小值为A．B．C．1 D．212．在平面直角坐标系中，定义之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线于A，B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离为2，则p的值为。
黑龙江省哈三中高三数学第四次模拟考试试题 理
黑龙江省哈三中2013届高三第四次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 已知全集{1,3,5,7,9,11}U =，{3,5,9}M =，{7,9}N =，则集合{1,11}= A ．MN B ．MN C ．()U C M N D ．()U C MN2． 设a ，b R ∈，i 是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0=ab ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3． 一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积为A ．12B ．36C ．16D ．484． 已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点将线段21F F 三等分，则该双曲线的渐近线方程为 A ．x y 22±= B ．x y 2±= C ．x y 22±= D ．x y ±= 5． 如右图，若输入n 的值为4，则输出m 的值为A ．3-B ．31C ．2D ．21- 6． 函数()52ln -+=x x x f 的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．37． 在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则PA →·PB →的值为 A ．－5 B ．－4 C ．4 D ．58． 若6(a x -的展开式中常数项为10π，则直线0,,x x a x ==轴与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为 A ．32-B 3C 31-D ．1 9． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如右图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，可以将()f x 的图象 A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度10．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，21,F F 为左、右焦点，1A 、2A 、1B 、2B 分别是其左、右、上、下顶点，直线21F B 交直线22A B 于P 点，若21PA B ∠为直角，则此椭圆的离心率为 A 21- B 51- C 2 D 3 11．已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4APC BPC π∠=∠=，若球O的体积为323π，则棱锥A PBC -的体积为 A ．43432 D 3212．已知函数32()3sin f x x x x π=--，则1240244025()()()()2013201320132013f f f f ++++= A ．4025 B ．4025- C ．8050 D ．8050-哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知实数0a >， 0b >且2a b +=，则14a b+的最小值为 ． 14．已知()y x ,满足：()00,0x y m m x y +≤>⎧⎪⎨≥≥⎪⎩，若y x z +=2的最大值为2，则=m ． 15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如右表,则最大有 的把握认为主修统计专业与性别有关系． 参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c bd -=++++16．△ABC 中，∠A =60°，点D 在边AC 上，DB =()()0sin sin BA BC BD BA ABC Cλλ=+>，则AC +AB 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：*22()n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请．根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为123,,234．若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算． （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ， 且PA =AB =1，E 为PB 中点． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若AD =2，求二面角D -EC -B的平面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线()02:2>=p px y C ，过焦点F 作动直线交C 于B A ,两点，过B A ,分别作圆12:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y p x D 的两条切线，切点分别为Q P ,．若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OH t OB OA =+8，求实数t 的取值范围．PAB C DE21．（本小题满分12分）已知函数()()b ax x e x f x++=2在点()()0,0f 处的切线方程为046=++y x ．（Ⅰ）求函数()x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()R k kx x f ∈=有三个实根，求实数k 的取值范围．请考生在第22、23、24 22．（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，边AD ，BC 的延长线交于点P ，直线AE 切⊙O 于点A ，且PC AD CD AB ⋅=⋅．求证： （Ⅰ）ABD ∆∽CPD ∆； （Ⅱ）AE ∥BP ． 23．（本小题满分10分）已知曲线1C：cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C：cos sin x t y t αα⎧=⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将1C 、2C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）若2C 与1C 交于M 、N ，与x 轴交于P ，求PN PM ⋅的最小值及相应α的值．24．（本小题满分10分）设函数212)(++-=x x x f ． （Ⅰ）求不等式4)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若不等式2)(-<m x f 的解集是非空集合，求实数m 的取值范围．2013年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A A C B D A C B B D。
2021届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2021届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集I=｛x|x是小于9的正整数｝，集合M=｛1，2，3｝，集合N=｛3，4，5，6｝，则( I M)∩N等于A. ｛3｝B. ｛7，8｝C. ｛4，5，6｝D. {4,5，6，7，8}2. 6.已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，>0，则的值A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负3.为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为()A. 240B. 210C. 180D. 604.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √135.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82,16)，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为()参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.683，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.954，P(μ−3σ<X≤μ+ 3σ)=0.997A. 2300B. 3170C. 3415D. 4606. 函数y =−1x+1+1的大致图象是( ) A. B.C. D.7. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的中位线长是( )．A.B. C. D. 8. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)，则函数f(x)在区间[0,π2]的取值范围是( )A. [−√32,1]B. [−12,√32]C. [−√32,√32]D. [−12,1] 9. (x −ax )5的展开式中x 3的系数为10，则实数a 为( ) A. −2B. −1C. 1D. 2 10. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，则其离心率的取值范围是( ) A. (1,2)B. (1.2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)11. |101+3i |=( ) A. 103 B. √103 C. 10 D. √1012. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y =10x 2−10x(0<x <8,x ∈N ∗)，若每台产品的售价为70万元，则该产品的生产者可获得的最大利润为( )A. 100万元B. 140万元C. 150万元D. 160万元二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，若BC =6，CD =5，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．14.设变量x、y满足约束条件{x+y≤3x−y≥−1y≥1，则目标函数z=2x+y的最大值为______．15.已知F是椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2+y2=b2相切于点Q，且=，则椭圆C的离心率为．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=π3，b−a=1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)sin(A+B)的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：c=5；条件②：cosB=−17．18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：(3)研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907060岁以下140合计300附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图．已知正方体ABCD−A1B1C1D1．(1)平面A1ABB1与平面ABCD是否垂直？为什么？(2)平面ABC1D1与平面BCC1B1是否垂直？为什么？(3)平面ABC1D1与平面A1B1CD是否垂直？为什么？(4)平面ABC1D1与平面ABB1A1是否垂直？为什么？20.已知抛物线y2=2px(p>0)，直线y=x+2是它的一条切线．(1)求p的值；(2)若A(2,4)，过点p(m,0)作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为常数，求实数m的值．21.已知函数f(x)=a(x2−1)−xlnx(Ⅰ)若F(x)=f′(x)，当a=1时，求F(x)的单调区间；2(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知．曲线C的极坐标方程为ρ=21−cosθ(1)试将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；(2)直线l过点M(m,0)，交曲线C于A、B两点，若1|MA|2+1|MB|2的定值为14，求实数m的值．23.设函数f(x)=2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f(a)=m．(Ⅰ)求m及a的值；(Ⅱ)若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q(p+r)≤2．。
2021届黑龙江省哈尔滨市三中高三下学期高考四模考试数学(理)试卷及解析
2021届黑龙江省哈尔滨市三中高三下学期高考四模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，B＝{（x，y）|x+y＝6}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N，y＜x}，B＝{（x，y）|x+y＝6}，∴A∩B＝{（x，y）|x，y∈N}＝{（6，0），（5，1），（4，2）}，∴A∩B中元素的个数为3，故选：B．2．已知复数z1＝﹣1+i，z2＝2，在复平面内，复数z1和z2所对应的两点之间的距离是（）A．B．2 C．D．4解：复数z1＝﹣1+i，z2＝2对应的点的坐标分别为（﹣1，1），（2，0），所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离是．故选：C．3．圆C：x2+y2﹣2y＝1的圆心到双曲线＝1的渐近线的距离为（）A．B．C．D．解：圆C：x2+y2﹣2y＝1的圆心（0，1）到双曲线＝1的渐近线x±2y＝0的距离为d＝＝，故选：B．4．已知函数f（x）＝sin x，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3”是“b﹣a≥π”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f（x）＝sin x，其周期T＝2π，最大值为，最小值为﹣，若存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3，则区间[a，b]的长度必须大于等于半个周期，即b﹣a≥π，反之，若b﹣a≥π，如b＝π，a＝0，对于任意的x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）﹣f（x2）≤，故不存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3，综合可得：“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝3”是“b﹣a≥π”的充分不必要条件；故选：A．5．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中rand（）是产生[0，1]内的均匀随机数的函数，k∈N*），则π的值约为（）。
黑龙江哈尔滨第三中学2024届高三上学期第四次验收考试数学试题(含答案与解析)_4987
哈三中2023~2024学年度下学期第四次模拟考试高三数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（ ）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（ ）A.B.C. 2D. 44. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（ ） A. 3B. 2C.12D.235. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（ ）A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,06. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 18B. 36C. 54D. 727. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（ ） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值D. 定值（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线为D. 复数z满足2i 1z -=-12340z z z z +++=10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（ ） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35f α=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx 为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.的（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性 女性 总计 喜欢走迷宫 141630不喜欢走迷宫 16420总计302050 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响； 附()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α 0.100.05 0.025 0.01 0.005 0.001x α 2.70638415.0246.6357.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X 元，求随机变量X 的分布列和数学期望； （3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？18 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若..34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标； （3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程； （2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.参考答案一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 取值范围是（ ）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<. 故选：A3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（ ）A.B.C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由2sin tan a B b A =，利用边化角，求解A ,bc ，判断选项. 【详解】由2sin tan a B b A =，则2sin sin sin tan (sin 0)A B B A B =>,故1cos 2A =, 又0A π<<，所以3A π=,由ABC1sin 2ABC bc S A == ,即4bc =. 故选：D的4. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（ ） A. 3 B. 2C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可. 【详解】因为(11222,3,3n n n a a a a n a --===≥且)*N n ∈， 所以3567243456781234563112,,,,2,3,2233a a a a a a a a a a a a a a a a a a ============ ， 所以数列{}n a 具有周期性，且6T =，所以20243376223a a a ⨯+===. 故选：A.5. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（ ） A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】由题意可知：3b = ，根据模长关系结合数量积的运算律可得32a b ⋅= ，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：3b =，因a b -= ，则2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r ，即10429a b =-⋅+r r，可得32a b ⋅= ，所以向量a 在向量b 方向上的投影向量为211,062a b b b b ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r .故选：C.6. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择为其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】B 【解析】【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照1,2,2分组计算方法数；②还有人选，按照1,1,3部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：233318C A =，若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：11332322C C A 18A =， 所以不同的选法总数为: 181836+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 在2,3∞⎛⎫+⎪⎝⎭上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用()f x 在()1,∞+上的单调性排除D ，从而判断选项.【详解】对于B ，当23x >时，()e e 23x xf x x--=-，e e 0x x -->，230x -<，则()0f x <，不满足图象，故B 错误;对于C ，()e e 32x x f x x -+=-，定义域为2222,,,3333∞∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()e e 32x xf x f x x -+-==-，关于y 轴对称，故C 错误;对于D,当1x >时，()22211x f x x x ==+--，由反比例函数的性质可知()f x 在()1,∞+单调递减，故D 错误;利用排除法可以得到，()e e 32x xf x x --=-在满足题意，A 正确.故选：A8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（ ） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值 D. 为定值【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得切线斜率以及MN 方程，从而求得点N 坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得,OM OP ，再求乘积即可.【详解】设()00,M x y ，对22194x y +=求导可得：292y x +y '0=，解得y '49x y =-，故MN 方程为：()000049x y y x x y -=--， 即2200009944y y y x x x -=-+，2200004949x x y y x y +=+，又22004936x y +=，故MN 方程为：004936x x y y +=；令0y =，解得09x x =，故09,0N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；又OM 方程为00y y x x =，故0NP ===则OP ====，又OM =，故9OM OP ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点M 的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出MN 方程.（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D. 复数z 满足2i 1z -=-12340z z z z +++= 【答案】AD 【解析】【分析】根据共轭复数以及模长公式即可求解A ，根据虚数的性质即可求解B ，根据复数模长即可根据圆的方程求解C ，根据i 的周期性即可求解D.【详解】对于A ，由于12z z =，则12z z =，故12z z =，故A 正确； 对于B ，若i,i a b c d ++为虚数，由于虚数不可以比较大小，故B 错误，对于C ，设i,,R z x y x y =+∈，则i 2i z z -=+⇒=，化简可得2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应中的轨迹为圆，故C 错误，对于D ，由2i 1z -=-2i 2z -=，则i z =，故12341234i 1i 10i i i i z z z z =-+++=++-+=+，故D 正确， 故选：AD ．10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S 1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，判断PSC ∠为钝角，确保PSQ ∠取得到π2，然后由面积公式求解可判断A ；对于B ，根据1sin 2OPQS OP OQ POQ =⋅⋅∠ 可判断B ；对于C ，利用正弦定理求OPQ △的外接圆半径1sin r θ=，然后可得外接球半径，根据θ范围可判断C ；对于D ，作PD OQ ⊥，然后证明PD ⊥平面SOQ ，可得sin PD POQ SP θ==∠，可判断D.【详解】对于A ，延迟PO 交底面圆于点C ，因为1SP SO ==，所以4PC ==，在SPC 中，由余弦定理得3cos 5PSC ∠==-，所以PSC ∠为钝角，所以15sin 22SPQ S PSQ =∠≤ ，当且仅当2πPSQ ∠=时等号成立， 所以三角形SPQ 面积的最大值为52，A 错误； 对于B ，因为1sin 2sin 2OPQ S OP OQ POQ POQ =⋅⋅∠=∠ ， 所以三棱锥O SPQ -体积为12sin 33OPQ S SO POQ ⋅=∠ ，当πsin 2POQ ∠=时取得最大值23，B 正确；对于C ，记四面体SOPQ 外接球半径为R ，OPQ △的外接圆半径为r ，OPQ θ∠=，因为OP OQ =，OPQ △为等腰三角形，所以π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为球心到,S O 的距离相等，所以球心在SO 的中垂面上，故球心到平面OPQ 的距离为12，由正弦定理得12sin sin OQ r θθ==，所以222112sin R θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 因为20sin 1θ<<，所以211sin θ>，254R >， 所以四面体SOPQ 外接球表面积24π5πS R =>，无最小值，C 错误； 对于D ，作PD OQ ⊥，垂足为D ，因为SO ⊥平面OPQ ，SO ⊂平面SOQ ，所以平面SOQ ⊥平面OPQ ， 又平面SOQ ⋂平面OPQ OQ =，PD ⊂平面OPQ ，所以PD ⊥平面SOQ ，记直线SP 与平面SOQ 所成角为α，则sin PD PD SP α==，又sin 2sin PD OP POQ POQ =∠=∠，所以sin POQ α=∠，当π2POQ ∠=时，sin α，D 正确.故选：BD11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为的()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（ ） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35fα=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5【答案】ACD 【解析】【分析】代入()01f =即可求解A ，根据1ω=，结合辅助角公式即可求解B ，根据二倍角公式即可求解C ，根据()f x 可得最值点满足πππ,Z 42x k k ω+=+∈，即可列不等式求解D.【详解】对于A ，()01sin f ϕϕ==⇒=，由于π02ϕ<<，所以π4ϕ=，A 正确，对于B ，()()()()()cos g x f x f x x x ωϕωϕ'++=+，当1ω=时，()πππ2sin 2cos 442x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 错误，对于C ，()f x 最小正周期为2π，所以1ω=，故()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()π3πsin 454fααα⎛⎫⎛⎫+⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=， 故2ππ16cos 212sin 2425αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16sin225α=-，C 正确，对于D ，因为()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ,Z 42x k k ω+=+∈，则ππ,Z 4k x k ωω=+∈， 故7π3ππ5π,,4444x ωωωω=-- ,,, 由于()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点， 根据对称可知这两个极值点分别为3ππ,44ωω-， 故7ππ3π444ππ5π444ωωωω⎧-≤-<-⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得35ω<≤，故D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键在于，利用整体代入法求得()f x 的最值点，从而得到关于ω的不等式，由此得解.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA = ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA AB OA AB OA AB⋅===所以sin ,OA AB === 所以点O 到直线AB的距离为sin ,OA OA AB ==.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______. 【答案】81 【解析】【分析】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式()215C 1C ,,,N 2k k r r k rr k r T r k r k x --+=-≥∈,令20r k -=，即可得出．【详解】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：15C ,0,1,2,351(2,),4rr r T x r x +=-=．1(2)r x x-的通项公式：()()12C 11C ,,,N (2)()2r k k k k r k k r k r kr r k r k x x x ------≥=∈． 故5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的通项为()215C 1C ,,,N 2k k r r k r r k r T r k r k x --+=-≥∈令20r k -=，则0k =，0r =；1k =，2r =；2k =，4r =．因此常数项2112422525412C (1)C 2C (1)C 81+⨯⨯-⨯+⨯-⨯=．故答案为：81．14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.【答案】 ①. 3 ②. 1【解析】【分析】利用给定定义，整理出3122331n n n x x x ++=+，求值解决第一空即可，利用33323n nn n x x a x +=+求出1n n n x x a +=，进而得到n T ，再确定λ的最大值即可.【详解】易知()231f x x ='+，设切点为()3,3n n n x x x +-，由切线几何意义得斜率为231n x +，故切线方程为2331)()3n n n n y x x x x x =(+-++-，由给定定义知1(,0)n x +在该直线上，代入直线得331223233131n n n n n n n x x x x x x x ++-+=-+=++， 当00x =时，易知13x =，故r 的1次近似值为3，由33323n nn n x x a x +=+得，331323n n n n n n x x x x a x ++==+， 121223113n n n n n x x x T a a a x x x x ++=⋅=⨯⨯⨯= ， 而函数()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，且()2310f x x '=+>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()10f <，()20f >， 故()()21f f ⋅<0，由零点存在性定理得(1,2)r ∈， 由题意得1333(,3)2n x r +→∈，故32λ<，而λ是整数，故m 1ax λ=， 故答案为：3；1【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出1n nn x x a +=，求出n T ，得到所要求的参数最值即可．三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）选①，易知//EF BD ，从而得//BD 平面EFGH ，再由线面平行的性质定理，即可得//BD GH ；选②，易知GF 与AC 不平行，设GF AC K = ，根据点、线、面的位置关系，可证K HE ∈，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可． 【小问1详解】证明：选①，因为E ，F 分别为BC ，CD 中点，所以//EF BD ， 又EF ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以//BD 平面EFGH ， 因为BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH GH =，所以//BD GH ． 选②，因为2AG GD =，F 是CD 的中点，所以GF 与AC 不平行， 设GF AC K = ，则K AC ∈，K GF ∈， 因为AC ⊂平面ABC ，GF ⊂平面EFG ，的所以K ∈平面ABC ，K ∈平面EFG ，又平面ABC ⋂平面EFG HE =，所以K HE ∈， 所以直线HE ，GF ，AC 相交于一点．【小问2详解】连接EA ，ED ，因为ABC 与BCD △均为正三角形，且E 是BC 的中点， 所以EA BC ⊥，ED BC ⊥， 又平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，EA BC ⊥，EA ⊂平面ABC ，所以EA ⊥平面BCD ，因为ED ⊂平面BCD ，所以EA ED ⊥，故以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0E ,(2B ,0,0)，()()(0,,2,0,0,0,0,D C A -,(1F -0)，所以(0,AD =-,23AG AD ⎛== ⎝ ，故(0G，所以(0,0,EA = ,(1EF =-0),(0EG =，设平面EFG 的法向量为(n x = ,y ,)z，则00n EF x n EG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1y =，则x =，2z =-，所以n =,1,2)-，所以点A 到平面EFG的距离为||||EA n n ⋅==， 故点A 与平面EFG．16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 【答案】（1）2n n a =（2）2122344n n n +-++ 【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项， （2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解. 【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，0q > 由()1222nn n n a S +=-且0n a >可得：当1n =时，()211122242a a a =-=⇒=，当2n =时，()()2322222222460q q q q +=-=⇒+-=，解得2q =或3q =-（舍去），故2q =， 故2n n a = 【小问2详解】的()2,1,2n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数， 由于()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则数列{}n b 的前2n 项和21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -=+++++++3211111111(22...2)(...)22446222n n n -=++++-+--+++ ()2121411122142222344nn n n n +--⎛⎫=+-=+ ⎪-++⎝⎭ 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性 女性总计 喜欢走迷宫14 16 30不喜欢走迷宫164 20 总计 30 20 50 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.α0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001xα2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？【答案】（1）能，理由见解析；（2）分布列见解析，()6E X=；（3）400元.【解析】【分析】（1）根据列联表数据算出2χ，对照临界值表即可得出结论；（2）通过分析到达n号门需要向东和向北各走几次即可求出相应概率，从而可得分布列，再由期望公式可得期望；（3）利用（2）中期望可得每名走迷宫的游客带来的收入期望，然后可解.【小问1详解】零假设为0H：假设是否喜欢走迷宫与性别相互独立，根据表中数据计算得()22501441616505.556 5.024302030209χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，根据小概率值0.025α=的独立性检验，假设不成立，即喜欢走迷宫与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.025.男性中喜欢走迷宫的频率为1473015=，女性喜欢走迷宫的频率为164205=，由41257715=知，女性喜欢走迷宫频率大约是男性喜欢走迷宫频率的127倍.【小问2详解】由题知，X的可能取值有2,4,6,8,10，走到1号门需要向东走1次，向北走5次，或者经过点M 到达1号门，走到5号门需要向东走5次，向北走1次，或者经过点N 到达5号门，走()2,3,4n n =号门走出需要向东走n 次，向北走6n -次. 因为每个路口选择向北和向东的概率均为12， 所以()66161172C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6261154C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()636156C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()6261158C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()665611710C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得分布列如下： X 2 4 6 8 10P 764 1564 516 1564 764所以7155157()24681066464166464E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【小问3详解】 由（2）知，每名走迷宫的游客带来的收入期望为1064-=，所以，100名游客带来的收入期望为4100400⨯=元，即迷宫项目每天收入约为400元.18. 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标； （3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.【答案】（1）22y x =（2）证明见解析，()2,2--（3）()12,0S S ⋅∈+∞【解析】 【分析】（1）确定向量的坐标，利用MP MN NP ⋅= ，化简即可求曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x my t =+与抛物线方程联立，得韦达定理，根据34αβπ+=，利用和差角公式以及斜率公式可得12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅，代入化简即可得即可证得22t m =-，即可求解定点； （3）根据11122211,22S OQ d S OQ d ====，即可根据点线距离得21220S S t >=求解. 小问1详解】设点P 的坐标为(,)x y . 由题意()11,,,,1,022MP x y NP x y MN ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 由MP MN NP ⋅=，得12x +=， 化简得22y x = ∴所求曲线C 的方程为22y x =.【小问2详解】因为过点F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以l 的斜率不为零，故设直线l 的方程为,0x my t t =+≠联立方程组22y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 并整理得2220y my t --=， 设A 1(x ，1)y ，B 2(x ，2)y ，于是122y y m +=，122y y t =-，2480m t ∆=+>， 由于34αβπ+=，不妨设直线,OA OB 的斜率为12,k k ， 则()12121212tan tan tan 1111tan tan 1k k k k k k k k αβαβαβ+++=-=⇒=-⇒+-=---， 【所以1212121212121y y y y k k k k x x x x +-=+-⋅=-，即12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅， 进而()()()()12211212y my t y my t y y my t my t +++=⋅-+⋅+，整理得()()()221212210m m y y t mt y y t +-++++=， 将122y y m +=，122y y t =-代入可得()()()2221220m m t t mt m t +--+++=， 化简得()222220t mt t t t m -+=-+=， 由于0t ≠，所以22022t m t m -+=⇒=-，则直线方程为()2222x my m x m y =+-⇒+=+，故直线l 过定点()2,2--，【小问3详解】由题意可知()2,2Q --，则直线OQ 方程为0x y -=，且OQ =，11122211,22S OQ d S OQ d ====，其中12,d d 分别为,A B 到直线OQ 的距离，12d所以()()1221211S S m y t m y t ==---- ()()()22122111,m y y t m y y t =---++代入122y y m +=，122y y t =-，()()()()2222212*********S S m t t m m t t t mt t t t t t =----+=-+=-++=，由于2480m t ∆=+>且22t m =-，故()22Δ1246320t t t =++=+->，解得6t >-+或6t <--，故220t >，故()120,S S ∞⋅∈+..【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-，则直线过定点()00,x y ；若直线方程为y kx b =+(b 为定值)，则直线过定点()0,.b19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；（2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【答案】（1）y x =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,2上无解即得.（3）利用导数说明()n h x 的单调性，即可得到零点为πn ，则πn q n =，表示出()f x 在()00,x y 处的切线方程，推导出切线恰为y x =即可得证.【小问1详解】由()cos f x x x =，则()00f =，()cos sin f x x x x -'=，则()01f '=，所以函数()cos f x x x =在0x =处的切线方程为y x =，即该自公切线方程为y x =.【小问2详解】 由22221sin ()1tan 0cos cos x g x x x x'=-=-=-≤恒成立，当且仅当0x =时()0g x '=， 则()y g x =是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，可得它至多有一个零点， 令1()sin ()cos g x x x a x =-++，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ((1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在零点，即在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点； 假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠， 使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x -=-，有21x x =-，不妨设1π(0,2x ∈， 切线211111:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-++，而21x x =-， 则2211111111tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-+-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->， 即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin 2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.【小问3详解】 由tan π0x x n--=，易知πx n =是方程的根， 由()tan πn x h x x n =--，则()2110cos n h x n x '=-≤，则()n h x 在πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭上单调递减， 则πx n =是()n h x 在πππ,π22n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上唯一零点， 所以πn q n =，由（1）可知()f x 在()00,x y 处的切线为()()000000cos cos sin y x x x x x x x -=--，化简得()200000cos sin sin y x x x x x x =-+， 对于22πn q n =，222cos sin 1n n n q q q -=，222sin 0n n q q =，则自公切线为1y =，所以()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【点睛】关键点点睛：对于函数新定义问题关键是准确的理解定义，结合相关数学知识进行推理说明，特别地函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第四次验收考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三毕业班上学期第四次验收考试数学(理)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，集合()(){}240B x x x =+-<，则A B =（ ）A.{}1,0,1,2,3-B.{}0,1,2,3C.{}1,0,1,2-D.{}1,0,1,2,3,4-2.已知直线420mx y +-=与直线2510x y ++=垂直，则实数m =（ ）A.10B.10-C.5D.5-3.已知α,β是两个平面,m ,n ,l 是三条直线,下列四个命题中正确的是（ ）A.若//m n ,n α⊂,则m α⊂B.若m α⊂,n α⊂,//m β,//n β,则//αβC.若l α⊥,m β⊥,//m l ,则//αβD.若αβ⊥,αβm =,n β⊂,则n α⊥4.若实数x ,y 满足约束条件026020x y x y x y -≥+-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩,则3z x y =+的最大值是（ ）A.12B.10C.8D.4 5.若圆C ：225x y m +=-与圆E ：()()223416x y -+-=有三条公切线,则m 的值为（ ）A.2C.4D.66.若一个空间几何体的三视图如图所示,,则其表面积为（ ）A.32πB.32πC.34π+D.34π 7.已知直线l ：2y x a =+（0a >）与圆C ：22220x y ay +--=（0a >）相交于A ,B 两点,若AB =,则a 的值为（ ）B. C.2 D.48.哈三中群力校区食堂二楼的好七牛肉面是学生喜欢的快餐之一,现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条,再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条,……,则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm .每次对折拉伸相等的长度,面条的粗细是均匀的,拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A. B. C. D.9.已知函数()()2sin 1ωx f φx =+-（0ω>,()0,φπ∈）的图象与x 轴的两个交点的最短距离为3π.若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度,得到的新函数图象关于()0,1-中心对称,则φ=（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π。
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哈三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，集合()(){}240B x x x =+-<，则A B =（ ）A.{}1,0,1,2,3-B.{}0,1,2,3C.{}1,0,1,2-D.{}1,0,1,2,3,4-2.已知直线420mx y +-=与直线2510x y ++=垂直，则实数m =（ ）A.10B.10-C.5D.5-3.已知α，β是两个平面，m ，n ，l 是三条直线，下列四个命题中正确的是（ ）A.若//m n ，n α⊂，则m α⊂B.若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC.若l α⊥，m β⊥，//m l ，则//αβD.若αβ⊥，αβm =，n β⊂，则n α⊥4.若实数x ，y 满足约束条件026020x y x y x y -≥+-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A.12B.10C.8D.45.若圆C ：225x y m +=-与圆E ：()()223416x y -+-=有三条公切线，则m 的值为（） A.2C.4 66.若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为6π，则其表面积为（）A.32π+B.32πC.34π+D.34π7.已知直线l ：2y x a =+（0a >）与圆C ：22220x y ay +--=（0a >）相交于A ，B 两点，若AB =则a 的值为（ ）B. C.2 D.48.哈三中群力校区食堂二楼的好七牛肉面是学生喜欢的快餐之一，现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm .每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A.B.C.D. 9.已知函数()()2sin 1ωx f φx =+-（0ω>，()0,φπ∈）的图象与x 轴的两个交点的最短距离为3π.若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的新函数图象关于()0,1-中心对称，则φ=（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 10.已知定义在R 上的函数()f x 满足条件()()2f x f x -=，且函数()1y f x =+为偶函数.当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则方程()102f x -=在[]1,2-上的实根之和为（ ）A.4B.3C.22log 3+D.23log 3- 11.球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，1AB AC ==，BC =，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的体积的最大值为（ ）12.对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，已知正项数列{}n a 满足：11a =，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中n S 为数列{}n a 前n 项和，则12100111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦（ ） A.20 B.19 C.18 D.17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a ，b 是两个不共线的向量，若向量ka b +与a b -共线，则实数k =______.14.已知圆C 经过两点()5,1A ，()1,3B ，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为______.15.正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，将此正方形沿DE ，DF 折起，使点A ，C 重合于点P ，则点P 到平面DEF 的距离为______.16.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为______.三、解答题：共70分。
第17~21题为必考题，每题12分。
第22、23题为选考题，共10分，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin c a B A =.（1）求角A 的大小；（2）若5a =，b =，求ABC △的面积.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，点E 是PC 的中点，2PD CD BC ==.（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角E BD C --的余弦值.19.（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足224n n n a a S +=，n *∈N .（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若2n a n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，AC CD ⊥，O 为AD 中点，112A A A D AD ===，60ABC ∠=°.（1）求证：CD ⊥平面11AOC ；（2）求1C O 与平面1A CD 所成角的余弦值.21.（12分）已知函数()a x x x f e +=-（a ∈R ）.（1）若1a =，求函数()f x 在0x =处的切线；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：122x x +>.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑。
如果多做，则按所做的第一题记分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系内，直线l 过点()2,1M ，且倾斜角6πα=.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB +的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()21f x x =-.（1）求()3f x ≤的解集；（2）若存在0x ∈R ，使得()200225f x x m m ++≤-+成立的m 的最大值为M ，且实数p ，q 满足33p q M +=，证明：02p q <+≤.哈三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试数学试卷（理）答案一、选择题ABCBCAADDD BC 二、填空题13.1-14.()22210x y -+= 15.2316.2+三、解答题17.解：（1）sin sin cos sin C A B B A =()sin sin cos sin cos 3sin sin A B A B B A B A +-==∵sin 0B ≠，∴tan A =∴30A =°（2）22222cos 2b c a A bc +-=== 22265012c c -=，21450c =，2257c =211125sin 2227S bc A ==⨯⨯==18.（1）连接AC 交BD 于O ，在PAC △中，O ，E 为中点，所以//OE PA因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE所以//PA 平面BDE向量方法略（2）方法一几何法略方法二向量法以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设2PD =，则()0,1,1E ，()1,2,0B ，且()0,1,1DE =，()1,2,0DB = 设平面BDE 的法向量为()1,,n x y z =满足020y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =，则()12,1,1n =-- 因为PD ⊥平面ABCD ，所以可以取平面BCD 的一个法向量为()20,0,1n =12cos ,n n ==所以二面角E BD C --的余弦值为619.（1）2n ≥，211124n n n a a S ---+=，作差得2211122444n n n n n n n a a a a S S a ----+-=-=（2n ≥），整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，所以12n n a a --=（2n ≥）1n =时，211124a a a +=，∴10a =或2∵0n a >，∴12a =.∴{}n a 是以2为首项，2为等公差的等差数列.（2）2n a n =，∴244n n b n n =-≤，0n b ≤，4n >，0n b >12122222,422218,4n n n n n n n n S n ++-+++≤--+>⎧⎪=⎨⎪⎩ 20.（1）（1）由已知O 为中点，所以1A O AD ⊥，所以1AO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以1A O CD ⊥ 又因为AC CD ⊥，11//AC A C ，所以11AC CD ⊥，1111AO AC A = 所以CD ⊥平面11AOC（2）方法一以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。