根据极限计算参数

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混凝土梁的极限承载力计算方法

混凝土梁的极限承载力计算方法一、引言混凝土梁是建筑中常见的结构构件，其承载能力是设计中必须考虑的关键因素。

本文将介绍混凝土梁的极限承载力计算方法，包括计算梁的截面性能、受力状态、极限状态设计、变形控制等方面。

二、计算梁的截面性能1. 混凝土强度的计算混凝土强度的计算需要知道混凝土的配合比和强度等级。

配合比可以通过实验室试验或参照相关国家标准计算得出。

强度等级则根据混凝土的28天抗压强度进行分类。

一般采用标准立方体试件进行试验，计算公式为：f_c=0.8f_t。

其中，f_c为混凝土的28天抗压强度，单位为MPa；f_t为混凝土的弯曲拉应力，单位为MPa。

2. 钢筋强度的计算钢筋的强度计算需要知道其钢号和直径。

一般采用国家标准规定的钢号和直径，按照标准进行计算。

钢筋的强度计算公式为：f_y=A_s/A_c*f_c。

其中，f_y为钢筋的抗拉强度，单位为MPa；A_s为钢筋的截面积，单位为mm²；A_c为混凝土梁的截面面积，单位为mm²；f_c为混凝土的28天抗压强度，单位为MPa。

3. 梁截面面积的计算梁截面面积的计算是混凝土梁设计的基础。

梁截面面积可以根据梁的几何尺寸计算得出，包括宽度、深度等。

梁截面面积的计算公式为：A=bh。

其中，A为梁的截面面积，单位为mm²；b为梁的宽度，单位为mm；h为梁的深度，单位为mm。

4. 梁截面惯性矩的计算梁截面惯性矩是计算梁的弯曲性能和扭曲性能的基础。

梁截面惯性矩可以根据梁的几何尺寸计算得出。

梁截面惯性矩的计算公式为：I=bh³/12。

其中，I为梁的截面惯性矩，单位为mm⁴；b为梁的宽度，单位为mm；h为梁的深度，单位为mm。

5. 梁截面受拉区和受压区的计算梁截面的受拉区和受压区是计算梁的弯曲性能的基础。

梁截面的受拉区和受压区可以根据梁的几何尺寸和受力状态计算得出。

当梁为矩形截面时，梁截面的受拉区和受压区的高度分别为：h_l=(h-α)/2，h_r=(h+α)/2。

土壤的极限承载力计算公式

土壤的极限承载力计算公式土壤的极限承载力是指土壤能够承受的最大荷载，是土壤工程设计中非常重要的参数之一。

通过计算土壤的极限承载力，可以帮助工程师确定土壤的稳定性，并为工程设计提供重要参考。

本文将介绍土壤的极限承载力计算公式及其相关知识。

土壤的极限承载力受到多种因素的影响，包括土壤类型、含水量、密实度、孔隙度等。

在实际工程中，通常使用特定的计算公式来确定土壤的极限承载力。

其中，较为常用的计算方法包括带水土壤和饱和土壤的极限承载力计算公式。

带水土壤的极限承载力计算公式如下：\[ q_{ult} = cN_c + \gamma D_fN_q + 0.5\gamma BN_\gamma \]其中，\( q_{ult} \)为土壤的极限承载力，\( c \)为土壤的内摩擦角，\( N_c \)、\( N_q \)、\( N_\gamma \)为土壤的容许承载力系数，\( \gamma \)为土壤的重度，\( D_f \)为土壤的深度，\( B \)为基础的宽度。

饱和土壤的极限承载力计算公式如下：\[ q_{ult} = cN_c + \gamma D_fN_q + 0.5\gamma BN_\gamma + \gamma D_f \]在这两个公式中，\( cN_c \)代表土壤的粘聚力对极限承载力的贡献，\( \gammaD_fN_q \)代表土壤的重力对极限承载力的贡献，\( 0.5\gamma BN_\gamma \)代表土壤的基础尺寸对极限承载力的贡献，\( \gamma D_f \)代表土壤的饱和度对极限承载力的贡献。

通过以上两个公式的计算，可以得出土壤的极限承载力，从而为工程设计提供重要的参考依据。

需要注意的是，不同类型的土壤和不同的工程条件会对极限承载力的计算结果产生影响，因此在实际应用中需要根据具体情况进行调整。

除了以上介绍的计算公式外，还有一些其他的方法可以用来计算土壤的极限承载力，例如采用现场试验数据进行分析，或者使用专业的土壤力学分析软件进行计算。

预应力混凝土构件的极限承载力计算

预应力混凝土构件的极限承载力计算预应力混凝土构件是现代建筑领域中使用广泛的一种结构形式，它通过在混凝土中施加预先设定的拉应力，使得构件在承载荷载时具备更高的强度和抗裂性能。

预应力混凝土结构可以采用不同的构件形式，如梁、板、柱等。

在设计和施工过程中，我们需要进行极限承载力计算，以确保结构的安全可靠。

下面将从材料特性、预应力力的计算以及极限承载力计算等方面进行探讨。

首先，我们需要了解预应力混凝土构件所采用的材料特性。

混凝土具有良好的抗压性能，而钢材则具备良好的抗拉性能。

预应力混凝土中采用的钢筋一般为高强度钢束或钢丝，其具有较高的抗拉强度。

而混凝土的强度可通过试验获得。

在进行极限承载力计算时，我们需要明确混凝土和钢材的强度参数，并根据设计要求选择合适的数值。

其次，预应力力的计算是极限承载力计算的重要环节。

预应力力一般通过锚固装置施加在混凝土构件上。

锚固装置将钢筋的一端锚固在混凝土构件内，另一端通过张拉机械进行张拉，施加预应力力。

预应力力的大小与构件尺寸、混凝土强度、钢筋类型等因素有关。

在计算预应力力时，我们需要根据构件的受力状态和设计要求确定力的大小，并进行合理的布置。

然后，我们来谈一谈预应力混凝土构件极限承载力的计算方法。

极限承载力一般包括弯曲承载力、剪切承载力和挤压承载力等。

在计算弯曲承载力时，我们需要明确构件的几何形状、受力形式和荷载情况，并采用弯矩-曲率曲线确定构件的抗弯刚度。

在计算剪切承载力时，我们需要考虑构件的剪切破坏形式，并确定剪切抗力的大小。

在计算挤压承载力时，我们需要了解构件受力形式和材料特性，并根据约束条件和材料力学性质确定承载力的大小。

最后，我们需要强调一些在极限承载力计算中的注意事项。

首先，预应力混凝土构件考虑了预应力力的影响，因此在计算过程中需要综合考虑构件的普通混凝土部分和预应力部分。

其次，极限承载力计算需要基于合理的假设和边界条件，确保计算结果的准确性和可靠性。

同时，应考虑构件的变形和裂缝控制等问题，以确保结构的完整性。

特征值、极限值及设计值

特征值的由来天然地基承载力特征值是只有载荷试验地基土压力便性关系线性变形内部超过比例界限点的地基压力值，实际即为地基承载力的允许值。

进行地基基础设计时，由于土是大变形材料，当荷载增加时，随着地基变形的相应增加，地基承载力也在逐渐增大，很难界定出一个真正的“极限值”，另外，建筑物的使用有一个功能要求，常常是地基承载力还有潜力可挖，而地基变形却已经达到或超过按正常使用的限值。

因此，地基设计时采用正常使用极限状态这一原则，所选定的地基承载力为地基承载力特征值。

旧地基规范选用的地基承载力标准值，是在由试验或其他方法得到地基承载力基本值后，经过统计处理，乘以回归系数，得到地基承载力标准值。

现行地基规范采用特征值一词，用以表示正常使用极限状态计算时采用的地基承载力，其涵义即为在发挥正常使用功能时所允许的抗力设计值，以避免原《地基规范》一律提“标准值”时带来的混淆。

******************************************************************* 《建筑地基基础设计规范》(ＧＢ50007—2002)中“特征值”一词的说明国家建筑科学研究院地基基础研究所钟亮一、起因与钢、混凝土、砌体等材料相比,土属于大变形材料,当荷载增加时,随着地基变形的相应增长,地基承载力也在逐渐加大,很难界定出一个真正的“极限值”,而根据现有理论的、半理论半经验的或经验的承载力计算公式,可以得出不同的值。

因此,地基极限承载力的确定,实际上没有一个可以通用的界定标准,也没有一个可以适用于一切土类的计算公式,主要依赖于根据工程经验所定下的界限和相应的安全系数加以调整,考虑一个满足工程要求的地基承载力值。

它不仅与土质、土层埋藏顺序有关,而且与基础底面的形状、大小、埋深、上部结构对变形的适应程度、地下水位的升降、地区经验的差别等等有关,不能作为土的工程特性指标。

另一方面,建筑物的正常使用应满足其功能要求,常常是承载力还有潜力可挖,而变形已达到或超过正常使用的限值,也就是由变形控制了承载力。

第二章极限习题及答案：极限的四则运算

分类讨论求极限例已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim-∞→nnn S S .（1997年全国高考试题，理科难度0.33）解： ()()111111--+--=q q b p p a S n n n()()()()()()()()111111111111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论；（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<pq， ∴1lim-∞→n nn S S()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n np p q p b p q a p p p q p b p q a p()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p()()p q a q a p =--⋅=1111 （2）当1<p 时，∵ 10<<<p q ， ∴ 1lim-∞→n nn S S()()()()()()()()11111111lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=p b q a p b q a()()()()111111111=--------=p b q a p b q a . 说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→x x x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→x xx xx（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→x xx xx说明：当<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++x xx xxx x x x．利用运算法则求极限例计算下列极限：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ；（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 . （1992年全国高考试题，文科难度0.63）解：（1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n . （2）原式⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131lim nn []41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→nn .说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式123lim14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n （2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例设*N p ∈，求nn p n 1111lim1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意p 是与n 无关的正整数，111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等．零乘无穷型转化为无穷除无穷型例求.)1(lim n n n n -+∞→分析：当∞→n 时，所求极限相当于∞⋅0型，需要设法化为我们熟悉的∞∞型．解： n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim =++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n说明：对于这种含有根号的∞⋅0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现．如本题是通过分子有理化，从而化为nn n++1，即为∞∞型，也可以将分子、分母同除以n的最高次幂即n ，完成极限的计算．根据极限确定字母的范围例已知161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围．分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ．说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫⎝⎛+42的极限必为0，而0→nq 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ．零比零型的极限例求xx x 11lim10-+→．分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数x x 1110-+分子、分母中约去x 有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时x 化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ．原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y 说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决一些型的极限问题．例如对于11lim 21--→x x x ，我们一般采用因式分解，然后约去1-x ，得到2)1(lim 1=+→x x ．其实也可以采用这种代换，即设1-=x t ，则当1→x 时，0→t ，这样就有.2)2(lim 1)1(lim 11lim 02021=+=-+=--→→→t tt x x t t x 组合与极限的综合题例 ) (lim 1222=++∞→n n nn n C CA ．0B ．2C ．21 D ．41 分析：将组合项展开后化简再求极限．解： 1222lim ++∞→n n nn n C C.4126412lim )22)(12()1(lim)!22()!1()!1(!!)!2(lim 222=++++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n 故应选D ．说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念．高考填空题1．计算.________)2(lim =+∞→nn n n 2．若数列{}n a 的通项公式是)N ()1(1*∈+=n n n a n ，则.________)(lim 21=+∞→n n a n a3．计算：.________)13(lim =++∞→nn n n1．解析 22222221221lim 2lim -+--+-∞→∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e n n n n n n n nn n n说明：利用数列极限公式e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．2．解析 .21,)1(11=∴+=a n n a n.23121)11121(lim )1(121lim 2=+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+∴∞→∞→nn n n n n说明：本题的思考障碍点是如何求1a ？——只要懂得在通项公式中令1=n ，可立得1a 的具体值，本题考查数列极限的基本知识．3．解析 nn n n )13(lim ++∞→ 21221)121(lim e n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++∞→说明：本题考查数列极限公式的应用．根据已知极限和四则运算求其它极限例若12lim =∞→n n na ，且n n a ∞→lim 存在，则.________)1(lim =-∞→n n a nA ．0B ．21 C ．21- D ．不存在分析：根据题设知n na 和n a 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．解：,lim ,12lim 存在n n n n na na ∞→∞→=0lim 021lim2lim lim =∴==∴∞→∞→∞→∞→n n n nn nn a n na a又21lim ,12lim ==∞→∞→n n n n na na ∴21210lim lim )(lim )1(lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n na a na a a n 即.21)1(lim -=-∞→n n a n选C ．说明：n n a ∞→lim 是关键，不能错误地认为0lim =∞→n n a ，0)1(lim =-∞→n n a n ．两个数列{}n a 、{}n b 的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a的极限不一定存在．化简表达式再求数列的极限例求下列极限（1）⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→112171513lim 2222n n n n n n （2）nnn 21412113191311lim ++++++++∞→ （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→211511411311lim n n n 分析：先运用等差数列、等比数列的前n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．解：（1）原式1)12(753lim2++++++=∞→n n n 11121lim 1)2(lim 22=++=++=∞→∞→nn n n n n n （2）原式nn n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→211311lim 34211231123lim4301013421lim 1lim 31lim 1lim 34=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→∞→∞→∞→n n n nn n （3）原式.222lim 21544332lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n 说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为0112lim ,,015lim ,013lim 222=++=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→n n n n n n n 而得到（1）的结果是0．无穷比无穷和字母讨论的数列极限例求下列极限：（1）n n n n n 3423352lim 11⋅+⋅⋅-++∞→ （2）)0(11lim>+-∞→a a a nnn 分析：第（1）题属“∞∞”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第（2）题中当a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论．解：（1）原式432315322lim 342331522lim +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+⋅⋅-⋅=∞→∞→n nn n n n n n .41540315024lim 32lim 315lim 32lim 2-=+⨯-⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→∞→n nn n nn （2）当10<<a 时，01111lim 11lim=+-=+-∞→∞→n n n n a a ，当1>a 时，.110101lim 1lim 1lim 1lim 1111lim 11lim -=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n a a a a a a 说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0lim =∞→n n a ．根据极限确定等比数列首项的取值范围例已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且有211lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n q q a ，求1a 的取值范围．分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知nn q ∞→lim 存在，因此可得q 的取值范围，从而确定出1a 的取值范围．解：由211lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→n n q q a ，得nn q ∞→lim 存在． ∴1<q 且0≠q 或1=q ．．当1<q 时，有2111=+q a ， ∴121-=a q ， ∴112<-a 解得101<<a ，又0≠q ，因此211≠a ．当1=q 时，这时有2112lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→a n ， ∴31=a ．综上可得：101<<a ，且211≠a 或31=a ．说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q 的特点，容易将0≠q 这一条件忽视，从而导致错误．求函数在某一点处的极限例求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→22423lim 3322x x x x x （2）401335172lim 225++++→x x x x x （3）xx x 320cos 1sin lim -→ （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→9631lim 23x x x 分析：第（1）题中，2=x 在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“00”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；（4）为“∞-∞”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．解：（1）22lim 423lim 22423lim 332223322++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→→→x x x x x x x x x x x )2(lim 2lim )4(lim )23(lim 3232222++++=→→→→x x x x x x x x2lim lim lim 24lim lim 2lim lim 32323223222→→→→→→→++++=x x x x x x x x x x x.513581222242223322=+=+⨯+++⨯= （2）.18)5(7)5(2872lim )8)(5()72)(5(lim 401335172lim 55225-=+-+-⨯=++=++++=++++→→→x x x x x x x x x x x x x （3）xx x x x x x x x x x 20220320cos cos 1cos 1lim )cos cos 1)(cos 1(cos 1lim cos 1sin lim +++=++--=-→→→ .3211111=+++= （4）.6133131lim 96)3(lim 9631lim 32323=+=+=--+=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x 说明：不能错误地认为，由于31lim3-→x x 不存在，96lim 23-→x x 也不存在，因此（4）式的极限不存在．（4）属于“∞-∞”型，一般要先对函数式进行变形，变为“00”型或“∞∞”型，再求极限．函数在某一点处零比零型的极限例求下列极限：（1）3111lim x x x --→ （2）xx x x 32sin sin tan lim -→π 分析：第（1）题中，当1→x 时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分．解：（1）原式)1)(1)((1()1)(1)(1(lim 32333231x x x x x x x x x +++-+++-=→.23111111)1(lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=+++=+-++-=→→x x x x x x x x x x（2）原式xx x x x x xx x x cos sin cos sin sin lim sin sin cos sin lim 3232⋅-=-=→→ππ .211)11(1cos )cos 1(1lim cos sin cos 1lim222=⨯+=⋅+=⋅-=→→x x x x x ππ 说明：如果分子、分母同乘以31x +，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是)1(323x x ++．。

分项系数极限状态设计法

分项系数极限状态设计法分项系数极限状态设计法（Subset Coefficient Method，SCM）是结构工程中用于进行极限状态设计的一种方法。

它适用于在结构设计中考虑材料强度、几何尺寸、荷载和组合效应等随机变量的影响。

下面将详细介绍SCM的原理和应用。

SCM的核心思想是将结构的极限状态方程表示为各个分项系数的乘积，并通过概率统计方法对这些系数进行合理的选择和组合，从而得到结构极限状态的概率分布。

具体地说，SCM将极限状态方程表示为以下形式：G(X)≤0其中，G(X)是极限状态函数，X是设计参数（例如材料强度、几何尺寸、荷载等），≤0表示结构要求保持安全。

SCM的关键是确定分项系数。

它们由被考虑的材料性质、几何尺寸以及荷载和组合效应等设计参数的随机变量表示。

假设有k个分项系数（C1,C2,...,Ck），则极限状态方程可以写成：G(X)=C1X1+C2X2+...+CkXk≤0其中，Xi是第i个设计参数的随机变量。

确定分项系数的方法有很多种，常用的方法包括矩匹配法（Methodof Moments）和极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation）。

这些方法通过对已知设计参数的概率分布进行拟合，得出分项系数的概率分布。

使用SCM进行极限状态设计的步骤如下：1.选择合适的设计参数和分项系数。

2.根据已知数据或经验，对设计参数的概率分布进行确定。

3.使用矩匹配法或极大似然估计法，对每个分项系数的概率分布进行拟合。

4.将分项系数和设计参数的概率分布带入极限状态方程，计算结构的失效概率。

5.根据失效概率与设计要求进行比较，确定结构是否满足要求。

6.若结构不满足要求，则对设计参数或分项系数进行调整，重复步骤2-5SCM的优点在于可以充分考虑结构设计参数的不确定性和随机性，从而提高结构的安全性和可靠性。

此外，它还能够灵活应用于不同类型的结构和不同设计要求的场景中。

然而，SCM也存在一些局限性。

计算极限的方法总结

计算极限的方法总结极限是数学中一个概念，它可以被用来描述函数在某一特定点上的行为。

在这一点上，函数在向一个特定的值收敛，若函数以某种方式在这个点上受到了影响或者停顿，那么极限就可以用来表示这种影响或者停顿的行为。

本文将简要介绍计算极限的不同方法，总结出几种最有效的方法。

首先，应该了解极限的定义。

极限是指一个点，在这个点上，无论怎么做函数的取值向某一个值收敛。

换句话说，极限描述的是函数取值趋向于某一个值的行为。

极限的两个重要性质是取值收敛和向某一个值收敛。

在理解极限的基础上，就要知道如何计算极限了。

计算极限的方法主要有以下几种：1、限值(limit)函数法：此法要求求函数在某一特定的点的x坐标的极限，即求函数f(x)的极限，且x在某一值范围内，可以用limit 函数来实现，如limit(x→a,f(x))，其中a为x的某一特定值，f(x)表示函数f(x)。

2、求导法(derivative)：此法要求求函数在某一特定的点的x 坐标的极限，即求函数f(x)的极限，可以用求导法来实现，如求f(x)在x=a时的极限，可以将f(x)求导，得出f(a)，再求f(a)的极限。

3、图形法：此法要求求函数在某一特定的点的极限，可以用图形的方法来实现，即画出函数f(x)的图形，观察函数的图形，以找出函数在x=a处的极限。

4、函数极限法：此法要求求函数在某一特定点的极限，可以将函数f(x)再次拆分，即将函数f(x)拆分为f1(x)+f2(x)，然后求f1(x)的极限和f2(x)的极限，最终求出函数f(x)的极限。

5、参数极限法：此法要求求函数在某一特定的参数的极限，即求函数f(x,a)的极限，a为参数，可以将f(x,a)拆分为f1(x,a)+f2(x,a)，然后求f1(x,a)的极限和f2(x,a)的极限，最终求出函数f(x,a)的极限。

6、无穷小量法：此法要求求函数在某一特定的点的极限，即x 趋向于a，可以用无穷小量法来实现，即将函数f(x)表示为f(x)=f(a)+ω(x-a),ω为无穷小量，最终求出函数f(x)的极限。

热点专题03 求极限无穷等比数列(选填题)高考数学二轮复习热点考题精华篇(上海专用)(解析版)

热点专题03求极限无穷等比数列（选填题）每个模块详细全面的知识点讲解+专题练习，可以在本人的作品的一轮复习找到对应资料一、填空题 1．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 【答案】(0,2)(2,4)【解析】先设无穷等比数列的公比为q ，根据无穷等比数列各项和的性质，由题中条件，得到121a q=-，1q <且0q ≠，即可求出结果.设无穷等比数列的公比为q ，因为12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，即()11lim 21n n a q q→∞-=-，即11lim 211n n q a q q →∞⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，所以只需121a q=-，1q <且0q ≠，所以122a q =-，因为1q <且0q ≠，即10q -<<或01q <<，则022q <-<或220q -<-<，因此2224q <-<或0222q <-<，即122(0,2)(2,4)=-∈⋃a q . 故答案为：(0,2)(2,4).【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于掌握无穷等比数列各项和的性质，为使无穷等比数列各项和为常数，公比q 必然满足1q <且0q ≠，进而即可求解.2．无穷等比数列{}n a 中，23342,1a a a a +=+=，则此数列的各项和S =________________【答案】163【解析】先利用已知条件求出等比数列的首项和公比，再求{}n a 的前n 项和，取极限即可求解.设等比数列{}n a 公比为q ，则()342323a a a q a q q a a +=+=+，所以12q =，解得：12q =，由()22312a a a q q+=+=可得111224a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得183a=，所以18132n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为81132161113212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 1611616116lim lim 1lim 323323nn n x x x S →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为：1633．2225lim 410n n n n →∞+=++__________________．【答案】2【解析】分子分母同时除以2n ，再求极限即可.2222522520lim lim 24104101100n n n n n n n n→∞→∞+++===++++++，故答案为：24．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围________ 【答案】(2,1)(1,0)---【解析】无穷等比数列{}n a 的公比q 满足0||1q <<,而lim(2)21n n S S S S S →∞-=-=-=,再结合11a S q=-,可求得1||110a +<<,解不等式即可.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,11a S q=-,则0||1q <<, 因为lim n n S S →∞=,所以lim(2)lim lim221n n n n n S S S S S S S →∞→∞→∞-=-=-=-=,则111a q=--,11q a =+, 因为0||1q <<,所以1||110a +<<,解得1(2,1)(1,0)a ∈---.故答案为:(2,1)(1,0)---.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式11a S q=-中0||1q <<,属于中档题. 5．在数列{}n a 中，已知13a =.若对于任意大于1的正整数n，点在直线0x y --=，则2lim(1)nn a n →∞=+______.【答案】3 【解析】==，公差d ==即23n a n =，再由数列的极限运算即可得解.由题意0===，所以数列=d =()1n d -=，所以23n a n =，所以22223lim lim 3lim 3(1)132121100n n n n n n n n na n →∞→∞→∞=++++===+++. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了等差数列的判定及通项公式的应用，考查了数列极限的求解与运算求解能力，属于中档题.6．如果函数()log a f x x =的图像经过点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2lim n n a a a →∞+++=______.1【解析】先根据题意求出a 的值，再有等比数列前n 项和公式列出2n a a a +++的和，再用极限的方法即可求解.将点1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭代入()log a f x x =，可得1log 22a =，即a =所以212⎫⎪-⎪⎝⎭+++=nna a a 所以()21221limim l →∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=⎝⎭n n n n a aa .1【点睛】本题主要考查用极限的方法求无穷等比数列各项的和，涉及到对数函数的应用，属于中档题.7．设数列{}n a 的前n 项和为221(*)n S n n N =+∈，则2lim nn nS a →∞=__________. 【答案】18【解析】先算出n a ，从而可求2lim n n nS a →∞，因为221(*)nS n n N =+∈，故3,142,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故()22222122121lim lim lim 1684224n n n n n S n n a n n →∞→∞→∞++====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：18. 【点睛】方法点睛：求数列极限时，要注意利用常见的数列极限来求解，如11lim0,lim 02n n n n →∞→∞==，还要注意合理变形，从而可以利用常见极限.8．等差数列{}n a 中，公差为d ，设n S 是{}n a 的前n 项之和，且1d >，计算()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭__________. 【答案】12【解析】下利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将()1nn S n a +用1a ，d和n 表示，再结合1d >求极限即可.因为{}n a 是等差数列，所以()11na a n d +-= ，()112n n n S na d -=+，所以()()()()21121111222111n n d d n n n a n na d S n a dn a n a dn a n d ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭==+++-++-⎡⎤⎣⎦，因为1d>，所以1lim0n n d→∞=，所以()1lim +1n n n n S n a d →∞⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭()212111222lim lim 12n n n n d d d n a n S n a dn a n a d d →∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭===+++-，故答案为：129．1,1100001,100012n n n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则lim n n a →∞=___________ 【答案】0 【解析】由题意可得1lim lim 2n n n n a →∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得答案.由题意可得10lim lim 2n n nn a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：010．设(),n n n P x y 是直线()*21+=∈+n x y n N n 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1→∞+=-n n ny x _____. 【答案】1 【解析】当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，故11lim 1n n n OP y x k →∞+=--，代入计算即可得结果.因为lim11n nn →∞=+，所以当n →∞时，直线方程无限趋近于直线21x y +=，又直线21x y +=与圆222x y +=在第四象限的交点坐标为()1,1P -，11+-n n y x 表示点(),n n n P x y 与点()1,1P -连线的斜率，当n →∞时，(),n n x y 无限趋近于点(1,1)-，因此，极限11lim11n n n OPy x k →∞+=-=-. 故答案为：1 【点睛】本题考查极限的计算，考查两点斜率公式，考查了转化与化归的思想.11．1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】2 【解析】先化简原式为22lim()lim()221n n n n n→∞→∞=++，即得解.由题得1111lim 11113452n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234122lim lim()lim()22345221n n n n n n n n n→∞→∞→∞+⎡⎤⋅⋅⋅⋅===⎢⎥++=+⎣⎦. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知2231lim 45n n cn n an bn →∞⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，则a b c ++=__________. 【答案】92【解析】先对所求的极限通分化简，再分析分子分母项的系数求解.因为()3222322224341313144lim 4lim lim →∞→∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫⎛⎫++++---== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n an b n cn n cn n cn an bn n an bn an bn an bn ，若0a ≠则极限不可能是常数，所以0a = ，所以()3224341lim →∞⎛⎫-+-++= ⎪+⎝⎭n an b n cn an bn ()2341lim →∞⎛⎫-++ ⎪⎝⎭n b n cn bn ，同理340-=b ，解得 34b =，所以 ()2134114lim lim lim 533344→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪-+++==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n c b n cn cn c n bn n ，解得154c =，所以a b c ++=92故答案为：92【点睛】本题主要考查数列极限的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．2222212342lim ...11111n n n n n n n →∞⎛⎫+++++=⎪+++++⎝⎭____________ 【答案】2 【解析】先求出和，再由极限定理求极限．2222222222(21)1234212222lim ...lim lim lim 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++⎛⎫+++++=== ⎪++++++++⎝⎭212lim211n n n→∞+==+，故答案为：2 【点睛】本题考查求数列的极限，对于和的极限需先求出和，然后再求极限，不可先极限再求和．14．数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+． ①存在1a 可以生成的数列{}n a 是常数数列；①“数列{}n a 中存在某一项4965ka =”是“数列{}n a 为有穷数列”的充要条件； ①若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是()(),11,2-∞-；①只要113232k k k ka +-≠-，其中*k N ∈，则lim n n a →∞一定存在；其中正确命题的序号为__________. 【答案】①① 【解析】根据已知中数列{}n a 满足*142()1n n n a a n N a +-=∈+．举出正例11a =或12a =，可判断①；举出反例115a =，可判断①；举出反例12a =-，可判断①；构造数列12n n n ab a -=-，结合已知可证得数列{}n b 是以32为公比的等比数列，进而可判断①．解：当11a =时，1n a =恒成立，当12a =时，2n a =恒成立，故①正确；当115a =时，则21a =-，由递推公式*142()1n n n a a n N a +-=∈+，可知数列{}n a 只有这两项，数列{}n a 为有穷数列，但不存在某一项4965k a =，故①错误；当12a =-时，()()1,11,2a ∈-∞-，此时210a =，33811a =，数列不存在单调递增性，故①错误；1421n n n a a a +-=+∴142331111n n n n n a a a a a +---=-=⋯++① 且142242211n n n n n a a a a a +---=-=⋯++①①÷①得：11113222n n n n a a a a ++--=--令12n n n a b a -=-，则数列{}n b 是以32为公比的等比数列则113()2n n b b -=11111132()112233()1()122n n n n b a b b ----∴==+--当113232k k k k a +-≠-时，11123()12n b -+-的极限为2，否则式子无意义，故①正确故答案为：①① 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题15．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*n N ∈，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k N ∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭，则k =__________ 【答案】2 【解析】由等差数列通项公式得21n a n =-，由新定义可得212n n b a kd n k =+=-+，11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k==---+--+，分别讨论1k =，2，3，⋯，m ，求得的极限，由数列的单调性可得2k=．由等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，可得12(1)21n a n n =+-=-，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，可得212n n b a kd n k =+=-+，由11111()(21)(212)221212n n a b n n k k n n k ==---+--+，则1122111111111(1)21233221212n n a b a b a b k k kn n k++⋯+=-+-++-++--+，当1k =时，若1122111111111lim()lim (1)23352121n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+，不成立；当2k=时，112211111111111lim()lim (1)4537592123n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 1111141lim (1)432123433n n n →∞=+--=⨯=++，成立；当3k=时，112211111111111lim()lim (1)67395112125n n n n a b a b a b n n →∞→∞++⋯+=-+-+-++--+ 11111112323lim (1)63521232561590n n n n →∞=++---=⨯=+++，不成立；同理可得km =时，1122111111lim()(1)2321n n n a b a b a b m m →∞+++=+++-，由1111(1)23213m m +++=-，即11213213m m +++=-，可设11213213m mc m =+++--，1120213m m c c m +-=-<+，可得{}m c 递减，20c =，可得仅有2k=时，11221111lim()3n n n a b a b a b →∞+++=，故答案为2．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．二、单选题 16．下列关于极限的计算，错误的是（）A ．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+ B ．222242lim n n n n n →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭222242lim lim limn n n nn n n →∞→∞→∞=+++0000=+++=C ．)lim limnn n →∞=12n == D ．已知2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=-- 【答案】B 【解析】先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．2227lim 57n n n n →∞++=+221722lim 755n n n n→∞++=+，A 正确；①222222422211(1+2++)(1)12n n n n n n n n n n+++==⋅+=+， ①22224211lim lim(1)1lim 1n n n n n nn n n→∞→∞→∞⎛⎫+++=+=+=⎪⎝⎭，B 错；)limlimn n n →∞→∞=12n ==，C 正确；若2,3,n n n n a n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，()12lim n n a a a →∞+++需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即()12lim n n a a a →∞+++= 12222319121324----+=--，D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n 项和的极限时，需先求出数列的前n 项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．17．已知数列{}n a 满足12n n a pa +=+(0)p ≠，1a R ∈，则下列命题中的真命题是（）A ．2p =-，则数列{2}n a +一定是等比数列B ．1p >，10a ≠，数列{}n a 不存在极限C ．1p ≠，数列2{}1n a p +-一定是等比数列D ．0||1p <<，则数列{}n a 的极限为21p- 【答案】D 【解析】把递推式12n n a pa +=+变形为122()11n n a p a p p ++=+--，然后根据数列的概念进行判断．①12n n a pa +=+，①122()11n n a p a p p ++=+--，当2p =-时，若12a =-，则120a +=，数列{2}n a +一定不是等比数列，A 错；当1p >，10a ≠，当12=01a p +-时，201n a p +=-，即2=1n a p --，此时2lim 1nn a p →∞=--，B 错； 1p ≠，12=01a p +-时，数列2{}1n a p +-不是等比数列，C 错； 0||1p <<，若12=01a p +-，则2=1n a p --，此时22lim 11n n a p p →∞=-=--，若1201a p +≠-，2{}1n a p +-是等比数列，122()11n n a a p p p +=+--，122()11n n a a p p p =+---， 1122222lim lim[()]lim[()]11111n n n n n n a a p a p p p p p p→∞→∞→∞=+-=+-=-----，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推公式，考查数列的极限，解题时由递推公式变形构造出数列后，根据等比数列的定义判断新数列是否是等比数列，是等比数列的情况下求出数列的通项公式，再由数列的极限的定义确定是否存在极限，极限是什么．18．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（）A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=【答案】B 【解析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果.1lim lim03nnn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+= 故选：B 【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．下列命题正确的是（）A ．若lim ,lim n n n n a A bB →∞→∞==，则limn n na Ab B →∞=B ．若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=C ．若22lim nn a A →∞=，则lim n n a A →∞=D ．若0n a ≠，则lim 0n n a →∞≠ 【答案】B 【解析】利用举反例的方法排除A 、C 、D,并利用极限的运算法则判定B 对于选项A,当0B =时,lim n n na Ab B →∞=无意义,故A 错误；对于选项C,当()1nn a =-时,()22lim lim 11nn n n a →∞→∞=-=,此时lim n n a →∞不存在,故C 错误；、对于选项D,当1n a n=时,0n a ≠,但1lim 0n n →∞=,故D 错误；对于选项B,根据极限的运算法则,当lim n n a A →∞=时,()lim n n n a a A A →∞⋅=⋅,即22lim n n a A →∞=,故B 正确；故选：B 【点睛】本题考查举反例法处理选择题,考查极限的运算法则的应用20．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，P n + 2是线段 P n P n +1的中点，则点 P n 的极限位置应是（）A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b 【答案】C 【解析】由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．解：两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点1p 是线段 OQ的中点，点2p 是线段 QP 1 的中点，3p 是线段 P 1P 2 的中点，……1,22a P b ⎛⎫⎪⎝⎭∴ 2,2424a a P b b ⎛⎫++⎪⎝⎭∴ 3,248248a a a b b b P ⎛⎫+-+-⎪⎝⎭∴ 4,2481624816a a a a b b b b P ⎛⎫+-++-+ ⎪⎝⎭∴5,24816322481632a a a b P aa b b b b ⎛⎫+-+-+-+- ⎪⎝⎭∴……∴点n P 的位置应是()()()()()()()()234234,2222222222n n a a a ab b b abb⎛⎫⎪++++++++++ ⎪-----⎝---⎭其中()()()()()121234112211122262222122n n naa aaaa a aa --⎡⎥=-⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦++++++=+⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭---⎢⎣⎦-- ⎪⎝⎭故()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n a a a a a a a a a a-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ 同理()()()()1234312l lim 2im 1226226222n n n n b bb b b bb b b b-∞→∞→⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫++++++⋅--=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎢⎥⎪⎣=-⎪⎣⎦⎩⎭⎦ ∴点n P 的极限位置应是22(,)33a b．故选：C．【点睛】本题主要考查中点坐标公式和数列求和以及推理思想的应用．21．数列{}n a 满足1110,1810(*)n n a a a n n N +==++∈，记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则)n →∞=( ) A ．1B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入)n →∞求得答案.解：由已知1110,1810n n a a a n +==++，2118110a a ∴-=⨯+，3218210a a -=⨯+，118(1)10n n a a n --=-+，累加得：21(1)18[12(1)]10(1)101892nn n a a n n n n n -=+++⋯+-+-=+⨯=+， ()()22223996+1=31n n n n n n <+<++，331n n ∴+，3n ∴=，223n ====，则16n n →∞==. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题.22．若,,||||a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn n n n a b a b a a-+→∞→∞++>，则a 的取值范围为（） A ．1a >或1a <- B ．11a -<< C ．1a >或10a -<< D ．1a <-或01a <<【答案】D 【解析】根据数列极限运算法则化简11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>，求出关于a 的不等式，即可求解.11lim lim n n n nn n n n a b a b a a -+→∞→∞++>化为 1lim ))li ()(m(()n n n n b ba aa a →∞→∞>++， ||||,li 1(1)(1)(,m )0,0n nb a b a a a a a a →∞>∴=-+∴><，∴1a <-或01a <<.故选:D 【点睛】本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.23．若1lim 12n n r r +→∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（）A ．13r -≥或1r -≤ B ．13r >-或1r <- C ．13r >-或1r -≤ D ．113r --≤≤ 【答案】C 【解析】根据极限存在得到1112r r -<≤+，计算得到答案.1lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则1112r r -<≤+，解得13r >-或1r -≤故选：C 【点睛】本题考查了根据极限求参数的范围，忽略掉等号是容易发生的错误.24．若lim()n n n a b →∞+存在，则有（） A ．lim n n a →∞与lim n n b →∞一定都存在 B ．lim n n a →∞与lim n n b →∞只能有一个存在 C ．lim n n a →∞与lim n n b →∞不可能都不存在 D ．lim n n a →∞与lim n n b →∞或者都存在，或者都不存在【答案】D 【解析】逐个选项判断在lim()n n n a b →∞+的极限存在的条件下，各个命题是否成立。

结构按极限状态法设计计算的原则

表2-1所列公路桥梁结构的设计使用年限是在总结以往实践经验，考虑设计、施工和维护的难易程度，以及结构一旦失效所造成的经济损失和对社会、环境的影响基础上确定的。
公路桥梁结构的设计基准期统一取100年。
13
2.1.2 结构的极限状态
1）结构工作状态与极限状态结构在使用期间的工作情况，称为结构的工作状态。当结构能够满足各项功能要求而良好地工作时，称为结构“可靠”，反之则称结构“失效”。结构工作状态是处于可靠还是失效的标志用“极限状态”来衡量。当整个结构或结构的一部分超过某一特定状态而不能满足设计规定的某一功能要求时，则此特定状态称为该功能的极限状态。
4
（3）极限状态法——不使结构超越某种规定的极限状态的设计方法。
半概率设计法近似概率设计法全概率设计法
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2.1 概率极限状态设计法的概念
2.1.1 结构的功能要求与可靠性
1）结构的功能要求工程结构设计的基本目标是在一定的经济条件下，使设计的结构在预订的使用年限内能够可靠地完成各项规定的功能要求，做到安全可靠、适用耐久和经济合理。
图2-3 可靠指标β与平均值mZ 关系图
结构可靠度既可用失效概率Pf来描述和度量，也可用β来描述和度量，工程上目前常用β表示结构的可靠程度，并称之为结构的
1）用作公路桥梁结构设计依据的可靠指标，称为目标可靠指标。它主要是采用“校准法”并结合工程经验和经济优化原则加以确定的。
6
2.1.1 结构的功能要求与可靠性
（1）安全性——在正常施工和正常使用情况下，结构能够承受可能出现的各种作用（指直接施加于结构上的荷载及间接施加于结构的、引起结构产生外加变形或约束变形的原因）。
在偶然事件（如地震、撞击等）发生时和发生后，结构产生局部损坏，但不致出现整体破坏和连续倒塌，仍然保持必须的整体稳定性。

金属材料疲劳极限估算的多参数经验公式

条件下的 D 值, 因此这种简单估算式的适用范围是很
有限的。此外, - 1 b 的浮动范围亦稍嫌大。但是这些
20080304 收到初稿, 20090216 收到修改稿。马少俊, 男, 1978 年 6 月生, 甘肃省平凉市人, 回族。工程师, 研究方向为疲劳断裂、寿命预测。
994
机
械
强
度
2010 年
1 经验公式的提出和表述
以往的研究[ 1] 91 93[2] 32 35 表明, 材料在循环周次为 107 下的光滑对称弯曲疲劳极限 - 1 与抗拉强度 b 存
在较好的相关性, 因而在一定程度上可以用 b 估算
- 1 , 并称 - 1 b 为材料的疲劳比。表 1 中给出一些金属材料的疲劳比。文献[ 2] 32 35 中给出求解结构钢 - 1
表 1 部分金属材料的疲劳比[1]91 93 Tab 1 The - 1 b value for som e met al m at er ials[1]91 93
材料 Mat erials
钢 St eel 铸铁 Cast iron 铝合金 Aluminum al loy 镁合金 Magnes ium alloy 铜合金 Copper al loy 镍合金 Nickel alloy 钛合金 Titanium alloy
D MPa
相对误差 % Rel ative error %
1Cr15Ni4Mo3N 棒材 Bar
1 040
1 379
579
507. 5
12. 4
490. 2
15. 3
1Cr15Ni4Mo3N
1 041
1 410
470
518. 9
10. 4

和差化积公式-极限运算技巧

和差化积公式-极限运算技巧和差化积公式属于微积分中的计算公式。

一般情况下我们使用这种公式时，一般都会把问题转化成函数的形式，再用乘积和化积公式来化积解题。

在做和差化积公式时我们往往会遇到这样问题：题目要求求和差值化积（求解解两个整数的差值),而我们却不知道求和差值时要考虑乘积（求值求出二次幂）和化积（求一次幂的和值）。

这个时候我们就需要借助和差化积公式来进行运算了——如果是求和差值的话，就需要先把问题转化为函数形式以后再进行运算；如果是求二次幂的话，那么在求二次幂形式时就需要先把问题转化为二次幂形式以后再进行运算。

那么我们可以借助二次方对数和差值的计算来进行极限运算。

一、求解两个整数和差的平方这道题，我们可以通过构造函数的方式来求求和差值。

因此，我们先把求和差值这道题转化为函数形式以后，再进行极限运算。

在求和方程求出二次方对数以前可以先计算一下第二个对数——整数和差，一般情况下2+1=3的对数和差都是7个整数，所以该题目要求把第二个数也就是7个整数代入公式求出和差的平方。

而在求求和方程求出和差平方后就可以把第一个和差转化为函数形式再进行计算。

例1.求和1-3这个对数有多少个平方？1、求这个对数有几个平方？我们先来看第一道题：求一个两个整数(2+1)的和，求出它的平方根，求一个两个数(2+1),求一个差(3+1),求一个数(2+1),求1+1,求这个对数有几？答案:3+1个平方:3*4等于2;4*5等于3;5*6等于4;6*7等于4;7+8等于5。

当然我们还要知道这个对数的平方是几个，因此在求这个两个对数时要进行极限运算，将它转化为2+2+2+2的倒数，求解这个对数的4个平方；将它转化为3+2+2+2的倒数，求解3+2+2+2+2+2+2+2+2=6。

所以在答案中不能直接求这个对数中某两只整数的平方，而是需要在极限运算中将它转化为某两个因数(2+2+2+2+2+2+2+2+2<2=2+9>2+6>2),然后利用极限运算中求解对数中两只因数(2+1+2+2–1)乘以和差后求出这个对数一共是6个平方。

管路气体极限流量计算公式

管路气体极限流量计算公式在工业生产中，气体的流量是一个非常重要的参数，它直接影响到生产设备的运行效率和生产质量。

因此，对于管路气体的流量进行准确的计算和控制是非常必要的。

在实际工程中，我们经常会遇到需要计算管路气体极限流量的情况，这就需要我们使用相应的计算公式来进行计算。

管路气体极限流量是指在一定条件下，气体通过管路的最大流量。

通常情况下，我们会通过一定的实验或者计算来确定气体的极限流量，以便在实际生产中进行合理的控制和调整。

下面我们就来介绍一下管路气体极限流量的计算公式及其相关内容。

首先，我们需要了解一下管路气体极限流量的计算公式。

根据流体力学的基本原理，我们可以得到如下的计算公式：Q = Cd A sqrt(2 ΔP / ρ)。

其中，Q表示气体的流量，单位为m3/s；Cd表示流量系数，无单位；A表示管道横截面积，单位为m2；ΔP表示管道两端的压力差，单位为Pa；ρ表示气体的密度，单位为kg/m3。

从上述公式可以看出，管路气体极限流量的计算涉及到了流量系数、管道横截面积、压力差和气体密度等几个参数。

下面我们将逐一介绍这些参数的计算方法。

首先是流量系数Cd的计算。

流量系数是一个无量纲的参数，它反映了管道内气体流动的阻力和流动状态。

一般情况下，我们可以通过实验或者查阅相关文献来获取流量系数的数值。

对于常见的管道形式和气体种类，流量系数的数值是可以查到的。

在实际计算中，我们直接采用已知的流量系数数值即可。

其次是管道横截面积A的计算。

管道横截面积是指气体流动的通道截面积，它是一个与管道尺寸相关的参数。

一般情况下，我们可以通过管道的直径或者截面积来计算管道横截面积。

对于圆形截面的管道，横截面积可以直接通过管道直径来计算；对于其他形状的管道，我们可以通过相应的几何公式来计算横截面积。

接下来是压力差ΔP的计算。

压力差是指管道两端的压力差值，它是管道气体流动的驱动力。

在实际工程中，我们可以通过传感器或者仪表来获取管道两端的压力差值。

名义屈服极限计算公式

名义屈服极限计算公式材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的学科。

在材料力学中，名义屈服极限是一个重要的参数，它是材料在拉伸过程中发生塑性变形的临界点。

在工程设计和材料选择中，名义屈服极限的计算是必不可少的。

本文将介绍名义屈服极限的计算公式及其应用。

一、金属材料的金属材料的名义屈服极限计算公式是材料力学中最基本的公式之一。

根据材料力学的基本原理，金属材料的名义屈服极限与材料的弹性模量、屈服强度和材料的形变硬化指数有关。

其计算公式如下：σf = Kεp^n其中，σf为金属材料的名义屈服极限，K为常数，εp为材料的塑性应变，n为材料的形变硬化指数。

在实际应用中，常数K和形变硬化指数n是通过实验测定得到的。

二、非金属材料的除了金属材料，非金属材料的名义屈服极限也是材料力学中的重要参数。

非金属材料的名义屈服极限计算公式与金属材料的计算公式有所不同。

根据非金属材料的特点，其名义屈服极限与材料的弹性模量、断裂韧性和材料的形变硬化指数有关。

其计算公式如下：σf = Kεp^n + K1K2K3K4K5K6K7K8K9K10其中，σf为非金属材料的名义屈服极限，K、K1、K2、K3、K4、K5、K6、K7、K8、K9、K10为常数，εp为材料的塑性应变，n为材料的形变硬化指数。

在实际应用中，常数K、K1、K2、K3、K4、K5、K6、K7、K8、K9、K10和形变硬化指数n是通过实验测定得到的。

三、名义屈服极限计算公式的应用名义屈服极限计算公式在工程设计和材料选择中有着广泛的应用。

在工程设计中，名义屈服极限的计算可以帮助工程师选择合适的材料和确定合理的结构尺寸。

在材料选择中，名义屈服极限的计算可以帮助材料科学家评估材料的性能和优缺点，从而选择最适合的材料。

总之，名义屈服极限计算公式是材料力学中的重要内容，其应用范围广泛，对于工程设计和材料选择都有着重要的意义。

极限计算

010000000⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩→→≠∞⨯=∞⨯=±∞±⨯∞⨯=∞⨯=∞∞≠∞∞==±∞ 有界（三角有界，有界扩大使用:要分未定型洛必达①结构判断“或”构造等价无穷小①分离部分各极限存在四则运算满足②分离项是有限的(无穷个0相加0)析不包含“0，”的情况如:震荡函数(有点)0ctgx 0,0sinx(无点)=常化简②能分离的先分离：算式：有界，，，，③四则运算极限0用）1()lim ()lim (1)lim ()()(),lim ()0()()00lim ()()(),lim 0a x f x f x A f x Aa x x f x A f x x A x x f x x x f x A f x x A x x αααβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⨯±→=⇒+=→∞→∞=⇒=+=→→=⇒=+→∞→：以和差积形式分离(极限存在)的讨论可单独，不再化入整体内④可合并的先合并：求导式合并构造法：常用：，，扩展，其中且比高阶去符号法其中()()()0()00000111100010lim ()ln ()00()001lim ()00lim ()x x f x f x g x f x g x f x e x x a f x x ββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=∞∞∞∞∞⨯∞∞∞∞∞-∞⨯∞→⨯∞∞→=∞∞∞∞→⨯∞=→→≤→ 且比低阶①未定型：，，且连续可导（如果只是可导则只能用定义）②可化未定型：0，-，，，，洛必达法③倒化：0，-④对数化法：，，，0，击逼定理lim ()()lim ,()()()lim lim lim lim lim lim )1111lim ()()(0a f x a a x f x g x f x g x x x x f x f x x x x x x f x f x x x x i f f d n n n n x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤⇒=→→∞→∞→∞∞⇒→→→≠⇒=∞→→→=⎰∆→∞其中两边的可用缩放法求得洛必达未定型：则，g()=,g()()=A ()=0夹逼推论g()=0,g()()=A 0(化积分法：1)()01lim ()()lim ,lim ln ()ln lim ()10,0,0000n f x dx i f x f x e e f x f x x x x x x t x t u x u x x u x x ⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩=∑⎰===→∞→∞→∞→∞-+→-=→→∞=→→-=→⇒→降幕换元法化简结构时时时目标：尽量使分母出现常数，易导式，项少极限值>0极限内部乘除结构：负负或正正得正，要确保部分能判断正负保号原理不可作“”判断“正负”，lim ()(1cos )2()0,lim ()(1)2()0,()2()()000()()lim ()lim '()0()()0,()()f x x f x f x x f x f x x f x x x x f x x f x F x f x x x x x f x x f x οο⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-=⇒>-=⇒>=+⇒>→→→+∆-==∆∆→∆→∞<→>→+∞例()0可作“0 化导数法：泰勒公式法放缩法：g 存在极限g 不存在⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩()()()2222200011()()(1113sin cos 3sin cos cos3sin lim lim lim (1cos )(1)2221111()1()1()122122x x x x x f x f x x x x x x x x x x x lin x x x x tgx x tgx x a f x f x x x x f x x a ）例：【可分离】：分离根式例：不等价，结构不满足例：【构造】：→→→+=--++==+++--⨯-→→-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦{}23330021122cos 11cos 122()23lim 2,()2(1)(),201()2lim2,()2(1)()21()lim ,lim ()2,1x x x x x x a e x x e x e x x x x f x f x x x x x f x f x x x x x f x ax f x ax xe e例取使分母有常数项较容易讨论【构造】：例：【去符号】可设可设(1)每次使用洛必达极限都存在:例：【夹逼】：αα→→++-+±→+==++→+==++→∞+++++22"''03400(0)0,lim '()30'(0)0,lim "()60"(0)0(0)126()2()(2)lim ,(),lim ()01"""1lim x x x x t x x x f f x ax f f x ax f f a f x x x e e dt a b x f x b f x x x 由此可泰勒展开:代入必有例：【化导数】"互补函数求α→→-→∞→∞→∞=⇒=+=⇒=+=⇒=⋅⋅⋅⋅===++==+∞⇒∞==+-=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎰ []22222222210(sin 1sin ),,11'()cos 121lim (12(1)1111lim (1()1()1(),1,(1,21,)n n x x t x x f x x n n n n nn n i nn n n n nx dx n i n n 可令f(t)=sin t f(x+1)-f(x)基本函数存在：原式=例：【化积分】先提再求注意处理：有变化处εεε→∞→∞+-∈+==+--+-+---=-+⋅⋅⋅⋅-+-=-→⋅⋅-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎰ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩()[][]12sin ,ln(1),(1cos ),2113sin ,1,arcsin ,,6()()]()()]()(1~ln ,)()1()(lim (0))](1)ln[1ln[1,lim ()ln[1,(n n x a x a f x x tgx x x x x x x x x x x x e x x arctgx x x x x g x f x g x f x g x f x g x f x e f x e e n x n x e x f x +---+→⇒-+=++=+= 下极限存在等价公式)0||0(1)lim lim 1ln ||0,ln ||0x x x n n x x e nx x x e x →→∞-→⇒+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪+⎪⎪==⎩ 倒化可证： 1)1)lim ,,21lim lim 11n n a a a a a a a an n x a n n a a A A n n n n a n a a n n a n+1级数f(a 收敛0n a n a n+1级数f(a 发散n a n a n 定理：则n 项连乘：三角连锁，拆项互消，化对数和差互消数列比较法求极限用公式求数列极限：与A 比较不等式有界步骤假设极限存在所求假设成立与比较单调性【⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭<→∑>→∞∑∑=⋅⋅⋅∑→∞==⇒+→→⇒⇒⇒+ ()lim 0lim lim 1lim 1,(0),lim 1,lim 0f a A n n q a a A n n n n kn n n a a n n n n n a 特】非单调：定义+放缩极限存在其中|q|1,n 公式ε⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⇒-<=≤==+→∞→→=>==→∞→∞→∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→→),(lim lim ),(lim0000),(),(y x f y x f y y x x y x y x 极限都存在下：{}111103,(3)1lim (3),02()3(3200,(li 2)021()332nn n n n n x xx x x n n n x A A A A A nx x n x x n n x x xn n x A k x A k x A x A k x A k x n A ++→-<-⋅⋅⋅<⋅-=->-⋅⋅⋅>⋅<<=-+==-⇒==→∞---=-=≤⇒+-+比较的方法①根式倒化，化正数结构“符号”判断正负②数例：求极限n(1)假设极限存在：存在，则A 舍去与A ：有列递推式上界,或因为2()011(3)m 0)32nn x x n nx x x x n n n n x x x n n nk →∞⇒--=≥⇒=+→+⇒-+⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎫⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎭⎪⎩根式倒化比较方法：化正数结构“符号”判断正负结假设成立(3)A 与：单调增合000lim (),lim ()()lim,(0),lim (),lim ()lim ()x x x x x t x f x c y c x f x x x x x f x a a f x b y ax b x x x t f x c f x c→∞→→∞→∞→→==→±∞⎧⎪=∞=→±⎪⎪⎨=≠==+→±∞⎪⎪⎪→⇒→⇒==⎩渐近线：最多六条【图记忆】为水平渐近线，分，为铅垂渐近线，分且为斜渐近线，分极限递推：亦即00000|()()|..........0||lim ()()||.........lim |()|.....||lim ()()()()(()||()|||))|x x n n n x f x f x x x f x f x x A n x Af x A x f x Ax f x A x x g n N g g x N g εεδεεεεδ→→∞→∞-<⇐<-<=-<⇐>=-⇐>=-=====-0极限定义可取得,则：可取得,则：<可取得,则：可取得情况：与，与|f(x)-f(x 00000|()()|||||||,/0||lim li ())m (n x f x f x k x x x g n g x x k x x k x x N εδεδ→∞→∞⎧⎧-≤-⎪⎨-⎨⎩⎪-<⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=⇒<-<⎩⎪⎪⎩结构相似常数项k 可在放缩中取得①变化目标：步骤：结构提取②取，得证可取得情况:存在存在x x 函数单调有界极限必存在极限不存在：震荡函数，周期函数，无最值tgx分段函数极限不存在：左右极限不相等注：无定义极限存在判在断也可能存=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩左右极限相等但无定义：可去间断点第一类：左右极限都存在左右极限不相等：跳跃间断点第二类：其他情况，左右某个极限不存在，无穷间断，震荡间断极限间断【图形记忆】()lim 0lim (,)?lim (,)()()0,00(lim (,),(b a n g x nx x F x a a F x a a x f x f x x x x n f x n dx →∞→→→==→∞-+→→⇒∈⎰1x e ⑤分类讨论①型，实为分段函数，在极限内部a 为自变量，x 作参论②型，化简后讨论，作，端点讨论③|x|,[x],max[f(x),g(x)]，等作与讨论④g(x)是x 的几阶无穷小判断：待定系数法，极限存在能使极限存在的最小值)在区间x lim lim lim ,)ln()ln(),1n n n x n x n a b e x e x nx x n n n →∞→∞→∞++>→∞⇒±⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩上分段讨论⑥抓大头讨论极限是否存在：时>不存在参数的讨论取值：不同单调区间，发生变化区间，极限发生变化取值2121sin sin sin 1lim 2,11sin lim ,(2)()lim()sin 1|| 1.()1.........(1)|| 1.()1,(1)x x x n t xxn n t x x x x x ax bx t f x e x x x f x ax bx x f x x x f 0例：无定义，但x 1极限存在与它无关||f(x)-f(x )|=1|x-1|<取得时|x-1|<例：(1)f(x)=εδεδ→--→∞→-==→-=⇒++==+<=+>===⎧⎨⎩ [][]3220,,()(),(2)2,()2,()01(1)2,10,011105(45)4(45)x k f x f x e x k f x x k f x a b x x x x x x x x x x x x 1x-12间断，二类间断例：e 时极限不存在，因为值不等时，时例：【提公因式法】4x 已能确保极限存在πππ+-+-+-==→=+∞-=++→→→→=→=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎫⎨⎨⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=++⎪⎩。

已知极限值求参数的方法

已知极限值求参数的方法在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。

在求解问题时，有时我们需要根据已知的极限值来确定参数的取值范围或具体数值。

本文将介绍一些常见的方法和技巧，帮助读者理解和应用这一求解方法。

一、夹逼定理夹逼定理是一种常用的求解极限的方法，它的基本思想是通过夹逼函数来确定极限的值。

具体而言，假设我们已知函数f(x)和g(x)在某一点a的左侧和右侧的极限值分别为L和M，且存在另一个函数h(x)，使得f(x)≤h(x)≤g(x)对于所有的x都成立。

则当x趋近于a 时，h(x)的极限值也为L。

利用夹逼定理，我们可以通过已知的极限值来求解参数的取值范围。

例如，考虑函数f(x) = (x-a)/(x-2)。

当x趋近于2时，我们可以通过夹逼定理求解参数a的取值范围。

首先，我们观察到当x<2时，f(x)的取值范围为负无穷到正无穷；当x>2时，f(x)的取值范围为正无穷到负无穷。

因此，我们可以得到不等式组a-2≤f(x)≤a+2。

根据夹逼定理，当x趋近于2时，f(x)的极限值为a。

因此，a的取值范围为[-2, 2]。

二、洛必达法则洛必达法则是另一种常用的求解极限的方法，它通过对函数的导数进行分析来确定极限的值。

具体而言，假设我们已知函数f(x)和g(x)在某一点a的导数分别为f'(x)和g'(x)，且g'(x)≠0。

如果f'(x)/g'(x)的极限值存在或为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限值也存在且等于f'(x)/g'(x)的极限值。

例如，考虑函数f(x) = (x-a)/(x-2)。

当x趋近于2时，我们可以通过洛必达法则求解参数a的取值范围。

首先，计算f'(x)和g'(x)的值，得到f'(x) = 1/(x-2)和g'(x) = 1。

当x趋近于2时，f'(x)/g'(x)的极限值为1。

旅游极限天数计算公式

旅游极限天数计算公式在规划一次旅行时，我们常常会面临一个问题，给定的时间内，我们想要尽可能多地游览景点，但又不希望行程过于紧张，导致旅行变得疲惫。

为了解决这个问题，我们可以利用旅游极限天数计算公式来帮助我们规划行程，使得旅行既充实又舒适。

旅游极限天数计算公式的核心思想是通过考虑景点的重要性和游览的时间成本，来确定在给定的时间内最合理的行程安排。

下面，我们将介绍一下旅游极限天数计算公式的具体内容和应用方法。

首先，我们需要明确一下几个概念：1. 景点的重要性，不同的景点对于不同的人群来说，重要性是不同的。

一些人可能更喜欢自然风光，而另一些人可能更喜欢历史文化。

因此，我们需要对景点进行分类，确定其重要性的权重。

2. 游览时间成本，游览一个景点所需要的时间是一个相对固定的值，但对于不同的人群来说，游览时间成本也是不同的。

一些人可能更能忍受长时间的步行和等待，而另一些人可能更喜欢轻松舒适的游览方式。

因此，我们需要对游览时间成本进行量化，并考虑不同人群的偏好。

有了以上的准备工作，我们就可以开始使用旅游极限天数计算公式了。

该公式的具体内容如下：旅游极限天数 = Σ(景点重要性游览时间成本) / 旅行者的偏好系数。

其中，Σ表示对所有景点进行求和，景点重要性和游览时间成本都是根据具体情况确定的值，旅行者的偏好系数是一个反映旅行者偏好程度的参数，可以根据具体情况进行调整。

在使用该公式进行计算时，我们需要首先确定旅行者的偏好系数，然后对所有景点进行分类和评估，确定其重要性和游览时间成本。

接下来，就可以根据公式进行计算，得到旅游极限天数的值。

最后，我们可以根据得到的结果来安排行程，使得旅行既充实又舒适。

需要注意的是，旅游极限天数计算公式只是一个参考工具，实际的行程安排还需要考虑到其他因素，比如交通、住宿、饮食等。

因此，在使用该公式进行计算时，我们还需要结合实际情况进行灵活调整，以确保行程的顺利进行。

总的来说，旅游极限天数计算公式是一个非常实用的工具，可以帮助我们在规划行程时更加科学地考虑各种因素，使得旅行更加舒适和充实。

cpk计算方法

cpk计算方法
CPK计算方法是由工业精益提出的一项旨在改善生产过程质量的方法，是降低
和把控产品极限参数的重要方法之一。

CPK计算方法主要是从重复性和偏差两个方
面来考核产品质量，它有助于分析和改进产品过程，以便确保产品具有较高的质量。

首先，CPK计算方法以某种产品参数的允许最小最大值作为基准，即认为产品
的上限和下限，以小于或大于这个参数的值表示失去商业价值或危险性。

接着，利用该参数的实验值，运用相关的公式计算，如果该参数大于允许的限度，则认为该参数存在差距（或危险值），并依照此来判断其质量。

其次，CPK计算方法依据某产品参数的实际值来进行计算，一般要求该参数的
平均值定在允许区间内，而该参数不稳定性的实际应用，考虑该参数的重复性和离散程度，也就是它的标准偏差或标准差，以确定该参数是否符合使用要求。

最后，利用CPK计算方法可以找出生产过程中存在缺陷，帮助开发新的把控流程，来保证产品的实际表现接近预期的质量水平。

由此可见，CPK计算方法是项精益质量管理实践的重要组成部分，它能够有效
衡量过程偏差，把控参数合格范围，发掘隐藏问题，并可以预测产品质量情况，确保生产过程质量达标。