第二章 对偶问题

引例 1 生产计划问题 max Z 2 x1 3 x2 原问题 某工厂用三台设备生产两种产品，已知的条 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 件如表所示，试制订总利润最大的生产计划 1 2
3 x2 9 设备 I产品 x1 , x2 0
II产品
总有效台时
则有
CX 。 Yb
三、最优性定理
ˆ,Y ˆ 分别是(1)和(2)的可行解，且 如果 X ˆ Y ˆb，则 X ˆ,Y ˆ 分别是(1)和(2)的最优解. 有 CX
原问题 max Z CX
对偶问题 min Yb
YA C s.t. （4） Y自由变量
AX b s.t. （3） X 0
0 6 1 1 0 1. 得到原问题的基本可 A 行解的同时，其检验 5 2 1 0 1
例： max( ) 15y1 松弛变量 24 y2 5 y 0 y 4 0 y5 3 ←→ 决策变量
5 x2 15 ←→剩余变量 6 y2 y 4y 2 6 y2 2决策变量 3 y 4 3y 6 x 1 2 x2 24 基变量 ←→非基变量 y12 y2 y y y 1 5 y15 y y 1 2 3 5 2 3 5 x x 5 2 1 非基变量 ←→ 基变量 y 0 , i 1 , 2 , , 5 i 0, i 1, 2, ,5 y i x1 , x2 0
x1 2 x 2 2 x3 3 x 4 20 2 x1 x 2 3 x3 2 x 4 20 x 0 ( j 1,2,3,4) j
其对偶问题为： minW 20y1 20y 2
y1 2 y 2 1 2 y y 2 1 2 2 y1 3 y 2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y 2 0
1
i 1
m
2.5
对偶单纯形法
例： min 15y1 24 y2 5 y3 6 y2 y3 2 5 y1 2 y2 y3 1 y 0, i 1,2,3 i 原问题
小结：在单纯形表格中
数的相反数就构成了 0 6 1 1 0 对偶问题的一个基本 A 解。
min b Y
T
T
AT Y T C T 对称式对偶 s.t. Y 0 max min
价值向量 限定向量
限定向量b 价值向量C
m个约束，n个变量
约束条件“≤”
n个约束，m个变量
变量“≥”
变量“≥”
约束条件“≥”
原问题 max Z CX
对偶问题
min bT Y T
T T T AX b A Y C s.t. s.t. 非对称式对偶 X 0 Y自由变量 min max
1 、松弛变量与对偶变量的乘积有什么关系？
松弛变量与对偶变量的乘积=0 2、对偶问题的最优解与什么对应？ 对偶问题的最优解是原问题松弛变量检 验数的相反数. 结论：将原始单纯形表中松弛变量的检 验数反号恰好得对应对偶问题的一个解。
事实上，我们把原始问题写成
max Z CX 0 X S AX IX S b X , X S 0
基变量
X3 X1
X1
X2
X3
X4
X5
解
0 1
0 0
1 0
5/4 1/4
-15/2 15/2 -1/2 7/2
X2
0
0
1
0
0
0
-1/4 3/2
-1/4 -1/2
3/2
-17/2
-Z(目标)
检验数全部<0,于是得到最优解为
X=(7/2,3/2,15/2,0,0) ,最优值为:Z=17/2, 把松弛变量的检验数的相反数(0,1/4,1/2)带 入对偶问题中,看有什么规律?
目标函数中变量的系数
m个 第i个为 约束条件 第i个为 第i个为
约束条件右端项
m个 yi 变量 yi yi 无约束
约束条件右端项
目标函数中变量的系数
例2：给出下列线性规划的对偶问题： min Z=2X1+ 8 X2 -4X3 X1+3X2 – 3X3 > =30 -X1 +5X2 + 4X3 =80 st. 4X1+ 2X2 -4X3 < =50 X1 < =0, X2 > =0, X3 无约束 其对偶问题为： MAX w=30 y1 +80 y2 +50y3 y1 - y2 +4y3 〉=2 st. 3 y1 +5y2 +2 y3 <=8 -3y1 +4y2 -4y3 =-4 y1 >=0, y2 无约束，y3 <=0
（ 1）
其中 其对偶问题写成
X S ( xn1 , xn2 ,, xnm )T
minW Yb 0YS
YA YS C Y , YS 0
（ 2）
其中
YS ( ym1 , ym2 ,, ymn )T
T 设 (X T , X S ) 为原始问题（1）的一个基本可行解
四、强对偶定理 对于一对对偶问题，其中一个有有限最优 解，则另一个也有最优解，且两个目标函数值 相等。 五、无界性定理
对于一对对偶问题，若一个有无界解， 则另一个无可行解。
例 3 已知原问题 maxZ x1 2x2 3x3 4x4
x1 2 x 2 2 x3 3 x 4 20 2 x1 x 2 3 x3 2 x 4 20 x 0 ( j 1,2,3,4) j
A B C
单位产品的利 润（千元）
2 2 12 对偶问题 1 2 8 min 12 y1 8 y2 9 y3 0 3 92 2 y y 1 2 2 3 求max 2 y 2 y 3 y 3
y 0 i 1,2,3 i
1 2 3
换一角度：将设备卖出，售价定为多少适宜？
原问题的松弛变量为: X5 , X6 , 对偶问题的剩余变量为: Y3,Y4, Y5,Y6, 将(6/5,1/5)代入1)和2)知: Y3,Y4, 均不为0,于是由松 弛互补定理知: X1, X2 , =0 又由 Y1>0,Y2>0和松弛互补定理知: X5 , X6 ,=0 从而,原问题的约束变为: 2X3 + 3X4 =20 3X3 + 2X4 =20 解此方程得: X3 = X4 =4 于是原问题的最优解为:(0,0,4,4)
其对偶问题为： minW 20y1 20y 2
y1 2 y 2 1 2 y y 2 1 2 2 y1 3 y 2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y 2 0
试估计它们的目标函数值的界，并验证弱对偶定理的正确性。
解: 由观察知
七、单纯形表的双重含义 例6：用单纯形法，解线性规划， （LP1） maxZ=2X1+ X2 5 X2<=15 6 X1+2 X2<=24 st. X1+ X2<=5 X1>=0, X2>=0
对偶问题为: （LP2） min W=15Y1+24Y2+5Y3 6Y2+Y3>=2 ST. 5Y1+2Y2+Y3>=1 Y1>=0,Y2>=0
要求：1）写出对偶问题；
2）已知原问题的最优解为x1= -5, x2=0, x3= -1; 试根据对偶理论直接求出对偶问题最优解。
解：1）对偶问题 max 4 y1 6 y 2
y1 y 2 2 y y 1 1 2 y1 y 2 2 y1 , y 2 无 约 束
ˆ i 0时 ， 必 有 ˆ j bi ; 1 ） 如y aij x
j 1 n
Байду номын сангаас
六、互补松弛性定理
ˆ j bi 时 ， 必 有 ˆ i 0；i 1,2,, m 当 aij x y
j 1
ˆ j 0时 ， 必 有 ˆi c j ; 2 ） 如x aij y
i 1
YS 和 Y 中至少有一个小于零。
这时对应的对偶问题的解为非可行解。 当原始问题获得最优解时，表明 1 1 和 C C B A0 CB B 0 B YS 0 Y 0 , 即 此时对偶问题也同时获得最优解。
2.4 影子价格
一、影子价格的含义 根据资源在生产中作出的贡献而作的估 价。 是对第i 种资源实现最大利润的一种估计， 是对偶问题的最优解。 二、影子价格的特点 1.区别于市场价格，市场价格相对稳定； 而影子价格不稳定，依赖于资源的利用。
YS ,Y
上述对应关系如表
重要结论： 1.原始问题的单纯形表中，原始问题的松弛变量 的检验数对应于对偶问题的决策变量，而原始问题 的决策变量的检验数对应于对偶问题的松弛变量， 只是符号相反；
1 1 CB B A 2.在获得最优解之前， C C B B ，及 的各分 量中至少有一大于零，即
限定向量b 价值向量C
价值向量
限定向量
m个约束，n个变量
约束条件“=”
n个约束，m个变量
变量自由变量
原问题（对偶问题）
目标函数max
n个 x j 0 变量 x j 0 x 无约束 j
对偶问题（原问题）
目标函数min
第j个为 约束条件 第j个为 第j个为 n个
m
ˆ i c j时 ， 必 有 ˆ j 0；j 1,2,, n 当 aij y x
i 1
m