高一数学必修一指数对数幂函数知识点汇总
高一数学必修一指数对数幂函数知识点汇总
指数函数与对数函数之间是反函数之间的关系★指数及指数幂的运算1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N +当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：★指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .n√a n =an √a n=|a|=a,a ≥0-a,a<0n√a +n √an√a (n √a )n =a a n =n √a m m(a>0,m,n ∈N,n>1);(a>0,m,n ∈N,n>1);a n1ma n =m(a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2)(a r )s =a rs (3)(ab)r =a r ·b ry=ax(a>0,且a ≠1)y=a x且★对数与对数运算1.对数的定义(1)若=N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于ax=N （a>0,a ≠0，N>0）2.几个重要的对数恒等式a x a x a x a x a xa x a xy=a xy=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数log a 1=0，log a a=1，log a a b =log a (a b )=b3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即log 10N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中e=2.71828…).4.对数的运算性质如果a>0,a ≠1，M>0，N>0,那么①加法：log a M+log a N=log a (MN)②减法：log a M —log a N=log a ()③数乘：nlog a M=log a M n (n ∈R)④a=N⑤log M n =log aM (b ≠0，n ∈R)⑥换底公式：log a，b ≠1)★对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域.log a N M N a b n b且上是增函数上是减函数★幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.y=log a x>0(x>1)y=log a x=0(x=1)y=log a x<0(0<x<1)y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数y=log a x<0(x>1)y=log a x=0(x=1)y=log a x>0(0<x<1)y=xα(α∈R)2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果α<0，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当α=(其中p,q 互质，p 和q ∈Z )，若p 为奇数q 为奇数时，则y=x 是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则y=x 是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则y=x 是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数y=x,x ∈，当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 下方，若x>1，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 上方，若x>1，其图象在直线y=x 下方.q pααααqp qp αy=xy=x -1y=x 2(没有左)1y=x 2y=x 3y=x 2(左)y=x 3(左)y=x -1(左)y=x(左)。
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结
指数对数幂函数知识点总结_驻点销售工作总结指数、对数、幂函数是高中数学中常见的函数类型，也是大学数学的基础。
本文将从定义、性质、图像、求导等方面对这三类函数进行总结。
一、指数函数1. 定义：指数函数（exponential function）是以自然常数e为底，自变量为幂的函数，形如y=ae^x。
其中，a为实数，x为自变量，e为自然常数，其值约为2.71828。
2. 性质：（1）指数函数的值域为(0, +∞)，因为e的幂值为正或零。
（2）指数函数在x轴上有一个水平渐近线，当x趋近负无穷时，y趋近于0。
（3）指数函数是增函数，当a>1时，增长速度比x慢；当0<a<1时，增长速度比x快。
（4）指数函数的导数等于其本身：(e^x)’=e^x。
3. 图像：指数函数的图像呈现出增长迅速的指数曲线，当a>1时，函数图像上升缓慢，当a<1时，函数图像上升更加迅速。
其中，a为底，x为真数，y为幂次。
（2）对数函数在a>1时为增函数，在0<a<1时为减函数，在a=1时为常函数。
（3）对数函数的导数公式为ln’x=1/x，其中ln表示以自然常数e为底的对数函数。
对数函数的图像与指数函数的图像y=e^x互为反函数，其自变量和值域互换，因此对数函数表现为一个增长缓慢的曲线。
当底数a趋近于1时，函数的图像趋近于一条水平的直线。
三、幂函数（1）当a>1时，幂函数是增函数；当0<a<1时，幂函数是减函数；当a=0时，函数恒为1；当a<0时，函数在定义域内不是函数，因为幂次为偶数时函数为非负数，而幂次为奇数时函数为正负数。
（2）幂函数的导数公式为(ax^a-1)’=a^2x^a-2，其中a为常数，x为自变量。
总之，指数、对数、幂函数在数学领域中有着重要的地位。
它们不仅是高中数学的重点，也是大学数学的基础。
对于从事数理科学的人员来说，了解这些函数的性质和应用是必不可少的。
指数对数幂函数知识点总结9篇
指数对数幂函数知识点总结9篇第1篇示例：指数对数幂函数是高中数学中非常重要的内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
指数对数幂函数是一种特殊的函数形式，通过指数、对数、以及幂运算的组合，可以描述各种复杂的变化关系。
在本文中，我们将对指数对数幂函数的相关知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这一重要内容。
一、指数函数指数函数是以自然常数e为底的幂函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数a是一个固定的正数，指数x可以是任意实数。
指数函数的图像通常表现为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，其增长趋势取决于底数a的大小。
指数函数的性质有：1. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a小于1且大于0时，函数呈现下降趋势。
2. 指数函数在x轴上的水平渐近线为y=0，在y轴上的垂直渐近线为x=0。
3. 在0<a<1时，指数函数是单调递减的；在a>1时，指数函数是单调递增的。
4. 指数函数的导数为f'(x)=a^x * ln(a)，导数的值等于函数在该点的斜率。
1. 对数函数的图像是一条左开右闭的单调增函数。
2. ln(x)函数在x=1处的值为0，log(x)函数在x=1处的值也为0。
4. 对数函数的反函数是指数函数，即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。
三、幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为一个实数。
幂函数可以是单项式函数、分式函数以及多项式函数的基础函数形式。
幂函数的性质有：1. 当n为偶数时，幂函数呈现奇次函数的特点，曲线两侧对称于y 轴；当n为奇数时，幂函数呈现偶次函数的特点。
四、指数对数幂函数的综合应用指数对数幂函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。
在生态学中，人口增长规律可以用指数函数来描述；在物理学中，无阻射下的自由落体运动可以用幂函数来描述；在金融领域中，复利计算和收益增长也可以用指数函数和对数函数来分析。
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
高中数学-必修一4.1幂函数-知识点
高中数学-必修一4.1幂函数-知识点1、幂函数：y=x a（a是定值）.特征：①系数为1 ，且
只有1 项，②指数为常数，底数为自变量。
2、幂函数的图像，掌握两步法作图。
第一步：画出幂函数在第一象限的图像,如右图所示；
第二步：根据函数的奇偶性来确定剩余部分图像，需分类讨论：（1）当a是整数时
①若a是奇数②若a是偶数
y是奇函数，图像关于原点对称，另一半在第三象限。
y是偶函数，图像关于y轴对称，另一半在第二象限。
（2）当a是分数时，假定a=n/m（n/m是最简分数）
①n和m都是奇数②n是偶数，m是奇数③n是奇数，m是偶数
y是奇函数,图像关于原点对称,另一半在第三象限. y是偶函数,图像关于y轴
对称,另一半在第二象限.
x＜0时函数无意义,y是非奇
非偶函数,y轴左侧无图像.
3、幂函数的性质
（1）必过点必过点（1,1）；若a＞0，还必过（0,0）。
（2）单调性
①a＞0时，在第一象限严格增。
②a＜0时，在第一象限严格减。
（3）平移的规律左加右减，上加下减。
（4）定义域a＜0时,x不能取0，a为分数且分母是偶数时,x不能取负。
（5）值域(0，+∞)必取，0和(-∞，0)是否能取可结合图像来判断。
4、不同幂函数的指数大小的判断：在（0,1）上，指大图低（指数越大，图像越靠近x轴）；在（1，+∞）时，指大图高（指数越大，图像越远离x轴）。
5、比较幂函数值大小的方法：指数相同，底数不同，根据增减性去比较。
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1。
指数对数幂函数知识点总结8篇
指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。
它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。
在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。
本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。
指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。
指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。
2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。
3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。
4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。
5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。
3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。
5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。
三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。
幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。
第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。
在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。
一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。
指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。
高一必修一幂函数的知识点
高一必修一幂函数的知识点高一必修一：幂函数的知识点高一数学课程中，幂函数是一个重要的学习内容。
幂函数是一种常见的函数形式，在生活和工作中有广泛的应用。
幂函数的研究是数学中的重要课题，掌握了幂函数的知识，对于理解数学的其他分支，如微积分等，具有重要的意义。
本文将重点介绍高一必修一中幂函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用幂函数。
一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = ax^n (a ≠ 0, n为整数)的函数，其中a称为底数，n称为指数。
幂函数的图象一般呈现出曲线的形式，其性质包括：1. 定义域和值域：当指数n为正整数时，定义域为全体实数集，值域为(0, +∞)；当指数n为负整数时，定义域为非零实数集，值域为(0, +∞)与(-∞, 0)的并集，并具有一至多个零点；当指数n为零时，定义域为整个实数集，值域为{1}。
2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数关于原点对称。
3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数n为负数时，幂函数在定义域的两侧是递减的。
4. 极限性质：当x无限趋近于正无穷时，幂函数的值也趋近于正无穷；当x无限趋近于负无穷时，幂函数的值的符号取决于指数的奇偶性。
二、幂函数与图像的关系幂函数的图像是通过对幂函数的底数进行相同倍数的拉伸或压缩得到的。
具体来说，我们可以通过以下几个方面了解幂函数与图像的关系。
1. 底数a的变化对图像的影响：当底数a大于1时，幂函数的图像被压缩，曲线变得更陡峭；当底数a小于1时，幂函数的图像被拉伸，曲线变得更平缓。
2. 指数n的变化对图像的影响：当指数n为正数时，幂函数的图像在y轴上方增长，形成上升的曲线；当指数n为负数时，幂函数的图像在y轴下方增长，形成下降的曲线。
3. 圆形与直线的比较：幂函数的图像与圆的曲线相似，但在其特定区间内，幂函数的图像会出现与直线相切的情况，这时幂函数的曲线呈现出直线的性质。
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理
幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。
2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。
-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。
-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。
-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。
-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。
-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。
二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。
-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。
-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。
-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。
3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。
-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。
三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。
2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。
-对数函数关于直线y=x对称。
-对数函数的导数为1/x。
3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。
-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。
综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。
高中数学-必修一3.1~3.2幂、指数与对数-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修一3.1~3.2幂、指数与对数-知识点1、知识回顾：a s a t = a s+t ；a s ÷a t = a s-t ；(a s )t = a st ；(ab)t = a t b t ；n m an ma ﹣a 0= 1 (a ≠0)；当n 为奇数时，n m a = a ；当n 为偶数时，n m a 2、幂的基本不等式：当a>1,s>0时, a s >1 .3、对数log a N 中，a 是 底数，a >0且≠1 ；N 是 真数 ，N >0 。
指数式与对数式的互化：a x =N ⇔ x=log a N (互化口诀：底不变，值互换）.以无理数以10为底的对数4、常用的对数恒等式：①N a a log = N ；②log a 1= 0 ；③log a a= 1 。
5、对数的运算性质：①log a (MN)= log a M+log a N ；②log a N M = log a M-log a N ；③log a b n =nlog a b 。
（拓展形式：n a b m log = m nlog a b ）。
6、换底公式及变式：log b N= b log log a a N。
变式有：①log a b= a log 1b ，②log a b ×log b c= log ac .(拓展形式：log a b ×log b c ×log cd ×...×log m n= log a n .)7、对数运算思路：①化繁为简，将 底数 和 真数 化为 幂的最简形式 ，比如：log 1258化为352log 3；②运用运算性质，将真数的积、商、幂、方根转化为对数的 和、差、积、商 ，或公式反用，将对数的和、差、积、商转化为真数的 积、商、幂、方根 。
③如果底数不同，用 换底公式 变为同底对数。
最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结
最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结高中数学中，幂指数、对数和三角函数都是重要的知识点。
在学习这些知识点时，需要掌握它们的定义、性质、运算规则以及一些常见的应用。
下面将对这些知识点进行详细总结。
一、幂指数知识点总结：1.幂指数的定义：对于任意实数a和正整数n，a的n次方等于连乘n个a，记作a^n。
2.幂指数的运算法则：-幂的乘法：a^m*a^n=a^(m+n)-幂的除法：a^m/a^n=a^(m-n)-幂的乘方：(a^m)^n=a^(m*n)-幂的零次：a^0=1(a≠0)-幂的负次：a^(-m)=1/a^m(a≠0)-乘方的开方：(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a>0,m,n为整数)3.指数函数的性质：-正数指数函数的图像在整个实数轴上严格递增，并且以y轴为渐近线；-负数指数函数的图像在整个实数轴上严格递减，并且以x轴为渐近线；-指数函数的反函数是对数函数。
二、对数知识点总结：1. 对数的定义：对于任意正实数a和正实数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作logₐb。
2.对数的运算法则：- 对数的乘法：logₐ(b * c) = logₐb + logₐc- 对数的除法：logₐ(b / c) = logₐb - logₐc- 对数的乘方：logₐ(b^m) = m * logₐb- 对数的换底公式：logₐb = logₐc / logₐb，其中a ≠ 13.对数函数的性质：-正底对数函数的图像在(0，+∞)上严格递增；-负底对数函数在(0，+∞)上严格递减；三、三角函数知识点总结：1. 基本三角函数：正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)。
2.三角函数与幅角的关系：-正弦函数：在单位圆上，对应幅角x的点的纵坐标；-余弦函数：在单位圆上，对应幅角x的点的横坐标；-正切函数：在单位圆上，对应幅角x的点的纵坐标除以横坐标。
3.三角函数的周期性：-正弦函数和余弦函数的周期都是2π；-正切函数的周期是π。
高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理
高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二 幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．y ＝与y ＝定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )一、幂函数的概念例1 (1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案 AD解析 B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1 已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析 因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟 解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2 函数f (x )＝的大致图像是( )答案 A解析 因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟 比较幂值大小的方法跟踪训练3 比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解 (1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解 因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升] (1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案 A解析 由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案 C解析 因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案 B解析 幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案 A解析 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 ∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案 B解析 ∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案 [－5,4]解析 由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案 b <a <c解析 由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解 因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解 (1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案 B解析 y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案 9解析 由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案 1解析 由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结
最全的高中幂_指数_对数_三角函数知识点总结高中数学中的幂、指数、对数和三角函数是重要的数学概念和知识点。
这些知识点涉及到数学的基本运算、函数的性质和变化规律等内容。
下面是对这些知识点的详细总结：一、幂和指数1.幂函数：幂函数是以底数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为常数，x为实数。
幂函数的图像为指数增长或指数衰减的曲线。
2.指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，形如f(x)=a^x，其中a为底数，x为实数。
指数函数的图像为单调递增或单调递减的曲线。
3.指数运算法则：-a^m*a^n=a^(m+n)-(a^m)^n=a^(m*n)-(a*b)^n=a^n*b^n-a^(-n)=1/a^n-a^0=1,其中a不等于0-a^1=a二、对数1. 对数函数：对数函数是指以对数为自变量的函数，形如f(x)=loga(x)，其中a为底数，x为正实数。
对数函数的图像为单调递增的曲线。
2.对数运算法则：- loga(m * n) = loga(m) + loga(n)- loga(m / n) = loga(m) - loga(n)- loga(m^n) = n * loga(m)三、三角函数1.三角比：- 正弦函数 sin(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 余弦函数 cos(x)：在单位圆上，纵坐标为x点对应的边长除以圆的半径。
- 正切函数 tan(x)：在单位圆上，横坐标为x点对应的边长除以纵坐标对应的边长。
2.三角函数的基本性质：-三角函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
- 三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), tan(x + π) = tan(x)。
- 三角函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)。
- 三角函数的反函数：反正弦函数 arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数 arctan(x)。
新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数 知识点考点重点难点归纳总结
第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5， 综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5， 当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时 指数函数的图象与性质的应用知识点 指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小 【例3】 比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2， 又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】 解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：且图象过定点，即当.在在变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.。
必修一(8)指数函数对数函数及幂函数
指对函数及幂函数指对函数及幂函数三个基本函数的考查一直是高考必考重点，对于指对函数考查主要集中在图像性质（如定点、定义域、运算性质、单调性、复合函数单调性以及比较大小等热点考点），对幂函数主要考查五中基本类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一起考查，故在高一阶段应该打好基础，学好三种基本函数的基本性质及其运用. 一、基础知识回顾 （1）含零的指数幂运算： ○101(0)a a =≠○201(0)x x => （2）根式与分数指数幂的转化运算：1(0)n a ≥当，○21(0)nn a a a-=≠○301)nma a n =>>，○41(0)nm n ma a a -=> （3）指数幂的运算性质○1(0)m n m n a a a a m n R +=>∈，，○2()(0)m n mn a a a m n R =>∈，， ○3()(00)n n nab a b a b n R =>>∈，， 练习1 求下列函数的定义域：（1）20()(23)f x x x =+- （2）223()0x x f x --=（3）()f x =（4）324()(2)f x x x =--练习2 求下列式子的值：（1）314422 （2）78472⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22- （4）1216二、指数函数定义：一般形如(01)xy a a a x R =>≠∈且，的函数叫做指数函数，其中x 自变量是，a 是底数重要性质：2()01(01)10x x xf x a a ma na k t a a ⎧<<⇒⎫⇒∞⎪⎬>⇒⎭⎪⎪⎨⎪++==⎪⎪⎩单调递减均过定点，，值域为（0，+）,定义域为R 单调递增比较大小的方法：化成同底数或同指数方程思想：形如解方程可以将设将其转化为一元二次方程复合函数性质综合：（单调性：“同增异减”）题型1：考查图像 例1：已知2231()2x x f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭，求使()1f x >的x 的取值范围.解析：此题考查指数函数基本性质，因为()f x 的图像必过（0，1）且为减函数，故只需解2230x x +-< 解：()223031x x x +-<⇒∈-，练习1 求下列各式满足条件的x 的解集：（1）2()21x f x =< （2）3()39x f x -=< （3）223()0.51x x f x +-=<题型2：比较大小 例2：已知232343112223a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，比较a b c ，，的大小 解析：可以发现a b 与同底且结合1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，故有a b >，又a c 与同指数，可以由草图得知a c <解：b a c <<练习1 已知有23a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34bn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试在下列条件下比较m n ，的大小（1）a b = （2）00a b >>， （3）00a b <<， （4）00a b ><，（5）00a b <>，题型3：判断单调性求值域 例3：函数22()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域.解析：()()2g x f x =，根据复合函数“同增异减”得到()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ， 解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432， 练习1 函数221()2x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在[]12，上的最大值.练习2 函数223()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]21--，上的最大值.题型4：综合方程考查例4： 已知关于x 的方程211()32533x xf x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0)x ≥，求()f x 的最值.解析：此类形式可先将方程进行转化，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+，由于已知t 的取值范围，故进一步可求()f x 的最值.解：令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+当13t =，即1x =时，方程()f x 取得最小值，14(1)3f =； 当1t =，即0x =时，方程()f x 取得最大值，(0)6f =.练习1 已知关于x 的方程1()428x x f x +=--(0)x <，求()f x 的最值三、对数函数定义：一般若有(01)xa N a a =>≠，，则x 叫做以为a 底N 的对数，记作log a x N =，其中称a 为底，N 为真数.重要性质：1001(10)1=2.71828log ln 10log lg log 10log 1(01)log ()log log ;log log log ;log log ea a ba a a a a a a a a a e N NN a a a M MN M N M N M b M N <<⇒⎫⇒∞⎬>⇒⎭==>≠=+=-= 单调递减均过定点，，值域为R,定义域为（0，+）单调递增自然对数：以无理数为底的对数,将记作常用对数：以为底的对数，将N 记作常用性质：，且运算性质：恒等式：log log ;log log a N a M a N a N N M ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎩换底公式： 题型1：考查对数函数定义域例1 已知函数22()log (34)f x x x =+-，求函数的定义域解析：此题复合函数考查定有类型，2()340u x x x =+->解集即为函数()f x 的定义域 解：令2()340u x x x =+->解得41x x <->•或，故()f x 的定义域为()4(1)-∞-+∞ ，，练习1 已知函数22()log (34)f x x x =--，求函数的定义域.练习2 已知函数2()lg(23)f x x x =-++，求(2)(1)f x f x ++的定义域.题型2：考查单调区间且求最值例2 求函数()ln(35)f x x =+的单调区间解析：由题可求出函数()f x 的定义域为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，令35t x =+()0t >在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，且()ln f t t=在()0+∞，上为增函数，“同增异减”，故()f x 在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增解：()f x 的单调增区间为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.练习1 求函数23()log (6)f x x x =--的单调减区间题型3：考查对数运算 例3 求lg 25lg 4+的值解析：可以发现直接求值是行不通的，可以将原式运用对数运算性质进行化简 解：lg 25lg 4lg(254)lg1002+=⨯== 练习1 计算下列各式的值（1）22log 24log 3- （2）816log 16log 8+ （3）44log 92log 3-题型4：考查奇偶性 例4 已知函数1()log (1)1axf x a x+=>-，试判断函数()f x 奇偶性 解析：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，再运用其奇偶性判断方法构造()f x -，比较()()f x f x -与的关系解： 由101xx+>-得11x -<<（关于原点对称） 又()1111()log log log 111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭所以()f x 是奇函数 练习1 已知函数122()log 2x f x x +=-，试判断函数()f x 的奇偶性，若12()log 3f x a >恒成立，求实数a 的值 题型5：比较大小例5：设a b c d ，，，均为非负数，且有21122211log 2log log 2log 22a cb d a bcd ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，试比较a b c d ，，，的大小四、幂函数定义：一般形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，x 为自变量，a 为常数重要性质：11231232123a a y x y x y x y x y x y x y x --⎧⎪⎪⎨⎪⎪=======⎩判断：、指数为常数；、底数为自变量； 、幂系数为1比较大小：与指数函数一样化为同底或同指数奇偶性：当为奇数时，幂函数奇函数；当为偶函数时，幂函数为偶函数单调性：熟记，，，，，，图像题型：幂函数判断 例1 若122(3)3m m xn --+-是幂函数，求m n +的值解析：因为122(4)3m m x n --+-为幂函数，则必须符合幂函数的几个判断条件，由判断条件解出m n ，的值，则可以求出m n +的值解：由题意2312201330m m m m n n n ⎧-==-⎧⎪-≠⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩练习1 判断下列函数是否为幂函数：（1）2y x = （2）33y x =⨯ （3）2y x -=（4）1y x =+ （5）y x = （6）13x y +=（7）2x y = （8）12y x = （9）32x y = 练习2 若13()(2)mf x m x +=+为幂函数，求(4)f 的值.题型2：性质结合图像综合运用 规律：对于ay x =（a R ∈）由图像先判断a 的正负，图像过原点且在第一象限为增函数则0a >，若图像不过原点且在第一象限为减函数则0a <；其次判断奇偶性，若图像关于y 轴对称，则a 为偶数且幂函数为偶数，若图像关于原点对称，则a 为奇数且幂函数为奇函数；当1a >时，图像曲线在第一象限下凹，当01a <<时，图像曲线在第一象限上凸，当0a <时，图像曲线在第一象限下凹.经典巩固练习2. （2006福建）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<3. （2006湖北）设2()lg2x f x x +=-，则)2()2(xf x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4，－1) (1，4) C. (－2，－1) (1，2) D. (－4，－2) (2，4)4. （2006湖南）函数x y 2log =的定义域是（ ）A ．(0，1］ B. (0，+∞) C. (1，+∞) D . ［1，+∞) 5. （2006湖南）函数y =( )A.(3，+∞)B.[3， +∞)C.(4，, +∞) D .[4，+∞)7. （2006天津）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<8. （2006浙江）已知1122log log 0m n <<，则（ ）A. n ＜m ＜ 1B.m ＜n ＜ 1C.1＜ m ＜nD.1 ＜n ＜m 10. （2006全国）若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c11. （2005上海）若函数121)(+=x x f ，则该函数在(),-∞+∞上是（ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值12. （2005北京）函数2log y x =的图象是（ ）13. （2005）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ） A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]16. （2009北京）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 18. （2009全国）设2lg (lg )a e b e c ===，， ）A.B . C. D.19. （2010广东）若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 22. （2005湖北）函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是． 27. （2011四川）计算.28. （2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 29. （2011陕西）设lg 0()100xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，则((2))f f - =______.3lg10x y +=lg y x =a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>121(lg lg 25)100=4--÷大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。
指数对数幂函数总结归纳
指数对数幂函数总结归纳一、指数函数：1.定义与性质：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数。
当底数为正数且不等于1时，指数函数是增函数；当底数为0和1之间的正数时，指数函数是减函数。
指数函数在x轴的值为1，右侧的值逐渐增加或递减。
它具有这样的性质：a^x * a^y = a^(x+y)，(a^x)^y = a^(xy)。
2.图像：指数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线，称为指数增长曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线，称为指数衰减曲线。
图像通过点(0,1)，且在x轴右侧逐渐上升或递减。
指数增长曲线在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；指数衰减曲线在x趋近无穷大时接近x轴。
3.应用：指数函数的应用十分广泛。
它可以用于描述一些增长或衰减的现象，如人口增长、物质衰变等。
在金融领域，指数函数可以用于计算复利。
在工程中，它可以用于描述电荷的衰减和放电等。
二、对数函数：对数函数是指数函数的反函数。
它的一般形式为y = loga(x)，其中a是底数，x是真数，y是函数值。
1.定义与性质：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
当底数a大于1时，对数函数是增函数；当底数在0和1之间时，对数函数是减函数。
对数函数具有这样的性质：loga(x) + loga(y) = loga(xy)，loga(x^y) = yloga(x)。
2.图像：对数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线。
图像通过点(1,0)，且右侧的值逐渐增大或减小。
对数函数在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；在x轴右侧，它的值逐渐增大。
3.应用：对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
它可以用于简化复杂的乘法和除法运算，将其转化为加法和减法。
在计算中，对数函数可以用于求解指数方程，解决一些复杂的问题。
在物理学中，对数函数可以用于描述一些指数增长的现象，如地震的震级等。
三、幂函数：幂函数是以x为底数的多项式函数。
最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结
最全的高中幂指数对数三角函数知识点总结幂的基本概念：幂指的是将一个数乘以自己多次，即n个相同的数相乘的结果。
幂数指的是幂运算中的指数，表示要相乘的次数。
一、幂运算的基本性质：1.乘法法则：a^n*a^m=a^(n+m)将相同的底数的幂相乘，指数的和等于新的指数。
2.乘方法则：(a^n)^m=a^(n*m)将一个数的幂再次取幂，指数相乘得到新的指数。
3.幂函数的定义域：对于非零实数a，a^x在定义域上为全体实数。
二、指数的基本概念：1.指数是幂运算中的表示次数的数。
2.指数的性质：a^0=1(a≠0)a^(-n)=1/a^n三、指数函数：指数函数是以常数e为底的指数幂函数，记作f(x)=e^x。
指数函数的性质：1.指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。
2.指数函数的图像是递增的指数曲线，永远在x轴上方。
四、对数的基本概念：1.对数是指数运算的逆运算，表示求底数为其中一数的幂等于给定数。
2.对数的性质：loga(1) = 0loga(a) = 1loga(M * N) = loga(M) + loga(N)loga(M / N) = loga(M) - loga(N)loga(M^p) = p * loga(M)五、常用对数和自然对数：1. 常用对数：底数为10的对数，记作lg(x)。
2. 自然对数：底数为e的对数，记作ln(x)。
六、三角函数的基本概念：1. 正弦函数sin(x)：它的值等于直角三角形中对边与斜边的比值，定义域为全体实数。
2. 余弦函数cos(x)：它的值等于直角三角形中邻边与斜边的比值，定义域为全体实数。
3. 正切函数tan(x)：它的值等于正弦值与余弦值的比值，定义域为全体实数，但在x = (2n + 1)π/2 (n为整数)处无定义。
4. cosec(x)：它的值等于正弦函数的倒数，定义域为全体实数，但在x = nπ (n为整数)处无定义。
5. sec(x)：它的值等于余弦函数的倒数，定义域为全体实数，但在x = (2n + 1)π/2 (n为整数)处无定义。
最全的高中幂-指数-对数-三角函数知识点总结
最全的高中幂-指数-对数-三角函数知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一.幂 函 数一、幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图：归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳：幂函数在第一象限的性质：0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。
0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。
探究：整数m,n 的奇偶与幂函数nm x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？结果：形如nmx y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性（1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称； （3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型； 四、规律方法总结：1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像：2、幂函数),,,,(互质q p Z q p p qx y ∈==αα的图像：3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．二．指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、 幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()n na a a a n N =∈ 零指数幂：01(0)a a =≠负整数指数幂：1(0,)p p a a p N a -=≠∈分数指数幂:正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n =>∈>且 负分数指数幂的意义是:11(0,,,1)mnm nmnaa m n N n aa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地,函数ay x =叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数（我们只讨论a 是有理数的情况）． 3、幂函数的图象幂函数a y x =当11,,1,2,332a =时的图象见左图；当12,1,2a =---时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质:（1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时:①图象都通过点(1,1);②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
4)有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=(0a >，1a ≠，0N >）．1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-． log log n a a M n M =．(00M N >>，，0a >,1a ≠)b mnb a n am log log =（ a, b 〉 0且均不为1） 2．换底公式：log log log m a m NN a = ( a 〉 0 , a ¹ 1 ；0,1m m >≠)常用的推论：(1)log log 1a b b a ⨯= ；1log log log =⋅⋅a c b c b a ．（2)log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1)．1log log 1N N a a mn n m==． （3）01log =a ,1log =a a (4）对数恒等式N a N a =log ．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞; 值域：R; 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0,+∞）上是增函数；当01a <<时,在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法)()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>(转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法）。
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指数函数与对数函数之间是反函数
之间的关系
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指数及指数幂的运算
1.根式的概念
a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N +
当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时，
正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为
.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
2.n 次方根的性质：
(1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：
注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
★指数函数及其性质1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
n
√a n =a
n √a n
=|a|=
a,a ≥0-a,a<0
n
√a +n √a
n
√a (n √a )n =a a n =n √a m m
(a>0,m,n ∈N,n>1);
(a>0,m,n ∈N,n>1);
a n
1
m
a n =
m
(a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2)
(a r )s =a rs (3)
(ab)r =a r ·b r
y=a
x
(a>0,且a ≠1)
y=a x
且★
对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若
=N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，
其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于a
x
=N （a>0,a ≠0，N>0）
2.几个重要的对数恒等式
a x a x a x a x a x
a x a x
y=a x
y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数
log a 1=0，log a a=1，log a a b =log a (a b )=b
3.常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即log 10N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中e=2.71828…).
4.对数的运算性质
如果a>0,a ≠1，M>0，N>0,那么①加法：log a M+log a N=log a (MN)②减法：log a M —log a N=log a ()
③数乘：nlog a M=log a M n (n ∈R)
④a
=N
⑤log M n =
log a
M (b ≠0，n ∈R)
⑥换底公式：log a
，b ≠1)★对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数y=log a x(a>0,且
a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域.
log a N M N a b n b
且上是增函数
上是减函数
★幂函数1.幂函数概念
形如
的函数，叫做幂函数，其中α为常数.y=log a x>0(x>1)
y=log a x=0(x=1)y=log a x<0(0<x<1)y=log a x(a>0,且a ≠
1)叫做对数函数y=log a x<0(x>1)y=log a x=0(x=1)y=log a x>0(0<x<1)
y=x
α(α∈R)
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
(2)过定点：所有的幂函数在
都有定义，并且图象都通过点(1,1).
(3)单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果α<0，则幂函数
的图象在
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.
(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当α=(其
中p,q 互质，p 和q ∈Z )，若p 为奇数q 为奇数时，则
y=x 是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则
y=x 是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则y=x 是非奇非偶函数.
(5)图象特征：幂函数y=x
,x ∈
，当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 下方，
若x>1，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x 上方，若x>1，其图象在直线y=x 下方.
q p
αα
αα
q
p q
p α
y=x
y=x -1
y=x 2(没有左)
1
y=x 2
y=x 3y=x 2(左)
y=x 3(左)y=x -1(左)
y=x(左)。