高一数学必修一指数对数幂函数知识点汇总

指数函数与对数函数之间是反函数

之间的关系

★

指数及指数幂的运算

1.根式的概念

a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N +

当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时，

正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为

.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子

叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.

2.n 次方根的性质：

(1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

★指数函数及其性质1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .

n

√a n =a

n √a n

=|a|=

a,a ≥0-a,a<0

n

√a +n √a

n

√a (n √a )n =a a n =n √a m m

(a>0,m,n ∈N,n>1);

(a>0,m,n ∈N,n>1);

a n

1

m

a n =

m

(a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2)

(a r )s =a rs (3)

(ab)r =a r ·b r

y=a

x

(a>0,且a ≠1)

y=a x

且★

对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若

=N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，

其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于a

x

=N （a>0,a ≠0，N>0）

2.几个重要的对数恒等式

a x a x a x a x a x

a x a x

y=a x

y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数

log a 1=0，log a a=1，log a a b =log a (a b )=b

3.常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即log 10N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中e=2.71828…).

4.对数的运算性质

如果a>0,a ≠1，M>0，N>0,那么①加法：log a M+log a N=log a (MN)②减法：log a M —log a N=log a ()

③数乘：nlog a M=log a M n (n ∈R)

④a

=N

⑤log M n =

log a

M (b ≠0，n ∈R)

⑥换底公式：log a

，b ≠1)★对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数y=log a x(a>0,且

a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域.

log a N M N a b n b

且上是增函数

上是减函数

★幂函数1.幂函数概念

形如

的函数，叫做幂函数，其中α为常数.y=log a x>0(x>1)

y=log a x=0(x=1)y=log a x<0(00,且a ≠

1)叫做对数函数y=log a x<0(x>1)y=log a x=0(x=1)y=log a x>0(0

y=x

α(α∈R)

2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在

都有定义，并且图象都通过点(1,1).

(3)单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果α<0，则幂函数

的图象在

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.

(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当α=(其

中p,q 互质，p 和q ∈Z )，若p 为奇数q 为奇数时，则

y=x 是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则

y=x 是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则y=x 是非奇非偶函数.

(5)图象特征：幂函数y=x

,x ∈

，当α>1时，若0

若x>1，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若01，其图象在直线y=x 下方.

q p

αα

αα

q

p q

p α

y=x

y=x -1

y=x 2(没有左)

1

y=x 2

y=x 3y=x 2(左)

y=x 3(左)y=x -1(左)

y=x(左)