全等三角形专题之垂直模型

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人教版八年级数学上册第12章全等三角形之垂直模型(含答案)

人教版八年级数学上册第12章全等三角形之垂直模型（含答案）1.三垂直模型（1）如图，已知矩形中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，，且ABCD EF EC ⊥，，矩形的周长为32cm ，求AE 的长．EF EC =4DE cm =ABCD EF DCBA【答案】6cm ．（2）已知：如图，在ABC 中，，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，V 90ACB ∠=︒CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB =FC．【答案】易证，所以．Rt CEF Rt BCA ∆∆≌AB CF =（3）如图，在中，,，CF 交AB 于点E ，，Rt ABC △AC BC =90ACB ∠=︒BD CF ⊥，若，，求CF 的长.AF CF ⊥5DF =3AF =【答案】易证：，∴，．Rt ACF Rt BCD ∆∆≌3CD AF ==8CF CD DF =+=2.在中，，，直线经过点，且于，ABC △90ACB ∠=︒AC BC =MN C AD MN ⊥D 于．BE MN ⊥E （1）当绕点旋转到图1的位置时，请你探究线段、、之间的数量关系；MN C DE AD BE （2）当绕点旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明；（3）当绕点旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明．图1NMABCDE图2MNABCDE图3NMAC D E 【答案】（1）三垂直模型，易得，所以有；ACD CBE ≅△△DE AD BE =+（2）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE AD BE =-（3）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE BE AD =-3.已知等腰中，为直角，为的中点，于点G ．求证：Rt ABC △C ∠M BC CD AM ⊥．∠=∠AMC DMBB EB BC【答案】如图，过作，交延长线于．⊥CD E三垂直模型，易证：，≌∆∆Rt CBE Rt ACMM BC=∵为的中点，∴，．∠=∠=AMC ECM BM BE∠=∠∵，而，∴．∠=︒EBD MBDMBD∠+∠=︒4590MBD EBD≌E DMB AMC∆∆BD BED BMD又为公共边，∴，∴．∠=∠=∠4.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且．∠=∠=∠BEC CFAα（1）如图1，若∠BCA=60°，时，线段BE和CF大小关系如何，猜想线段α∠=︒120BE、AF、和EF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，若时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明．∠=︒-180BCAα【答案】（1），；（2）成立．BE CF =EF BE AF =-5.（1）如图1，在中，，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有ABC △AB AC =，其中α为任意锐角或钝角，请证明DE 、BD 、CE 三条线段的BDA AEC BAC α∠=∠=∠=数量关系．（2）在（1）的基础上，D 、E 是直线m 上两个动点（D 、A 、E 三点不重合），点F 是的平分线上一点，且、均为等边三角形，连接DF 、EF ，判断BAC ∠ABF △ACF △的形状，并证明．DEF △图1图2【答案】（1）∵，，易证,BDA AEC BAC α∠=∠=∠=AB AC =ADB CEA ≅△△∴，． BD AE AD CE ==，DE BD CE =+（2）是等边三角形．由（1）知：DEF △，∴，ADB CEA ≅△△ BD EA DBA CAE =∠=∠，又∵、均为等边三角形，∴，ABF △ACF △60ABF CAF ∠=∠=︒，FBD FAE ∠=∠∴,，，∴，等边．DBF EAF ≅△△DF EF =BFD AFE ∠=∠60DFE ∠=︒DEF △6.如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于Rt ABC ∆AD BC BE ABC ∠AD BE ，于，求证：．O EF AD ⊥F AF OD =【答案】如图，过作．O OG AB ⊥∵，，∴．12∠=∠OD BC ⊥OG OD =∵，，∴．190AEO ∠+∠=︒290BOD ∠+∠=︒AEO BOD ∠=∠而，∴，∴．BOD AOE ∠=∠AEO AOE ∠=∠AE AO =∵，∴．EF DC ∥AEF C ∠=∠∵，，90C CAD ∠+∠=︒90GAO CAD ∠+∠=︒∴，故．C GAO ∠=∠AEF GAO ∠=∠∴，，∴．Rt AEF Rt OAG ∆∆≌OG AF =AF OD =（也可以过E 作BC 的垂线，按照模型来证明．）7.如图1，在中，，，垂足为D ．AF 平分，交Rt ABC △90ACB ∠=︒CD AB ⊥CAB ∠CD 于点E ，交CB 于点F ．图1 图2（1）求证：．CE CF =（2）将图1中的沿AB 向右平移到的位置，使点落在BC 边上，其它ADE △'''A D E △'E 条件不变，如图2所示．试猜想：与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．'BE 【答案】（1）在中，；在中，Rt AED △90EAD AED ∠+∠=︒Rt ACF △；90CAF AFC ∠+∠=︒又有，∴，则有．CAF EAD ∠=∠AFC AED CEF ∠=∠=∠CE CF =（2）如图，过点E 作于G ，易证：，∴，EG AC ⊥''CEG BE D ≅△△'CE BE =由（1）中的结论，可得：．'CF BE =E‘图2G A ′FE CBA8.如图1，已知ABC 是等边三角形，点D 是边BC 的中点，∠ADE =60°，且DE 与V ∠ACB 的外角平分线CE 相交于点E ．过点作交于点，则有D DF AC ∥AB F ，易证：ADE 是等边三角形．那么请问：ADF EDC ≅△△V （1）若D 是线段BC 上(B 、C 点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），试判断ADE 的形状，并说明理由．V （2）若D 是BC 的延长线上（C 点除外）的任意一点，其他条件不变（如图3），那么（1）的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图2 图3【答案】（1）等边三角形；（2）成立，过点作交的延长线于点，则有，即证．D DF AC∥AB F AFD DCE≌∆∆9.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点VD，BE⊥MN于点E，AD=5，BE=2，求线段DE的长．【答案】;710.如图，已知中，AC=BC，D是BC的中点，，垂足为Rt ABCV90ACB∠=o CE AD⊥E．，交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．BF ACPABC DEF 【答案】∵，，∴，．90ACB ∠=oBF AC P 90ACD CBF ∠=∠=o90ADC CAD ∠+∠=o∵，∴，∴．CE AD ⊥90FCB ADC ∠+∠=oCAD FCB ∠=∠又∵AC =CB ，∴，∴DC =FB ．ADC CFB ≅V V ∵D 是BC 的中点，∴BC =2BF ，即AC =2BF ．11.如图，中，，，D 是AB 上任意一点，交CDABC △AC BC =90ACB ∠=︒AE CD ⊥延长线于E ，于F ．求证：．BF CD ⊥EF BF AE =-F E D CBA【答案】三垂直模型，易证：，则CE =BF ，AE =CF ，∴EF =CE -CF =BF -AE ．ACE CBF ≅V V 12.（1）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且ABC △AB AC =D E F AB BC AC ，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．BD CE =DEF B ∠=∠BDE △FEDCBA(2)如图，在等边ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠ADE =60°，DE 交∠C 的外角平分线于V E ，则ADE 是____________三角形．V 【答案】（1）；（2）等边．CEF 13.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，∠ABC 的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，M 是CG 上一点且满足CM =DG . 求证：EM //AB .【答案】提示：过点作的垂线．G BC 14.八年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下：(1)如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM =AN ，连接BN 、CM ，发现BN =CM ，当M 、N 改变位置且保持BM =AN 时，∠NOC 保持不变，请猜测∠NOC 的度数：∠NOC =______度．(2)如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、DM ，那么AN =DM ，且∠DON =_______度．(3)如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、EM ，那么AN =EM ，且∠EON =________度．(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________________.【答案】(1); (2) ；(3)；(4)以上所求的角正好等于正边形的内角60︒90︒108︒n ()2180n n-︒。

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形(教师版)

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形模型：三垂直全等模型如图：∠D ＝∠BCA ＝∠E ＝90°，BC ＝AC . 结论：R t △BCD ≌R t △CAE .模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.A图①图②图③AC图④D EABC模型实例例题1 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE ＝DE ，求证：AB ＋CD ＝BC .【证明】∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°，∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°，∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ECD ，∴AB ＝EC ，BE ＝CD∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC .例题2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？【解析】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm ，∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cmDEDA例题3 如图，在平面直角坐标系中，等腰R t △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.【解析】（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中，BDC AOCDBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD ≌△CAO ，∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2，∴CD ＝3，BD ＝2，∴OD ＝5， ∴B （－5，2）（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO . ∵B （－1，0），C （0，3） ∴OB ＝1，OC ＝3. ∴AD ＝3，OD ＝2.xy 图①BA (0,3)C (-2,0)O∴OD ＝5. ∴A （3，2）.巩固提升1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .【证明】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BCABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF ，∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF ，∴∠BAE ＝∠CBF . ∵∠ABE ＝90°， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°. ∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°. ∴∠BGE ＝90°， ∴AE ⊥BF .F2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.【解析】∵a 、b 、c 都是正方形， ∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△CDE ，∴AB ＝CE ，BC ＝DE在R t △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE 即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.【解析】∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴∠FAC ＋∠ACF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠FAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .P在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE . （2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF . ∴AE ＝CF ，BE ＝AF . ∵EF ＝AE ＋AF ， ∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE . （1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD 的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.【解析】（1）1；（2）1；（3）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 延长线于点F . ∵AD ∥BC ，DG ⊥BC ， ∴∠GDF ＝90°.EA又∵∠EDC ＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD 和△EFD 中，12DGE DFE CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF ，∴EF ＝CG∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3， ∴BG ＝AD ＝2，∴CG ＝1. ∴EADS＝12AD ·EF ＝1. ∴△EAD 的面积与α大小无关5．向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于点P . 求证：BC ＝2AP .【解析】过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形， ∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°. ∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°. 又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°. ∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH和△GAM中，AHC GMAACH GAMAC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACH≌△GAM∴CH＝AM，AH＝GM.同理可证△ABH≌△EAN ∴BH＝AN，AH＝EN.∴EN＝GM.在△EPN和△GPM中，EPN GPMENP GMPEN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPN≌△GPM，∴NP＝MP∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP课后练习一、解答题1．在中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线，MN 经过点C ，且AD⊥MN 于点D ，BE⊥MN 于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：DE ＝AD+BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE ＝BE ﹣AD 【分析】（1）由题意易得∠DAC+∠ACD ＝90°，则∠DAC ＝∠BCE ，进而可证⊥ADC ≌⊥CEB ，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE ，进而可证⊥CAD ≌⊥BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解；（3）根据题意可证⊥CAD ≌⊥BCE ，然后根据全等三角形的性质可求解．【解析】（1）证明：⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ，在⊥ADC 和⊥CEB ，ABC， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB （AAS ）， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， ⊥AC=BC ， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB ， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下： ⊥AD⊥MN ，BE⊥MN ， ⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ⊥∠DAC+∠ACD ＝90°， ⊥∠ACB ＝90°， ⊥∠BCE+∠ACD ＝90°， ⊥∠DAC ＝∠BCE ， ⊥AC=BC ， ⊥⊥ADC ≌⊥CEB ， ⊥CD ＝BE ，AD ＝CE ， ⊥DE ＝BE ﹣AD ．【小结】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（1）求证：⊥ADC ≌⊥CEB ；（2）已知DE=35cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相同）【答案】（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD⊥DE ，BE⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明⊥ADC ≌⊥CEB 即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD⊥DE ，BE⊥DE ，⊥∠ADC ＝∠CEB ＝90°，⊥∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，⊥∠BCE ＝∠DAC ，在⊥ADC 和⊥CEB 中，⊥⊥ADC ≌⊥CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：⊥一块墙砖的厚度为a ，⊥AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：⊥ADC ≌⊥CEB ，⊥DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，⊥DC ＋CE ＝BE ＋AD ＝7a ＝35，⊥a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【小结】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝3．已知，A （-1，0）．（1）如图1，B （0，2），以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角⊥ABC ． ⊥求C 点的坐标；⊥在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合），使⊥PAB 与⊥ABC 全等？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（2）如图2，点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角⊥AEM ，设M （a ，b ），求a -b 的值．【答案】（1）⊥；⊥存在，或或；（2）1．【分析】（1）作CD⊥y 轴于D ，证⊥CEB ≌⊥BOA ，推出CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案；（2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案；（3）作MF⊥y 轴于F ，证⊥EFM ≌⊥AOE ，求出EF ，即可得出答案．【解析】（1）⊥作CE⊥y 轴于E ，如图1，⊥A （-1，0），B （0，2），⊥OA=1，OB=2，⊥∠CBA=90°，()2,3C -()2,1P ()1,1-()3,1-⊥∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，⊥∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，⊥∠ECB=∠ABO ，在⊥CBE 和⊥BAO 中⊥⊥CBE ≌⊥BAO ，⊥CE=BO=2，BE=AO=1，即OE=1+2=3，⊥C （-2，3）．⊥存在一点P ，使与全等，分为三种情况：⊥如图2，过P 作轴于E ，则，，，，在和中，≌，，，ECB ABO CEB AOB BC AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝PAB △ABC PE x⊥90PAB AOB PEA ∠=∠=∠=90EPA PAE ∴∠+∠=90PAE BAO ∠+∠=EPA BAO ∴∠=∠PEA AOB EPA BAO PEA AOB PA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PEA ∴AOB 1PE AO ∴==2EA BO ==，即P 的坐标是；⊥如图3，过C 作轴于M ，过P 作轴于E ，则，≌，，，，，，，在和中，，≌，，，，，，，即P 的坐标是；⊥如图4，过P 作轴于E ，123OE ∴=+=()3,1-CM x ⊥PE x⊥90CMA PEA ∠=∠=CBA PBA 45PAB CAB ∴∠=∠=AC AP =90CAP ∴∠=90MCA CAM ∴∠+∠=90CAM PAE ∠+∠=MCA PAE ∴∠=∠CMA AEP △MCA PAE CMA PEA AC AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CMA ∴AEP △PE AM ∴=CM AE =()2,3C -()1,0A -211PE ∴=-=0312OE AE A =-=-=()2,1PE x ⊥≌，，，则，，，，在和中，，≌，，，，即P 的坐标是，综合上述：符合条件的P 的坐标是或或．（2）过作轴于，得到下图5CBA PAB △AB AP =∴90CBA BAP ∠=∠=90AEP AOB ∠=∠=90BAO PAE ∴∠+∠=90PAE APE ∠+∠=BAO APE ∴∠=∠AOB PEA BAO APE AOB PEA AB AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOB ∴PEA 1PE AO ∴==2AE OB ==0211E AE AO ∴=-=-=()1,1-()3,1-()1,1-()2,1M MF y ⊥F⊥⊥，由上图得：，，，，在和中，≌，，，轴，轴，，四边形FONM 是矩形，，．【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，用了分类讨论思想．4．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且(),M a b ,MF a FO b ==90AEM EFM AOE ∠=∠=∠=90AEO MEF ∠+∠=90MEF EMF ∠+∠=AEO EMF ∴∠=∠AOE △EMF △AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEO ∴()EMF AAS 1EF AO ∴==MF OE =MN x ⊥MF y ⊥90MFO FON MNO ∴∠=∠=∠=∴MN OF ∴=1a b MF OF EO OF EF OA -=-=-===A B 25C D DA AB ⊥A CB AB ⊥B 15DA =AB H C D H，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？【答案】应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．【分析】先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得千米，最后根据线段的和差可得．【解析】由题意得：，千米，，，，，，，在和中，，，，千米，千米，千米，千米，答：应建在距离站10千米处，学校到公路的距离是10千米．【小结】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．90DHC ∠=︒H AC H A C 90A B ∠=∠=︒D BHC ∠=∠,15AH BC DA HB ===DH HC =25AB =,DA AB CB AB ⊥⊥90A B ∴∠=∠=︒90D AHD ∠∴∠+=︒90DHC ∠=︒18090BH D HD C C H A ∴∠+∠=︒-∠=︒D BHC ∴∠=∠ADH BHC △A B D BHC DH HC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADH BHC AAS ∴≅,AH BC DA HB ∴==15DA =25AB =15HB ∴=10BC AH AB HB ∴==-=H A C5．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E 是BC 的中点，EF⊥AB ，垂足为F ，且AB=DE ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BD=10厘米，求AC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）厘米【分析】（1）由DE⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断⊥ABC ≌⊥EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ；（2）由（1）可知⊥ABC ≌⊥EDB ，根据全等三角形的对应边相等，得到AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=BC ＝BD ＝5厘米．【解析】解：（1）⊥DE⊥AB ，可得∠BFE=90°，⊥∠ABC+∠DEB=90°，⊥∠ACB=90°，⊥∠ABC+∠A=90°，⊥∠A=∠DEB ，在⊥ABC 和⊥EDB 中，， ⊥⊥ABC ≌⊥EDB （AAS ），⊥BD=BC ；ABC ∆DBC∆51212ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝（2）⊥⊥ABC ≌⊥EDB ，⊥AC=BE ，⊥E 是BC 的中点，BD=10厘米，⊥BE=BC ＝BD ＝5厘米．【小结】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．1212。

中考数学专题复习全等三角形之垂直模型

中考数学专题复习全等三角形（垂直模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，CD ∠AB 于点D ，AE ∠BC 于点E ，AE 与CD 交于点F ，连接BF ，DE ，下列结论中：∠AF ＝BC ；∠∠DEB ＝45°，∠AE ＝CE +2BD ，∠若∠CAE ＝30°，则1AF BFAC+=，正确的有（）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠2．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴的负半轴和正半轴上，以AB 为边向上作正方形ABCD ，四边形OEFG 是其内接正方形，若直线OF 的表达式是y ＝2x ，则ABCDOEFGS S 正方形正方形的值为（）A ．43B ．85C ．169D ．943．如下图所示，在∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE∠CE 于点E ，AD∠CE 于点D ．DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是（）A ．6cmB ．1.5cmC ．3cmD ．4.5cm评卷人得分二、填空题 4．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC ，BC 和AB 为边向上作正方形ACED 和正方形BCMI 和正方形ABGF ，点G 落在MI 上，若AC +BC ＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 _____．5．已知：如图，AE ∠AB ，且AE ＝AB ，BC ∠CD 且BC ＝CD ，根据图中所标注的数据，可求得阴影部分的面积为_______．6．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．评卷人得分三、解答题 7．如图1，在平面直角坐标中，点()0,A m ，(),0B m ，()0,m C -，其中0m >，点P 为线段OA 上任意一点，连接BP ，CE BP ⊥于E ，AD BP ⊥于D ．（1）求证：AD BE =；（2）当3m =时，若点()3,0N -，请你在图1中连接CD ，EN 交于点Q ．求证：EN CD ⊥；（3）若将“点P 为线段OA 上任意一点”，改为“点P 为线段OA 延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD ，EN CD ⊥，垂足为F ，交y 轴于点H ，交x 轴于点N ，请在图2中补全图形，求点N 的坐标（用含m 的代数式表示）．8．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：BDF ADC ≅．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．9．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF∠DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：∠BCG∠∠DCE；（2）如图2，连接BD，若BE＝42，DG＝22，求tan∠DBG的值．10．如图1，在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．11．如图所示，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为AB 上一点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交CE 于点F ．（1）如图1，求AEC ∠的度数；（2）如图2，连接BF ，且15ABF EAB ∠-∠=︒，求证：2BF CF =；（3）如图3，在（2）的条件下，G 为DF 上一点，连接AG ，若AGD EBF ∠=∠，2AG =，求CF 的长．12．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BE ∠AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ．∠若∠BAD ＝α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）； ∠用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ∠AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ． ∠依题意补全图2；∠直接写出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．13．已知：ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE AD ⊥，且AE AD =．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH AC ⊥于H ，连接DE ．求证：EH AC =；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时，连接BE 交直线AC 于M ，若25AC CM =，请求出ADB AEMS S △△的值．14．如图1所示，已知ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF AE BF =+；（2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF AE <），其余条件不变，猜想AE，BF的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．15．如图，己知ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是______；（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若AHB GHC∠=∠，6EF CF==，2EH FH=，四边形ABFG的面积是90，求GHC的面积．16．在ABC中，AB BC=，90B∠=︒，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结E C．（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：BAD EDC∠=∠（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF BC⊥交直线BC于F，如图2所示，通过证明DEF ABD≌△△，可推证CEF△等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．直线y kx k=+与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为1y x kk=-+，与x轴交于B．（1）如图1，求点A的横坐标；（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若CD CA=，设ACE的面积为S，求S与k的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将CDF沿CF翻折得到△FCG，直线FG交CE于点K，若345ACE CDO∠-∠=︒，求点K的坐标．18．抛物线213:222L y x x=--与x轴交于､A B，与y交于C．（1）求,,A B C三点坐标，并直接写出ABC的面积；（2）将抛物线L绕平面内一点旋转180︒，得到L'，点B的对应点为E，点C对应点为F，是否存在抛物线L'，使得以,,,B C E F为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为ABC面积的4倍?若存在，求出L'的表达式，若不存在请说明理由．19．如图，AB＝BC，AB∠BC，AE∠BD于F，BC∠CD，求证：EC＝AB－CD．20．如图，点C在线段BD上，且AB∠BD，DE∠BD，AC∠CE，BC=DE，求证：AB=CD．参考答案：1．B【解析】【分析】∠∠只要证明∠ADF∠∠CDB即可解决问题．∠如图1中，作DM∠AE于M，DN∠BC于N，易证∠DMF∠∠DNB，四边形DMEN是正方形，想办法证明AE−CE＝BC＋EF−EC＝EF＋BE＝2DN＜2BD，即可．∠如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．想办法证明∠BFH是等边三角形，AC＝AH即可解决问题．【详解】解：∠AE∠BC，∠∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∠∠AFD＝∠CFE，∠∠DAF＝∠DCB，∠AD＝DC，∠∠ADF∠∠CDB，∠AF＝BC，DF＝DB，故∠正确，∠∠DFB＝∠DBF＝45°，取BF的中点O，连接OD、OE．∠∠BDF＝∠BEF＝90°，∠OE＝OF＝OB＝OD，∠E、F、D、B四点共圆，∠∠DEB＝∠DFB＝45°，故∠正确，如图1中，作DM∠AE于M，DN∠BC于N，∠∠ADF∠∠CDB，∠AFD CBD=，∠=∠，DF DB∠90∠=∠=︒，FMD BND∠∠DMF∠∠DNB，∠DM DN=，∠90∠=∠=∠=︒，DME MEN END∠四边形DMEN是矩形，∠DM DN=，∠四边形DMEN是正方形，∠MF＝BN，EM＝EN，∠EF＋EB＝EM−FM＋EN＋NB＝2EM＝2DN，∠AE−CE＝BC＋EF−EC＝EF＋BE＝2DN＜2BD，∠AE−CE＜2BD，即AE＜EC＋2BD，故∠错误，如图2中，作DM∠AE于M，DN∠BC于N．∠∠DMF∠∠DNB，四边形DMEN是正方形，∠FM＝BN，EM＝EN＝DN，∠EF＋EB＝EM−MF＋EN＋BN＝2EN＝2DN≤2BD，∠AE−EC＝ADF＋EF−EC＝BC_EF−EC＝EF＋BE≤2BD，∠AE≤EC＋2BD，故∠错误，如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．∠∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，∠∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，∠∠DFB＝45°，∠∠AFB＝120°，∠∠BFH＝60°，∠FH＝BF，∠∠BFH 是等边三角形，∠BF ＝BH ，∠BC ∠FH ，∠FE ＝EH ，∠CF ＝CH ，∠∠CFH ＝∠CHF ＝∠AFD ＝75°，∠∠ACH ＝75°，∠∠ACH ＝∠AHC ＝75°，∠AC ＝AH ，∠AF ＋FB ＝AF ＋FH ＝AH ，∠AF ＋BF ＝AC ，故∠正确，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．B【解析】【分析】根据正方形性质易得GBO FCG ≅，从而可得CG BO =、FC GB =，设OB =a ，BG =b ，可得F 点坐标为(,)a b a b -+，根据F 点在直线OF 上，可求出3a b =，然后即可根据正方形面积和勾股定理求出面积比．【详解】解：在正方形ABCD ，正方形OEFG 中，90OBG OGF GCF ∠=∠=∠=︒，FG OG =， ∠90OGB GOB OGB CGF ∠+∠=∠+∠=︒， ∠ GOB CGF ∠=∠，在GBO 和△FCG 中， OBG GCF GOB FGC OG FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠GBO FCG ≅（AAS ）∠CG BO =、FC GB =，设CG BO a ==、FC GB b ==，∠BC BG CG a b =+=+，HF OB FC a b =-=-，∠点F 坐标为(,)a b a b -+，∠直线OF 的表达式是y ＝2x ，∠2()a b a b -=+，∠3a b =，∠2222()(3)16ABCD BC a b b S b b ==+=+=正方形，OEFG S 正方形=22222222(3)10OG OB BG a b b b b =+=+=+=，∠22168105ABCD OEFG S b S b ==正方形正方形，故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是根据正方形性质求证GBO FCG≅（AAS ），从而用参数表示点F 坐标，再直线OF 解析式求出线段之间关系．3．C【解析】【分析】本题可通过全等三角形来求BE 的长．∠BEC 和∠CDA 中，已知了一组直角，∠CBE 和∠ACD 同为∠BCE 的余角，AC=BC ，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD ，BE=CD ，因此只需求出CD 的长即可．而CD 的长可根据CE 即AD 的长和DE 的长得出，由此可得解．【详解】解：∠∠ACB=90°，BE∠CE ，∠∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∠∠ACD=∠CBE ，又AC=BC ，∠∠ACD∠∠CBE ；∠EC=AD ，BE=DC ；∠DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是3cm ．故选C ．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．4．995【解析】【分析】根据余角的性质得到FAC ABC ∠=∠，根据全等三角形的性质得到FAH ABN S S =，推出ABC FNCH S S ∆=四边形，根据勾股定理得到222AC BC AB +=，解方程组得到665ABC S =，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合665BC AC =即可得出结论．依此即可求解．【详解】解：如图，四边形ABGF 是正方形，90FAB AFG ACB ∴∠=∠=∠=︒，90FAC BAC FAC ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒，FAC ABC ∴∠=∠，()FAH ABN ASA ∴≅，FAH ABN S S ∴=，3=ABC FNCH S S S ∴=四边形，∠316ABGF S S S =-=正方形空白，即216ABC AB S-=，21162AB AC BC ∴-⋅=，在ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB ∴+=，7AC BC +=，222()249AC BC AC BC AC BC ∴+=++⋅=，2249AB AC BC ∴+⋅=，665BC AC ∴⋅=，阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积=2222112()22AB AC BC AC BC AB AC BC +++-- 32AC BC =36625=⨯ 995=．故答案为：995．【点睛】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．5．50【解析】【分析】由AE ∠AB ，EF ∠FH ，BG ∠AG ，可以得到∠EAF ＝∠ABG ，而AE ＝AB ，∠EF A ＝∠AGB ，由此可以证明∠EF A ∠∠ABG ，所以AF ＝BG ，AG ＝EF ，同理证得∠BGC ∠∠DHC ，GC ＝DH ，CH ＝BG ．故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】解：∠AE ∠AB 且AE ＝AB ，EF ∠FH ，BG ∠FH ，∠∠EAB ＝∠EF A ＝∠BGA ＝90°，∠∠EAF +∠BAG ＝90°，∠ABG +∠BAG ＝90°，∠∠EAF ＝∠ABG ，∠AE ＝AB ，∠EF A ＝∠AGB ，∠EAF ＝∠ABG ，∠∠EF A ∠∠ABG （AAS ），∠AF ＝BG ，AG ＝EF同理证得：∠BGC ∠∠DHC （AAS ），得GC ＝DH ，CH ＝BG故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16，故22AEF DHC EFHD S S SS =--梯形，即：S 12=(6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案为：50．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．6．（4，1）【解析】【分析】如图，过点B 作BD ∠x 轴于D ，根据点A 、点C 坐标可得OA 、OC 的长，根据同角的余角相等可得∠OAC =∠DCB ，利用AAS 可证明∠OAC ∠∠DC B ，根据全等三角形的性质可得BD =OC ，CD =OA ，即可求出OD 的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B 作BD ∠x 轴于D ，∠A （0，3），C （1，0），∠OA =3，OC =1，∠∠ACB =90°，∠∠OCA +∠DCB =90°，∠∠OAC +∠OCA =90°，∠∠OAC =∠DCB ，在∠OAC 和∠DC B 中，AOC CDB OAC DCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠OAC ∠∠DC B ，∠BD =OC =1，CD =OA =3，∠OD =OC +CD =4，∠点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．7．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(),0m -【解析】【分析】（1）先根据点()0,A m ，(),0B m ，()0,C m -，得到OA OB OC m ===，则由三线合一定理得到，AB BC =，证明90ABC ∠=，推出CBE BAD ∠=∠即可证明ABD BCE ≅，得到AD BE =；（2）先根据点()3,0N -，得到3OA OB OC ON ====，则6AC BN ==，再证明DAC EBN ∠=∠，即可利用SAS 证明DAC EBN ≅△△得到ACD BNE ∠=∠，再由NGF CGO ∠=∠，可以推出90NFG COG ∠=∠=，即CD EN ⊥；（3）同样先证明CBE BAD ∠=∠，推出ABD BCE ≅，得到AD BE =，即可得到CAD NBE ∠=∠，再由90NOH CFH ∠=∠=，OHN FHC ∠=∠，得到ACD BNE ∠=∠，则ACD BNE ≅△△，推出2AC BN m ==．【详解】证明：（1）如图1，∠点()0,A m，(),0B m，()0,C m-，∠OA OB OC m===，∠OB AC⊥，∠AB BC=，∠∠AOB=∠AOC=90°，∠45BAC BCA ABO CBO∠=∠=∠=∠=，∠90ABC∠=，∠AD BP⊥，CE BP⊥，∠90ABC D CEB∠=∠=∠=∠90ABD CBE ABD BAD∠+∠=∠+∠=，∠CBE BAD∠=∠，∠()ABD BCE AAS≅，∠AD BE=；（2）如图2，由（1）得ABD BCE≅，∠AD BE=，∠3m=，点()3,0N-，∠3OA OB OC ON====，∠6AC BN==，∠CBE BAD∠=∠，45BAC CBO∠=∠=，∠BAD BAC CBE CBO∠-∠=∠-∠，∠DAC EBN∠=∠，又∠BE=AD，AC=BN，∠()DAC EBN SAS ≅△△∠ACD BNE ∠=∠， ∠NGF CGO ∠=∠，∠90NFG COG ∠=∠=，∠CD EN ⊥；（3）如图3，由（1）得OA OB OC m ===，AB BC =，45BAC CBO ∠=∠=，90ABC ∠=，∠AD BP ⊥，CE BP ⊥，∠90ABC ADB CEB ∠=∠=∠=，∠90ABD CBE ABD BAD ∠+∠=∠+∠=， ∠CBE BAD ∠=∠，∠()ABD BCE AAS ≅，∠AD BE =，∠BAC BAD CBO CBE ∠+∠=∠+∠，∠CAD NBE ∠=∠，∠EN CD ⊥,x 轴y ⊥轴，∠90NOH CFH ∠=∠=，∠OHN FHC ∠=∠，∠ACD BNE ∠=∠，∠()ACD BNE AAS ≅△△∠2AC BN m ==，∠点N 的坐标为(),0m -．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．8．（1）见解析；（2）5AC =【解析】【分析】（1）根据题意先推出∠CAD =∠FBD ，从而结合题意，利用“ASA ”证明即可；（2）结合（1）的结论以及题意，求出AD 的长度，然后根据勾股定理求出AC 即可得出结论．【详解】（1）证：∠AD BC ⊥，BE AC ⊥，∠∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∠∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∠∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，FBD CAD BD ADBDF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()BDF ADC ASA ≌；（2）∠BDF ADC ≌，∠DF =DC ，∠F 为AD 的中点，1DC =，∠AD=2DF=2DC=2，∠在Rt△ADC中，225AC AD DC=+=，∠5AC=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解题关键．9．（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）由正方形的性质结合已知条件，利用ASA判定三角形全等即可；（2）过点G作GH∠BD垂足为H，由全等求得CG＝CE，进一步结合图形求得BC和CG 的长，然后在RT∠BDC中求得GH和BH的长，最后在RT∠BHG中，利用tan∠DBG＝HGBH，即可求得答案．【详解】（1）证明：∠四边形ABCD是正方形，∠∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∠BF∠DE，∠∠DFG＝∠BCG＝90°，∠∠BGC＝∠DGF，∠∠CBG＝∠CDE．在∠BCG和∠DCE中，CBG CDE BC CDBCG DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠BCG∠∠DCE，（2）解：过点G作GH∠BD垂足为H，∠∠BCG ∠∠DCE ，∠CG ＝CE ，∠BE ＝BC +CE ＝42，DG ＝CD ﹣CG ＝22，∠BC ＝CD ＝32，CG ＝CE ＝2，在RT ∠BDC 中，∠∠BCD ＝90°，∠BD ＝22CD BC +＝()()2232326+=，∠∠DHG ＝45°，∠DHG ＝90°，DG ＝22，∠sin 45DH DG ︒=＝22， ∠DH ＝2，∠GH ＝DH ＝2，∠BH ＝BD ﹣DH ，∠BH ＝6﹣2＝4，在RT ∠BHG 中，∠∠BHG ＝90°，∠tan∠DBG ＝HG BH， ∠tan∠DBG ＝12【点睛】本题考查三角形全等的证明，直角三角形中锐角三角函数的定义等相关知识点，熟练掌握数形结合思想解题是重点．10．(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【解析】【分析】(1)先证明∠ADC ∠∠CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明∠ADC ∠∠CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明∠ADC ∠∠CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，∠90ACB ∠=︒，∠90ACD BCE ∠+∠=︒，∠AD MN ⊥，∠90ACD CAD ∠+∠=︒，∠BCE =∠∠CAD ，又∠AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，∠()≌ADC CEB AAS ，∠AD CE =，DC BE =，∠直线MN 经过点C ，∠DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：∠AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∠90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒， ∠CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠()ADC CEB AAS △≌△∠CE AD =，CD BE =，∠DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：∠AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∠90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∠CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠()ADC CEB AAS △≌△∠CE AD =，CD BE =，∠DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．11．（1）45°；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）先证明,EAB FAC ∠=∠,AEB AFC ∠=∠再证明,ABE ACF ≅△△再利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得答案；（2）利用全等三角形的性质先求解60EBF ∠=︒，证明,BE CF = 再求解30EFB ∠=︒，从而可得结论；（3）如图，过A 作AM EF ⊥于,M 交BF 于,N 连接,EN 证明BEN 为等边三角形，再证明AGM ENM ≅△△，再利用全等三角形的性质可得答案.【详解】解：（1） 90BAC ∠=︒，,AE AF ⊥90,90,EAB DAF DAF FAC EAF ∴∠+∠=∠+∠=︒∠=︒,EAB FAC ∴∠=∠,BE CE ⊥90,BED ∴∠=︒90,AEB BED AEF AEF AFC ∴∠=∠+∠=︒+∠=∠ 即,AEB AFC ∠=∠∴ ABE ACF ≅，∴ AE AF =，45AEC ∠=︒．（2） ABE ACF ≅，,,ABE ACF BE CF ∴∠=∠=∴9045135,AEB AFC∠=∠=︒+︒=︒45,EBA EAB∴∠+∠=︒15ABF EAB∠-∠=︒,15,ABF EAB∴∠=︒+∠1560, EBF EBA ABF EBA EAB∴∠=∠+∠=∠+∠+︒=︒906030,BFE∴∠=︒-︒=︒∠2BF BE=，∠BE CF=，∠2BF CF=．（3）如图，过A作AM EF⊥于,M交BF于,N连接,EN ,,,AE AF AM EF AE AF=⊥⊥,,EM MF AM NE NF∴===30,NEF NFE∴∠=∠=︒60,ENB NEF NFE∴∠=∠+∠=︒60,EBN ENB∴∠=∠=︒∴BEN为等边三角形，120,ENF∠=︒∴12BE BN BF FN EN====，60,AGD EBF∠=∠=︒,AM EF⊥160,2ENM ENF ∴∠=∠=︒ ,90,60,AM EM AMG EMN AGM ENM =∠=∠=︒∠=∠=︒∴ AGM ENM ≅△△，∠2AG EN ==，∠2CF BE ==．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半，等边三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.12．（1）∠∠DBE ＝45°﹣α；∠AE ﹣BE 2=EC ，证明见解析；（2）∠补全图形见解析；∠EB ﹣EA 2=EC ．【解析】【分析】（1）∠根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =45°，即可求出∠CAD =45α-．根据三角形的内角和即可求出∠DBE =∠CAD =45α-；∠过点C 作CR ∠CE 交AE 于R ，然后证明∠ACR ∠∠BCE ，得到AR ＝BE ，CR ＝CE ，即可得到∠CER 是等腰直角三角形，ER 2=CE ，由此即可求解；（2）∠根据题目要求作图即可；∠过点C 作CF ∠CE ，交AD 的延长线于点F .根据三角形的内角和定理得到∠CAF =∠CBE ，证明∠ACF ∠∠BCE .根据全等三角形的性质有AF =BE ，CF =CE ．根据等腰直角三角形的性质有EF =2EC ．则有 AF -EA =2EC ，即可求出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．【详解】解：（1）∠如图1中，∠∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠∠CAB ＝45°，∠∠BAD ＝α，∠∠CAD ＝45°﹣α．∠∠ACB ＝90°，BE ∠AD ，∠ADC ＝∠BDE ，∠∠DBE ＝∠CAD ＝45°﹣α；∠结论：AE ﹣BE 2=EC ．理由：如图，过点C 作CR ∠CE 交AE 于R ．∠∠ACB ＝∠RCE ＝90°，∠∠ACR ＝∠BCE ，∠∠CAR +∠ADC ＝90°，∠CBE +∠BDE ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ，∠∠CAR ＝∠CBE ，在∠ACR 和∠BCE 中，ACR BCE CA CBCAR CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ACR ∠∠BCE （ASA ），∠AR ＝BE ，CR ＝CE ，∠∠CER 是等腰直角三角形，∠ER 2=CE ，∠AE ﹣BE ＝AE ﹣AR ＝ER 2=EC ．（2）∠补全图形，如图2所示：∠猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EA2=EC；理由如下：过点C作CF∠CE，交AD的延长线于点F，如图3所示：则∠ECF＝90°，∠∠ACB＝90°，∠∠ACD＝90°，∠∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，即∠ACF＝∠BCE，∠∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，∠∠CAF＝∠CBE，在∠ACF和∠BCE中，ACF BCEAC BCCAF CBE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ACF∠∠BCE（ASA），∠AF＝BE，CF＝CE．∠∠ECF＝90°，∠∠CEF 是等腰直角三角形，∠EF 2=EC ，即AF ﹣EA 2=EC ．∠EB ﹣EA 2=EC ．【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47 【解析】【分析】（1）由“AAS ”可证AHE DCA △≌△，可得EH =AC ，即可求证；（2）过点E 作EN AC ⊥，交CA 延长线于N ，由“AAS ”可证△≌△ANE DCA ，可得AC =EN =BC ，由“AAS ”可证△≌△ENM BCM ，可得BM =EM ；（3）5AC a =，2CM a =，分三种情况：当点D 在线段BC 上，点D 在线段BC 的延长线上，点D 在线段CB 的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解．【详解】证明（1）∠AE AD ⊥，90ACB ∠=︒，∠90∠=︒-∠EAH CAD ，90∠=︒-∠ADC CAD ，EAH ADC ∴∠=∠，在AHE 与DCA △中90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AHE DCA AAS ∴△≌△，EH AC ∴=；（2）如图2，过点E 作EN AC ⊥，交CA 延长线于N ，∠AE AD ⊥，90ACB ∠=︒， ∠90∠=︒-∠EAN CAD ，90∠=︒-∠ADC CAD ， EAN ADC ∴∠=∠，在ANE 与DCA △中， 90ANE DCA ENA ACD AN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS ， EN AC ∴=，又∠AC BC =， EN BC ∴=，又在ENM 与BCM 中， 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ，则BM EM =；（3）如图，当点D 在线段BC 上时，∠25AC CM =，∠可设5AC a=，2CM a=，由（1）得：AHE DCA△≌△，则AH CD=，5===EH AC BC a，由∠90EHM BCM∠=∠=︒，BMC EMH∠=∠，∠MHE MCB△≌△（AAS），∠CM HM=，即2HM CM a==，∠522AH AC CM HM a a a a=--=--=，∠3AM AH HM a，CD AH a==，5EH AC a==，4BD BC CD a=-=，11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEMBD AC a aSS AM EH a a；如图，点D在CB延长线上时，过点E作EN AC⊥，交AC延长线于N，∠25AC CM=，∠可设5AC a=，2CM a=，∠EN AC⊥，AE AD⊥，∠90ANE EAD ACB∠=∠=∠=︒，∠90∠=︒-∠EAN CAD，90∠=︒-∠ADC CAD，EAN ADC∴∠=∠，在ANE与DCA△中，90ANE DCAENA ACDAN AD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS ，EN AC ∴=，AN CD = ，又∠AC BC =，EN BC ∴=，又在ENM 与BCM 中，90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ，∠2==CM NM a ，5NE BC AC a === ，∠9AN AC CM MN a =++= ，7AM AC CM a =+= ，9AN CD a == ，∠4BD a =，11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a ，点D 在BC 延长线上由图2得：AC CM < ，∠25AC CM =不可能，故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．14．（1）见解析；（2）EF AE BF =-，理由见解析；（3）EF BF AE =-，理由见解析【解析】【分析】（1）先证得90AEC BFC ∠=∠=︒，EAC FCB ∠=∠，根据AAS 证EAC FCB △≌△，推出CE BF =，AE CF =即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CF CE =-即可得到EF AE BF =-；（3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CE CF =-即可得到EF BF AE =-．【详解】（1）证明：AE EF ⊥，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒， EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∠EF CF CE =+，∠EF AE BF =+；（2）解：EF AE BF =-，理由如下： AE EF ⊥，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒， EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∠EF CF CE =-，∠EF AE BF =-；（3）解：EF BF AE =-，理由如下：AE EF ⊥，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∠EF CE CF =-，∠EF BF AE =-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．15．（1）数量关系为：EF =BE +CF ；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．证明见详解；（3）S △GHC =15．【解析】【分析】（1）数量关系为：EF =BE +CF ．利用一线三直角得到∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA =∠F AC ，再证∠EBA ∠∠FEC （AAS ）可得BE =AF ，AE =CF 即可；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．先证∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠F AC = =90°，可得∠EBA =∠F AC ，再证∠EBA ∠∠FEC （AAS ），可得BE =AF ，AE =CF 即可；（3）先由（2）结论EF = BE -CF ；6EF CF ==，求出BE =AF =12，由2EH FH =，可求FH =2，EH =4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG =290180==1512AF ⨯，再求EG =3，AH = 10，分别求出S △ACF =12=36AF FC ⋅，S △HCF =162HF FC ⋅=，S △AGH =1152AH EG ⋅=，利用面积差即可求出．【详解】解：（1）数量关系为：EF =BE +CF ．∠BE ∠EF ，CF ∠EF ，∠BAC =90°，∠∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠F AC =180°-∠BAC =90°，∠∠EBA =∠FAC ，在△EBA 和△FEC 中，∠AEB CFA EBA FAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EBA ∠△F AC （AAS ），∴BE =AF ，AE =CF ，∠EF =AF +AE =BE +CF ；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．∠BE ∠AF ，CF ∠AF ，∠BAC =90°，∠∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠F AC = =90°，∠∠EBA =∠F AC ，在△EBA 和△FEC 中， ∠AEB CFA EBA FAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EBA ∠△F AC （AAS ），∴BE =AF ，AE =CF ，∠EF =AF -AE =BE -CF ；（3）∠EF = BE -CF ；6EF CF ==，∠BE =AF =EF +CF =6+6=12，∠2EH FH =，EH +FH =EF =6，∠2FH +FH = 6，解得FH =2，∠EH =2FH =4，S 四边形ABFG =12AF BG ⋅=90，∠BG =290180==1512AF ⨯， ∠EG =BG -BE =15-12=3，AH =AE +EH =6+4=10，∠S △ACF =121126362AF FC ⋅=⨯⨯=，S △HCF =1126622HF FC ⋅=⨯⨯=，S △AGH =111031522AH EG ⋅=⨯⨯=， ∠S △GHC = S △ACF - S △HCF - S △AGH =36-6-15=15．【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键．16．（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质证明即可；（2）过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于F ，如图2所示，通过证明DEF ABD ≌△△，可推证CEF △等腰直角三角形，从而得出AC 与CE 的位置关系；（3）如图3所示，过点E 作EF DC ⊥于F ，证明ABD DFE ≌△△，进一步可证明AC EC ⊥【详解】解：（1）证明：∠90B ∠=︒∠90BDA BAD ∠+∠=︒∠90ADE ∠=︒∠90BDA EDC ∠+∠=︒∠BAD EDC ∠=∠（2）垂直∠EF BC ⊥∠90EFD ∠=︒∠90B ∠=︒∠EFD B ∠=∠在ABD △和DFE △中 BAD FDE B DFEAD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABD DFE AAS ≌△△ ∠AB DF =，BD EF =∠AB BC =∠BC DF =，∠BC DC DF DC -=-即BD CF =．∠EF CF =又∠90EFC ∠=︒∠45ECF ∠=︒，且45ACB ∠=︒∠1809090ACE ∠=︒-︒=︒即AC CE ⊥．（3）（2）中的结论仍然成立如图3所示，过点E 作EF DC ⊥于F∠90ABD ∠=︒∠90EDF DAB ADB ∠=∠=︒-∠在ABD △和DFE △中DAB EDF ABD DFE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABD DFE AAS ≌△△ ∠DB EF =，AB DF BC ==∠BC BF DF BF -=-即FC DB =∠FC EF =∠45DCE ∠=︒∠90ACE DCE ACB ∠=∠+∠=︒∠AC EC ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明ABD DFE ≌△△是解本题的关键．17．（1）1-；（2）211(0)22S k k k =-≠；（3）459(,)1717-．【解析】【分析】（1）令0y=，求x；（2）过点D作y轴的垂线，先证明90ACB∠=︒，再由K型全等，得E点坐标，即可求出S与k的函数关系式；（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出2DOE ADE∠=∠，再利用垂直平分线性质构造2ADE AME∠=∠，通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标．【详解】解：（1）∠直线y kx k=+与x轴交于A，与y轴交于C点，∠当0x=时，y k=；当0y=时，0kx k+=，得：1x=-，∠(0,)C k，(1,0)A-，∠点A的横坐标为1-．（2）过点D作DH y⊥轴于点H，∠DH OH⊥，CO AO⊥，∠DHC COA∠=∠，∠90HDC DCH∠+∠=︒，对直线BC：当0x=时，y k=，当0y=时，2x k=，∠()2,0B k，∠2OB k=，∠1OAOC k=，21OC kOB k k==，又∠90AOC COB∠=∠=︒，∠AOC COB△∽△，∠OAC OCB∠=∠，∠90OAC OCA∠+∠=︒，∠90OCB OCA，即：90ACB∠=︒，∠AC BD⊥，90DCA∠=︒，∠90DCH ACO∠+∠=︒，∠HDC OCA∠=∠，又∠DC CA=，∠()DHC COA AAS△≌△，∠DH OC=，CH AO=，∠(1,0)A-，(0,)C k，∠1CH OA==，DH CO k==，∠(,0)E k-，(,1)D k k-+，∠1()1AE k k=---=-+，∠21111(1)(0)2222S EA CO k k k k k=⋅⋅=⋅-⋅=-≠，（3）连接AD，过AD的中点N作NM AD⊥交DE于点M，连接AM，（3）连接AD，过AD的中点N作NM AD⊥交DE于点M，连接AM，DC AC⊥，DE OA⊥，90DEA DCA∴∠=∠=︒，∴在四边形AEDC中，180DEA DCA∠+∠=︒，180EAC EDC∠+∠=︒，∴点A、D、E、C四点共圆，AD为圆的直径，点N为圆心，ACE ADE∴∠=∠，MN是AD的中垂线，DM AM∴=，ADE DAM∴∠=∠，2AME ADE∴∠=∠，DC AC=，45ADC∴∠=︒，45CDO ADO∴∠=︒-∠，又345ACE CDO∠-∠=︒，3(45)45ADE ADO ∴∠-︒-∠=︒，即：390ADE ADO ∠+∠=︒，在EDO ∆中，90ADE ADO DOE ∠+∠+∠=︒，2DOE ADE AME ∴∠=∠=∠，设AM DM x ==，则：1ME DE DM k x =-=+-，222AE ME AM +=，222(1)(1)k k x x ∴-+++-=，解得：211k x k+=+， 212111k k ME k k k+∴=+-=++， DOE AME ∠=∠，tan tan DOE AME ∴∠=∠，∴DE AE OE ME =，即：1121k k k k k+-+=+，解得：3k =，(0,3)C ∴，(3,4)D -，(3,0)E -，∴直线OD 的解析式为：43y x =-，直线AC 的解析式为：33y x =+，直线EC 的解析式为：3y x ，由4333y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得：9131213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点9(13F -，12)13，点D 和点G 关于点C 对称，(3,2)G ∴，∴直线GF 的解析式为：79248y x =+，由379248y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：4517917x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点K 的坐标为459(,)1717-．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K 型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识，是一个代数几何综合题．对于比较复杂的条件，需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件，可以从等量关系，倍数关系入手． 18．（1）(1,0),(4,0)A B -，(0,2)C -，5ABC S=；（2）211522y x x =-++或2191322y x x =-+-，见解析．【解析】【分析】（1）令y =0，令x =0，分别求出函数与坐标轴的交点即可；（2）设L '的解析式为：212y x bx c =-++，分两种情况讨论：点E 作EH y ⊥轴于点H ，过点F 作FG x ⊥轴于点G ，则FGB BOC CHE ≅≅，根据全等三角形的性质求得点E 、F 的坐标，代入旋转后的抛物线解析式即可．【详解】解：（1）则2132022x x --= 2340x x ∴--=(1)(4)0x x ∴+-=1x ∴=-或4x =(1,0),(4,0)A B ∴-令x =0，则y =-2，(0,2)C ∴-5,2AB OC ==5ABC S ∴=（2）存在，以B C E F 、、、为为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为ABC 面积的4倍20BCEF S ∴=在Rt OCB 中，2,4OC OB ==2225BC OB OC∴=+=∴矩形的另一边长为202525÷=∴该矩形为正方形，根据旋转180︒，点B的对应点为E，点C对应点为F，如图，过点E作EH y⊥轴于点H，过点F作FG x⊥轴于点G，则FGB BOC CHE≅≅旋转180︒不改变抛物线的开口大小，但改变了开口方向，12a∴=-∴设L'的解析式为：212y x bx c=-++分两种情况讨论：第一种情况：如图，可求出点E的坐标为(2,2)-，点(2,4)F，将点E、F代入解析式中，得1422214242b cb c⎧-⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得125bc⎧=⎪⎨⎪=⎩211522y x x∴=-++第二种情况：如图，可得(2,6),(6,4)E F --，将点E 、F 代入解析式中，得14262136642b c b c ⎧-⨯++=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得9213b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 2191322y x x ∴=-+- 综上，抛物线L '的表达式为：211522y x x =-++或2191322y x x =-+-．【点睛】本题考查二次函数综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．19．见解析【解析】【分析】利用ASA 证明出∠ABE ∠∠BCD ，在通过等量代换进行解答．【详解】证明：∠AB ∠BC ，CD ∠BC ，∠∠ABC ＝∠ACD ＝90°∠∠AEB ＋∠A ＝90°∠AE ∠BD∠∠BFE ＝90°∠∠AEB ＋∠FBE ＝90°∠∠A ＝∠FBE ，又∠AB ＝BC ，∠∠ABE ∠∠BCD ，∠AB ＝BC ，BE ＝CD ，∠EC ＝BC －BE ＝AB －CD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代换的思想来间接证明．20．详见解析【解析】【分析】根据AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=， 90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=，从而有ACB CED ∠=∠，可以验证ABC ∆和CDE ∆全等，从而得到AB =CD ．【详解】证明：∠AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∠90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=∠90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=∠ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠ABC ∆∠CDE ∆故AB CD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．。

全等三角形之三垂直模型

全等三角形之三垂直模型
模块一：三垂直模型
1. 已知：如图(1)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于E，CD⊥BD，求
证：
2. 已知：如图(2)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求
证：
3. 已知：如图(3)，AB=EC，AE⊥ED，BE⊥AB，CD⊥CE，求证：
4. 如图，是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，，则下列结论正确的个数有（）
①CD=AE；②；③；④AD=BE.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 如图所示，，，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC中点，于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）
A. 4cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
6. 如图，已知中，，AC=BC，D是BC的中点，，垂足为E，，交CE的延长线于点F，求证：AC=2BF.
7. 如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=BC，E是AB的中点，.求证：AE=AD.
模块二：勾股定理的证明
如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么.
以毕达哥拉斯内弦图为例：
8. 如图，直线过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线的距离分别是3和4，则AB的长是 .
9. 如图，直线分别过正方形ABCD的三个顶点A、B、D，且相互平行，若之间的距离为1，的距离为1，则正方形ABCD的面积是 .
10. 如图，且AE=AB，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 .
A. 50
B. 62
C. 65
D. 68。

全等三角形专题之垂直模型教学文案

全等三角形专题之垂直模型垂直模型考点一：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.图(1) 图(2) 图(3)(1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何?写结论,并说明理由.(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由.3.直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且．（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=o o ，则（填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系.BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<o o α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠ABC E FD DAB CE F ADFC EB图1图2 图3DQPE F A2. 如图，在等腰R t△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．Array(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.变式：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．A3. 如图1，已知△ADC 和△EDG 都是等腰直角三角形上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将△EDG 绕点D 按顺时针方向旋转30°，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.图1 图GE。

专题全等三角形模型——三垂直与三等角(解析版)

全等三角形模型——三垂直与三等角三垂直模型如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA ；求证：△BCD ≌△CAE.∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.∴∠ B=∠ ACE .又 ∵∠ D=∠ E ，BC=BA.∴△BCD ≌△CAE.常见的三垂直模型:1.如图，ABC D 是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E Ð=Ð=°，则下列结论正确的个数有( )①CD AE =；②12Ð=Ð；③34Ð=Ð；④AD BE =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的性质推出23Ð=Ð，然后利用AAS 证明ABE D 和CAD D 全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断．【解答】解：90D Ð=°Q ，1390\Ð+Ð=°，ABC D Q 是等腰直角三角形，A 为直角顶点，121809090\Ð+Ð=°-°=°，AB AC =，23\Ð=Ð，在ABE D 和CAD D 中，2390D E AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE CAD AAS \D @D ，CD AE \=，AD BE =，14Ð=Ð，故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确，所以结论正确的有①④共2个．故选：B ．2.（2022秋•文登区期中）在ABC D 中，90ACB Ð=°，BC AC =．（1）如图①，DE 是过点C 的一条直线，且A ，B 在DE 的同侧，AD DE ^于D ，BE DE ^于E ．写出AD ，BE ，ED 间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE 是过点C 的一条直线，且A ，B 在DE 的两侧，AD DE ^于D ，BE DE ^于E ．写出AD ，BE ，ED 间的数量关系，并写明理由．【分析】（1）由“AAS ”可证ADC CEB D @D ，可得CD BE =，AD CE =，可求DE AD BE =+；（2）由“AAS ”可证ADC CEB D @D ，可得CD BE =，AD CE =，可求AD BE DE =+．【解答】解：（1）AD BE ED +=．理由如下：AD DE ^Q ，BE DE ^，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90DAC ACD \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90BCE ACD \Ð+Ð=°，DAC BCE\Ð=Ð，Q，AC CB=\D@DADC CEB AAS()=，\=，AD CECD BE\=+=+．ED EC CD AD BE=+．（2）AD DE BE^，Q，BE DE^AD DEADC CEB\Ð=Ð=°，90\Ð+Ð=°，DAC ACD90Q，Ð=°90ACB\Ð+Ð=°，BCE ACD90\Ð=Ð，DAC BCEQ，AC CB=\D@D()ADC CEB AAS=，\=，AD CECD BE\==+=+．AD CE CD DE DE BE3.（2020秋•通河县期末）综合与实践．积累经验（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC=，线段DEÐ=°，AC BCD中，90ACB^于点E．求证：AD CE经过点C，且AD DE^于点D，BE DE=”这个问题时，只要证明=，CD BED@D，即可得到解决，请写出证明过程；ADC CEB类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为(0,2)，点C 的坐标为(1,0)，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC D 在平面直角坐标系中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(4,2)，则点B 的坐标为．【分析】（1）证明()ADC CEB AAS D @D ，由全等三角形的性质可得出答案；（2）过B 作BD x ^轴于D ，先证CAO BCD Ð=Ð，再证明AOC CDB D @D ，可得1DB OC ==，2CD AO ==，即可解决问题；（3）过点C 作CF x ^轴于点F ，过点B 作BE CF ^交FC 的延长线于点E ，过点A 作AD CF ^于点D ，由全等三角形的性质得出BE CD =，AD CE =，则可得出答案．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，而AD DE ^于D ，BE DE ^于E ，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90BCE CBE Ð+Ð=°，ACD CBE \Ð=Ð，在ADC D 和CEB D 中，ADC CEB ACD CBE AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADC CEB AAS \D @D ，AD CE \=，DC BE =；（2）解：过B 作BD x ^轴于D ，如图2所示：(0,2)A Q ，(1,0)C ，2OA \=，1OC =，90ACO CAO Ð+Ð=°Q ，90ACO BCD Ð+Ð=°，CAO BCD \Ð=Ð，在AOC D 和CDB D 中，90AOC CDB CAO BCDAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AOC CDB AAS \D @D ，1DB OC \==，2CD AO ==，3OD OC CD \=+=，\点B 的坐标为(3,1)．（3）解：如图3，过点C 作CF x ^轴于点F ，过点B 作BE CF ^交FC 的延长线于点E ，过点A 作AD CF ^于点D ，同（1）（2）可得ACD CBE D @D ，BE CD \=，AD CE =，(2,1)A Q ，(4,2)C ，2AD CE \==，1DF =，1CD BE \==，\点B 的纵坐标为224CE CF +=+=，横坐标为413-=，(3,4)B \．故答案为：(3,4)．4.（2021秋•临沂期末）如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，2.5AD cm =，1BE cm =，求DE的长．【分析】先证明BCE CAD D @D ，得1BE CD cm ==， 2.5CE AD cm ==，然后根据线段和差定义即可解决．【解答】解：AD CE ^Q ，BE CE ^，90ADC E \Ð=Ð=°，90ACD CAD \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，BCE CAD \Ð=Ð，在BCE D 和CAD D 中，90E ADC BCE CAD CB CA Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAD AAS \D @D ，1()CD BE cm \==， 2.5()CE AD cm ==，2.51 1.5()DE CE CD cm \=-=-=．5.（2020秋•赫山区期末）如图所示，直线MN 一侧有一个等腰Rt ABC D ，其中90ACB Ð=°，CA CB =．直线MN 过顶点C ，分别过点A ，B 作AE MN ^，BF MN ^，垂足分别为点E ，F ，CAB Ð的角平分线AG 交BC 于点O ，交MN 于点G ，连接BG ，恰好满足AG BG ^．延长AC ，BG 交于点D ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AC CO AB +=．【分析】（1）证得EAC FCB Ð=Ð，根据AAS 证明AEC CFB D @D 即可．（2）证明()ACO BCD ASA D @D ，由全等三角形的性质得出CO CD =．证得AD AB =，则可得出结论．【解答】证明：（1）AE MN ^Q ，BF MN ^，又90ACB Ð=°Q ，90EAC ECA FCB ECA \Ð+Ð=Ð+Ð=°．EAC FCB \Ð=Ð．在AEC D 和CFB D 中，90AEC CFB EAC FCBAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AEC CFB AAS \D @D ，CE BF \=；（2）90ACB Ð=°Q ，AG BG ^，CAO CBD \Ð=Ð．在ACO D 和BCD D 中，90ACO BCD AC BCCAO CBD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，()ACO BCD ASA \D @D ，CO CD \=．AC CO AC CD AD \+=+=．AG Q 平分CAB Ð，AG BG ^，D ABD \Ð=Ð．AD AB \=．综上，AC CO AB +=．6.（2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD Ð=°，AB AD =，过点B 作BC AC ^于点C ，过点D 作DE AC ^于点E ．由12290D Ð+Ð=Ð+Ð=°，得1D Ð=Ð．又90ACB AED Ð=Ð=°，可以推理得到ABC DAE D @D ．进而得到AC = ，BC = ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE Ð=Ð=°，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ^于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,4)，点B 为平面内任一点．若AOB D 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ^于M ，EN AF ^于N ，证明ABF DAM D @D ，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG D @D ，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ^轴于点C ，过点A 作DE y ^轴于点E ，仿照①的证明过程解答．【解答】解：（1）12290D Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，1D \Ð=Ð，在ABC D 和DAE D 中，1D ACB DEA AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DAE SAS \D @D AC DE \=，BC AE =，故答案为：DE ；AE ；（2）①如图2，作DM AF ^于M ，EN AF ^于N ，BC AF ^Q ，90BFA AMD \Ð=Ð=°，90BAD Ð=°Q ，12190B \Ð+Ð=Ð+Ð=°，2B \Ð=Ð，在ABF D 与DAM D 中，BFA AMD Ð=Ð，2BFA AMD B AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABF DAM AAS \D @D ，AF DM \=，同理，AF EN =，EN DM \=，DM AF ^Q ，EN AF ^，90GMD GNE \Ð=Ð=°，在DMG D 与ENG D 中，DMG ENG DGM EGNDM EN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DMG ENG AAS \D @D ，DG EG \=，即点G 是DE 的中点；②如图3，ABO D 和△AB O ¢是以OA 为斜边的等腰直角三角形，过点B 作DC x ^轴于点C ，过点A 作DE y ^轴于点E ，两直线交于点D ，则四边形OCDE 为矩形，DE OC \=，OE CD =，由①可知，ADB BCO D @D ，AD BC \=，BD OC =，22BD OC DE AD BC \===+=+，24BC BC \++=，解得，1BC =，3OC =，\点B 的坐标为(3,1)，同理，点B ¢的坐标为(1,3)-，综上所述，AOB D 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，点B 的坐标为(3,1)或(1,3)-．7.如图，(2,0)A -．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC D ，若(0,4)B -，求C 点的坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt APD D ，过D 作DE x ^轴于E 点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点F 坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt FGH D ，H 点在x 轴上，90GFH Ð=°，设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，m n +的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）作CD x ^轴于D ，证明ACD BAO D @D ，根据全等三角形的性质得到2DC OA ==，4AD OB ==，计算即可；（2）作DF y ^轴于F ，证明APO DPF D @D ，得到2PF OA ==，DF OP =，结合图形计算；（3）作PM x ^轴于M ，PN y ^轴于N ，仿照（2）的证明过程解答．【解答】解：（1）作CD x ^轴于D ，90ACD CAD \Ð+Ð=°，90CAB Ð=°Q ，90BAO CAD \Ð+Ð=°，BAO ACD \Ð=Ð，在ACD D 和BAO D 中，90ADC BOA ACD BAOAC BA Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，ACD BAO \D @D ，2DC OA \==，4AD OB ==，6OD \=，C \点的坐标为(6,2)--；（2）OP DE -的值不变，值为2，理由如下：作DF y ^轴于F ，90PDF DPF \Ð+Ð=°，90APD Ð=°Q ，90APO DPF \Ð+Ð=°，APO PDF \Ð=Ð，在APO D 和DPF D 中，APO DPF AOP PFD PA PD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，APO DPF \D @D ，2PF OA \==，DF OP =，2OP DE OP OF PF \-=-==；（3）m n +的和不变，值为8-，理由如下：作PM x ^轴于M ，PN y ^轴于N ，由（2）可知，HMF GNF D @D ，GN MH \=，4FN FM OM ===，()()()8m n OG OH GN ON MH OM ON OM +=--=-+-+=-+=-．三等角模型“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.三等角的推导过程：已知：∠ A=∠ B=∠ CPD ，AC=PB ；求证：△ACP ≌△BPD.∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.∴∠ C=∠ DPB .又∵∠ A=∠ B ，AC=PB.∴△ACP ≌△BPD.常见的一线三等角模型：8.如图，点D ，A ，E 在一条直线上，AB AC =，60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，试探究BD ，CE 与DE之间的数量关系．【分析】由题意可证BAD ACE Ð=Ð，ABD CAE Ð=Ð，且AB AC =，可证ABD CAE D @D ，可得AD CE =，BD AE =，即可求BD ，CE 与DE 之间的数量关系．【解答】解：DE BD CE=+理由如下：BAE D ABD BAC CAE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，ABD CAE\Ð=ÐDAC DAB BAC AEC ACE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，BAD ACE \Ð=Ð，且ABD CAE Ð=Ð，AB AC=()ABD CAE ASA \D @D AD CE \=，BD AE=DE AD AE=+Q DE CE BD\=+9.（2022•鹿城区二模）如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12Ð=Ð，AD DE =．（1）求证：ABD DCE D @D ；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【分析】（1）根据AAS 可证明ABD DCE D @D ；（2）得出5AB DC ==，3CE BD ==，求出5AC =，则AE 可求出．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，在ABD D 与DCE D 中，12B C AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABD DCE AAS \D @D ；（2）解：ABD DCE D @D Q ，5AB DC \==，3CE BD ==，AC AB =Q ，5AC \=，532AE AB EC \=-=-=．10.如图，D ，A ，E 三点都在一条直线上，且BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，AB AC =，试探究BD ，CE 与DE 之间的数量关系．【分析】由“AAS ”可证ABD CAE D @D ，可得AD CE =，BD AE =，可得结论．【解答】解：DE BD CE =+，理由如下：BAE D ABD BAC CAE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð，ABD CAE \Ð=Ð，在ABD D 和CAE D 中，ABD CAE ADB CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABD CAE AAS \D @D ，AD CE \=，BD AE =，DE AD AE =+Q ，DE CE BD \=+．11.（2021秋•东至县期末）如图，在ABC D 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，若10DE =，3BD =，求CE 的长．【分析】由AEC BAC a Ð=Ð=，推出ECA BAD Ð=Ð，再根据AAS 证明BAD ACE D @D 得CE AD =，3AE BD ==，即可得出结果．【解答】解：AEC BAC a Ð=Ð=Q ，180ECA CAE a \Ð+Ð=°-，180BAD CAE a Ð+Ð=°-，ECA BAD \Ð=Ð，在BAD D 与ACE D 中，BDA AEC BAD ACE AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BAD ACE AAS \D @D ，CE AD \=，3AE BD ==，10DE AD AE =+=Q ，1037AD DE AE DE BD \=-=-=-=．7CE \=．12.（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD Ð=°；问题2：如图②，在三角形ABC 中，45B C Ð=Ð=°，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD Ð=°．求AE AP PC+的值．【分析】问题1：证明Rt ABP Rt PCD(HL)D @D ，由全等三角形的性质得出APB PDC Ð=Ð，则可得出结论；问题2：过D 点作DF AC ^于点F ，证明()APE FDP AAS D @D ，由全等三角形的性质得出AE PF =，AP DF =，证出AP FC =，则可得出答案．【解答】问题1：证明：BP PC BC +=Q ，BP AB BC +=，PC AB \=，在Rt ABP D 与Rt PCD D 中，AP PDAB PC =ìí=î，Rt ABP Rt PCD(HL)\D @D ，APB PDC \Ð=Ð，180180()1809090APD APB DPC PDC DPC \Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=°-°=°；问题2：过D 点作DF AC ^于点F ，在ABC 中，18090A B C Ð=°-Ð-Ð=°，A PFD \Ð=Ð，9090APE DPF AEP APE Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，DPF AEP \Ð=Ð，在APE D 与FDP D 中，A DFPDPE AEP PE PDÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()APE FDP AAS \D @D ，AE PF \=，AP DF =，在DPF D 中，90904545FDC C Ð=°-Ð=°-°=°，DF FC \=，AP FC \=，PC PF FC AE AP \=+=+，\1AE APPC +=．13.如图①，点B 、C 在MAN Ð的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN Ð内部的射线AD 上，1Ð、2Ð分别是ABE D 、CAF D 的外角．已知AB AC =，12BAC Ð=Ð=Ð．求证：ABE CAF D @D ．应用：如图②，在ABC D 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E ，F 在线段AD 上．12BAC Ð=Ð=Ð，若ABC D 的面积为15，求ABE D 与CDF D 的面积之和．【分析】（1）由“ASA ”可证ABE CAF D @D ；（2）由“ASA ”可证ABE CAF D @D ，由全等三角形的性质可得ABE CAF S S D D =，由三角形的面积关系可求解．【解答】证明：（1）12BAC Ð=Ð=ÐQ ，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2FAC FCA Ð=Ð+Ð，BAC BAE FAC Ð=Ð+Ð，BAE FCA \Ð=Ð，ABE FAC Ð=Ð，且AB AC =，()ABE CAF ASA \D @D （2）12BAC Ð=Ð=ÐQ ，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2FAC FCA Ð=Ð+Ð，BAC BAE FAC Ð=Ð+Ð，BAE FCA \Ð=Ð，ABE FAC Ð=Ð，且AB AC =，()ABE CAF ASA \D @D ABE CAF S S D D \=，2CD BD =Q ，ABC D 的面积为15，10ACD ABE CDF S S S D D D \==+．14.如图，在等腰三角形ABC D 中，AC BC =，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，CDE A Ð=Ð．（1）如图1，若BC BD =，求证：CD DE =；（2）如图2，过点C 作CH DE ^，垂足为H ，若CD BD =，4EH =，求DE BE -的值．【分析】（1）根据ASA 判定ADC BED D @D ，即可得到CD DE =；（2）先证DCB CDE Ð=Ð，得CE DE =，再在DE 上取点F ，使得FD BE =，进而判定()CDF DBE SAS D @D ，得CF DE CE ==，然后由等腰三角形性质得4FH HE ==，即可求解．【解答】解：（1）AC BC =Q ，CDE A Ð=Ð，A B CDE \Ð=Ð=Ð，ACD BDE \Ð=Ð，又BC BD =Q ，BD AC \=，在ADC D 和BED D 中，ACD BDE AC BDA B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADC BED ASA \D @D ，CD DE \=；（2）解：CD BD =Q ，B DCB \Ð=Ð，又CDE B Ð=ÐQ ，DCB CDE \Ð=Ð，CE DE \=，如图2，在DE 上取点F ，使得FD BE =，在CDF D 和DBE D 中，DF BE CDE B CD DB =ìïÐ=Ðíï=î，()CDF DBE SAS \D @D ，CF DE CE \==，又CH EF ^Q ，FH HE \=，28DE BE DE DF EF EH \-=-===．15.（2021春•榆次区校级期末）综合与实践（1）观察理解：如图1，ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD l ^，AE l ^，垂足分别为D ，E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以(AEC CDB D @D AAS )；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且AE AB =，BC CD ^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S = ；（3）类比探究：如图3，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB ¢，连接B C ¢，求△AB C ¢的面积．（4）拓展提升：如图4，点B ，C 在MAN Ð的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN Ð内部的射线AD 上，1Ð、2Ð分别是ABE D 、CAF D 的外角．已知AB AC =，12BAC Ð=Ð=Ð．求证：CF EF BE +=；（5）拓展应用：如图5，在ABC D 中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，12BAC Ð=Ð=Ð．若ABC D 的面积为15，则ACF D 与BDE D 的面积之和为．【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．（2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可．（3）如图3，过B¢作B E AC¢^于E，构造全等三角形解决问题即可．D@D，可得结论．（4）证明()ABE CAF ASA（5）利用（4）中结论，解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，Q，BD DE^，^AE DE\Ð=Ð=°，AEC CDB90\Ð+Ð=°，90CAE ACE又90ACBQ，Ð=°\Ð+Ð=°，90BCD ACE\Ð=Ð，CAE BCD在AEC D 和CDB D 中，CAE BCD AEC CDB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AEC CDB AAS \D @D 故答案为：AAS ．（2）如图2中，AE AB =Q ，90EAB Ð=°，BC CD =，90BCD Ð=°，由（1）得：EFA AGB D @D ，BGC CHD D @D ，6AG EF \==，3AF BG ==，4CG DH ==，3CH BG ==，\()11122461626324380181250222AEF CHD EFHD S S S S D D =--=+´-´´´-´´´=--=梯形．故答案为50．（3）如图3，过B ¢作B E AC ¢^于E ，由旋转得：AB AB =¢，90BAB ¢Ð=°Q ，由（1）可知AEB BCA ¢D @D ，4AC B E ¢\==，\1144822AB C S AC B E ¢¢=×=´´=V ．（4）如图4中，12BAC Ð=Ð=ÐQ ，1BAE ABE Ð=Ð+Ð，BAC BAE CAF Ð=Ð+Ð，2FCA CAF Ð=Ð+Ð，ABE CAF \Ð=Ð，BAE FCA Ð=Ð，在ABE D 和CAF D 中，ABE CAF AB ACBAE ACF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABE CAF ASA \D @D ，BE AF \=，CF AE =，CF EF AE EF AF BE \+=+==．（5）如图5中，ABC D Q 的面积为15，2CD BD =，ABD \D 的面积是：11553´=，由图4中证出ABE CAF D @D ，ACF \D 与BDE D 的面积之和等于ABE D 与BDE D 的面积之和，即等于ABD D 的面积，是5，故答案为：5．。

全等三角形垂直模型

全等三角形辅助线训练专题【倍长中线】特点：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以构造全等三角形，从而进行边的等量代换。

典例分析例1 已知AD 是△ABC 的中线，AB ＝4，AC ＝3，求AD 的取值范围．例2 如图，AD 是△ABC 的中线，点E 、F 分别是AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF .C【截长补短】截长：1．过某一点作长边的垂线；2．在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1．延长短边；2．通过延长等方式使两短边拼合到一起。

典例分析例3 如图，四边形ABDC 中，∠D ＝∠ABD ＝90°，点O 为BD 中，且OA 平分∠BAC .求证：AB ＋CD ＝AC ．例4 如图，AB ＜BC ，已知∠1＝∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，P A ＝PC ，求证：AB ＋BC ＝2BF ．N21FPCB A例5 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD．【构造一线三直角】利用垂直相等作垂线构造全等三角形，实现坐标与线段的转化典例分析例6 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（0，n）以点B为直角顶点，点C在第二象限内，作等腰直角△ABC，则点C的坐标是____________．（用n表示）例7 如图，△ACB为等腰直角三角形，A（－1，0），C（1，3），AC⊥BC，求B的坐标．例8 如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，且B（－3，4），C（4，0），求A点坐标．例9 如图，△ACB为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（0，3），C（1，0）．求B的坐标．例10 如图，AB＝AC，且AB⊥AC，若C（0，－1），B（－4，0），求点A点坐标．例11 如图1，OA＝2，OB＝4，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（－2，－2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，则m＋n的定值，求出其值．全等三角形手拉手模型【手拉手模型——等边三角形】归纳总结：概念：由两个共顶点的等边三角形所组成。

重难专题03 全等三角形的垂线模型(解析版)

重难专题03 全等三角形的垂线模型如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S =V ，则BC 的长为________．证得BC DM =成为解答本题的关键．如图，在ABC V 中，以AB AC 、为腰作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ．连接EF AD ，为BC 边上的高线，延长DA 交EF 于点N ，下列结论：（1）FAN ACD Ð=Ð；（2）FNA ADC ≌V V ；（3）EN FN =；（4）AEF ABC S S =V V ，其中正确的结论有____________(填序号)．【分析】根据9090EAN BAD ABC BAD Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，利用同角的余角相等即可判断（1）；过E 作EH DN ^于点H ，过F 作FG DN ^，交DN 的延长线于点G ，利用K 字型全等，易证AEH BAD ≌V V ，从而判断（2）；同理可证AFG CAD ≌V V ，可得GF AD EH ==，再证EHN FGN ≌V V ，即可判断（4）；最后根据AEF AEH EHN AFN S S S S =++V V V V ，结合全等三角形即可判断（3）．【详解】解：∵AD 为BC 边上的高，90EAB =°，∴9090EAN BAD ABC BAD Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，∴EAN ABC Ð=Ð，故(1)正确；如图所示，过E 作EH DN ^于点H ，过F 作FG DN ^，交DN 的延长线于点G ，∵ABE V 为等腰直角三角形，∴AE AB =，在AEH △与BAD V 中，∵90AHE BDA EAH ABD AE AB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS AEH BAD ≌V V ，∴EAN V 与BAD V 不全等，故（2）错误；同理可证()AAS AFG CAD ≌V V ，∴FG AD =，又∵AEH BAD ≌V V ，∴EH AD =，∴F G E H =，在EHN △和FGN V 中，∵90ENH FNG EHN FGN EH FG Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴()AAS EHN FGN ≌V V ，∴EN FN =，故（4）正确；∵AEH BAD AFG CAD EHN FGN ≌，≌，≌V V V V V V ，∴AEF AEH EHN AFNS S S S =++V V V V ABD FGN AFNS S S =++V V V ABD AFGS S =+V V ABD CADS S =+V V ABC S =V ．故（3）正确；综上：正确的有（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，掌握K 字型全等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）如图，CAB DAB Ð=Ð，BC BD =．求证：ABC ABD △≌△．（2）如图，ABC ABD Ð=Ð，AC AD =．求证：ABC ABD △≌△．【分析】（1）过点B 分别作BE AC ^，BF AD ^，垂足分别为E 、F ，通过三角形全等得到C D Ð=Ð，即可求解；（2）过点A 分别作AE BD ^，AF BC ^，垂足分别为E 、F ，通过角之间的关系得到点A 在EBF Ð的平分线上，再通过三角形全等得到C D Ð=Ð，即可求解；【详解】（1）证明：过点B 分别作BE AC ^，BF AD ^，垂足分别为E 、F90BEC BFD \Ð=Ð=°．CAB DAB Ð=ÐQ ，即点B 在CAD Ð的平分线上，BE AC ^，BF AD ^，垂足分别为E 、F ，BE BF \=．在Rt BCE V 和Rt BDF △中，,,BC BD BE BF =ìí=îRt Rt ()BCE BDF HL \△≌△．C D \Ð=Ð．在ABC V 和ABD △中，,,,C D CAB DAB AB AB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ABC ABD AAS \V V ≌．（2）证明：如图，过点A 分别作AE BD ^，AF BC ^，垂足分别为E 、F90AED AFC \Ð=Ð=°．180ABC ABF ABD ABE Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ABC ABD Ð=Ð，ABF ABE \Ð=Ð．即点A 在EBF Ð的平分线上．AE BD ^Q ，AF BC ^，垂足分别为E 、F ，AE AF \=．在Rt AED △和Rt AFC △中，,,AD AC AE AF =ìí=î()Rt Rt AED AFC HL \△≌△．C D \Ð=Ð．在ABC V 和ABD △中，,,,C D ABC ABD AB AB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ABC ABD AAS \△△≌．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形．如图1，已知ABC V 中，90BAC Ð=o ，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ^于D ，CE AE ^于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE @V V ；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．【分析】（1）根据题意可得ABD EAC Ð=Ð，结合BDA AECÐ=Ð，AB AC =直接用AAS 证明三角形全等即可；（2）根据（1）的结论ABD CAE ≌V V ，进而可得BD DE CE =-；（3）方法同（1）证明ABD CAE ≌V V ，进而可得BD DE CE=+（4）方法同（1）结论同（2）证明ABD CAE ≌V V ，进而可得BD DE CE =-．【详解】（1）证明：∵90BAC Ð=o ，∴90BAD EAC Ð+Ð=o ．又∵BD AE ^ ，CE AE ^，∴90BDA AEC Ð=Ð=o ，90BAD ABD Ð+Ð=o ，∴ABD EAC Ð=Ð．又∵AB AC =，∴()ABD CAE AAS V V ≌．（2）解：∵ABD CAE ≌V V ，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．（3）解：∵90BAC Ð=o ，∴90BAD EAC Ð+Ð=o ．又∵BD AE ^ ，CE AE ^，∴90BDA AEC Ð=Ð=o ，90BAD ABD Ð+Ð=o ，∴ABD EAC Ð=Ð．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌V V ．∴BD AE =，AD CE =，AE AD DE =+，∴BD DE CE =+．（4）解：BD DE CE =-．理由如下：∵90BAC Ð=o ，∴90BAD EAC Ð+Ð=o ．又∵BD AE ^ ，CE AE ^，∴90BDA AEC Ð=Ð=o ，90BAD ABD Ð+Ð=o ，∴ABD CAE Ð=Ð．又∵AB AC =，∴ABD CAE ≌V V ，∴BD AE =，AD CE =．又∵ED AD AE =+，∴BD DE CE =-．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ^于点D ，BE DE ^于点E ．求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB △≌△，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程；类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 与x 轴的距离．拓展提升：（3）如图3，ABC V 在平面直角坐标系中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，求点B 的坐标．【分析】（1）根据AD ⊥DE 、BE ⊥DE得到∠D =∠E =90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC =∠BCE ，进而证明△ADC ≌△CEB ，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，通过证明△AOC ≌△CEB ，进而得出CO =BE ，再根据点C 的坐标即可得到结果；（3）过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，再过点A 、B 分别作AE ⊥CF ，BD ⊥CF ，通过证明△CDB ≌△AEC ，进而得出BD =CE ，AE =CD ，最后根据点A 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(4，2)即可求出点B 坐标．【详解】解：（1）证明：∵,AD DE BE DE ^^，∴90D E Ð=Ð=°，∴90DAC ACD Ð+Ð=°，又∵90ACB Ð=°，∴90ACD BCE Ð+Ð=°，∴DAC BCE =ÐÐ，在ADC △和CEB V 中，D E DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ADC △≌CEB V ，∴,AD CE CD BE ==；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵=90AOC Ð°，∴90OAC ACOÐ+Ð=°，又∵90ACB Ð=°，∴90ACO BCE Ð+Ð=°，∴OAC BCE Ð=Ð，在AOC V 和CEB V 中，90AOC CEB OAC ECB AC BC Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴AOC V ≌CEB V ，∴CO BE =，又∵点C 的坐标(1，0)，∴1CO =，∴1BE =，即点B 到x 轴的距离是1；（3）如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，再过点A 、B 分别作AE ⊥CF ，BD ⊥CF ，∵,AE CF BD CF ^^，∴90AEC CDB Ð=Ð=°，又∵90ACB Ð=°，∴90ACE BCD Ð+Ð=°，∴CAE BCD Ð=Ð，在ACE △和BCD △中，AEC CDB CAE BCD AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ACE △≌CBD △，∴,BD CE AE CD ==，又∵A 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(4，2)，∴211CE BD==-=，422CD AE ==-=，设B 点坐标为(a ，b )，则a =4－1=3，b =2+2=4，∴点B 的坐标为(3，4)．【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．在ABC V 中，90,ACB AC BC Ð=°=，过点C 作直线MN ，过点A 作AM MN ^于点M ，过点B 作BN MN ^于点N ．（1）如图1，当直线MN 在ABC V 外时，证明：MN AM BN =+．（2）如图2，当直线MN 经过ABC V 内部时，其他条件不变，则,AM BN 与MN 之间有怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）根据题目条件可以证明AMC CNB △≌△，然后根据全等的性质就可以证得结论；（2）依然是证明AMC CNB △≌△，再根据全等对应边相等即可得出结论；【详解】（1）证明：∵,AM MN BN MN ^^，∴90MAC ACM Ð+Ð=°．∵90ACB Ð=°，∴90NCB ACM Ð+Ð=°，∴MAC NCB Ð=Ð．在AMC V 和CNB V 中，,,,AMC CNB MAC NCB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AMC CNB AAS V V ≌，∴,AM CN MC NB ==．∵MN MC CN =+，∴MN AM BN =+．（2）解：MN BN AM =-．∵,AM MN BN MN ^^，∴90AMC CNB Ð=Ð=°．∴90MAC ACM Ð+Ð=°．∵90ACB Ð=°，∴90NCB ACM Ð+Ð=°，∴MAC NCB Ð=Ð．在AMC V 和CNB V 中，,,,AMC CNB MAC NCB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AMC CNB AAS V V ≌，∴,AM CN MC NB ==．∵MN MC CN =-，∴MN BN AM =-．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．一、单选题1．如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AE CE ^于点E ，BD CD ^于点D ，5cm AE =，2cm BD =，则DE 的长是（）A ．8cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得CAE ACD ACD BCD Ð+Ð=Ð+Ð，CAE BCD Ð=Ð，然后证AEC CDB D @D 后求解．【详解】解：90ACB Ð=°Q ，AC BC =，AE CE ^于E ，BD CE ^于D ，CAE ACD ACD BCD \Ð+Ð=Ð+Ð，CAE BCD \Ð=Ð，又90AEC CDB Ð=Ð=°Q ，AC BC =，AEC CDB \D @D ．2CE BD \==，5CD AE ==，523()ED CD CE cm \=-=-=．故选：C ．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用CAE ACD ACD BCD Ð+Ð=Ð+Ð，CAE BCD Ð=Ð，是解题的关键．2．如图，在ABC D 中，90ACB Ð=o ，AC BC =，点C 的坐标为(2,0)-，点A 的坐标为(6,3)-，求点B 的坐标（）A ．()3,4B ．()2,3C ．()2,4D ．()1,4【答案】D【分析】由题意过A 和B 分别作AD ⊥OC 于D ，BE ⊥OC 于E ，利用已知条件可证明△ADC ≌△CEB ，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B 点的坐标．【详解】解：过A 和B 分别作AD ⊥OC 于D ，BE ⊥OC 于E ，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠CAD =90°∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，90ADC CBE CAD BCEAC BC ÐÐ°ìïÐÐíïî＝＝＝＝∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴DC =BE ，AD =CE ，∵点C 的坐标为（-2，0），点A 的坐标为（-6，3），∴OC =2，AD =CE =3，OD =6，∴CD =OD -OC =4，OE =CE -OC =3-2=1，∴BE =4，∴则B 点的坐标是（1，4）．故选：D .【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS 证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B 的坐标，注意象限的符号问题．3．如图，ABC D 中， BP 平分∠ABC ， AP ⊥BP 于P ，连接PC ，若PAB D 的面积为3.5cm 2，PBC D 的面积为4.5cm 2，则PAC D 的面积为( ).A ．0.25cm 2B ．0.5 cm 2C ．1cm 2D ．1.5cm 2【答案】C 【分析】延长AP ，交BC 于点D ，则可证△ABP ≌△DBP ，可得AP =DP ，△ABP 与△DBP 的面积相等，则△PCD 与△ACP 的面积相等，然后得到△PAC 的面积.【详解】解：如图，延长AP ，交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠DBP ，∵BP =BP ，∠APB =∠DPB =90°，∴△ABP ≌△DBP ，∴AP =DP ， 3.5ABP DBP S S D D ==，∵△PCD 与△ACP 底边相等，高相同，∴APC DPCS S D D =∵ 4.5 3.51DPC PBC DBP S S S D D D =-=-=，∴1APC S D =；故选择：C .【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．4．如图中，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，若点E 、B 、D 到直线AC 的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S 是( )A ．50B ．44C ．38D ．32【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K ”字形全等，用AAS 可证△FEA ≌△MAB ，△DHC ≌△CMB ，推出AM =EF =6，AF =BM =3， CM =DH =2，BM =CH =3，从而得出FH =14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BM ⊥AM ，∴∠F =∠AMB =∠EAB =90°，∴∠FEA +∠EAF =90°，∠EAF +∠BAM =90°，∴∠FEA =∠BAM ，在△FEA 和△MAB 中F BMA FEA BAM AE AB ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△FEA ≌△MAB （AAS ），∴AM =EF =6，AF =BM =3，同理CM =DH =2，BM =CH =3，∴FH =3+6+2+3=14，∴梯形EFHD 的面积=12EF DH FH +g g （）=126241´+´（）=56，∴阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EFA -S △ABC -S △DHC =11566322183322-´´-´´-´´=32．故选D．【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．二、填空题5．如图，线段AB =8cm ，射线AN ⊥AB ，垂足为点A ，点C 是射线上一动点，分别以AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD 与△BCE ，连接DE 交射线AN 于点M ，则CM 的长为__________．【答案】4cm .【分析】过点E 作EF ⊥AN 于F ，先利用AAS 证出△ABC ≌△FCE ，从而得出AB =FC =8cm ，AC =FE ，然后利用AAS 证出△DCM ≌△EFM ,从而求出CM 的长.【详解】解：过点E 作EF ⊥AN 于F ，如图所示∵AN ⊥AB ，△BCE 和△ACD 为等腰直角三角形，∴∠BAC =∠BCE =∠ACD =∠CFE =90°，BC =CE ，AC =CD∴∠ABC +∠ACB =90°，∠FCE +∠ACB =90°，∴∠ABC =∠FCE ，在△ABC 和△FCE 中BAC CFE ABC FCEBC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABC ≌△FCE∴AB =FC =8cm ，AC =FE∴CD =FE在△DCM 和△EFM 中90DMC EMF DCM EFM CD FE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△DCM ≌△EFM∴CM =FM =12FC =4cm .故答案为：4cm .【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS 证两个三角形全等是解决此题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，以A （2，0），B （0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC （其中∠ABC ＝90°，且点C 落在第一象限），则点C 关于y 轴的对称点C '的坐标为______．【答案】()1,3-【分析】过点C 向y 轴，引垂线CD ，利用△OAB ≌△DBC ，确定DC ，DO 的长度，即可确定点C 的坐标，对称坐标自然确定.【详解】如图，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，∵∠ABC =90°，∴∠DBC +∠OBA =90°，∵∠OAB +∠OBA =90°，∴∠DBC =∠OAB ，∵AB =BC ，∠BDC =∠AOB =90°∴△OAB ≌△DBC ，∴DC =OB ，DB =OA ，∵A （2，0），B （0，1）∴DC =OB =1，DB =OA =2，∴OD =3，∴点C （1,3），∴点C 关于y 轴的对称点坐标为（-1,3），故答案为：（-1,3）.【点拨】本题考查了点的坐标及其对称点坐标的确定，熟练分解点的坐标，利用三角形全等，把坐标转化为线段的长度计算是解题的关键.三、解答题7．如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为﹣3，点B 的坐标为；（2）如图②，若x 轴恰好平分∠BAC ，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD 垂直x 轴于D 点，试猜想线段CD 与AM 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，OB ＝BF ，∠OBF ＝90°，连接CF 交y 轴于P 点，点B 在y 轴的正半轴上运动时，△BPC 与△AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．【答案】（1）（0，3）；（2）AM ＝2CD ，理由见解析；（3）不变，12【分析】（1）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，由全等三角形的判定定理可得ABO BCH V V ≌，可得3CH BO ==，即可求解；（2）延长AB ，CD 交于点N ，由全等三角形的判定定理可得ADN ADC V V ≌，得出CD DN =，再依据全等三角形判定定理证明ABM CBN V V ≌，可得AM CN =，即可得结论；（3）如图③，作CG ⊥y 轴于G ，由全等三角形判定定理可得BAO CBG V V ≌，得出BG AO =，CG OB =，再依据全等三角形的判定可证CGP FBP V V ≌，得出PB PG =，可得1122PB BG AO ==，由三角形面积公式可求解．【详解】解：（1）如图①，过点C 作CH ⊥y 轴于H ，∴90BHC ABC Ð=°=Ð，∴90BCH CBH ABH CBH Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴BCH ABH Ð=Ð，∵点C 的横坐标为﹣3，∴3CH =，在ABO V 和BCH V 中，BCH ABH BHC AOB BC AB Ð=ÐìïÐÐíï=î＝，∴ABO BCH V V ≌，∴3CH BO ==，∴点B （0，3）；故答案为：（0，3）；（2）2AM CD =，如图②，延长AB ，CD 交于点N，∵AD 平分BAC Ð，∴BAD CAD Ð=Ð，在ADN V 和ADC V 中，90BAD CAD AD AD ADN ADC Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î，∴ADN ADC V V ≌，∴CD DN =，∴2CN CD =，∵90BAD Ð+Ð=°N ，90BCN Ð+Ð=°N ，∴BAD BCN Ð=Ð，在ABM V 和CBN V 中，BAM BCN BA BC ABM CBN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴ABM CBN V V ≌，∴AM CN =，∴2AM CD =；（3）△BPC 与△AOB 的面积比不会变化，理由：如图③，作CG ⊥y 轴于G，∵90BAO OBA Ð+Ð°＝，90OBA CBG Ð+Ð°＝，∴BAO CBG ÐÐ＝，在BAO V 和CBG V 中，90AOB BGC BAO CBG AB BC Ð=Ð=°ìïÐÐíï=î＝，∴BAO CBG V V ≌，∴BG AO ＝，CG OB ＝，∵OB BF ＝，∴BF GC ＝，在CGP V 和FBP V 中，90CPG FPB CGP FBP CG BF Ð=ÐìïÐÐ=°íï=î＝，∴CGP FBP V V ≌，∴PB PG ＝，∴1122PB BG AO ==，∵12AOB S OB OA D =´´，111222PBC S PB GC OB OA D =´´=´´´，∴12PBC AOB S S D D =：．【点拨】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，理解题意，作出相应辅助线，充分运用全等三角形的判定是解题关键．8．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，BE CE BEF CED EF ED =ìïÐ=Ðíï=î，∴△BEF ≌△CED （SAS ），∴BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∵∠BAE ＝∠CDE ，∴∠BAE ＝∠F ，∴AB ＝BF ，∴AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，∴∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴△BEF ≌△CEG （AAS ），∴BF ＝CG ，在△BAF 和△CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴△BAF ≌△CDG （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，在△BAE 和△CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BAE ≌△CFE （AAS ），∴CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∵∠BAE ＝∠EDC ，∴∠F ＝∠EDC ，∴CF ＝CD ，∴AB ＝CD ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．9．在△ABC 中，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，且AD =CE ；（1）当直线MN 绕点C 旋转到如图1的位置时，求证：AC ⊥BC ．（2）判断AD 、BE 、DE 这三条线段之间的数量关系，并说明理由．（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图2的位置时，线段DE 、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明．【答案】（1）见解析；（2）DE =AD +BE ；见解析；（3）AD =DE +BE【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC =∠CEB =90°，再利用HL 证明Rt △ADC ≌Rt △CEB ，得到∠DAC =∠BCE ，再根据余角的定义得到∠ACD +∠BCE =∠ACB =90°，可得结论；（2）根据Rt △ADC ≌Rt △CEB 得到DC =BE ，从而利用等量代换得到DE =AD +BE ；（3）同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB ，利用等量代换可得AD =DE +BE ．【详解】解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠CEB =90°，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，AC BC AD CE =ìí=î，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴∠DAC =∠BCE ，∵∠ADC =90°，即∠DAC +∠ACD =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，即∠ACB =90°，∴AC ⊥BC ；（2）DE =AD +BE ，理由如下：∵Rt △ADC ≌Rt △CEB ，∴DC =BE ，∵AD =CE ，∴DE =DC +CE =AD +BE ；（3）AD =DE +BE ，同理可证：Rt △ADC ≌Rt △CEB （HL ），∴CD =BE ，∴AD =CE =DE +CD =DE +BE ，∴即AD =DE +BE ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“HL ”；全等三角形的对应边、对应角相等．10．如图，已知：ABC V 中，AB AC =，BAC 90Ð=°，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；【分析】（1）根据已知条件容易证明△BEA ≌△AFC ，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA ≌△AFC 仍然成立，则BE =AF ，AE =CF ，就可以求出EF =BE -CF ．【详解】解：（1）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，EBA EAB 90ÐÐ+=°，CAF EBA ÐÐ\=，在ABE V 和CAF V 中，BEA AFC EBA FACAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，EF EA AF BE CF \=+=+．（2）BE EA ^Q ，CF AF ^，BAC BEA CFE 90ÐÐÐ\===°，EAB CAF 90ÐÐ\+=°，ABE EAB 90ÐÐ+=°，CAF ABE ÐÐ\=，在ABE V 和ACF V 中，EBA FAC BEA CFAAB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îBEA \V ≌()AFC AAS V ，EA FC \=，BE AF =，∵EF AF AE =-，∴EF BE CF=-【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．11．已知：如图，90B Ð=°，AB DF P ，3AB cm =，8BD cm =，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF上一动点，且始终保持A C CE ^．（1）证明：ACB CED Ð=Ð；（2）若点C 在线段BD 上满足AC CE =时，求DE 的长？（3）在线段BD 的延长线上，是否存在点C ，使得AC CE =，若存在，请求出BC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意易得90D B Ð=Ð=°，进而可证90ECD CED Ð+Ð=°，90ACB ECD Ð+Ð=°，然后问题得证；（2）由题意可证ABC CDE D D ≌，则有3AB CD cm ==，然后根据线段的和差关系可求解；（3）由题意易得90CDE B Ð=Ð=°，进而可证ECD BAC Ð=Ð，当3CD AB cm ==时，AC CE =，则有ABC CDE D D ≌，最后根据线段的关系可求解．【详解】解：（1）∵90B Ð=°，//AB DF ，∴90D B Ð=Ð=°，∵A C CE ^，∴90ACE Ð=°，∴90ECD CED Ð+Ð=°，90ACB ECD Ð+Ð=°，∴ACB CEDÐ=Ð（2）∵在ABC D 和CDE D 中ACB CED B DAC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ABC CDE AAS D D ≌，∴3AB CD cm ==，∴835DE BC cm cm cm==-=（3）存在，理由如下：∵90B Ð=°，//AB DF ，∴90CDE B Ð=Ð=°，∵A C CE ^，∴90ACE Ð=°，∴90ECD ACB Ð+Ð=°，90ACB BAC Ð+Ð=°，∴ECD BAC Ð=Ð；∵在ABC D 和CDE D 中B CDE BAC ECDAC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ABC CDE AAS D D ≌，∴AC CE =，∵3AB cm =，BD =8cm∴8311BC BD CD BD AB cm cm cm =+=+=+=．【点拨】本题主要考查直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．12．综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：_________；(2)拓展应用：如图乙，ABC V 为等腰直角三角形，90ACB Ð=°，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：_____；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC V ，AB AC =，且90BAC Ð≠°，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC Ð=Ð=Ð，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC V 中，2AB AC =，90BAC Ð≠°，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC Ð=Ð=Ð，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【答案】(1)DE BD CE=+(2)(4,3)-(3)①DE BD CE =+，理由见解析；②122DE BD CE =+【分析】（1）由全等得到边长关系即可．（2）分别按照（1）中情形过A 、B 做出x 轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A 坐标．（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．【详解】（1）由等腰直角ABC V 得AB AC =，AB AC ^，又Q BD AD ^，CE AE^90ABD BAD BAD CAE\Ð+Ð==Ð+Ðo ABD CAE\Ð=Ð又AB CA =∵，90BDA AECÐ==Ðo ABD CAE\V V ≌AD CE \=，BD AE=DE BD CE\=+（2）过A 、B 作出x 轴垂线AD ，BE ，由（1）可得AD CE \=，ED AD BE =+，又(1,2)B Q (2,0)C -得2BE =，1OE =，2CO =，3\==AD CE ，5DE AD BE =+=4DO DE OE \=-=(4,3)A \-（3）①BAC BDA AECÐ=Ð=ÐQ 18018090ABD BAD BDA BAC BAD CAE\Ð+Ð=-Ð=-Ð==Ð+Ðo o o ABD CAE\Ð=Ð又AB CA =∵，BDA AECÐ=ÐABD CAE\V V ≌AD CE \=，BD AE=DE BD CE\=+②与①中同理可得ABD CAEÐ=Ð分别取BD ，AB 中点M ，N 连接MN ．12BM DB \=，12BN BA =MN DA \∥,12MN DA =又2BA AC=Q BN AC\=MN DAQ ∥BMN BDA\Ð=Ð又BDA AECÐ=ÐQ BMN AEC\Ð=Ð在BMN V 与AEC △中NBM CAE BMN AECBN AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îNBM CAE\V V ≌12MN CE AD \==，12BM AE BD ==122DE DA AE CE BD \=+=+【点拨】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．。

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.常见的两种图形：【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.【答案解析】∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF更多内容见公众号：初中数学解题思路∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关【典型例题2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP【答案解析】过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N∵四边形ACFG是正方形.更多内容见公众号：初中数学解题思路∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

第05讲一线三垂直模型构造全等三角形

第05讲一线三垂直模型构造全等三角形【应对方法与策略】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图2【多题一解】1．（2022•鹿城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．2．（2022•东港区校级一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．3．（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．（1）原型题：如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，AP＝PC，AP⊥PC，则△ABP ≌△，请你说明理由．（2）利用结论，直接应用：如图2，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一条直线上，则△CBN≌△，c＝（用含a、b的式子表示）．如图3，四边形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2，CD＝4，以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离为．（3）弱化条件，变化引申：如图4，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME 交BC于点G，连接FG，则△AMF与△BGM的关系为：，若，AF＝3，则FG ＝．4．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．5．（2022•沈河区校级开学）在△ABC中，AB＝AC．（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE 的长度．6．（2022•信阳模拟）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．7．（2021•平房区二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，OA＝2，△AOB的面积为2．（1）如图1，求直线AB的解析式．（2）如图2，线段OA上有一点C，直线BC为y＝kx﹣2k（k＜0），AD⊥y轴，将BC绕点B顺时针旋转90°，交AD于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD，交直线BC于点E，若3∠ABC﹣∠BDO＝45°，求点E的坐标．【一题多解】1．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），tan∠ACO＝，D为抛物线顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点E在线段BD上方抛物线上运动（不含端点B、D），求S△EDB的最大值及此时点E的坐标；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，M为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移后的线段记为A′C′（线段A'C′始终在直线l左侧），是否存在以A′、C′、M为顶点的等腰直角△A'C′M？若存在，请写出满足要求的所有点M的坐标，并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．3．（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021•金华二模）如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣4，0），D是OC中点，E是直线AD上的一动点，以OE为边作正方形OFGE（顺时针标记），连结FC交AE于点H．（1）当D与E重合时，求直线FC解析式；（2）在（1）的条件下，连结OH，求△AOH的面积；（3）设E的横坐标为t，若△HFE与△OAD相似，请求出t的值．。

全等三角形垂直模型解题思路

全等三角形垂直模型解题思路全等三角形垂直模型解题思路在初中数学学习中，全等三角形是一个重要的概念，学生们常常需要掌握全等三角形的性质和解题方法。

其中，全等三角形垂直模型是解题时常用到的一种模型，通过掌握全等三角形垂直模型的解题思路，可以帮助学生更深入地理解全等三角形的性质和运用。

一、全等三角形的定义和性质1. 全等三角形的定义全等三角形是指三角形的对应边和对应角相等，记作△ABC≌△DEF。

在全等三角形中，对应边相等即AB=DE、BC=EF、AC=DF；对应角相等即∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。

2. 全等三角形的性质（1）全等三角形的基本性质：对应边和对应角相等。

（2）全等三角形的性质1：全等的三角形的面积相等。

（3）全等三角形的性质2：全等的三角形的对边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

掌握了全等三角形的定义和性质，我们就可以通过全等三角形垂直模型来解题。

二、全等三角形垂直模型的基本思路全等三角形垂直模型主要用于解决与角所在直线垂直的问题，解题的基本思路是通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质解题。

三、全等三角形垂直模型解题步骤1. 找准垂直关系。

在问题中识别出哪些角所在的直线是垂直的，确定垂直关系。

2. 构造全等三角形。

根据已知条件构造全等三角形，通常是通过画辅助线或者做辅助角来构造全等三角形。

3. 利用全等三角形的性质。

根据已构造的全等三角形，利用全等三角形的性质，解决问题中的未知量或角度。

4. 进行总结回顾。

在解题过程中，及时总结回顾所使用的方法和性质，加深对全等三角形垂直模型的理解。

四、个人观点和理解全等三角形垂直模型是解决垂直关系的重要工具，通过构造全等三角形，不仅可以简化解题过程，还可以加深对全等三角形性质的理解和运用。

在解题过程中，我发现通过构造全等三角形，可以更清晰地理解角所在直线的垂直关系，提高解题的准确性和速度。

全等三角形垂直模型是数学学习中的重要工具，通过掌握全等三角形的性质和垂直模型的解题思路，可以帮助我们更深入地理解数学知识，提高解题的方法和效率。

【差中】全等三角形三垂直模型(解析版)

全等三角形之三垂直模型【模型讲解】模型1、三垂直模型如图：【巩固训练】1．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（）A．E为BC中点B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE 【答案】D【分析】首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根据全等三角形的性质，即可一一判断．【详解】∵∠ACB ＝∠CED ＝90°在Rt △ABC 与Rt △CDE 中，AB CD CE AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △CDE （HL ），∴CB ＝DE ，CE ＝AC ，CD ＝AB ，△ABC ≌△CDE ，故D 符合题意，其他选项不符合题意故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握HL 定理判定三角形全等是解题关键2．在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，点E 为AD 上一点，连接CE ，CE ＝AB ，ED ＝BD ．（1）求证：ABD CED △≌△；（2）若22ACE ∠︒＝，则B Ð的度数为．【答案】（1）理由见解析；（2）67︒，理由见解析．【分析】（1）由SAS 证明ABD CED △≌△即可；（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠CDE ＝90°，在Rt ADB 与Rt CDE △中，CE AB ED BD =⎧⎨=⎩，∴Rt ADB Rt CDE HL ≌（）；（2）∵Rt ADB Rt CDE △≌△，∴AD ＝CD ，∴ADC 是等腰直角三角形，∴∠ACD ＝45°，∴∠ECD ＝∠ACD ﹣∠ACE ＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED ＝90°﹣23°＝67°，∴∠B ＝∠CED ＝67°，【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE ∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【分析】证△ADB ≌△BEC 即可．【详解】证明：∵AD l ⊥，CE l ⊥，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∵90ABC ∠=︒，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE ，∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确；∵∠BAD=∠CBE ，∠ADB=∠BEC=90°，,AB BC =∴△ADB ≌△BEC ，∴BD CE =，AD=BE ，故①正确；DE=DB+BE=CE+AD ，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形．4．如图，两座建筑物AB ，CD 相距160km ，小月从点B 沿BC 走向点C ，行走ts 后她到达点E ，此时她仰望两座建筑物的顶点A 和D ，两条视线的夹角正好为90︒，且EA ED =．已知建筑物AB 的高为60m ，小月行走的速度为1/m s ，则小月行走的时间t 的值为（）A ．100B ．80C ．60D ．50【答案】A 【分析】首先证明∠A=∠DEC ，然后可利用AAS 判定△ABE ≌△ECD ，进而可得EC=AB=60m ，再求出BE 的长，然后利用路程除以速度可得时间．【详解】解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC ，在△ABE 和△DCE 中B C A DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ECD （AAS ），∴EC=AB=60m ，∵BC=160m ，∴BE=100m ，∴小华走的时间是100÷1=100（s ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE ≌△ECD ．5．如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．【详解】（1）∵90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =，∴△BAE ≌△CED ，∴AE=DE ，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵2CDE BAE ∠=∠，BAE CED ∠=∠，∴2CDE CED ∠=∠，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．6．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =，5DE =．求ACE △的面积．【答案】32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出 3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．【详解】解：∵ AD CE ⊥， BE CE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，在ACD △与CBE △中，ADC CEB ACD CBE AC BC ìïïïïÐ?=íïïïïî∴ACD CBE ≌ (AAS)∴ 3CD BE ==，AD CE =，∵ 358CE CD DE =+=+=，∴ 8AD =．ACE 11883222S CE AD ==创=g △．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．7．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE的长．【答案】 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ⊥Q ,BE CE ⊥90ADC CEB ∴∠=∠=︒90BCE CBE ∴∠+∠=︒又90ACB ∠=︒ 90BCE ACD ∴∠+∠=︒CBE ACD∴=∠在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBE ∴△≌△CD BE ∴=,AD CE=又2.5cm AD = ,1cm BE = 2.5cm CE ∴=,1cm=CD 2.51 1.5cm DE CE CD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE ∴ ≌的三个条件．模型2、一线三等角模型，如图：【巩固训练】1.如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，CD ＝AB ，点E 在边AC 上，且AD ＝DE ，∠BAD ＝∠CDE ．（1）如图1，求证：BD ＝CE ；（2）如图2，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角（∠ADE 除外）．【解题】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△DCE ，可得BD ＝CE ；（2）由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．【解答】解：（1）在△ABD 和△DCE 中，AB CD∠BAD ∠CDE AD DE，∴△ABD ≌△DCE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABD ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠BAD ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠B ＝∠ADE ＝∠BAD ＝∠EDC ＝∠C ，∴与∠ADE 相等的角有∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C ．2．如图，在ABC 中，AB AC ＝，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠∠∠＝＝，求证：DE BD CE =+．【答案】见解析【分析】首先根据等量代换得出CAE ABD ∠=∠，从而可证ADB CEA △≌△，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：设BDA BAC α∠=∠=，∴180-DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠，∵在ADB △和CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADB CEA AAS ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形判定方法和性质是解题的关键．3．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅ ；（2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB AC BAD ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．4．（1）如图1，已知OAB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ⊥直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA ∠=∠=∠，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，90CAB ∠=︒，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．【答案】（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23∠∠=，再证明BCO ODA ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB ∠=︒，BC ⊥直线l ，AD ⊥直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB ∠=︒，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA ∠+∠=︒-∠，13180BOA ∠+∠=︒-∠，BOA BCO ∠=∠∴23∠∠=在BCO 和ODA V 中32BCO ODA BO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCO ODA ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD =∴CD CO OD AD BC=+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．。

【例题讲解】全等三角形的“三垂直”模型例完整版课件

解 ∵AE⊥AB，BG⊥FH
： ∴∠EAB=∠BGA=90°，
∴∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EAF=∠ABG，
E
又∵AE=AB，∠EFA=∠AGB，
6
∴△EFA≌△AGB
∴AF=BG=3，AG=EF=6．
F3A
同理证得△BGC≌△Cபைடு நூலகம்D得GC=DH=4，CH=BG=3．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=S梯EFHD-2S△BGC-2S△EFA
= （1 6+4）×16-3×4×1×2-6×3×1 ×2=50．
2
2
2
B
3
6 G4
D
4
C3H
再见
△EFA≌△AGB
同理证得△BGC≌△CHD，GC=DH
可得CH=BG， FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
所以AF=BG，AG=EF
然后用大梯形的面积减去下面四个小直角三角形的面积，即可求出图形的面积
例.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是____。
例.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按图中所标注的数据，计算图中实
线所围成的图形的面积是____。
分析：
参考全等三角形的判定和性质，以及割补法求面积由题得AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG
E 6 FA
D
B 3
4
G CH
可以得到∠EAF=∠ABG 由AE=AB，∠EFA=∠AGB可得

全等三角形专题之垂直模型.doc

2.如图⑴,已知△ABC中, ZBAC=90°, AB=AC, AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD±AE于垂直模型考点一：利用垂直证明角相等1.如图，△，时中，ZAC8=90° , AC=BC,成是％边上的中线，过。

作CFLAE,垂足为汽，过万作BDLBC 交瑚的延长线于〃.求证：(1) AE= CD； (2)若AC=\2 cm,求砂的长.图⑴图(2) 图⑶(1)试说明:BD=DE+CE.⑵ 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？写结论，并说明理由.(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？写出结论, 可不说明理由.D, CE1AE 于 E.3.直线"经过ZBCA的顶点C, CA=CB. E、仃分别是直线⑦上两点，且ZBEC = ZCFA = Za .(1)若直线⑦经过ZBCA的内部，且反尸在射线⑦上，请解决下面两个问题：%1如图 1,若ZBG4 = 90 ,Za = 90 ,则EF\BE-AF\ (填“〉”，或"=”号)；%1如图2,若。

</BC4<18。

，若使①中的结论仍然成立，贝U Na与4CA应满足的关系是;(2)如图3,若直线C,经过ZBCA的外部，Z6T = ZBCA，请探究£咒与BE、部、三条线段的数量关系，并给予证明.系和位置关系.AD2,如图，在等腰RtA^中，争90° , D为BC的中点，DELAB,垂足为反过点3作BF//AC交庞的延长线于点凡连接S(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD±CF；(3)连接”，试判断△化F的形状.变式：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，ZA CB=90° , AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB 于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.3. 如图1,已知ZiADC 和AEDG 都是等腰直角三角形上，连接AE f GC .(1)试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；(2)将AEDG 绕点。