全等三角形专题之垂直模型

垂直模型

考点一：利用垂直证明角相等

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作

BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．

2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.

图(1) 图(2) 图(3)

(1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由.

3.直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且． （1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．

考点2：利用角相等证明垂直

1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系.

BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠A

B

C

E F D

D

A

B C

E F A

D

F

C E

B

图1

图2 图3

D

Q

P

E F A

2. 如图，在等腰R t△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的

延长线于点F，连接CF．

(2)求证：AD⊥CF；

(3)连接AF，试判断△ACF的形状.

变式：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB

于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

A

3. 如图1，已知△ADC 和△EDG 都是等腰直角三角形上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将△EDG 绕点D 按顺时针方向旋转30°，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =

（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；

（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接

,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长

线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

图1 图

G

E