华师《初等数论》离线作业【学习答案】
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5), 所以我们得到)5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .。
初等数论 课后答案【khdaw_lxywyl】
设 d 为 n 的任一个正因数，由 dn 知对每一个 pi，d 的标准分解式中 pi 的指数都
k 1 2 1 （0 i i， 不超过 n 的标准分解式中 pi 的指数，即 d 必可表示成 p1 p2 pk
i k）的形式； (ⅱ) 类似于(ⅰ)可证得。
k k 1 1 2. (ⅰ) 显然对于i = min{i, i}，1 i k， p1 pk | a，p1 pk |b ， 而
案
网
第一章
中的最小正整数， 显然有 Y0 = |m|y0； (ⅲ) 代替 a1, a2, , ak 即可。 3. (ⅰ) = b 可得； (ⅲ)
| a，则(p, a) = 1，从而由 pab 推出 pb； (ⅱ) 若p
(a, b1b2bn) = (a, b2bn) = = (a, bn) = 1。
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i 1
k
Hale Waihona Puke 后然； (ⅳ) 设(p, a) = d，则 dp，da，由 dp 得 d = 1 或 d = p，前者推出(p, a) = 1，后者推出 pa。 2. (ⅰ) 由 dai 推出 dy0 = (a1, a2, , ak)； (ⅱ) 分别以 y0 和 Y0 表示集合
k
答
|a2|, ,|ak| 的公约数的集合相同，所以它们的最大公约数相等；
aw .c o
网
初等数论习题解答
《初等数论》习题解答作业3一．选择题1，B 2，C 3，D 4，A二．填空题1，自反律 2，对称性 3，13 4，十进位 5，3 6，2 7，1三．计算题1， 解：由Euler 定理知：（a,m ）=1 则 a φ (m)≡1 (modm)∵(3,100)=1. 3φ (100)=340≡13360≡13364=3360×34≡34 (mod 100)∴34≡81 (mod 100)故：3364的末两位数是81.2, 解：132=169≡4 （mod 5）134=16≡1 (mod 5)1316≡1 (mod 5)1332≡1 (mod 5)1348≡1 (mod 5)1350=1348×1321350≡132≡4 (mod 5)3, 解： ∵(7,9)=1. ∴只有一个解7X －5≡9Y (mod 9)7X －9Y ≡5 (mod 9)解之得：X=2，Y=1∴X=2+9≡11=2 (mod 9)4, 解： ∵（24，59）=1 ∴只有一个解24X ≡7 (mod 59)59Y ≡﹣7 (mod 24)11Y=﹣7 (mod 24)24Z=7 (mod 11)2Z=7 (mod 11)11W=﹣7 (mod 2)W =﹣7 (mod 2)W=﹣1 (mod 2)Z=2711+-= －2 Y=117242-⨯-=－5X=247595+⨯-=2288-=－12 =47(mod59)5 解 ∵（45，132）=3，∴同余式有三个解。
45X ≡21（mod32）15x ≡7 (mod44)44y ≡-7 (mod15)14y ≡-7 (mod15)15z ≡-7 (mod14)z ≡7 (mod14) y=147715-⨯=7 x=157744+⨯=21 ∴x=21+31322⨯=109 (mod132) x=21+31321⨯=65 (mod132) x=21 (mod132)6、解 ∵（12，45）=3, ∴同余式有三个解。
华中师范大学职业与继续教育学院《初等数论》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院《初等数论》练习题库及答案一 填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 .考查章节：第2、3课时； 难易程度： 较易； 答题时间： 0.5分钟2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 . 考查章节：第6、7课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适合 .考查章节：第10、11课时； 难易程度： 较易； 答题时间： 0.5分钟4.写出180的标准分解式是 ,其正约数个数有 个.考查章节：第12、13课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟5.,1,2,,a b a b 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 个.考查章节：第14、15课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程a x b y c +=有整数解(,x y )的充要条件是 .考查章节：第16、17课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 个整数.考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟8.ϕ(3)= ;ϕ(4)= .考查章节：第25、26课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟9.当p 素数时,(1)()p ϕ= ;(2)()k p ϕ= .考查章节：第25、26课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟10.(),(,)1,1m m a m a ϕ=-≡设是正整数则 (m o d ).m 考查章节：第27、28课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 (m o d ).p 考查章节：第27、28课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ (m o d 7). 考查章节：第29、30课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 .考查章节：第1、2课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟14.同余方程2310120(mod9)x x ++≡的解是 .15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 .考查章节：第37、38课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 .考查章节：第37、38课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟17.3()=5 ; 4()=5.考查章节：第39、40课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟18.,p 设是奇素数则2()p= .考查章节：第39、40课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟19.,p 设是奇素数则1()p = ;-1()p= .考查章节：第39、40课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟20. 5()=9 ; 2()=45.考查章节：第43、44课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ⇒∈+且对任意的有.考查章节：第2、3课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.考查章节：第8、9课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟 3. 23|,|a b a b 若则.考查章节：第8、9课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈⇒≡考查章节：第21、22课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇒≡考查章节：第21、22课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟 6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立.考查章节：第21、22课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b 若与都是模m 的完全剩余系1122{,,,}.m m a b a b a b m +++ 则也是模的完全剩余系考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系.考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ϕϕϕ∈==若则考查章节：第25、26课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟 12. 同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2412120(mod15)x x +-≡是同解的.考查章节：第29、30课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程考查章节：第29、30课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则考查章节：第43、44课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟 15. 2,()1,(mod ).am x a m m=≡当不是奇素数时若则方程一定有解 考查章节：第43、44课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟 21.σ(288)＝_______________；ϕ(288)＝________________。
初等数论第三版课后习题答案
初等数论第三版课后习题答案初等数论是数学中的一个重要分支，它研究的是整数的性质和关系。
而初等数论第三版是一本经典的教材，对于初学者来说非常有用。
在学习过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
下面，我将为大家提供初等数论第三版课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 证明：如果一个整数能被4整除，那么它一定能被2整除。
答案：我们知道，一个数能被4整除，意味着它能被2整除且能被4整除。
因此，这个结论是显然成立的。
2. 证明：如果一个整数能被6整除，那么它一定能被2和3整除。
答案：我们知道，一个数能被6整除，意味着它能被2整除且能被3整除。
因此，这个结论是显然成立的。
3. 证明：如果一个整数能被8整除，那么它一定能被2整除。
答案：我们知道，一个数能被8整除，意味着它能被2整除且能被8整除。
因此，这个结论是显然成立的。
4. 证明：如果一个整数能被9整除，那么它一定能被3整除。
答案：我们知道，一个数能被9整除，意味着它能被3整除且能被9整除。
因此，这个结论是显然成立的。
5. 证明：如果一个整数能被10整除，那么它一定能被2和5整除。
答案：我们知道，一个数能被10整除，意味着它能被2整除且能被5整除。
因此，这个结论是显然成立的。
通过以上的习题和答案，我们可以看出初等数论的一些基本性质。
在实际应用中，初等数论有着广泛的应用。
比如在密码学中，初等数论的知识可以用于加密算法的设计；在计算机科学中，初等数论的知识可以用于算法的设计和分析等等。
因此，掌握初等数论的知识不仅有助于我们提高数学能力，还有助于我们在实际问题中解决问题。
总结起来，初等数论第三版课后习题的答案是我们巩固知识和提高能力的重要途径。
通过解答这些习题，我们可以深入理解初等数论的基本性质，为将来的学习和应用打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待这些习题，不断提高自己的数学水平。
华师《初等数论》在线作业-0003.BA51D0E4-74F8-4C
417被-15除的带余除法表达式是（ ）
A:417 = (-15)(-30)-33
B:417 = (-15)(-26)+27
C:417 = (-15)(-28)+(-3)
D:417 = (-15)(-27)+12
答案：D
如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（ ）
A:奇数
A:错误
B:正确
答案：B
50!中2的指数是46.
A:错误
B:正确
答案：A
奇数一定能表示为两平方数之差.
A:错误
B:正确
答案：B
若(n,p)=1, n是模p的二次剩余的充要条件是n^(p-1/2)≡-1(mod p).（^表示上标)
A:错误
B:正确
答案：A
A:38
B:48
C:58
D:68
答案：C
（1/5）=（ ）
A:-1
B:0
C:1
D:2
答案：C
设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（ ）nm
A:整除
B:不整除
C:等于
D:小于
答案：A
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
A:a
B:b
C:1
D:a+b
答案：C
1050与858的最大公因数是（ ）
A:错误
B:正确
答案：B
同余式28x≡21(mod 35)有7个解.
A:错误
B:正确
答案：B
a,b的公倍数是它们的最小公倍数的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2).
华师《初等数论》在线作业-00021E00465A-12
B:正确
答案：B
－11,-4,18,20,32是模5的一个完全剩余系.
A:错误
B:正确
答案：B
同余式x^2≡438(mod593)无解.
A:错误
B:正确
答案：B
大于3的任意两素数的平方差是24的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
B:（12，15）不整除7
C:7不整除（12，15）
D:7不整除[12，15]
答案：B
取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（ ）种不同的付法
A:1
B:2
C:3
D:4
答案：C
（54,198）=（ ）
A:3
B:6
C:9
D:18
答案：D
若6k+5对模4与7同余，则数k满足关系式（ ）
A:k=1
华师《初等数论》在线作业-0002
设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（ ）
A:0
B:1
C:2
D:3
答案：A
下列方程哪个无整数解（ ）
A:16x-37y=7
B:3x+6y-12=0
C:2x+6y-1=4
D:5x+6y=52
答案：C
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
B:k≡1(mod4)
C:k=1+7t (t∈Z)
D:k=5
答案：B
(12345,678)=( ).
A:3
B:7
C:9
D:11
答案：A
如果b|a，a|c，则（ ）
A:b=c
B:b=-c
《初等数论》第三版习题解答
《初等数论》第三版习题解答第⼀章整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++是m 得倍数．证明：12,,n a a a 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===⼜12,,,n q q q 是任意n 个整数1122n nq a q a q a ∴+++1122n n q p m q p m q p m =+++1122()n n p q q p q p m =+++即1122n n q a q a q a +++是m 的整数2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明(1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-(1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+ ⼜(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+从⽽可知3|(1)(21)n n n ++3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最⼩整数，则00()|()ax by ax by ++．证：,a b 不全为0∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因⽽有形如ax by +的最⼩整数00ax by +,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最⼩整数知0r =00|ax by ax by ∴++00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ ⼜有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+故00(,)ax by a b +=4．若a ，b 是任意⼆整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t =+≤成⽴，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯⼀存在的．当b 是偶数时结果如何？证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在⼀个整数q ，使122q q b a b +≤<成⽴ ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22q qs t a bs a b ==-=-，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t ≤-==-=-<∴<若0b < 则令,22q qs t a bs a b =-=-=+，则同样有2b t <()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11,22q q s t a bs a b ++==-=-，则有若 0b <，则令11,22q q s t a bs a b ++=-=-=+，则同样有2b t ≤，综上所述，存在性得证．下证唯⼀性当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> ⽽111,22b bt t t t t t b ≤≤∴-≤+≤ ⽭盾故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯⼀，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?=?+=?+-=≤§2 最⼤公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同．证：设d '是a ，b 的任⼀公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b---++-=+=+=+==≤<<<<∴(,)n a b r =∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,即d '是(,)a b 的因数。
初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数（ ）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （ 互素 ）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ 十进位 ）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
《初等数论》第三版习题解答
《初等数论》第三版习题解答第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则q1a1q2a2证明：qnan是m得倍数．a1,a2,an都是m的倍数。
pn使a1p1m,a2p2m,存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,anpnm,qn是任意n个整数qnanq1a1q2a2q1p1mq2p2m(p1q1q2p2即q1a1q2a2qnpnmqnpn)mqnan是m的整数2．证明3|n(n1)(2n1)证明n(n1)(2n1)nn(1n)(2nn(n1)(n2)n(1n)n(又n(n1)(n2)，(n1)n(n2)是连续的三个整数故3|n(n1)(n2),3|(n1)n(n1)3|n(n1)(n2)(n1)n(n1)从而可知3|n(n1)(2n1)3．若a某0by0是形如a某by（某，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则(a某0by0)|(a某by)．1/77证：a,b不全为0在整数集合Sa某by|某,yZ中存在正整数，因而有形如a某by的最小整数a某0by0某,yZ，由带余除法有a某by(a某0by0)qr,0ra某0by0则r(某某0q)a(yy0q)bS，由a某0by0是S中的最小整数知r0a某0by0|a某bya某0by0|a某by（某,y为任意整数）a某0by0|a,a某0by0|ba某0by0|(a,b).又有(a,b)|a，(a,b)|b(a,b)|a某0by0故a某0by0(a,b) 4．若a，b是任意二整数，且b0，证明：存在两个整数，t使得abt,|t||b|2成立，并且当b是奇数时，，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？证：作序列即存在一个整数q，使2222若b0则令,tabaq2bqb，则同样有t22(ii)当q为奇数时，若b0则令q1q1,tabab，则有222/77下证唯一性当b为奇数时，设abtb1t1则tt1b(1)b而tbb,t1tt1tt1b矛盾故1,tt122b为整数2当b为偶数时，,t不唯一，举例如下：此时3bbbbbb1b2(),t1,t122222§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设d是a，b的任一公因数，d|a，d|b由带余除法abq1r1,br1q2r2,rnqn1,0rn1rnrn1(a,b)rnd|abq1r1，d|br1q2r2，┄,d|rn2rn1qnrn(a,b),即d是(a,b)的因数。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
奥鹏华中师范大学2020年3月课程考试《初等数论》考前练兵资料及答案.doc
单选题1.如果b|a，a|b，则（）A.a=bB.a=-bC.a < bD.a=±b答案: D2.如果b|a，a|c，则（）A.b=cB.b=-cC.b|cD.c|b答案: C3.下列关于质数、合数的说法，正确的是（）A.两个质数之和一定是质数B.质数一定是奇数C.两个合数之和一定是合数D.两个质数之积一定是合数答案: D4.所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个A.20B.21C.22D.23答案: C5.1050与858的最大公因数是（）A.2B.3D.12答案: C6.（1/5）=（）A.-1B.0C.1D.2答案: C7.下列说法错误的是（）A.101是合数B.素数有无限多个C.奇数一定能表示为两平方数之差D.两个连续自然数互质答案: A8.如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）A.奇数B.偶数C.奇数或偶数D.由n的奇偶性而定答案: B9.适合同余式3x≡6(mod18)的x的整数值是（）A.2+6t,t为任意整数B.3+2t,t为任意整数C.2+3t,t为任意整数D.6+2t,t为任意整数答案: A10.能被4,5,7整除的最小的正整数是（）.A.120B.130D.150答案: C11.417被-15除的带余除法表达式是（）A.417 = (-15)(-30)-33B.417 = (-15)(-26)+27C.417 = (-15)(-28)+(-3)D.417 = (-15)(-27)+12答案: D12.30！的标准分解式中，3的最高幂指数为（）A.12B.13C.14D.15答案: C13.已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）A.0B.2C.5D.9答案: C14.下列各组数哪一组是模8的完全剩余系（）.A.1,3,5,7,9,11,13,15B.2,4,6,8,17,21,23C.-7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42D.–2,–7,11,15,18,21,24,27答案: C15.(0,b)=（）B.-bC.|b|D.0答案: C16.有一个自然数,用它去除63,91,129得到三个余数之和为25,这个自然数是（）.A.23B.33C.43D.53答案: C17.不定方程525x+231y=210（）A.有解B.无解C.解都是正数D.解都是负数答案: A18.下面的（）是模12的一个简化剩余系A.0,1，5，11B.25，27，13，-1C.1，5，7，11D.1，-1，2，-2答案: C19.(221,391,136)=( ).A.13B.17C.19D.23答案: B20.24871与3468的最大公因数是（）B.13C.17D.19答案: C21.下列方程哪个无整数解（）A.16x-37y=7B.3x+6y-12=0C.2x+6y-1=4D.5x+6y=52答案: C22.同余方程8x≡9(mod11)解为（）.A.x≡6(mod11)B.x≡7(mod11)C.x≡8(mod11)D.x≡9(mod11)答案: C23.模4的最小非负完全剩余系是（）A.-2,-1,0,1B.-4,-3,-2,-1C.1,2,3,4D.0,1,2,3答案: D24.120以内仅有10个正约数的自然数有（）个A.0B.1C.2D.3答案: D25.157！的标准分解式中素数7的指数为（）.B.23C.24D.25答案: D26.（54,198）=（）A.3B.6C.9D.18答案: D27.同余方程7x≡1(mod31)解为（）.A.x≡6(mod31)B.x≡7(mod31)C.x≡8(mod31)D.x≡9(mod31)答案: D28.模5的最小非负完全剩余系是（）A.-2,-1,0,1,2B.-5,-4,-3,-2,-1C.1,2,3,4,5D.0,1,2,3,4答案: D29.欧拉函数ψ(4)=（）.A.1B.2C.3D.4答案: B30.下列结论正确的是（）A.若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)B.若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)或a≡-b(mod m)至少有一个成立C.若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2)D.若a≡b(mod 2)，则a^2≡b^2(mod 4)答案: D31.整数637693能被（）整除A.3B.5C.7D.9答案: C32.从236到781的整数中是11倍数的整数个数为（）.A.48B.49C.50D.51答案: C33.(12345,678)=( ).A.3B.7C.9D.11答案: A34.下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解A.x=0,y=3B.x=2,y=1C.x=4,y=2D.x=2,y=2答案: D35.7的7次方个位数是（）A.1B.3C.7D.9答案: B36.大于10且小于30的素数有（）A.4个B.5个C.6个D.7个答案: C37.取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（）种不同的付法A.1B.2C.3D.4答案: C38.如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（）A.aB.bC.1D.a+b答案: C判断题1.若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2).A.错误B.正确答案: A2.294与194的最大公因数是2.A.错误B.正确答案: B3.已知ψ(m) =4，则m可能为5.A.错误B.正确答案: B4.2x+6y-1=4有整数解.A.错误B.正确答案: A5.素数写成两个平方数和的方法是唯一的.A.错误B.正确答案: B6.当n是奇数时，有3|（2^n+1）.A.错误B.正确答案: B7.50!中2的指数是46.A.错误B.正确答案: A8.存在数m，使ψ(m) =14.A.错误B.正确答案: A9.在任意取定的 m+1个整数中,必有两个数对模 m同余.A.错误B.正确答案: B10.同余方程4x^2-3x+3≡0(mod15)和同余方程4x^2+12x-12≡0(mod15) 是同解的.A.错误B.正确答案: B11.若(n,p)=1, n是模p的二次剩余的充要条件是n^(p-1/2)≡-1(mod p).（^表示上标)A.错误B.正确答案: A12.模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.A.错误B.正确答案: B13.同余式x^2≡438(mod593)无解.A.错误B.正确答案: B14.设p是素数，若p|ab，则p|a且p|b.A.错误B.正确答案: A15.24871与3468的最小公倍数是5073684.A.错误B.正确答案: B16.7是模29的平方剩余.A.错误B.正确答案: B17.(-1859,1573)=143.A.错误B.正确答案: B18.3,9,21,27,33,39,51,57是模20的一个简化剩余系.A.错误B.正确答案: B19.如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号.A.错误B.正确答案: A20.只有10个正约数的最小正数为68.A.错误B.正确答案: A21.由于每个非零整数的约数个数是有限的，所以最大的公约数存在，且正整数.A.错误B.正确答案: B22.若某个剩余类中有一个数与模m互素,则该剩余类中每个数均与模m 互素.A.错误B.正确答案: B23.若b︱c，a︱c，a，b，c 为任意整数，且（a，b）=1，则ab︱c.A.错误B.正确答案: B24.同余方程4x^2+27x-9≡0(mod15)有两个解.A.错误B.正确答案: A25.若m是偶数,则模m的任一组完全剩余系中一定是一半是偶数,一半是奇数.A.错误B.正确答案: B26.欧拉函数ψ(700) =240.A.错误B.正确答案: B27.a,b的公倍数是它们的最小公倍数的倍数.A.错误B.正确答案: B28.如果p和p+2都是大于3的质数，则6|p+1.A.错误B.正确答案: B29.若3|n且7|n，则21|n.A.错误B.正确答案: B30.若ac≡bc(mod m)，则a≡b(mod m).A.错误B.正确答案: A31.－11,-4,18,20,32是模5的一个完全剩余系.A.错误B.正确答案: B32.存在无穷多个形如4n-1的素数.A.错误B.正确答案: B33.同余方程4x-7≡0(mod8)有解.A.错误B.正确答案: A34.同余方程3x≡6(mod12)有两个解.A.错误B.正确答案: A35.形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和.A.错误B.正确答案: B36.两个连续自然数互质.A.错误B.正确答案: B37.x^4+1的奇素因数p满足p≡1(mod8) .A.错误B.正确答案: B38.形如6n+5的素数有无限多个.A.错误B.正确答案: B39.[84,4900]=14700.A.错误B.正确答案: B40.相邻两个偶数的乘积是8的倍数.A.错误B.正确答案: B41.形如3n-1的数不是平方数.A.错误B.正确答案: B42.如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.A.错误B.正确答案: B43.同余方程x^2≡11(mod 17)无解.A.错误B.正确答案: B44.形如3n+2的素数有无限多个.A.错误B.正确答案: B45.同余方程12x+4≡0(mod8)的解是x≡1,3,5,7(mod8).A.错误B.正确答案: B46.模9的绝对最小完全剩余系为-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.A.错误B.正确答案: B47.任何大于1的整数a都至少有一个素因数.A.错误B.正确答案: B48.模6的绝对最小完全剩余系是-3，-2，-1，0，1，2.A.错误B.正确答案: B49.设p是奇素数，则(1/p)=-1.A.错误B.正确答案: A50.模P的简化剩余系中，二次剩余和非二次剩余的个数都是(p-1)/2.A.错误B.正确答案: B51.对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除.A.错误B.正确答案: B。
《初等数论》习题解答
《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。