单自由度非线性系统的混沌振动

考虑由非线性弹簧和线性阻尼组成的质量-弹簧系统在简谐激振力作用下的受迫振动，动力学方程为：

30mx cx kx F cos t ++=ω

30mx cx kx F cos t '''++=ω

取参数值：m=1.0,c=0.05,k=1.0,F 0=7.5,ω=1.0,以及初始条件：()()11x 0 3.0,x 0 4.0==

求解：令()()()()12

u t x t u t x t =⎧⎨'=⎩，则原方程变换为： ()()()()()()()()()121123022121212u t u t f t,u ,u F c k u t cos t-u t u t f t,u ,u m m m u 0 3.0u 0 4.0

'==⎧⎪⎪'=ω-=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩ 根据Runge-Kutta 方法构造如下数值迭代计算公式：

[][]1,i 11,i 111213142,i 12,i 21222324h u u k 2k 2k k 6h u u k 2k 2k k 6++⎧=++++⎪⎪⎨⎪=++++⎪⎩

其中

()()

111i 1,i 2,i 121i 1,i 112,i 21131i 1,i 122,i 22141i 1,i 132,i 23k f x ,u ,u h h h k f x ,u k ,u k 222h h h k f x ,u k ,u k 222k f x h,u hk ,u hk ⎧=⎪⎛⎫⎪=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫

⎪=+++ ⎪⎪⎝⎭⎪=+++⎪⎩

()

()

212i 1,i 2,i 222i 1,i 112,i 21232i 1,i 122,i

22242i 1,i 132,i 23k f x ,u ,u h h

h k f x ,u k ,u k 222h h h k f x ,u k ,u k 222k f x h,u hk ,u hk ⎧=⎪⎛

⎫

⎪=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛

⎫

⎪=+++ ⎪⎪⎝⎭

⎪=+++⎪⎩

020406080100120140160

1

2

3

4

-4-3

-2

-1

1

2

3

4

300320340360380400420440460480

1

2

3

x(t)-t

020406080100120

140160

-6-4

-2

2

4

6

140160180200220240260280300320

-6-4

-2

2

4

300320340360380400420440460480

-6-4

-2

2

4

6

()x't t -

2

4

6

300320340360380400420440460480

-6-4

-2

2

4

如果初始条件更改为：()()11x 0 3.01,x 0 4.02==

020406080100120140160

-4-3

-2

-1

1

2

3

4

x-t

020406080100120140160

2

4

6

()x't t -

020406080100120140160-8-6

-4

-2

24

68

()()11x 0 3.01,x 0 4.02==(红虚线)与()()11x 0 3.0,x 0 4.0

==（蓝实线）结果相比，

020406080100120140160-4-3

-2

-1

1

2

3

x-t

测试程序：

试求()y y x 1(0x 2)y 01'=-++≤≤⎧⎨=⎩

的解。 xx =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000

1.6000 1.8000

2.0000

yy =1.0000 1.0187 1.0703 1.1488 1.2493 1.3679 1.5012 1.6466

1.8019 1.9653

2.1353

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4