专题05 考前必做基础30题 中考数学走出题海之黄金30题系列
专题05+考前必做基础30题-2019年高考数学(文)走出题海之黄金30题系列(通用版)
2018年高考数学走出题海之黄金系列051．已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先化简集合B，再求得解.详解：由题得，所以，所以答案为：D.点睛：本题主要考查集合的交集运算，意在考查集合的基础知识和基本的运算能力.2．已知实数满足，则的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.【答案】D详解：画出表示的可行域，如图，由，得，变为，平行直线，当直线经过时，的最大值为，故选D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：求抛物线的焦点坐标时，可先将抛物线方程化为标准形式后求解，注意焦点在方程中的一次项对应的坐标轴上，正（负）半轴由一次项的符号确定．4．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，其中底面，底面直角三角形，线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质可得结论.详解：点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b，不是bi.6．某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在中的学生有1名，若从成绩在和两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先利用已知条件计算出n=20,再计算出成绩在的有4人，再利用古典概型的概率公式求所求的概率.点睛：本题主要考查频率分布直方图和古典概型，属于基础题. 7．下列命题中正确命题的个数是（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ②“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件；③若p q ∧为假命题，则p ， q 均为假命题；④若命题p ： 0x R ∃∈， 20010x x ++<，则p ⌝： x R ∀∈， 210x x ++≥；A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】①正确；②由20a a +≠得0a ≠且1a ≠-，“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件，故②正确；③若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，故③错误；④正确；故正确的是①②④. 故选：C8．如图所示的程序中，如果输入的等于2018，程序运行后输出的结果是（ ）A. 2018B. -2018C. 2019D. -2019 【答案】D【解析】分析：利用算法语句求解即可． 详解：由算法语句，得．点睛：本题考查算法语句的功能，意在考查学生的逻辑思维能力． 9．平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（ ） A. B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先利用向量的坐标表示方法写出的坐标表示，然后结合选项逐一考查其是否正确即可. 详解：由题意可设，则：，考查所给的选项：，选项A 错误；，故，选项B 错误；，故，即，选项C 正确；不存在实数满足，则不成立，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的垂直、平行的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知复数在复平面上对应的点为，则（ ）A.是实数 B.是纯虚数 C.是实数 D.是纯虚数【答案】C点睛：本题主要考查复数的几何意义和复数的分类等基础知识，属于基础题. 11．已知全集，集合，，则( )A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可. 详解：，集合，，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合. 12．在区间22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上随机取一个实数x，则事件“1sin 262x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭”发生的概率是（ ） A.13 B. 14 C. 712 D. 512【答案】D【解析】由于1πsin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,所以πππππ,664312x x -≤+≤-≤≤,故概率为ππ5123ππ1222⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选D.13．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线右支于两点，则的最小值为（）A. 16B. 12C. 11D.【答案】C点睛：（1）在处理涉及椭圆或双曲线的点和焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行转化，可起到事半功倍的效果；（2）过椭圆或双曲线的焦点与长轴（或虚轴）垂直的弦是椭圆或双曲线的通径，是过焦点的最短弦．14．在公差为2的等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等差数列中的基本量间的关系，借助于进行计算．详解：由题意得．故选B．点睛：等差数列中关于项的计算问题，要注意的变化与运用，对于条件求值的问题，还要注意整体代换的运用．15．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.16．已知1cos0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，则cos3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭( )A.1114- D.1314【答案】D点睛：在应用同角间的三角函数关系特别是平方关系求函数值时，一定要先确定角的象限，这样才能确定sin α（或cos α）的正负，否则易出现错误结论.17．若1012a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1215b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 【答案】D18．如果执行下面的程序框图，且输入4n =， 3m =，则输出的p =（ ）A ． 6B ． 24C ． 120D ． 720 【答案】B【解析】第一次循环，可得122p =⨯=，第二次循环，可得236p =⨯=， 第三次循环，可得6424p =⨯=，退出循环体，输出24p =．故选B ． 19．2cossincos121212πππ+=__________．【解析】21cos 12136cos sincossin 121212226444πππππ++=+=+= ． 20．已知向量()3,4a =，(),1b x =，若()a b a -⊥，则实数x 等于_________． 【答案】7【解析】()22234340a b a a a b x -⋅=-⋅=+--= ，整理为7x =，故填7． 21．已知ABC ∆三内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ，且23B π=，又边长3b c =，那么sin C =_______．【解析】根据正弦定理变形3sin 3sin b c B C =⇔=，所以sin sin 3B C ==． 22．小明忘记了微信登陆密码的后两位，只记得最后一位是字母,,,A a B b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是__________．【答案】11223．已知函数()2cos sin f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）ABC ∆的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ， ()32f A =，2AD ==，求cos C ．【答案】（1）递增区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4【解析】（Ⅰ）()2cos sin f x x x x =+111cos2sin 22262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以递增区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；24．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，SA SD SB =点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=， SA //平面BEF ． （Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC -的体积．【答案】（1）13λ=（2【解析】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G ⋂=，则平面SAC ⋂平面EFB FG =，SA //平面EFB ， SA ∴// FG ， GEA ∆∽GBC ∆， 12AG AE GC BC ∴==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=， 13λ∴=．（Ⅱ）,2SA SD SE AD SE =⊥=，又2,60,AB AD BAD BE ==∠=︒∴=222SE BE SB ∴+=， SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，所以211122sin6023333F BCE S EBC S ABCD V V V ---===⨯⨯⨯︒⨯=25．在等差数列{}n a 中， 1122,20a a =-=．（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）若12...n n a a a b n+++=，求数列{}3n b的前n 项和．【答案】(1) 24n a n =-;(2) 3118n n S -=．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2{2x y ==（t 为参数），圆C 的方程为224240x y x y +--+=．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l 的普通方程与C 的极坐标方程； （2）已知l 与C 交于,P Q ，求PQ ．【答案】（1）2cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭27．如图，三棱柱ABF DCE -中， 120ABC ∠=， 2BC CD =， AD AF =， AF ⊥平面ABCD ．（1）求证： BD EC ⊥；（2）若1AB =，求四棱锥B ADEF -的体积．【答案】(Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．28．为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：，【答案】(1) ;(2) ．【解析】（Ⅰ），，，，∴，，所以关于的线性回归方程是．（Ⅱ）年利润，所以当时，年利润最大．29．如图，在长方体中，，，点是线段中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到平面的距离．【答案】(1)详见解析;(2) ．30．为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数．他从某月中随机抽取20天的健步走步数（老王每天健步走的步数都在之间，单位：千步），绘制出频率分布直方图（不完整）如图所示．（1）完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替；（2）某健康组织对健步走步数的评价标准如下表:现从这20天中评价级别是“及格”或“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率．【答案】（1）见解析;（2）．所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：．所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率．。
中考数学30道经典压轴题汇总含答案解析
中考数学试题专题06 考前必做难题30题-2018年中考数学走出题海之黄金30题系列(江苏版)(原卷版)
一、单选题1．如图，△ABC 内接于⊙O ，OC ⊥OB ，OD ⊥AB 于D 交AC 于E 点，已知⊙O 的半径为1，则22AE CE 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42．如图，一个半径为r （r ＜1）的圆形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ）A ．πr 2B ．C ．r 2 D ．r 23．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数(k ＞0)的图象分别与BC 、CD 交于点M 、N ．若点A (－2，－2)，且△OMN 的面积为，则k ＝( )(A)2.5 (B)2 (C)1.5 (D)14．在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如右图所示，点A 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1,…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（）A. 5·B. 5·C. 5·D. 5·5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m （am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A. ①②③B. ①③④C. ③④⑤D. ②③⑤6．已知有9张卡片，分别写有1到9这就个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，若数a使关于x的不等式组()431{122x xxx a≥+--<有解，且使函数22y x ax=-在x≥7的范围内y随着x的增大而增大，则这9个数中满足条件的a的值的和是（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 137．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n＜-ba；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论个数是（）A. ①③④B. ①③C. ①④D. ②③④8．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A′，D′处，且A′D′ 经过点B ，EF 为折痕，当D′F ⊥CD 时，CFFD的值为A.312- B.312- C. 313- D. 313- 9．如图，在等腰Rt △ABC 中，斜边AB=8，点P 在以AC 为直径的半圆上，M 为PB 的中点，当点P 沿半圆从点A 运动至点C 时，点M 运动的路径长是（ ）A. 22πB. 2πC. 2πD. 22二、填空题10．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .11．如图，在平面直角坐标系中，Q （3，4），P 是在以Q 为圆心，2为半径的⊙Q 上一动点，设P 点的横坐标为x ，A （1，0）、B （-1，0），连接P A 、PB ，则P A 2+PB 2的最大值是A. 64B. 98C. 100D. 12412．如图，边长为a 的等边△ACB 中，E 是对称轴AD 上一个动点，连EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到MC ，连DM ，则在点E 运动过程中，DM 的最小值是_____。
专题03 最有可能考的30题中考数学走出题海之黄金30题系列
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．
31．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
A．63．6×1011B．6．36×1013C．63．6×1012D．0．636×1014
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
3．下列计算正确的是
A． ．B． ．C． ．D． ．
4．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数 （ ）和 （ ）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴且交y轴于点C，且OA⊥OB， ， ，则线段AB的长度为（）
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．1．5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
20．如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB＝20米，AE＝30米，则这块宣传牌CD的高度为__．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： ≈1.414， ≈1.732）．
二、填空题
11．分式方程 的解是
12．函数 中， 的取值范围是
13．标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为_______．
2014年高考化学走出题海之黄金30题系列专题05 考前必做基础30题1(解析版)
2014年高考化学走出题海之黄金30题系列专题05 考前必做基础30题1（解析版）【试题1】下列说法错误的是A ．利用太阳能等清洁能源代替化石燃料，有利于节约资源、保护环境B ．水泥厂、冶金厂常用高压电除去工厂烟尘，利用了胶体的性质C ．橡胶、纤维、塑料都是高分子化合物D ．日常生活中常用无水乙醇进行杀菌消毒 【答案】D 【解析】考点：本题考查化学与能源、生产、生活 【试题2】有关化学用语表达正确的是A ．聚丙烯的结构简式：B ．C1-的结构示意图：C ．1021034646Pd Pd 和互为同位素D ．过氧化氢电子式：【答案】C 【解析】试题分析：A 、聚丙烯的结构简式为：，错误；B 、C1-的结构示意图[]222n CH CH CH --为：，【试题3】工业生产中常涉及到一些重要的中学化学反应，以下有关叙述正确的是A．工业上，用焦炭在高温下还原二氧化硅制得粗硅B．通常将氯气通入到饱和石灰水中制得大量漂白粉C．工业制硫酸将SO2氧化成SO3的条件一般选择高温、高压、催化剂D．钠可把钛、锆、铌、钽等金属从它们的卤化物溶液里还原出来【答案】A【解析】考点：本题考查物质的性质与用途【试题4】下列说法错误的是A．碳、硫单质在加热条件下都能与浓硝酸、浓硫酸发生反应B．氮氧化物、二氧化硫是形成酸雨的主要物质C．二氧化硫具有还原性，因此不能用浓硫酸干燥D．硅在自然界中主要以氧化物和硅酸盐的形式存在【答案】C【解析】试题分析：A、碳、硫单质在加热条件下都能与浓硝酸、浓硫酸发生氧化还原反应，A不正确；B、氮氧化物、二氧化硫是形成酸雨的主要物质，分别形成硝酸型酸雨和硫酸型酸雨，B正确；C、二氧化硫具有还原性，但与浓硫酸不能发生氧化还原反应，因此能用浓硫酸干燥，C 不正确；D 、硅在自然界中主要以氧化物和硅酸盐的形式存在，D 正确，答案选C 。
考点：考查常见非金属性元素单质以及化合物的有关判断 【试题5】N A 代表阿伏加德罗常数，下列说法不正确的是A ．标准状况下，11.2L 氯仿(CHCl 3)中含有C -Cl 键的数目为1.5N AB ．常温常压下，17g 甲基(143CH )所含的电子数为9N AC ．同温同压下，1LNO 和1LO 2充分混合体积小于1.5LD ．pH =l 的醋酸溶液100mL 中氢离子数为0.01N A 【答案】A 【解析】【试题6】甲、乙、丙、丁、戊的相互转化关系如图所示（反应条件略去，箭头表示一步转化）。
专题01 经典母题30题-数学(理)走出题海之黄金30题系列
母题1【集合运算】（2016甲卷理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（ ）.A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C【解析】 因为()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，所以{}01B =，，所以{}0123A B =，，，.故选C.母题2【充分条件和必要条件】（2016四川理7）设p ：实数，y 满足22(1)+(1)2x y --；：实数，y 满足111yx yx y -⎧⎪-⎨⎪⎩，则p 是的（ ）. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A母题3【函数的性质】（2016甲卷理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1miii x y =+=∑( ).A. B.m C. 2m D. 4m 【答案】B【解析】 由()()2f x f x -=-得，()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，所以对于每一组对称点有0i i x x '+=，=2i i y y '+，所以()111m m mi i i ii i i x y x y ===+=+=∑∑∑022mm +⋅=.故选B. 母题4【函数的图象】（2016乙卷理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.-221Oxy-221Oxy -221Oxy -221OxyA. B. C.D.【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.母题5【三角形函数的图象和性质】（2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B. C. D. 【答案】B【解析】 依题意，可得()π2124T k =⋅+，k ∈N ，且5ππ36182T-，即π6T . 故2112k +，k ∈N ，即112k，k ∈N .当5k =时，2π11T =.又ππ2π3π5π184114436<-=<，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上不单调.当4k =时，2π9T =，且π2πππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭.又ππ5ππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为9.故选B. 母题6【平面向量数量积】（2016天津理7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）.A. 58-B.18C.14D.118【答案】B【解析】 由题意作图，如图所示.则()AF BC AE EF BC ⋅=+⋅=111cos60448AC BC ⋅==.故选B.FEDCBA母题7【内切球】（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）. A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】 如图所示，假设在直三棱柱111ABC A B C -中，有一个球与平面11ABB A ，平面11BCC B ，平11AAC C 面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，则16822,11(6810)22ABC ABCS r C ⨯⨯===⨯++△△且123r AA =，得32r.因此，直三棱柱内球的半径最大值为32，则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选B.母题8【平面与平面平行的判定】(2016全国乙理11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，所成角的正弦值为（ ）. A.32 B.22 C. 33 D.13【答案】AABCDA 1B 1C 1D 1EFD 1C 1B 1A 1DCBAB ACC 1B 1A 1CBA母题9【直线和双曲线位置关系】2016天津理6）已知双曲线()2224=10y b bx ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）.A.22443=1y x - B.22344=1y x - C.2244=1y x - D.2224=11x y - 【答案】D【解析】 根据对称性，不妨设A 在第一象限，(),A A A x y ，联立2242x y b y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得2244,244b A b b ⎛⎫⋅ ⎪++⎝⎭.所以216422A A b b x y b =⋅=+，得212b =. 故双曲线的方程为2224=11x y -.故选D. 母题10【直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( ). A.33 B.23C.22D. 母题11【程序框图】（2016全国丙理7）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n =（ ）.A. B. C. D.停止s=s +a ,n =n +1b =b-an =0,s =0否a =b-a输入a ，b开始s >16输出n是a =b+a【答案】B母题12【排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】 从→E F 的最短路径有种走法，从→F →G 的最短路径有种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．母题13【几何概型】（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）. A. B.12 C.23 D. 34【答案】B母题14【复数的运算及概念】（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.23【答案】B【解析】 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i 2x y +=+=故选B.母题15【导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = . 【答案】1ln2-【解析】 ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111xy x x x x =++-++， 所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-.母题16【二项式定理】（2016全国乙理14）()52x x+的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）. 【解析】()52x x+的展开式的通项公式为()()55555221555C 2C 2C 20,1,,5k k k kkkk kk kk T x x xxk -+----+====.令532k -=，得4k =.故3x 的系数是4545C 210-=. 母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做的垂线与轴交于C ，D 两点，若23AB =，则CD =__________________.【解析】 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有22223AB r d =-=，得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线：330mx y m ++-=的距离23331m d m -==+，解得3.3m =-因此直线的方程为3233y x =+.所以直线的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，A DCxOy E B则234cos30cos3032CE AB CD ====.母题18【线性规划】（2016全国乙卷理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000母题19【平面向量坐标运算】（2016全国乙理13）设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222+=+a b a b ，则m = .【答案】2-【解析】 因为()2222222222==++=++=+a +b a +b a b ab a b ab a b ，故20=ab ，即0=ab .所以()(),11,220m m =⋅=+=ab ，得2m =-.母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【答案】64解法一：由1n a ，得4112n -⎛⎫⎪⎝⎭，得4n，且41a =.故当3n =或时，12n a a a 取得最大值， 即()321121231234max11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解法二：()()211720121221211822n n n n n n nn a a a a q--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故当3n =或时，12n a a a 取得最大值6264=.母题21【立体几何与空间向量】【2014高考北京理第17题】如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.△的内角A，B，C的对边分别为a，，，已母题22【解三角形】（2016全国乙理17）ABC知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ； （2）若7c =，ABC △的面积为332，求ABC △的周长． 【解析】（1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.母题23【等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲理17）n S 为等差数列{}n a 的前项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg 991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】 （1）设{}n a 的公差为，74728S a ==，所以44a =，所以4113a a d -==，所以1(1)n a a n d n =+-=．所以[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101lg lg1012b a ===．（2）当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． 所以1000121000=T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg =a a a ++⋅⋅⋅+091902900311893⨯+⨯+⨯+⨯=．母题24【数列递推公式和数列求和】（2016山东理18）已知数列{}n a 的前项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列n C 的前项和n T .【解析】 （1）由题意知当2n 时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以()*65n a n n =+∈N .设数列{}n b 的公差为d，由112223a b b a b b ⎧⎨⎩=+=+，即111121723b db d=+⎧⎨=+⎩，解得14b =，3d =，所以()*31n b n n =+∈N .（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+， 得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得：234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-⨯+-+⨯=-⋅-，所以232n n T n +=⋅.母题25【空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．FEDC BA（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．由（1）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=︒，则2DF =，3DG =，可得(140)A ，，，(340)B -，，，(300)E -，，，(003)D ，，.由已知，AB EF ，所以AB 平面EFDC . 又平面ABCD 平面EFDC CD =，故ABCD ，CD EF .由BEAF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，母题26【离散型随机变量的分布列和期望】（2016全国乙理19）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买台机器的同时购买的易损零件数. （1）求X 的分布列； （2）若要求()0.5P Xn ，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2. 从而：(16)0.20.20.04P X ==⨯=；(17)20.20.40.16P X ==⨯⨯=；(18)20.20.20.40.40.24P X ==⨯⨯+⨯=；(19)20.20.220.40.20.24P X ==⨯⨯+⨯⨯=； (20)20.20.40.20.20.2P X ==⨯⨯+⨯=；(21)20.20.20.08P X ==⨯⨯=；(22)0.20.20.04P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22P0.040.160.240.240.20.08 0.04（2）由（1）知，(18)0.44P X =≤，(19)0.68P X =≤，故的最小值为19. （3）记Y 表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19n =时，192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯+(192002500)0.08(192003500)0.04⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯4040=.当20n =时，202000.88(20200500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+(202002500)0.044080⨯+⨯⨯=. 可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值，故应选19n =.母题27【直线和椭圆位置关系】（2016全国甲理20）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在轴上，A是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.解法二：设点()00M x y ，，且MN 交轴于点D . 因为AM AN =，且AM AN ⊥，所以MD AD ⊥，MD AD = .由2200+143x y =，得2001232x y -=.又0022AD x x =--=+，所以20012322x x -=+，解之得02x =-或27-. 所以127AD = ，所以211214422749AMN S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭△.因为2AM AN =，所以()222322222332616112113332122m m ma ma m a m m a m a m m --+=+⇒=>⇒<<++-所以)312k m=∈，.解法二：设直线AM 的方程为()y k x t=+，联立()2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk xt tk x t k t +++-=，解得x t=-或2233t tk t x tk -=-+，所以22222361133t tk t t AM k t k tk tk -=+-+=+⋅++，所以2613t AN k t k k=+⋅+.因为2AM AN =，所以2226621133t tk k t tk k k⋅+⋅=+⋅++，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，解得322k <<． 母题28【导数的综合运用】（2016乙卷理21）21.已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：122x x +<.（ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x 时，10x -，1e 2e e 0x a +-=，所以()0f x '.同理1x >时，()0f x '>. 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时.令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -.综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -；当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -；当0a 时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞.（2）若()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 要证明122x x +<，不妨设12x x <，且121x x <<.只需证明：122x x <-，因为()f x 在(),1-∞上单调递减， 所以()()122f x f x >-，又()()12f x f x =，则()()222f x f x >-，即令()()()()21g x f x f x x =-->，()()()()()()22222e 122e 212e e x x x x g x x a x x a x x x --=-+-------=-+，因为()10g =，()()()()()()22221e e e 1e 1e 1e e x x x x x x x g x x x x x x ----'=-+-=-+-=--， 当1x >时，10x ->且2e e x x ->，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()1,+∞上单调递增，因此()()10g x g >=，故()()()21f x f x x >->，即有()()222f x f x >-，则()()122f x f x >-， 又()y f x =在(),1-∞上单调递减，则122x x <-.故122x x +<.证毕.母题29【坐标系与参数方程】（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=.（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .又12,C C 公共点都在3C 上，故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=，0tan 2α=，即为2y x =，从而可知1a =． 母题30【不等式选讲】（2016全国甲理24）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（1）求M ；（2）证明：当a b M ∈，时，1a b ab +<+.【解析】 （1）当12x <-时，()112222f x x x x =---=-<，所以112x -<<-；。
专题05 传送带和板块模型——历年高考物理真题精选之黄金30题(原卷版)
近十年高考物理真题精选之黄金30题专题05 传送带和板块模型一、单选题1．（2011·福建·高考真题）如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率1v运行。
初速度大小为2v的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。
若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v t 图像（以地面为参考系）如图乙所示。
已知2v＞1v，则（）A．2t时刻，小物块离A处的距离达到最大B．2t时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大C．0~2t时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左D．0~3t时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用2．（2012·上海·高考真题）如图，光滑斜面固定于水平面，滑块A、B叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A上表面水平．则在斜面上运动时，B受力的示意图为（）A．B．C ．D ．3．（2019·海南·高考真题）如图，两物块P 、Q 置于水平地面上，其质量分别为m 、2m ，两者之间用水平轻绳连接。
两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g ，现对Q 施加一水平向右的拉力F ，使两物块做匀加速直线运动，轻绳的张力大小为（ ）A ．2F mg μ-B ．13F mg μ+C ．13F mg μ-D ．13F4．（2011·天津·高考真题）如图所示，A 、B 两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B 受到的摩擦力A ．方向向左，大小不变B ．方向向左，逐渐减小C ．方向向右，大小不变D ．方向向右，逐渐减小5．（2008·四川·高考真题）光滑的水平面上叠放有质量分别为m 和m /2的两木块，下方木块与一劲度系数为k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示．已知两木块之间的最大静摩擦力为f ，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为A ．B ．C ．D ．6．（2013·安徽·高考真题）如图所示，细线的一端系一质量为m 的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行．在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为F N分别为（重力加速度为g）（）A．T＝m（g sinθ＋a cosθ），F N＝m（g cosθ－a sinθ）B．T＝m（g cosθ＋a sinθ），F N＝m（g sinθ－a cosθ）C．T＝m（a cosθ－g sinθ），F N＝m（g cosθ＋a sinθ）D．T＝m（a sinθ－g cosθ），F N＝m（g sinθ＋a cosθ）二、多选题7．（2018·海南·高考真题）如图（a），一长木板静止于光滑水平桌面上，t=0时，小物块以速度v0滑到长木板上，图（b）为物块与木板运动的v-t图像，图中t1、v0、v1已知。
高考数学走出题海之黄金30题系列(第01期)专题05 考前
2015年高考数学走出题海之黄金100题系列专题05【通用版】【第一期】专题05 考前必做30题组1．下列命题中，真命题是 （ ） A ．0x R ∃∈，使得00x e ≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≠∈≥C ．函数2()2xf x x =-有两个零点D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：对任意的x R ∈，0xe >恒成立，A 错误；当sin 1x =-时，22sin 1sin x x+=-，B 错误；2()2x f x x =-有三个零点（2,4x =，还有一个小于0），C 错误（这时就可选D ），当1,1a b >>时，一定有1ab >，但当2,3a b =-=-时，61ab =>也成立，故D 正确. 考点：复合命题的真假.2.设C B A c b a ,,,,,为非零常数，则“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集相同”是“CcB b A a ==”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当1,1,2a b c A B C ======时，不等式“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集均为空集，解集相同，此时a b cA B C =≠，当1,1a b c A B C ======-时，Cc B b A a ==，此时解集显然不同，所以“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集相同”是“Cc B b A a ==”的既不充分也不必要条件. 考点：解不等式，充要条件.3.设向量11(1,0),(,)22a b ==r r ，则下列结论中正确的是( )A ．||||a b =r rB ．2a b =r r gC ．//a b r rD ．()a b b -⊥r r r【答案】D 【解析】试题分析：221121,222a b ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ,a b ∴≠r r ,所以A 不正确; 1112102222a b ⋅=⨯+⨯=≠r r ,所以B 不正确; 因为101122≠,所以C 不正确; ()111111,,0222222a b a b b ⎛⎫⎛⎫-=-∴-⋅=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r Q ,()a b b ∴-⊥r r r .故D正确.考点：1向量的模;2向量的平行,垂直关系.4.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S =（ ).A 18 .B 36 .C 54 .D 72【答案】D【解析】因为5418a a -=，所以1854=+a a ；则721842)(82)(854818=⨯=+=+=a a a a S . 考点：等差数列.5.已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的 A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S【答案】C 【解析】试题分析：设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立,对于C,当03>a 时,01>a ,因为q -1与20131q -同号,所以02013>S ,选项C 正确,对于D,取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D 错.故选C 考点：等比数列性质、前n 项和.6.设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 【答案】B 【解析】试题分析：()f x 的最小正周期22T ππ==，∵()06f π=，∴图象C 关于点(,0)6π对称，∴图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到，函数()f x 的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++()k Z ∈，当0k =时，5[,]122x ππ∈-≠⊂5[,]1212ππ-，∴函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是先增后减. 考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.7.若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=2,1212,2x x x a x f x 是R 是的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,∞-B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,813C.()2,0D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-813,【答案】D 【解析】试题分析：要使)(x f 为R 上的减函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛<-)2(2121022a a ，解得813≤a考点：函数的性质.8.设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅u u u r u u u r≤成立，则a b +的最大值等于（ ）（A ）2（B ）1（C ）0（D ）3 【答案】A 【解析】试题分析：作出区域D ，如图所示，又1OA OB ⋅u u u r u u u r≤，表示目标函数z ax by =+的最大值为1，可知z ax by =+在点（0，1）和点（1,0）处的值小于等于1，即1,1a b ≤≤，所以a b +的最大值等于2. 考点：简单的线性规划.9.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是俯视图侧（左）视图正（主）视图11112A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D 【解析】2的正方形，高为2的四棱锥，所以 几何体的体积为：1422233V ==.故选D. 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10.在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是（ ） A ．124+ B ．34C ．22D ．224+ 【答案】D考点：三角函数的最值.11. 若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25 【答案】C 【解析】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为1,2,4,8,16,....，即12n n a -=，那么3541620a a +=+=. 方法二：对于()223513134a a a q a q a a +=+=+，又135a a +=，则354520a a +=⨯=.方法三：对于213111145a a a a q a a +=+=+=，解方程可得，11a =，那么通项12n n a -=，可知34a =，516a =，则3520a a +=.故选C.考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式. 12.设,a b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是( ) ①若0×a b =，则有+=-a b a b ； ②⋅=a b a b ；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则+=+a b a b ；④若+=-a b a b ，则存在实数λ，使得a ＝λb .A . ①③B . ①④C .②③D . ②④【答案】B 【解析】试题分析：①若0综^?a b =a b +=-a b a b ，故①正确；②cos θ⋅=≤a b a b a b ，故②错误；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，等价于a //b ，即a 与b 方向相同或相反，而+=+a b a b 表示a 与b 方向相同，故③错；④若+=-a b a b ，则a 与b 方向相反，故存在实数λ，使得a ＝λb ，故④正确. 考点：向量的基本性质.13.设二项式431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为A ，则A=A. -6B. -4C. 4D. 6【答案】B 【解析】试题分析：()444314431rrr r r r r T C x C x x --+⎛==- ⎝，由4403r -=得3r =，所以3314(1)4r T C +=-=-，故选B.考点：二项式定理.14.2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A) 1818A 种 (B)218218A A 种 (C)281031810A A A 种 (D)2020A 种【答案】B【解析】先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有22A 种不同方法；再安排其余人员，有1818A 种不同方法；所以，共有181822A A 种不同方法.考点：排列组合.15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:①()(2)0f x f x +-=，②(2)()f x f x -=-， ③在[1,1]-上表达式为21[1,0]()cos()(0,1]2x x f x x x π⎧- ∈-⎪=⎨ ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数20()10x x g x x x ≤⎧ =⎨- >⎩ 的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（ ） A.5 B.6 C.7D.8【答案】B 【解析】试题分析：由⑴()(2)0f x f x +-=可得)(x f 关于（1,0）对称，⑵(2)()f x f x -=-可得)(x f 关于直线1-=x 对称，作出示意图知函数()f x 与函数)(x g 有6个交点考点：函数与方程16.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）的图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”（点对（A ，B ）与（B ，A ） 可看作一个“姊妹点对”。
专题06 考前必做难题30题中考数学走出题海之黄金30题系列
中考数学走出题海之黄金30题系列专题六 考前必做难题30题一、选择题1．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点A （2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以l 个单位，秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位，秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（-1，1）C ．（-2，1）D ．（-1，-l ）3．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线上，点N 在直线上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数( )A ．有最大值－4．5B ．有最大值4．5C ．有最小值4．5D ．有最小值－4．4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图6中三角形的个数是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．215.如图1，在平面直角坐标系中，将□ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y=－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么ABCD 面积为（ ）a b 2201310x x ++=22(12015)(12015)a a b b ++++12y x=3y x =+2()y abx a b x =-++A ．4B ．C ．8D ．6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O ，点F 在AD 上，AD=3AF ， △AOF的外接圆交AB 于E ，则的值为：（ ）A ．B ．3C ．D ．2 7．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）8.如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为（ ）AF AE C D2335A ．B ．C ．D ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）．AB ．C ．D 10．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3.若S 1+S 3=20，则S 2的值为( )．A ．6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2，则tan ∠MCN=22212332xOy AB ()6,0A ()0,6B O O P AB P O PQ Q PQ 312．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于_______________．13．如图在矩形ABCD 中，AD=4,M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上的一动点，连接EM 并延长交CD 的延长线于点F ，G 是线段BC 上的一点，连接GE 、GF 、GM ．若△EGF 是等腰直角三角形，=90°，则AB=14．如图，已知二次函数与一次函数 的图像相交于点A（-3,5），B （7，2），则能使 成立的x 的取值范围是15．如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(0,3)，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD,点D 在双曲线y=k x(k≠0)上，将正方形沿x 轴负方向平移 m 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线上，则m 的值是O EGF∠21y ax bx c =++2y kx m =+12y y≤16．如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为 ．17．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=30，正方形DEFG 的四个顶点分别在半径OA 、OC 及⊙O 上，且∠AOC=45°，则正方形DEFG 的面积为 ．18．如图，在⊿ABC 中，∠A ﹤90°，∠C=30°，AB=4，BC=6，E 为AB 的中点，P 为AC 边上一动点，将⊿ABC 绕点B 逆时针旋转角（）得到，点P 的对应点为，连，在旋转过程中，线段的长度的最小值是 ．19．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角BA α︒≤<︒3600α11BC A ∆1P 1EP 1EP顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于E ，F 两点，则EH 的值为 ．20．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的一次函数y=2x+a的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为，且使关于x 的不等式组有解的概率为 ．三、解答题21.某公交公司的公共汽车和出租车每天从沂源出发往返于沂源和济南两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距沂源的路程（单位：千米）与所用时间（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达济南后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回沂源早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距沂源的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3）求两车最后一次相遇时，距沂源的路程．14122a x x a +≤-≤⎧⎨⎩yx y x22．某五金店购进一批数量足够多的p型节能电灯进价为35元／只，以50元／只销售，每天销售20只．市场调研发现：若每只每降l元，则每天销售数量比原来多3只．现商店决定对Q型节能电灯进行降价促销活动，每只降价x元（x为正整数）．在促销期间，商店要想每天获得最大销售利润，每只应降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?（注：每只节能灯的销售毛利润指每只节能灯的销售价与进货价的差）23.如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长．24.如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q （4，）．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与轴、轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结0P 、OQ ，求△OPQ 的面积．25.如图，设∠BAC=（0°＜＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB ，AC 上．从点A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 AA 为第一根小棒，且 AA=AA )0(≠=k xk y 21b x y +-=m x yθθ（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）（2）若已经摆放了3根小棒，则 1 = ，2= ， 3= ；（用含 的式子表示）（3）若只能摆放4根小棒，求的范围．26．已知直线x 轴､y 轴分别交于A､B 两点，∠ABC=60°，BC 与x 轴交于C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动（不与A ､C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿C －B －A 向点A 运动（不与C ､A 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t=4秒时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A ､Q ､M ､N 为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．θθθθθy =+27.操作：小英准备制作一个表面积为6cm2的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A.B.C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．纸片利用率=×100%发现：（1）小英发现方案一中的点A.B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小英的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小英通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．（结果精确到0.1%）探究：（3）小英感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直．接．写出方案三的利用率．（结果精确到0.1%）说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．28.如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共的顶点A，连BG、DE，M为DE的中点，连AM.（1）如图1，AE、AG分别与AB、AD重合时，AM和BG的大小．．关系分别是、．．和位置_ ____；（2）将图1中的正方形AEFG绕A点旋转到如图2，则（1）中的结论是否仍成立？试证明你的结论；（3）若将图1中的正方形AEFG绕A点逆时针旋转到正方形ABCD外时，则AM和BG的大小．．和位置．．关系分别是__________、____________，请你在图3中画出图形，并直接写出结论，不要求证明.29．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A．B两点的坐标分别为A（，B，AB中点P的坐标为．由，得，同理，所以AB的中点坐标为（，）．由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l：与抛物线交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x 轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及P、C两点的坐标；（2）连结AB、AC，求证：△ABC为直角三角形；()11,yx()22,yx),(ppyx12p px x x x-=-122px xx+=122py yy+=122x x+122y y+2122122yyxxAB-+-=22y x=+22xy=（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．30.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．。
专题05考前必做基础30题-2022年中考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)
2021年中考数学走出题海之黄金30题系列一、单项选择题1．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔〕A. B. C. D.【答案】C点睛：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，在平面内，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.2．假设关于x的方程mx2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，那么m的值为〔〕A. 0B. 8C. 4或8D. 0或8【答案】B【解析】分析：根据判别式的意义得到△=〔-m〕2-4•m•2=0，解得m1=0，m2=8，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．详解：∵关于x的方程mx2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，∴△=〔-m〕2-4•m•2=0，解得m1=0，m2=8，而m≠0，所以m的值为8．应选B．点睛：考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．以下计算正确的选项是〔〕A. a3+a2=a5B. a10÷a2=a5C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a5【答案】D点睛：此题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法那么，此题属于根底题型．4．据某数据库统计，仅2021年第一个月，区块链行业融资额就到达680 000 000元．将680 000 000用科学记数法表示为〔〕A. 0.68×109B. 6.8×107C. 6.8×108D. 6.8×109【答案】C【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将680 000 000用科学记数法表示为：6.8×108．应选C．学=科网点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．不等式组20{31xx+≥->的解集在数轴上表示为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．详解：20{31xx+≥-①＞②，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜2，故不等式组的解集为：﹣2≤x＜2．在数轴上表示为：．应选B．点睛：此题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．6．如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E．假设∠A=40°，那么∠1的度数为〔〕A. 80°B. 70°C. 60°D. 40°【答案】B【解析】分析：根据平行线的性质得到∠ABD=140°，根据BE平分∠ABD，即可求出∠1的度数. 详解：∵BD∥AC，∴∠ABD+∠A=180°，∠ABD=140°，∵BE平分∠ABD，∴∠1=12∠ABD=12×140°=70°.应选B.点睛：考查角平分线的性质和平行线的性质，熟记它们的性质是解题的关键.7．一组数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，那么该组数据的中位数和众数分别是〔〕A. 4，4 B. 5，4 C. 5，6 D. 6，7【答案】B【解析】分析：先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．点睛：此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大〔或从大到小〕重新排列后，最中间的那个数〔最中间两个数的平均数〕，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．8．将二次函数y=−x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的函数表达式为〔〕A. y=−(x−2)2+3B. y=−(x−2)2−3C. y=−(x+2)2+3D. y=−(x+2)2−3【答案】A【解析】分析：根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．详解：抛物线y=-x2的顶点坐标为〔0，0〕．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的顶点坐标为〔2，3〕，得到的抛物线的解析式是y=-〔x-2〕2+3．应选A．点睛：此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．9．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的F处，假设CD=6，BF=2，那么AD的长是〔〕A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】分析：根据矩形的性质和折叠的性质可得AD= DF=BC ，设AD= DF=BC=x ，在Rt△DCF 中，根据勾股定理列出方程求得x 值，即可得AD 的长.详解：∵△DEF 由△DEA 翻折而成，∴DF=AD，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC,设AD= DF=BC=x ，在Rt△DCF 中，根据勾股定理可得，x 2=(x −2)2+62 ，解得x=10.应选D ．点睛：此题考查了矩形的翻折变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解决这类问题的根本思路是在直角三角形中利用勾股定理列方程．10．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为〔 〕A. 〔2，3B. 〔﹣2，4〕C. 〔﹣2，2〕D. 〔﹣2，3【答案】D【解析】分析：作BC ⊥x 轴于C ，如图，根据等边三角形的性质得4,2,60OA OB AC OC BOA ====∠=，那么易得A 点坐标和O 点坐标，再利用勾股定理计算出224223BC -=，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B 点坐标；由旋转的性质得''60,''AOA BOB OA OB OA OB ∠=∠====，那么点A ′与点B 重合，于是可得点A ′的坐标．详解：作BC ⊥x 轴于C ，如图，∵△OAB 是边长为4的等边三角形∴4,2,60OA OB AC OC BOA ====∠=，∴A 点坐标为(−4,0),O 点坐标为(0,0)，在Rt △BOC 中, 224223BC =-=，∴B 点坐标为()2,23-；∵△OAB 按顺时针方向旋转60,得到△OA ′B ′，∴''60,''AOA BOB OA OB OA OB ∠=∠====，∴点A ′与点B 重合,即点A ′的坐标为()2,23-，应选D.点睛：考查图形的旋转，等边三角形的性质.求解时，注意等边三角形三线合一的性质.二、填空题11．函数y =x 2−x 中，自变量x 的取值范围是__________.【答案】x ≠2【解析】分析：根据分母不等于0求自变量的取值范围.详解：根据题意得，2−x ≠0,那么x ≠2.故答案为x ≠2.点睛：此题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数解析式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数解析式是分式时，分式的分母不能为0；(3)当函数解析式是二次根式时，被开方数非负．12．如果小球在如下图的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是________.【答案】1413．一次函数y =x −3的图像不经过第______象限.【答案】二【解析】分析：根据一次函数的性质可求出函数图象所经过的象限．详解：∵一次函数y=x-3中，k=1＞0，b=-3＜0，∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．点睛：此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．14．方程 1x−2=3x 的解是________．【答案】x =3详解：去分母得：x=3〔x-2〕，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解.点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．计算：√27−√8⋅√23=_____． 【答案】5√33【解析】分析：先把各二次根式起先化简，然后再合并同类二次根式即可.详解：原式=3√3-43√3=5√33. 点睛：此题考查了二次根式的化简.二次根式的性质：√a 2=|a|={a (a >0)0(a =0)−a(a <0)16．分解因式a 3－a 的结果是________．【答案】a(a+1)(a-1)【解析】分析：先提取公因式a 后再利用平方差公式因式分解即可.详解：a 3－a=a(a 2−1)=2(a+1)(a-1).点睛：此题考查了提公因式法和运用公式法因式分解的综合运用，分解因式时，要分解到每一个因式都不能够在分解即可.【答案】30点睛：求阴影局部的面积时，假设阴影局部不是规那么的几何图形，可以通过面积的和差关系，将阴影局部的面积转化为几个规那么的几何图形面积的和或差.18．两个相似三角形的相似比为1 ：2 ，它们的面积比为_______．【答案】1:4【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得.【详解】∵两相似三角形的相似比为1：2，∴它们的面积比是1：4，故答案为：1：4.【点睛】此题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键.19．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，过点D作DE∥AB交BC于点E，假设AD=3，BC=10，那么CD的长是________。
专题06考前必做难题30题-2022年中考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)
2021年中考数学走出题海之黄金30题系列一、单项选择题1．如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，以下结论：①假设C，O两点关于AB对称，那么OA=2√3；②C，O两点距离的最大值为4；③假设AB平分CO，那么AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π.其中正确的选项是〔〕A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④【答案】D④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．详解：在Rt△ABC中,∵BC=2,∠BAC=30°，∴AB=4,AC=√42−22=2√3，①假设C.O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，那么OA=AC=2√3；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，AB=2,∴OE=CE=12当OC经过点E时，OC最大，那么C.O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2,当∠ABO=30°时, ∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3,斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心,以2为半径的圆周的14,那么：90π×2180=π,所以④正确；综上所述，此题正确的有：①②④；应选D.点睛：属于三角形的综合体，考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，轴对称的性质,弧长公式等，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.2．假设关于x的分式方程412ax x-=-的解为正整数，且关于x的不等式组1282{63xxa x-+-≤＞有解且最多有6个整数解，那么满足条件的所有整数a的值之和是〔〕学-科网A. 4B. 0C. -1D. -3【答案】C解不等式组1282{63xxa x--≤＋＞得，a≤x＜5.因为有解且最多有6个整数解，所以－2＜a≤－1.那么满足条件的所有整数a的值是－1，和是－1.应选C .点睛：由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．P 是BC 边上一动点，以PC 为直径作⊙O ，连结AP 交⊙O 于点Q ，连结BQ ，点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，当点P 到达点C 时，点P 停止运动．在整个运动过程中，线段BQ 的大小变化情况是〔 〕A. 一直增大B. 一直减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大【答案】D【解析】分析：首先找出几个特殊的点，然后画出图形得出BQ 的长度，从而我们可以得出BQ 的变化过程． 详解： 当点P 和点B 重合时，BQ 的长度到达最大值；当点P 在BC 的中点时，BQ 的长度到达最小值，当点P 往点C 移动时，PQ 的长度又开始增大． 应选D ．点睛：此题主要考查的是动点问题，综合性比拟强，难度较大．对于这个问题的关键就是画出图形，从而得出变化过程．4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD =13，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，假设CF ＝2，AF ＝3．给出以下结论：①△ADF ∽△AED ；②FG ＝2；③tan ∠E ＝√52； ④S △DEF ＝4√5．其中正确的选项是结论的个数是〔 〕(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C【解析】分析：①由垂径定理证得∠ADF ＝∠AED ；②由垂径定理证得DG ＝CG ；③∠E ＝∠ADG ，在Rt △ADG 中，求tan ∠ADG ；④先S △ADF ，由△AFD ∽△ADE ，求得S △ADE ；③Rt △AFG 中，AF ＝3，FG ＝2，由勾股定理得AG ＝√5， Rt △ADG 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝√54.∵∠E ＝∠ADG ，所以tanE ＝√54. ④Rt △ADG 中，AG ＝√5，DG ＝4，由勾股定理得AD ＝√21，S △ADF ＝12DF ·AG ＝12×6×√5＝3√5.∵∠ADF ＝∠E ，∠DAF ＝∠EAD ，∴△AFD ∽△ADE ，∴S△AFDS△ADE ＝(AFAD)2，即3√5S△ADE＝(√21)2，那么S△ADE＝7√5.∵S△DEF＝S△ADE－S△AFD，∴S△DEF＝7√5－3√5＝4√5，所以正确的结论是①②④.应选C.点睛：当不能直接求一个三角形的面积时，可求另一个与它相似的三角形的面积，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.5．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y=kx(k＞0)的图象分别与BC、CD交于点M、N．假设点A(－2，－2)，且△OMN的面积为32，那么k＝( )(A)2.5 (B)2 (C)1.5 (D)1【答案】B【解析】分析：过点M作MQ⊥x轴于点Q，由S四边形EOF＝S四边形CHOG，设C(a，4a)，分别用含a，k的式子表示点M，N的坐标，根据S△OMN＝S梯形MNGQ.列方程求k.详解：过点M作MQ⊥x轴于点Q，因为S四边形EOF＝S四边形CHOG，所以CG·CH＝4，设C(a，4a )，那么M(ak4，4a)，N(a，ka).S△OMH＝S△ONG＝S△OMQ＝k2，因为S五边形OMNG＝S△OMN＋S△ONG＝S△OMQ＋S梯形MNGQ.所以S△OMN＝S梯形MNGQ.那么32＝12(ka＋4a)(a－ak4)，解得k＝2.应选B.点睛：过反比例函数y＝kx(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足，原点，P点组成一个矩形，矩形的面积S＝|x|·|y|＝|xy|＝|k|．过反比例函数上一点，作垂线，三角形的面积为12|k|．6．在平面直角坐标系中，正方形A BCD的位置如下图，点A的坐标为〔2，0〕，点D的坐标为〔0，4〕．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为〔〕A. 20（32）2017B. 20（32）2018C. 20（32）4034D. 20（32）4036【答案】C【解析】分析: 先求出正方形ABCD 的边长和面积，再求出第一个正方形A 1B 1C 1C 的面积，得出规律，根据规律即可求出第2021个正方形的面积.详解: ∵点A 的坐标为〔2，0〕，点D 的坐标为〔0，4〕，∴OA=2，OD=4，∵∠AOD=90°，∴AB=AD=2√5，∠ODA+∠OAD=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S 正方形ABCD =〔2√5〕2=20，∴∠ABA 1=90°，∠OAD+∠BAA 1=90°，∴∠ODA=∠BAA 1，∴△ABA 1∽△DOA，∴BA 1OA =AB OD ，即 BA 12=2√54， ∴BA 1=√5，∴CA 1=3√5，∴正方形A 1B 1C 1C 的面积=〔3√5〕2=20×94，…，故正方形A 2021B 2021C 2021C 2021的面积为：20×〔94〕2021=20·(32)4034.应选：C ．点睛: 此题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD 和正方形A 1B 1C 1C 的面积得出规律是解决问题的关键.7．如图〔1〕，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ，设P,Q 出发t 秒时， △BPQ 的面积为y 〔cm 2〕，y 与t 的函数关系的图象如图〔2〕〔曲线OM 为抛物线的一局部〕，那么以下结论：①AB＝6cm ；②直线NH 的解析式为y=-5t+90；③△QBP 可能与△ABE 相似；④当t ＝13秒时，∠PBQ＝30°.其中正确的结论个数是〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据图〔2〕可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C，从而得出BC、BE的长度，再根据MN的长度，可得ED的长度，从而可得AE的长度，求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可.【详解】①根据图〔2〕可得，当点P到达点E时点Q到过点C，∴BC=BE=10cm，S△BCE=12BC·AB=30，∴AB=6cm，故①正确；③当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，由AD=BC=10，ED=2，得AE=8，如下图，∵tan∠BPQ=tan∠ABE=86=BQPQ，∴BQPQ =43，∵BQ=10cm，∴PQ=7.5cm，∴PQ>CD(CD=6cm)，∴△ABE与△QBP不可能相似，故③错误；④t=13时，PQ=18-13=5，此时tan∠PBQ=PQBQ =510=12，∴∠PBQ≠30°，故④错误，综上，可知①②正确，应选B.【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，根据图〔2〕判断出点P到过点E时，点Q到达点C是解题的关键，难度较大.8．如图，点P为函数y=16x〔x＞0〕的图像上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径为2，A〔3，0〕，B〔6，0〕，点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，那么AC的最小值是( ) A. 221- B. 221 C. 4 D. 2【答案】A【解析】∵点P为函数y=16x〔x＞0〕的图像上一点，且到两坐标轴距离相等，∴P〔4，4〕. 连接OQ，∵A 〔3，0〕，B 〔6，0〕，∴A 为OB 的中点，∵点C 是QB 的中点，∴AC=12OQ ， 即可得当OQ 的值最小时，AC 的值最小；连接OP 交⊙P 于点Q ，此时OQ 最小.根据勾股定理求得OP=42，可得OQ=42-2.∴AC 的最小值为：()1142222122OQ =⨯-=-. 应选A.点睛：此题考查了圆中的最短路径问题，利用的知识点主要是三角形的中位线定理，确定出AC 最小时点Q 的位置是解题的关键.9．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB 上取一点D ，作DE⊥AB 交BC 于点E ．现将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上，对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．假设△EFB∽△AF 1E ，那么B 1D=〔 〕A. 65B. 75C. 85D. 95 【答案】C【解析】设BD=4x ，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=4，∵DE ⊥AB ，∠C=90°，∴△BED ∽△BAC ，∴BDDE =BCAC =43， ∴DE=3x ，由题意得，DF=2x ，由勾股定理得，EF=√13x ，由翻转变换的性质可知，EF 1=EF=√13x ，DF 1=DF=2x ，∵△EFB ∽△AF 1E ，∴BF EF 1=EF AF 1 ，即√13x =√13x5−6x ， 解得，x=25，那么B 1D=BD=4x=85，应选C ．点睛：此题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．，平面直角坐标系中，直线y 1=x +3与抛物线y 2=−12x 2+2x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，那么点P 到直线y 1的最短距离为〔 〕A. 3√22B. 5√24C. √2D. 3√24【答案】B【点睛】此题考查了点到直线的距离，比拟困难，熟知点到直线的距离公式是解题的关键.二、填空题11．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE =13BC ，连接AE ，作BF ⊥AE ，分别与AE 、CD 交于点K 、F ，G 、H 分别在AD 、AE 上，且四边形KFGH 是矩形，那么HG AB =________．【答案】7√1030【解析】分析：由BE =13BC ，设BE=x ，那么BC=3x ，易证△ABE≌△BCF，得CF=BE=x,由勾股定理求出BF=√10x ，再证明△BKE ∽△BCF ，求得BK=3√1010x ．故HG=FK=7√1010x ，从而可求出HG AB的值 详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BCD=90°.∴∠BAE+∠AEB=90°∴∠BKE=90°，∴∠KBE+∠BEK=90°，∴∠BAE=∠KBE.在△ABE 和△BCF 中，{∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABC =∠BCF =90°∴△ABE ≌△BCF∴CF=BE.∵BE =13BC ，设BE=x ，那么BC=3x ，∴BC=3x ，CF=x ，∴BF=√(3x)2+x 2=√10x∵∠BKE=∠BCF=90°，∠KBE=∠CBF,∴△BKE ∽△BCF∴BEBF =BKBC ，即√10x =BK3x ∴BK=3√1010x ∴KF=7√1010x ∵四边形KFGH 是矩形，∴GH= KF=7√1010x ∴GHAB =7√1010x 3x =7√1030点睛：此题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质.12．如图，点O 为ABC 的外接圆圆心，点E 为圆上一点， BC OE 、互相平分， CF AE ⊥于F ，链接DF ，假设23OE = 1DF =，那么ABC 的周长为 ．【答案】8+46【解析】分析：连接OB OC 、，延长CF 交AB 于点G ，根据垂径定理得到=90ODB ∠︒， =2,3OB OE OD OB ==进而求出3,3,OD BD CD ===3060OBD BOD COD ∠=︒∠=∠=︒，，易证GAF ≌CAF ，得到22BG DF ==，22226AC AG CF EC OC =====.详解：连接OB OC 、，延长CF 交AB 于点G ，∵=OB OC ， BC OE 、相互平分,∴OE BC ⊥，即=90ODB ∠︒,∵=2,OB OE OD OB ==∴在Rt BOD 中，3,30==60OD BD CD OBD BOD COD ===∠=︒∠∠︒，,∵BE CE =，∴30GAF CAF ∠=∠=︒，又∵CF AE ⊥∴易证GAF ≌CAF ，∴22BG DF ==∵易证EF CF =，∴2AC AG CF =====∴8C ABC =+.故答案为： 8+.点睛：属于圆的综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质等，综合性比拟强，难度较大.13．如图，⊙O 的直径AB 的长12，长度为4的弦DF 在半圆上滑动，DE⊥AB 于点E ，OC⊥DF 于点C ，连接CE ，AF ，那么sin∠AEC 的值是_____，当CE 的长取得最大值时AF 的长是_____．【答案】 2√23， 4√3 【解析】分析：详解：如图1，连接OD ，∴DO =12AB =6， ∵OC ⊥DF ，∴∠OCD =90°，CD =CF =12DF =2， 在Rt △OCD 中，根据勾股定理得， OC =√OC 2−CD 2=4√2，∴sin ∠ODC =OC OD =4√26=2√33， ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO =90°=∠OCD ，∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，∴∠AEC=∠ODC，，∴sin∠AEC=sin∠ODC=2√33如图2，∵CD是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，即：CE是以OD为直径的圆的直径，∴CE=OD=6，∠COE=90°，∵∠OCD=∠OED=90°，∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，过点F作FG⊥AB于G，易知，四边形OCFG是矩形，∴OG=CF=2，FG=OC=4√2，∴AG=OA−OG=4,连接AF，在Rt△AFG中，根据勾股定理得，AF=√AG2+FG2=4√3,，4√3．故答案为:2√33点睛：题目难度较大，涉及解直角三角形，勾股定理，圆的相关知识，综合性比拟强，对学生能力要求较高.14．如图，正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D 按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，那么AF的最小值是_____．学-科网【答案】3√2﹣1．【解析】分析：先找出AF最大值时，点E的位置，再判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．详解：如图1，连接FC，AF，∵ED⊥DF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠EDA=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF，∴CF=AE=1，∴AF＞AC﹣CF，即AF＞AC﹣1，∴当F在AC上时，AF最小，如图2，∵正方形ABCD的边长为3，∴AC=3，∴AF的最小值是3﹣1；故答案为：3﹣1．点睛：此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解此题的关键是AF最大时，AF过点C．难点是找出AF最大时，点E的位置，是一道中等难度的试题．15．关于x的一次函数y=kx+b〔k≠0〕，我们称函数y[m]= {kx+b(x≤m)−kx−b(x>m)，为它的m分函数〔其中m为常数〕．例如，y=﹣x+1的4分函数为：当x≤4时，y[4]=﹣x+1；当x＞4时，y[4]=x﹣1，假设y=﹣3x+2的2分函数为y[2]=5时，x=_____．【答案】﹣1或73．【解析】分析：根据阅读材料，先由函数的2分函数，代入即可，注意，函数值时5时分两种情况代入. 详解：依题意得：﹣3x+2=5或3x﹣2=5．解得x=﹣1或x=73．故答案是：﹣1或73．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，函数图象的交点坐标的求法，点到直线的距离，解此题的关键是理解新定义的根底上借助已学知识解决问题．16．设x1，x2，x3，…，x n是n个互不相同的正整数，且x1+x2+x3+…+x n=2021，那么n的最大值是______.【答案】63【解析】【分析】根据题意可设x1<x2<x3<…<x n，那么1+2+3+…+n≤x1+x2+x3+…+x n，即n(n+1)2≤2017，解关于n的不等式即可.【点睛】此题考查了最值问题，解答此题时，理解题目条件“x1，x2，x3，…，x n是n个互不相同的正整数〞中“互不相同〞这一条件是关键.17．如图平面直角坐标系中，O〔0，0〕，A〔4，4√3〕，B〔8，0〕．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，假设OE=3211，那么CE：DE的值是．【答案】56．【解析】如图，过A作AF⊥OB于F，∵A〔4，4√3〕，B〔8，0〕，∴AF=4√3，OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∴OF=BF，∴AO=AB，∵tan∠AOB=AFOF=√3，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠ABO=60°，∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，∴∠CED=∠OAB=60°，∴∠OCE=∠DEB，∴△CEO∽△DBE，∴OEBD =CEED=CDEB，设CE=a，那么CA=a，CO=8﹣a，ED=b，那么AD=b，DB=8﹣b，∴32118−b=ab，∴32b=88a﹣11ab ①，8−a 56 11=ab，∴56a=88b﹣11ab ②，②﹣①得：56a﹣32b=88b﹣88a，∴ab =56，即CE：DE=56．故答案为：56．18．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，那么以下结论：(1)EF＝√2OE；(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝√2OA；(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；(5)OG·BD＝AE2＋CF2，其中正确的选项是__．【答案】(1)(2)(3)(5)〔5〕易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG•OB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论．【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，∴∠BOF+∠COF=90°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE和△COF中，{∠BOE=∠COFOB=OC∠OBE=∠OCF,∴△BOE≌△COF〔ASA〕，∴OE=OF，BE=CF，∴EF=√2OE；故正确；〔2〕∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=14S正方形ABCD，∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；〔3〕∴BE+BF=BF+CF=BC =√2OA ；故正确； 〔4〕过点O 作OH ⊥BC ， ∵BC=1， ∴OH =12BC =12，设AE=x ，那么BE=CF =1﹣x ，BF=x ，∴S △BEF +S △COF =12BE•BF +12CF•OH =12x 〔1﹣x 〕+12〔1﹣x 〕×12=﹣12〔x ﹣14〕2+932， ∵a =﹣12＜0，∴当x =12时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE =14；故错误； 〔5〕∵∠EOG =∠BOE ，∠OEG =∠OBE =45°， ∴△OEG ∽△OBE ， ∴OE ：OB=OG ：OE ， ∴OG•OB=OE 2， ∵OB =12BD ，OE =√22EF ，∴OG•BD=EF 2，∵在△BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2， ∴EF 2=AE 2+CF 2，∴OG•BD =AE 2+CF 2．故正确． 故答案为：〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔5〕． 点睛：(1)旋转前后的图象是全等的，综合几何问题经常作为一个隐含条件，解决问题的钥匙.(2)几何中的最值问题，很多题要通过设未知量，建立函数关系，转化成二次函数最值问题，通过研究二次函数的最值，得到几何最值.19．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x =和2ky x=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，以下结论： ①AM CN =12k k ；②阴影局部面积是()1212k k -；③当12k k =时， 那么∠AOC=90°；④假设四边形OABC 是菱形，那么两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是______．【答案】①②④【解析】分析：作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，那么有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM=12|k1|=12OM•AM，S△CON=12|k2|=12ON•CN，所以有AMCN=12kk；由S△AOM=12|k1|，S△CON=12|k2|，得到S 阴影局部=S△AOM+S△CON=12〔|k1|+|k2|〕=12〔k1﹣k2〕；当|k1|=|k2|时，得到k1=-k2，k1＞0，k2＜0，从而得到S△CON=S△AOM，不能得到△AOM∽△CNO，无法证明∠AOC是否等于90°；假设OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，那么AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．当|k1|=|k2|时，得到k1=-k2，k1＞0，k2＜0，从而得到S△CON=S△AOM，不能得到△AOM∽△CNO，无法证明∠AOC 是否等于90°，故③错误；假设OABC是菱形，那么OA=OC，而OM=ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM=CN，∴|k1|=|k2|，∴k1=﹣k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故答案为：①②④．点睛：此题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质和菱形的性质．20．如图，点M是正方形ABCD内一点，△MBC是等边三角形，连接AM、MD对角线BD交CM于点N现有以下结论：①∠AMD=150°；②MA2=MN⋅MC；③S△ADMS△BMC=2−√33；④DNBN=√33，其中正确的结论有____________〔填写序号〕【答案】①②④【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，△BCM是等边三角形，根据正方形的性质、等边三角形的性质可对①作出判断；证明△DMN∽△CMD，即可对②作出判断；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得MH=√3a，从而得EM=2a-√3a，根据S△ADMS△BMC =12AD·EM12BC·MH，即可对③作出判断；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，那么可得BG= √3a ，DF=a，DF//BG，可以得到△DFN∽△BGN，根据相似三角形的性质即可对④作出判断.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，∠ADB=45°，∵△BCM是等边三角形，∴BM=MC=BC，∠MBC=∠BMC=∠BCM=60°，∴∠ABM=∠DCM=30°，AB=BM=CM=CD，∴∠BAM=∠CMD=∠CDM=75°，∴∠DAM=∠ADM=15°，∴∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=150°，故①正确；∵∠DAM=∠ADM=15°，∴AM=MD，∵∠ADB=45°，∴∠MDN=30°=∠MCD，∵∠CMD是公共角，∴△DMN∽△CMD，∴DM：CM=MN：DM，∴DM2=MN•CM，∴AM2=MN•CM，故②正确；设BC=CD=2a，过点M作EH⊥BC于点H，交AD于点E，∵△MBC是等边三角形，∴BH=a，MH=√3a，∴EM=2a-√3a，∵AD=BC，∴S△ADMS△BMC =12AD·EM12BC·MH=√3a√3a=2√3−33，故③错误；过点D作DF⊥MC于点F，过点B作BG⊥MC于点G，那么有BG=MH=√3a ，DF=12CD=a，DF//BG，∴△DFN∽△BGN，∴DNBN =DFBG=√3a=√33，故④正确，所以正确的结论有①②④，故答案为：①②④.【点睛】此题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，题目较难，正确地添加辅助线是解题的关键. 三、解答题21．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6相交于A 〔12，52〕和B 〔4，m 〕，点P 是AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC⊥x 轴，交抛物线于点C ，与x 轴交于M 点． 〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？假设存在，求出这最大值，假设不存在，请说明理由；〔3〕点P 在直线AB 上自由移动，当三个点C ，P ，M 中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，请直接写出m 的值．【答案】(1) y=2x 2﹣8x+6；(2)见解析;(3) n 的值为5±√212或17±√1298．详解：〔1〕∵B 〔4，m 〕在直线y=x+2上， ∴m=6，那么B 〔4，6〕，∵A 〔12，52〕、B 〔4，6〕在抛物线y=ax 2+bx+6上，∴{4a +12b +6＝5216a +4b +6＝6.解得{a ＝2b ＝−8，∴所求抛物线的表达式为y=2x 2﹣8x+6；〔2〕设P 的坐标为〔n ，n+2〕〔12＜n ＜4〕，那么点C 的坐标为〔n ，2n 2﹣8n+6〕，∴PC=〔n+2〕﹣〔2n 2﹣8n+6〕=﹣2n 2+9n ﹣4=﹣2〔n ﹣94〕2+498，∵a=﹣2＜0，∴当n=94时，线段PC 取得最大值498；〔3〕设P 的坐标为〔n ，n+2〕，那么点C 的坐标为〔n ，2n 2﹣8n+6〕，假设M 点为PC 的中点，那么PM=CM ，即n+2=﹣〔2n 2﹣8n+6〕，整理得2n 2﹣7n+8=0，此方程没有实数解； 假设P 点为CM 的中点，那么PM=PC ，即2n 2﹣8n+6=2〔x+2〕，整理得n 2﹣5n+5=0，解得n 1=5+√212，n 2=5−√212； 假设C 点为PM 的中点，那么PC=CM ，即n+2=2〔2n 2﹣8n+6〕，整理得4n 2﹣17n+10=0，解得n 1=17+√1298，n 2=17−√1298；综上所述，n 的值为5±√212或17±√1298． 点睛：考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的方法解决数学问题． 22．〔1〕问题发现如图1，四边形ABCD 为矩形，AB=a ，BC=b ，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，Rt△PEF 的两条直角边PE ，PF 分别交BC ，DC 于点M ，N ，当PM⊥BC，PN⊥CD 时，PMPN = 〔用含a ，b 的代数式表示〕． 〔2〕拓展探究在〔1〕中，固定点P ，使△PEF 绕点P 旋转，如图2，PM PN 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．〔3〕问题解决【答案】(1)ab ;(2)见解析;(3) a 2(n+1)2【解析】分析：〔1〕先判断出△PMC∽△ABC，得出CMPM =BCAB =ba ，再判断出四边形CNPM 是矩形，即可得出结论；〔2〕先过P 作PG⊥BC 于G ，作PH⊥CD 于H ，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；〔3〕先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积； 详解：〔1〕∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ⊥BC ，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴CMPM =BCAB=ba∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴PMPN =ab，故答案为ab；〔2〕如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，那么∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴PMPN =PGPH由PG∥AB，PH∥AD可得，PGAB =CPCA=PHAD,∵AB=a，BC=b∴PGa =PHb，即PGPH=ab,∴PMPN =ab，故答案为ab；〔3〕∵PM⊥BC，AB⊥BC ∴△PMC∽△ABC∴CPCA =PMAB当AP=nPC时〔n是正实数〕，PMAB =1n+1∴PM=1n+1a∴四边形PMCN的面积=(1n+1a)2=a2(n+1)2，故答案为：a 2(n+1)2．点睛：相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE，过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P．〔1〕求证：AC2=AE•AB；〔2〕试判断PB与PE是否相等，并说明理由；〔3〕设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】〔1〕〔2〕见解析；〔3〕线段PQ的最小值是4√213﹣4．【解析】分析：〔1〕证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；〔2〕如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；〔3〕如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，那么PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．详解：证明：(1)如图1,连接BC,∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CB̂=CÂ,∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴ACAB =AEAC，∴AC2=AE⋅AB；(2)PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线,∴OB⊥PB，∴∠OBP=90∘，∴∠PBN+∠OBN=90∘，∵∠OBN+∠COB=90∘，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；(3)如图3，∵N为OC的中点，∴ON=12OC=12OB,Rt△OBN中, ∠OBN=30∘，∴∠COB=60∘，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，那么PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=12∠COB=30∘，∴∠PEB=2∠A=60∘，∠ABP=90∘−30∘=60∘，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中, BN=√42−22=2√3，∴AB=2BN=4√3，设AE=x,那么CE=x, EN=2√3−x，Rt△CNE中, x2=22+(2√3−x)2，x=4√3 3，∴BE=PB=4√3−4√33=8√33，Rt△OPB中, OP=√PB2+OB2=4√213，∴PQ=4√213−4.那么线段PQ的最小值是4√213−4.点睛：属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等，第3问有难度，确定PQ最小时，点Q的位置是解题的关键.24．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在原点。
专题03 最有可能考的30题(第02期)-中考数学走出题海之黄金30题系列
年中考数学走出题海之黄金30题系列一、选择题1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）2．下列计算正确的是（ ）A ．232a a a =+B ．623a a a =⋅C ．22)(+=m m a aD ．3632)(b a b a =3有意义，则x 应满足（ ）． A ．12≤x≤3 B ．x≤3且x≠12 C ．12＜x ＜3 D ．12＜x≤3 4．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=s×t （s ，t 是正整数，且s≤t ），如果p×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F （n ）=p q ．例如18可分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F （18）=36=12．给出下列关于F （n ）的说法：（1）F （2）=12；（2）F （12）= 34；（3）F （27）=3；（4）若n 是一个完全平方数，则F （n ）=1．其中正确说法的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成，其左视图．．．为（ ）6．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．480480420x x -=+ B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x -=- D ．480480204x x -=- 7．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）8．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，对称轴为直线12x =-，有下列结论：①abc ＜0；②2b c +＜0；③4a c +＜2b ．其中正确结论的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A.2B.5C.22D.310．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF=4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．4C ．6D ．811．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论： ①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④S △ABC =S 四边形AOCP ，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ， AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ 。
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中考数学走出题海之黄金30题系列
专题五 考前必做基础30题
一、选择题
1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2．一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x,
则列方程为（ ）
A ．688（1+x ）2=1299
B ．1299（1+x ）2=688
C ．688（1-x ）2=1299
D ．1299（1-x ）2=688
3．三角形在正方形方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．不等式组的解在数轴上表示为（ ）
5．如图，∠1与∠2是（ ）
A ．对顶角
B ．同位角
C ．内错角
D ．同旁内角
6．如图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
34433545
532521x x +⎧⎨-≥⎩
＞
7．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使
△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能是（ ）
（A ）AE=CF （B ）BE=FD （C ）BF=DE （D ）∠1=∠2
8．二元一次方程组的解是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9．2环，方差分别
为，则成绩最稳定的是（ ）
（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁
10．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角
的度数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知反比例函数y ＝的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是 A ．k ＞2 B ．k≥2 C ．k≤2 D ．k ＜2
12．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的
扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 （ ）
⎩
⎨⎧-=-=+236y x y x ⎩⎨⎧==15y x ⎩⎨⎧-=-=15y x ⎩
⎨⎧==24y x ⎩⎨⎧-=-=24y x 2222s s 0.60,0.56,s 0.50,s 0.45==== 甲乙丁
丙
18090120
602k x
-
A ． B
C
D ． 二、填空题
13．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两
个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是．．
士、象、帅的概率是__________
． 14．函数中自变量的取值范围是
．
15．计算：= ． 16．某种生物孢子的直径为0．00058米,把0．00058用科学记数法表示为______________．
17．分式方程的解是 ． 18．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价
为 元．
19．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是
_______________．（只需写出一个）
20．二次函数的最小值是 ．
21．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= ．
22．如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，
第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需 根火柴棒，……，则第个图形需 根火柴
棒。
三、解答题
32
1
112+-+a a a 3121
x =-622
+-=x x y n
23．计算：．
24．实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教
班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期三个月的跟踪调查，
并将调查结果分成四类，A ：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差；并将调查结果绘制成以
下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了 名同学，其中C 类女生有 名， D
类男生有 名；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮
一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女
同学的概率．
()0
120142tan 60π1(1)-︒---+
-
25．草莓是我地区的特色时令水果，草莓一上市，水果店的老板用1200元购进一批草莓很快售完；老板又用2500元购进第二批草莓，所购箱数是第一批的2倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）第一批草莓每箱进价多少元？
（2）老板以每箱150元的价格销售第二批草莓，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批草莓的销售利润不少于320元，剩余的草莓每箱售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）
26．一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向。
（1）求海警船距离事故船C的距离BC．
（2）若海警船以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处大约所需的时间．（温馨提示：sin 53°≈0．8，cos 53°≈0．6）
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 的切线，交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
7
28．如图，已知一次函数y1=x-6与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．
x
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）如果，根据图象直接写出的取值范围．
29．如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 交AC 于点F ．
（1）观察图形，写出图中与BE 相等的线段．
（2）选择图中与BE 相等的任意一条线段，并加以证明．
021>-y y
x
30．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等．．．．．．．．
的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
① 小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论．
② 由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长．
ABCD C A ∠≠∠︒=∠70A ︒=∠80B C ∠D ∠ABCD ADC ABC ∠=∠AD AB =CD CB =ABCD ︒=∠60DAB ︒=∠90ABC 5=AB 4=AD AC
31．如图1，小明将量角器和一块含30°角的直角三角板ABC紧靠着放在同一平面内，使直角边BC与量角器的0°线CD在同一直线上（即点B、C、O、D在同一直线上），O为量角器圆弧所在圆的圆心，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6cm．
（1）判断AC是不是⊙O的切线，并说明理由．
（2）将直角三角板ABC沿CD方向平移，使点C落在点O上．此时点B落在点C原位置上（如图2），AB交⊙O于点E，则弧BE的长是多少？
32．（1）如图1，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△ACE ．连接BE ，CD ．请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向外做正方形ABFD 和正方形ACGE ．连接BE ，CD ．BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝
米，AC ＝AE ．求BE 的长．。