2018-2019学年度立体几何难题大汇总

A
B
C
D
3、已知 ABC − A1B1C1 是各棱长均等于 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1 的中
点，则平面 ABC 与平面 AB1D 所成的锐二面角为( )
A． 45
B． 60
C． 75
D． 30
4、已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC
内的射影为△ABC 的中心，则二面角 B1 − AC − B 的余弦值等于( )
14、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量 X = (x1, x2 , x3) ，定义范数 || X || ，它满足以下性质：(1) || X || 0 ，当且仅当 X 为零向量时，不等式
取等号；（2）对任意的实数 ，|| X ||=| | || X || （注：此处点乘号为普
通的乘号）。（3）|| X || + || Y |||| X + Y || 。试求解以下问题：在平面直角
19、如图，在三棱锥 中，
，
，侧面 为等边三
角形，侧棱
.
17、如图，四棱锥 P − ABCD 中， PAD 为等边三角形，且平面 PAD ⊥
平面 ABCD ， AD = 2BC = 2 ， AB ⊥ AD ， AB ⊥ BC .
（Ⅰ）证明： PC ⊥ BC ； （Ⅱ）若直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 60 ，求二面角 B − PC − D 的 余弦值.
（1）求证： D1F ⊥ 平面 ADE ； （2）求异面直线 EF 与 BD1 所成角的余弦值.
24、如图，在四棱锥
中，底面 为直角梯形，其中
，
，侧面
平面 ，且
，动点 在棱
（1）求证： PA ⊥ 平面 CDM ； （2）求二面角 D − MC − B 的余弦值. 22、如图，三棱柱 ABC − A1B1C1 中，BC ⊥ 平面 ABB1A1 ，D、M 分别为
1、在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，
0)，D(1，1， )．若 S1，S2，S3 分别是三棱锥 D - ABC 在 xOy，yOz，zOx
坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1 且 S2≠S3 C．S3＝S1 且 S3≠S2 D．S3＝S2 且 S3 ≠S1 2、如图 1-4 所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB＝11，AD＝7，AA1＝ 12.一质点从顶点 A 射向点 E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光 的反射原理)，将第 i－1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 Li(i＝2，3，4)， L1＝AE，将线段 L1，L2，L3，L4 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形 是( )
10、一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球
上一点到这三个面的距离分别为 4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）
A．3 或 8 B．8 或 11
C．5 或 8
D．3 或 11
A． 3 6
B． 2 6
C． 3 10
D． 2 10
8、如图，四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD ⊥ 平面 ABCD ， 且 PD = AD =1， AB = 2 ，点 E 是 AB 上一点，当二面角 P − EC − D 为
9、若直线 a 上的所有点到两条直线 m、n 的距离都相等，则称直线 a 为
“m、n 的等距线”．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是所在
棱中点，M、N 分别为 EH、FG 中点，则在直线 MN，EG，FH，B1D 中，是“A1D1、
AB 的等距线”的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A． 2 3
B． − 2 3
C． 6 8
D． − 6 8
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5、如图，正方形 A1BCD 折成直二面角 A − BD − C ，则二面角 A − CD − B
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与平面 PAB 所成角的正弦值.
25、如图，在四棱锥
平面 AD，
，
中，平面 ，，
平面 ABCD， ；
平面
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 PB 与平面 所成角的正弦值； 26、如图，在四棱锥 P − ABCD 中，PD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是 菱形， AC = 2 ， BD = 2 3 ，且 AC ， BD 交于点 O ， E 是 PB 上任意 一点. （1）求证： AC ⊥ DE ；
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的余弦值是（ ）
时， AE = （
）
4
A． 1 3
B． 3 3
C． 1 2
D． 2 2
6、在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，二面角 A-BD1-B1 的大小为（ ）
A.. 60 B. 30 C.120 D.150
绝密★启用前
2018-2019 学年度立体几何难题大汇总
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上
评卷人 得分 一、单项选择（注释）
18、在直三棱柱
中，
为正三角形，点 在棱 上，且
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）求证：平面
平面 ；
（2）求二面角
的余弦值.
20、如下图所示，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE， DE＝3AF，BE 与平面 ABCD 所成的角为 60°.
，点 ， 分别为棱 ， 的中点.
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A. 18 5 5
B. 8
C. 16 3 3
D. 10
12、棱长为 的正方体
内有一个内切球 O，过正方体中两条
互为异面直线的 ， 段的长为（ ）
的中点 作直线，该直线被球面截在球内的线
A.
B.
C.
D.
评卷人 得分 二、填空题（注释）
上，且 DE = EF = FB1 ，点 M 是正方体表面上的一动点，点 P, Q 是空间
两 动 点 ， 若 | PE | = | QE | = 2 且 | PQ |= 4 ， 则 MP • MQ 的 最 小 值 | PF | | QF |
为
.
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
坐标系中，有向量 X = (x1, x2 ) ，下面给出的几个表达式中，可能表示向 量 X 的范数的是_____ _______.（把所有正确答案的序号都填上）
（1） x12 + 2x22 （2） 2x12 − x22 （3） x12 + x22 + 2 （4）
x12 + x22
15、如图，在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，AB = 3 3 ，点 E, F 在线段 DB1
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16、沿对角线 AC 将正方形 A B C D 折成直二面角后，A B 与 C D 所在的
直线所成的角等于
．
评卷人 得分 三、解答题（注释）
(1)证明： 平面 ；
(2)若
，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
13、如图，在棱长为 2 的正四面体 A − BCD 中， E、F 分别为直线 AB、CD 上的动点，且 EF = 3 .若记 EF 中点 P 的轨迹为 L ，则 L 等 于____________.（注： L 表示 L 的测度，在本题， L 为曲线、平面图 形、空间几何体时， L 分别对应长度、面积、体积.）
（2）已知二面角 A − PB − D 的余弦值为 15 ，若 E 为 PB 的中点，求 EC 5
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CC1 和 A1B 的中点， BA1B1 是边长为 2 的正三角形， BC = 1 .
上，且
.
（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；
（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
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11、如图，在长方体 ABCD − ABCD 中，点 P,Q 分别是棱 BC,CD 上
的动点， BC = 4,CD = 3,CC = 2 3 ,直线 CC 与平面 PQC ' 所成的角
为 300 ，则 PQC 的面积的最小值是（
）
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7、如图，在三棱锥 ABC − A1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，
AB = 4, AA1 = 6 ． 若 E, F 分 别 是 棱 BB1,CC1 上 的 点 ， 且
BE
= B1E,C1F
=
1 3
CC1
，则异面直线
A1E
与
AF
所成角的余弦值为
（）
A. 1 B. 1 2
C. 2 − 2
D. 2 − 3
（1）证明： MD 平面 ABC ； （2）求二面角 A1 − AC − B 的余弦值. 23、如图，正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E, F 分别是 BB1, CD 的中点.
(1)求证：AC⊥平面 BDE； (2)求二面角 F－BE－D 的余弦值； (3)设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF， 并证明你的结论． 21、如图，四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是 ADC = 60 的菱形， 侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直， M 为 PB 的中点.