使用定积分巧妙证明一类和式不等式

使用黎曼和巧妙证明一类和式不等式

摘要：借助黎曼和几何意义得到一类和式不等式的巧妙证明方法：考虑通过图像看出逼近定积分的过程中产生的一系列黎曼和总是大于或小于定积分值，从而建立黎曼和与定积分的不等关系，而和式又常常就是黎曼和，这样便建立了和式和定积分的不等关系，和式不等式便得以简化。

使用黎曼和精确放缩特性做加强命题：通过取出某些项使其不参与定积分的放缩来加强不等式。

关键词：定积分，黎曼和，和式不等式，证明与加强。

对于和式不等式，由于其变幻较为复杂，构造较为精巧，通常不易证明。针对一类有特殊特征的和式不等式，除了使用通常的构造、不等式放缩以外，还可以用黎曼和巧妙证明，从而免去繁杂的构造和放缩，使其证明更加简洁优美。

黎曼和：对一个在闭区间[,]a b 有定义的实值函数f ，f 关于取样分割0,

,n x x 、01,,n t t -的黎曼和

定义为以下和式：

直观地说就是以标记点i t 到x 轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积，它是求积分时在过程的中间形态，当n →+∞，矩形宽0→，则黎曼和就接近于定积分值。

例一（2012天津高考理科数学，20，第（3）问）证明12

2ln(21)21

n

i n i =<+-∑

（）- *()n N ∈ 分析：本题作为第三小题，原解答使用了第二问的结论，进行构造颇为繁琐，若撇开前两问， 单对此不等式分析，发现12

ln(21)221

n

i n i =⇔<++-∑

原式，左边是分式的累加，右边是对数函数，联想到1ln ||dx x C x =+⎰,因而一个简洁的证明就是取2

21i -的不足黎曼和

证明：1

11

2

222121n n i dx i i ++=>--∑⎰由于 ……① 112222212121

n

n i dx i n x +=∴+<-+-∑

⎰

222

ln(21)2121

n

i n i n =∴+<+-+∑

222ln(21)22121

n

i n i n =∴++2<++-+∑

122ln(21)22121n

i n i n =+<++-+∑即，舍去221n + 即证得12ln(21)221

n

i n i =<++-∑

这样，通过不足近似值逼近时的黎曼和小于相应定积分值，即可轻松证得该和式不等式。 运用黎曼和求证和式不等式时利用的原理是在不足近似逼近中，黎曼和总小于定积分值，而在过剩近似逼近中，又总大于定积分值，利用这一点便可以把和式放大或缩小成一个短小的表达式，从而简化证明过程。

延伸一：由于使用了积分，因而和式不等式左右两边多项式次数差一次时均可考虑使用

而不必局限于从1

ln x x

∑到。

例二...2123n n

+++<*()n N ∈ 分析：左边是1

n

i i =()2F n n =1

n i i =n 曼和证明。

证明：1

2n

n i dx i x

=<⎰ ……② 12

2

22n

i n i =∴<- 2

121n

i n i =∴+< 1

2n

i n i

=∴< 注：这一不等式的更常用证法是利用

21

n n n n =<+- 延伸二：处理与有关的和式不等式，即使左右两边次数相差不为1，也可用黎曼和先放

大（或缩小）一步得到一个短小的表达式，再证该表达式比不等式另一边还要大（或小）

例三：证明：21

112n i n

i

-=>∑ *()n N ∈

分析：不等式左边多项式次数为-1次，右边多项式次数为1次，似乎不可以使用上述方法证

明，但考虑21

11

n i i

-=∑很难处理，不易化简，不易放缩，而且调和级

数是发散的，因而考虑用左边的和式的不足黎曼和比

2

n

还要大的思想来证明。这是除了数学归纳法以外的一种可行的证明方法。

证明：

21

21111

n n i dx i

x -=>∑⎰ …③ 21

11

ln 2,n i n i

-=∴>∑

保留第一

个矩形，其余矩形用黎曼和逼近为定积分

而1

ln 2(ln 2),22

n n n -

=- 2ln 2ln 4ln 1,e =>=

1ln 20,2∴-> 2111ln 22n

i n

n i

-=∴>>∑

可见对于分式和式不等式，即使左右两边多项式系数差值不为1，经过适当变化后得到一个易于处理的中间值，再从中间值证明不等式，效果既快又好，且可以省去归纳法的书写之苦和证明n=k+1时假设成立时需要的放缩，更为方便。

总结：由于黎曼和的极限就是定积分，因而利用黎曼和证得的不等式通常放缩尺度很小，放缩精度很高，不会出现放缩过度的现象。而且这样证明的不等式经常比实际求证的不

等式更强，比如例一的不等式用黎曼和放大后发现求证不等式左边加上2

21

n +不等式依然成

立，比如例三对不等式左边和式用黎曼和缩小后仍然比不等式右边大了1

ln 22

-，这些都说明

使用黎曼和证明一类和式不等式是一种精确度很高的非常好用的和式不等式放缩技巧，在和式表达式易于积分时可以有效优化解题过程。

有关放缩精度的进一步的思考：使用黎曼和证明和式不等式精度很高，而通过对求和

上下限进行调整，我们可以做到更精确地进行和式不等式放缩，从而可以得到一些加强结论 例一的加强结论：如果在222

ln(21)2121

n

i n i n =+<+-+∑

这一步往后不采用两边同时加2来凑出待证不等式，而是

1

123222121n n i i x ++=<--∑⎰11232222213213n n i i x ++=∴+<+--∑⎰ 1

21

122

ln(21)ln 3213

22ln(21)ln 32ln(21)2

21

3n i n i n i n n i +=+=∴<+-+-∴<+-++<++-∑

∑

1

122ln(21)ln 32213n i n i +=∴<+-++-∑ 是比1

22

ln(21)22121n

i n i n =+<++-+∑

+11

2

ln(21)221

n i n i =<++-∑

即更强的一个不等式。完全可以考虑221

ln 3ln 333

e -+

<-+=-，