常微分方程课程简介
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初等积分法. 微分方程基本理论: 解的存在、唯一性，解的延拓， 解关于初植和参数的依赖性. 线性微分方程(组)理论. 微分方程定性理论和稳定性理论简介.
四. 常微分方程的现状
常微分方程定性理论, 稳定性理论,分支理论. 拓扑动力系统,微分动力系统, 各态历经理论, 混沌 理论. 微分方程在各个学科的应用: 非线性科学, (最优、自 动)控制系统，电子学, 微分对策论, 泛函微分方程, 生物数学, 神经网络，通信、服务机构等.
五. 本课程的教学内容及要求
促进微分方程研究的几类物理问题
弹性理论： 一个物体如果在外力作用下 发生变形，而当外力移去时 就恢复原状，我们就说它是弹性的。 问题： 垂直梁与水平梁在外加载荷下所成的形状？Galileo在《关于两 门新学科的对话》中所研究的两门科学之一。Hooke对弹簧的研究 发现了Hooke定律。 问题： 一根悬挂在两固定点的非弹性柔软细绳所取的形状；一根悬挂 在两端的弹性振动弦所取的形状；一根两端固定的杆子在外加载荷 的形状或在振动时的形状。 l d g sin 0 l 问题: 圆周摆的方程为： 摆的近似周期 T 2 g 。摆的问题密 dt 切联系着18世纪的另外两项比较重要的研究：地球的形状与引力的 平方反比定律的验证。
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促进微分方程研究的几类物理问题
问题：天文学二体问题：在太阳的引力作用下，一个单一的行 星的运动；三体问题：月球在太阳和地球引力作用下的形态 。这是由于确定船只在大海中的精度的一般方法，都有赖于 知道月球每时每刻相对于一标准位置（后定为英国的格林尼 治）的方位。为了决定误差不超过1'的格林尼治时间，就需 要知道误差不超过15"的月球位置。 十九世纪的常微分方程： 常微分方程是18世纪在直接回答 物理问题中兴起的，在着手处理更为复杂的物理现象，特别 是弦振动的研究中，数学家得到了偏微分方程。在19世纪， 这两个的地位略有倒转。用变量分离法解偏微分方程的努力 导致求解常微分方程的问题。无穷级数解和特殊函数、 Sturm-Liouville理论、存在定理、奇点理论、非线性方程 ：定性理论等。
十九世纪初,柯西给微积分学注入了严格性的要素, 也为微分方程的理论奠定了一个基石: 解的存在性 与唯一性定理. 十九世纪末, 庞卡莱和李雅普诺夫分别创立了常微分 方程的定性理论和稳定性论. 二十世纪初, 伯克霍夫继承并发展了庞卡莱在天体 力学中的分析方法,创立了拓扑动力系统和各态历经 理论,把常微分方程的研究提高到新的水平. 二十世纪六十年代以后, 常微分方程定性理论发展 到现代微分动力系统的理论.
三. 微分方程论的问题
求 解: 找出微分方程的通解表达式.(微分方程论发 展的古典时期) 研究主题: 尽可能设法把当时遇到的一些类型的微分 方程的求解问题化成积分(求原函数)问题,这类方法 习惯上称为初等积分法. Liouville在1841年证明Riccati方程一般不能通过 初等积分法来解. 定解问题的解: 满足某种指定条件的特殊解. 微分方程的近似解. 解的各种属性的研究.(渐近性质,稳定性等)
在函数方程中含有对未知函数的 积分方程 积分运算或积分号下有未知函数.
二. 微分方程的发展历史
微分方程是与微积分一起成长起来的.(十七世纪末)
是各种精确自然科学中表述基本定律和各种问题的 根本工具之一.(牛顿第二定律, 二体问题, 基尔霍夫定律, 拉 格朗日方程等) 十七至十八世纪在天体力学和机械力学领域有成功 应用. 例如:用微分方程的方法推算出海王星的存在 .(Leverrier, 1846) 十九世纪在天体力学上的主要成就应归功于拉格朗 日对线性常微分方程的工作.
常微分方程课程简介
什么是微分方程? 微分方程的发展历史
微分方程的研究内容
微分方程的现状 本课程的教学内容及要求
一. 什么是微分方程?
方 程 代数方程 超越方程 函数方程 微分方程 含有未知量的等式. 未知量是数. 未知量是函数.
Βιβλιοθήκη Baidu
在函数方程中含有对未知函数的 求导运算或微分运算.
四. 常微分方程的现状
常微分方程定性理论, 稳定性理论,分支理论. 拓扑动力系统,微分动力系统, 各态历经理论, 混沌 理论. 微分方程在各个学科的应用: 非线性科学, (最优、自 动)控制系统，电子学, 微分对策论, 泛函微分方程, 生物数学, 神经网络，通信、服务机构等.
五. 本课程的教学内容及要求
促进微分方程研究的几类物理问题
弹性理论： 一个物体如果在外力作用下 发生变形，而当外力移去时 就恢复原状，我们就说它是弹性的。 问题： 垂直梁与水平梁在外加载荷下所成的形状？Galileo在《关于两 门新学科的对话》中所研究的两门科学之一。Hooke对弹簧的研究 发现了Hooke定律。 问题： 一根悬挂在两固定点的非弹性柔软细绳所取的形状；一根悬挂 在两端的弹性振动弦所取的形状；一根两端固定的杆子在外加载荷 的形状或在振动时的形状。 l d g sin 0 l 问题: 圆周摆的方程为： 摆的近似周期 T 2 g 。摆的问题密 dt 切联系着18世纪的另外两项比较重要的研究：地球的形状与引力的 平方反比定律的验证。
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促进微分方程研究的几类物理问题
问题：天文学二体问题：在太阳的引力作用下，一个单一的行 星的运动；三体问题：月球在太阳和地球引力作用下的形态 。这是由于确定船只在大海中的精度的一般方法，都有赖于 知道月球每时每刻相对于一标准位置（后定为英国的格林尼 治）的方位。为了决定误差不超过1'的格林尼治时间，就需 要知道误差不超过15"的月球位置。 十九世纪的常微分方程： 常微分方程是18世纪在直接回答 物理问题中兴起的，在着手处理更为复杂的物理现象，特别 是弦振动的研究中，数学家得到了偏微分方程。在19世纪， 这两个的地位略有倒转。用变量分离法解偏微分方程的努力 导致求解常微分方程的问题。无穷级数解和特殊函数、 Sturm-Liouville理论、存在定理、奇点理论、非线性方程 ：定性理论等。
十九世纪初,柯西给微积分学注入了严格性的要素, 也为微分方程的理论奠定了一个基石: 解的存在性 与唯一性定理. 十九世纪末, 庞卡莱和李雅普诺夫分别创立了常微分 方程的定性理论和稳定性论. 二十世纪初, 伯克霍夫继承并发展了庞卡莱在天体 力学中的分析方法,创立了拓扑动力系统和各态历经 理论,把常微分方程的研究提高到新的水平. 二十世纪六十年代以后, 常微分方程定性理论发展 到现代微分动力系统的理论.
三. 微分方程论的问题
求 解: 找出微分方程的通解表达式.(微分方程论发 展的古典时期) 研究主题: 尽可能设法把当时遇到的一些类型的微分 方程的求解问题化成积分(求原函数)问题,这类方法 习惯上称为初等积分法. Liouville在1841年证明Riccati方程一般不能通过 初等积分法来解. 定解问题的解: 满足某种指定条件的特殊解. 微分方程的近似解. 解的各种属性的研究.(渐近性质,稳定性等)
在函数方程中含有对未知函数的 积分方程 积分运算或积分号下有未知函数.
二. 微分方程的发展历史
微分方程是与微积分一起成长起来的.(十七世纪末)
是各种精确自然科学中表述基本定律和各种问题的 根本工具之一.(牛顿第二定律, 二体问题, 基尔霍夫定律, 拉 格朗日方程等) 十七至十八世纪在天体力学和机械力学领域有成功 应用. 例如:用微分方程的方法推算出海王星的存在 .(Leverrier, 1846) 十九世纪在天体力学上的主要成就应归功于拉格朗 日对线性常微分方程的工作.
常微分方程课程简介
什么是微分方程? 微分方程的发展历史
微分方程的研究内容
微分方程的现状 本课程的教学内容及要求
一. 什么是微分方程?
方 程 代数方程 超越方程 函数方程 微分方程 含有未知量的等式. 未知量是数. 未知量是函数.
Βιβλιοθήκη Baidu
在函数方程中含有对未知函数的 求导运算或微分运算.