常微分方程课程简介
常微分方程-简介
用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，解 决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基 本的微分方程问题。 学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习后续课 程打下基础。
通过这门课的学习和训练，学习数学建模的一些基本方法。 初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为将来从事相关领域的科学研究工作打下坚实的基础。
常微分方程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象的运动、演化和变化规律最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融
领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程， 如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发 展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场 均衡价格的变化等。
对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分
方程模型的研究。
常微分方程最早出现在数学家们彼此的通信和 一些刊物中 荷兰数学家、物理学家、天文学家 惠更斯(Christiaan Huygens,1629.4—1695.7) 在1693年的《教师学报》中明确提出了微分方程
雅各布〃伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705) 是利用微积分求常微分方程问题解析解的 先驱者之一。在1695年提出了伯努利方程
约翰.伯努利（雅科布之弟，巴塞尔大学医学博士) 在1694年的《教师学报》中对齐次方程的解法 作了更加完整的说明，并首先提出了全微分方程 的概念
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646年－1716年，德国数学家）在1694年 利用变量替换法给出了一阶线性方程的解。 1696年给出证明：利用变量替换,可以把 贝努利方程化为线性方程。
常微分方程第四版
常微分方程第四版在微积分学中，常微分方程是一种描述物理现象的重要工具。
第四版的《常微分方程》进一步深入深入的考察了常微分方程的基本理论，增强了计算机科学和应用数学等新技术的引入，使其更有助于理解微积分中的复杂现象。
1. 内容简介《常微分方程》第四版通过回顾微积分基础知识，深入研究常微分方程的数学特征，介绍各种解决问题的方法，重点介绍线性、非线性和常系数常微分方程的基本原理；着重探讨了代数处理和数值解法，以及它们在实际问题解决中的应用；加强了拓展几何的基本概念的包括质心、矢量场、双曲空间几何等，讨论了与它们相关的解法；进一步引入了现代计算机技术和应用数学，介绍并详细讨论了下类微分方程的解法，为解决实际问题提供了有力的理论支撑。
2. 特色突出《常微分方程》第四版突出了其以下特色：(1)以引进现代计算技术和应用数学为基础，增强了讨论下类常微分方程的精度和灵活性；(2)增加了实例研究量，使读者更容易理解和应用；(3)提供计算机代码的源代码，使读者可以利用它来编写辅导课程补充书中的应用程序；(4) 全面深入的讨论拓展几何、动力学以及物理学问题和模型；(5)改进了压缩法、正则化法等与稳定和计算精度有关的重要技术；(6)详细论述了范数论和最优化理论，进一步提高了计算机介入解题的精准度。
3. 对学生的指导《常微分方程》第四版主要面向高等教育学生，以其良好的思想和方法，指导高年级的学生掌握和运用常微；它还提供了进行复杂非线性和无约束优化计算的解题方法，使学生更加熟悉应用数学及其相关计算技术介入解题；同时，它还介绍了拓展几何、动力学以及物理学等概念，指导学生在实际中灵活运用常微；通过增加实例研究量，学生可以更加深入的理解常微分方程，更容易应用其解决实际中的问题。
常微分方程课程简介
电容: Q C
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：
在闭合回路中，所有支路上的电压的代 数和等于零。
例1 R-L-C 电路 电路1图(1.1)
回路中设R、L及电源
电压E为常数。
当开关S合上后，存在关系式:
E L d I RI 0 dt
即 dI RI E dt L L
数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 量和它们的导数(或微分)间的关系式.
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
Lorenz方程:
dx dt
a(
y
x),
d y
d
t
xz
cx
y,
dz d t
xy
bz.
其中参数a=10,b=8/3,c=28.
传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发展规律、生态 种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率 的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和 分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因 此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且 越来越多的应用于社会科学的各个领域。
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。
面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。
二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。
本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。
（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。
2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。
3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。
4．常微分方程所讨论的基本问题。
第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。
本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。
并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。
（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。
《常微分方程》国家级一流本科课程
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，主要研究函数的导数与自变量的关系。
它广泛应用于物理、工程、生物学、经济学等领域，在现代科学和技术的发展中起着举足轻重的作用。
常微分方程课程作为国家级一流本科课程，不仅具有重要的理论意义，更是对学生培养适应未来科学技术发展需要的基本素质及能力的重要载体。
下面将围绕常微分方程的相关主题进行深入探讨。
一、常微分方程概述常微分方程是指未知函数的若干阶导数与自变量的关系式，通常表示为$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$其中$y$是未知函数，$y'$是$y$对$x$的一阶导数，$y''$是$y$对$x$的二阶导数，$y^{(n)}$是$y$对$x$的$n$阶导数。
通过求解常微分方程，我们可以得到函数$y$的具体形式，这对于研究自然界的现象以及工程技术中的问题具有重要的意义。
二、基本概念1. 常微分方程的阶数：常微分方程中导数的最高阶数称为方程的阶数。
$y''+3y'+2y=0$是一个二阶常微分方程。
2. 解的存在唯一性：对于一阶线性常微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，如果$p(x)$和$q(x)$在某个区间上连续，则存在且只存在一条通过点$(x_0,y_0)$的积分曲线。
3. 隐函数与显函数：当一个方程中含有若干个未知函数的导数时，这种方程称为含有隐函数的方程。
如果这个方程可以表示为每一个未知函数关于独立变量的函数形式，那么这种方程称为含有显函数的方程。
三、基本理论1. 解的存在与唯一性定理：对于线性常系数常微分方程以及一阶常微分方程的初值问题，存在唯一解。
2. 解的表示定理：对于一阶线性常微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以通过积分因子法求得其解的表示形式。
3. 非线性常微分方程：对于一些特殊的非线性常微分方程，我们可以通过变量变换、分离变量等方法求得精确解或者近似解。
常微分方程先修课程
常微分方程先修课程常微分方程先修课程引言：常微分方程作为数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、生物、经济等领域中的数学建模与问题求解中。
作为初学者，学习常微分方程前需要先修的一些数学基础知识是至关重要的。
本文将介绍常微分方程先修课程内容，帮助读者理解并掌握这门重要学科。
一、微积分基础1. 一元函数的基本概念：函数的定义域、值域、极限和连续性等。
2. 导数的概念及其基本性质：包括一阶导数、高阶导数、复合函数求导等。
3. 不定积分和定积分的概念：学习基本的积分法则、换元积分法、分部积分法等。
二、微分方程基础1. 常微分方程的定义和分类：区分常微分方程和偏微分方程，了解常微分方程的一阶和高阶形式。
2. 分离变量法：学习如何将微分方程中的各个变量分离开来，从而简化问题求解。
3. 线性微分方程：研究一阶和高阶线性微分方程的解法，掌握常系数线性微分方程的特解和通解求解方法。
三、高级微分方程1. 高阶常微分方程：学习高阶常微分方程的一般解法，包括特征方程法和变换法等。
2. 线性微分方程组：了解线性微分方程组的概念和求解方法，研究线性微分方程组的特解和通解。
3. 线性非齐次方程：研究线性非齐次方程的特解和通解求解方法，掌握常系数线性非齐次方程的特解形式。
4. 常微分方程的应用：深入了解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用，探究如何将数学与实际问题相结合。
结语：常微分方程是数学中的重要学科，学习它需要一定数学基础。
通过修习常微分方程先修课程，我们可以熟悉微积分基础及微分方程的基本概念和求解方法，为进一步深入学习和应用打下坚实的基础。
希望读者通过本文的介绍，对常微分方程先修课程有更加清晰的认识，并对今后的学习规划有所帮助。
让我们一同投入到这个精彩而充满挑战的学科中吧！。
《 常微分方程 》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110044课程名称：常微分方程英文名称：Ordinary Differential Equation课程类别：专业必修课学时：45学 分：2.5适用对象: 信息与计算科学本科考核方式：考试先修课程：数学分析、高等代数二、课程简介本课程是信息与计算科学专业的专业必修课程。
常微分方程（ODE）涉及经济学、管理学、生物学、工程技术等很多学科，是各学科紧密相连综合交叉的一门新学科。
This course is information and the professional professional required course of calculation science. Often the differential calculus square distance(ODE) involve economics, management to learn, biology, engineering technique's etc. is a lot of academicses, is each academics is close and conjoint comprehensive cross of a new academics.三、课程性质与教学目的通过本课程的理论学习和实践训练，提高学生的常微分方程水平，加深微积分训练，加强与其他数学课、物理、化学、生态学等方面的横向联系，能够全面正确地分析常微分方程在几何、物理、化学等学科应用过程中所出现的问题。
培养学生初步建模的能力，为后续课程的学习打下良好的基础，将来能综合运用所学知识解决问题。
四、教学内容及要求第一章初等积分法（一）目的与要求介绍常微分方程的相关概念，阐述其基本功能、相应的解法和应用等。
1．掌握常微分方程的基本概念；2．掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及它们的联系和解法；3．掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的概念及它们的联系和解法；4. 掌握全微分方程与积分因子的概念和解法；5. 掌握可降阶的二阶微分方程的解法；6. 掌握微分方程的应用方法，能建立一些简单的模型。
同济大学高等数学上册第七章常微分方程
同济大学高等数学上册第七章常微分方程同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程，第七章是关于常微分方程的内容。
常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、经济等领域。
掌握常微分方程的基本理论和解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。
本章内容主要包括：一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系数非齐次方程等。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。
例如，dy/dx = f(x)。
常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。
其中分离变量法是常用的解法之一。
分离变量法的基本思想是将方程两边的变量分离开来，从而达到求解的目的。
二、高阶常微分方程高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。
例如，d²y/dx² + p(x) dy/dx + q(x) y = f(x)。
高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。
常系数线性微分方程是指系数为常数的微分方程，其求解方法相对简单。
三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相关的方程。
例如，dy/dx + p(x) y = q(x)。
一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。
积分因子的选择是使方程两边的未知函数系数相等，从而将方程转化为可积分的形式。
四、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的方程。
例如，dy/dx = f(x)/g(y)。
可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离，然后进行适当的积分得到。
这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方程。
五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐次线性关系的微分方程。
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在函数方程中含有对未知函数的 积分方程 积分运算或积分号下有未知函数.
二. 微分方程的发展历史
微分方程是与微积分一起成长起来的.(十七世纪末)
是各种精确自然科学中表述基本定律和各种问题的 根本工具之一.(牛顿第二定律, 二体问题, 基尔霍夫定律, 拉 格朗日方程等) 十七至十八世纪在天体力学和机械力学领域有成功 应用. 例如:用微分方程的方法推算出海王星的存在 .(Leverrier, 1846) 十九世纪在天体力学上的主要成就应归功于拉格朗 日对线性常微分方程的工作.
初等积分法. 微分方程基本理论: 解的存在、唯一性，解的延拓， 解关于初植和参数的依赖性. 线性微分方程(组)理论. 微分方程定性理论和稳定性理论简介.
促进微分方程研究的几类物理问题
弹性理论： 一个物体如果在外力作用下 发生变形，而当外力移去时 就恢复原状，我们就说它是弹性的。 问题： 垂直梁与水平梁在外加载荷下所成的形状？Galileo在《关于两 门新学科的对话》中所研究的两门科学之一。Hooke对弹簧的研究 发现了Hooke定律。 问题： 一根悬挂在两固定点的非弹性柔软细绳所取的形状；一根悬挂 在两端的弹性振动弦所取的形状；一根两端固定的杆子在外加载荷 的形状或在振动时的形状。 l d g sin 0 l 问题: 圆周摆的方程为： 摆的近似周期 T 2 g 。摆的问题密 dt 切联系着18世纪的另外两项比较重要的研究：地球的形状与引力的 平方反比定律的验证。
常微分方程课程简介
什么是微分方程? 微分方程的发展历史
微分方程的研究内容
微分方程的现状 本课程的教学内容及要求
一. 什么是微分方程?
方 程 代数方程 超越方程 函数方程 微分方程 含有未知量的等式. 未知量是数. 未知量
2 2
促进微分方程研究的几类物理问题
问题：天文学二体问题：在太阳的引力作用下，一个单一的行 星的运动；三体问题：月球在太阳和地球引力作用下的形态 。这是由于确定船只在大海中的精度的一般方法，都有赖于 知道月球每时每刻相对于一标准位置（后定为英国的格林尼 治）的方位。为了决定误差不超过1'的格林尼治时间，就需 要知道误差不超过15"的月球位置。 十九世纪的常微分方程： 常微分方程是18世纪在直接回答 物理问题中兴起的，在着手处理更为复杂的物理现象，特别 是弦振动的研究中，数学家得到了偏微分方程。在19世纪， 这两个的地位略有倒转。用变量分离法解偏微分方程的努力 导致求解常微分方程的问题。无穷级数解和特殊函数、 Sturm-Liouville理论、存在定理、奇点理论、非线性方程 ：定性理论等。
四. 常微分方程的现状
常微分方程定性理论, 稳定性理论,分支理论. 拓扑动力系统,微分动力系统, 各态历经理论, 混沌 理论. 微分方程在各个学科的应用: 非线性科学, (最优、自 动)控制系统，电子学, 微分对策论, 泛函微分方程, 生物数学, 神经网络，通信、服务机构等.
五. 本课程的教学内容及要求
十九世纪初,柯西给微积分学注入了严格性的要素, 也为微分方程的理论奠定了一个基石: 解的存在性 与唯一性定理. 十九世纪末, 庞卡莱和李雅普诺夫分别创立了常微分 方程的定性理论和稳定性论. 二十世纪初, 伯克霍夫继承并发展了庞卡莱在天体 力学中的分析方法,创立了拓扑动力系统和各态历经 理论,把常微分方程的研究提高到新的水平. 二十世纪六十年代以后, 常微分方程定性理论发展 到现代微分动力系统的理论.
三. 微分方程论的问题
求 解: 找出微分方程的通解表达式.(微分方程论发 展的古典时期) 研究主题: 尽可能设法把当时遇到的一些类型的微分 方程的求解问题化成积分(求原函数)问题,这类方法 习惯上称为初等积分法. Liouville在1841年证明Riccati方程一般不能通过 初等积分法来解. 定解问题的解: 满足某种指定条件的特殊解. 微分方程的近似解. 解的各种属性的研究.(渐近性质,稳定性等)