利用定积分定义求和式极限的方法初探
XX年考研资料数学：利用定积分的定义求极限.doc
2018考研数学：利用定积分的定义求极限对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃。
像下面这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”.在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算。
由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间.这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对大家的复习大有帮助!赠送以下资料数学解题方法与技巧全汇总，考试就能派上用场！很多同学总是特别头疼数学成绩，要知道数学题只要掌握了方法，就能够迅速提升。
距离高考还有99天，小编特地为大家整理了一份高中数学老师都推荐的数学解题方法，这里面的21种方法涵盖了高中数学的方方面面，可以说是高中数学解题方法大综合，各位同学一定要记得收藏哦！解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
定积分数学概念和其应用于探求无穷和式极限的研究分析
定积分数学概念和其应用于探求无穷和式极限的研究分析【摘要】目前我国的理工类院校，基本都开设了高等数学学科，而极限作为重要的数学学科重要基础内容之一，其中无穷和式极限计算研究具有非常高的价值，而且应用范围十分广泛，但是也成为了高等数学中的学习难点。
为了正确分析无穷和式极限计算方法，使用了定积分计算法则进行演示，希望为无穷和式极限研究者提供思路。
【关键词】定积分；无穷和式极限；连续函数在进行高等数学的学习过程中，有多种函数极限求值方法，但是如果计算“无穷个无穷小数之和”时，往往无法使用常规计算方法。
正常解题方法，主要先解出前n项无穷数列综合，之后在进行合适极限求解，但是在前n项和无法求出时，就需要使用定积分数学概念进行解析，求出其极限值。
1.定积分概念与分析定积分的概念主要为：预设函数f（x）在规定区间[a，b]上有界和定义，随机取一组分点b=xn>...x2>x1>x0=a，而且需要将[a，b]区间分为数量为n的区间[a，b]=U■■x■，x■，i小区具体长度为△xi=xi-xi-1，（i=1，2，，，，n）.在不同小区的[xi-1，x1]上随机取点ζ1，（i=1，2，，，，n），根据点得出和式∑■■f（ζ■）△x■，该和式可以作为f（x）在区间[a，b]上的积分总和，将其记作‖△x‖=max1<i<n△x1.在‖△x‖→0的情况下，积分和存在极限并且结果相同，可以称函数f（x）与[a，b]区间可积，并且可以称该极限为[a，b]区间上的f（x）函数定积分，可以记作■f（x）dx，以此推导出■f（x）dx=lim■∑■■f（ζ■）△x■。
根据定积分定义可以分为两层含义：其一是f（x）在区间[a，b]上可积，前期是f（x）在区间[a，b]上有界，而且∑■■f（ζ■）△x■与‖△x‖→0必须存在极限，但是f（x）并不需要在区间[a，b]上连续，由此可以证明，如果f（x）与积分区间存在有限或连续的第一类断点，那么就可以证明f（x）在区间[a，b]上是必然可积的。
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２００８，１７（１）：６０～６２． ［２］ 朱正伟，刘东燕，何 敏．进一步加强高校实践教学环节的思考
［Ｊ］．高等理科教育，２００８（２）：７４～７６． ［３］ 励建荣，邓少平，顾振宇等．我国食品质量与安全专业人才教育
。
通过上述四个例题的分析，我们知道数列的ｎ项之和的
分析：此题所研究的和式为ｎ项和的形式，却不易求出 极限可以通过定积分的定义来计算。下面举例说明含有三
该数列的前ｎ项和，所以不能像例１那样先求和再求极限， 角函数数列的ｎ项之和的极限的求法。
而应该用定积分的定义来求。如能找到函数ｆ（ｘ）和区间
例５：求极限
要改变从过去考核实验和实习报告为主的传统考评方法向将来的考核放在学生在实践教学过程中所表现出来的主动性与创新性的综合能?为主的考评方法过渡即对学生的考核包括实验报告和实践总结的撰写水平实验?论的书面考核实践过程的态度操作技能的掌握程度收集整?资?的能?以及观察问题和分析解决问题的能?等充分发挥学生的主观能动性
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
模式的思考与实践［Ｊ］．中国食品学报，２００４，（４）：１０９～１１２．
浅谈用定积分的定义解决极限问题
浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）摘 要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。
我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。
有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。
本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。
关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。
微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。
我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。
而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。
然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。
下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。
我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。
但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。
用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。
要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。
定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-⋯=b ,令i x ∆=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式i ni i n x f I ∆∑==)(1ξ，令{}i ni x x ∆=∆≤≤m a x 1，如果当0→∆i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即i ni i b ax x f dx x f ∆=∑⎰=→∆)()(10lim ξ.其中函数)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[]b a ,称为积分区间。
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
（取左端点时1lim((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n nλ→=--+=∑⎰。
最新和式极限的几种求法 毕业论文名师资料汇编
和式极限的几种求法摘要 和式极限是分析学的基础和重要工具，也是高等数学教学中一个难点.本文着重介绍了利用数列部分和公式求和式极限，利用定积分定义求和式极限，利用幂级数的展开式求和式极限，利用数项级数收敛性等几种求和式极限的方法.关键词 和式极限 数列 积分 无穷级数 1 引言极限是数学分析中非常重要的概念，极限思想始终对于解决分析学中的许多问题起着非常关键的作用，而且和式极限是极限论中的重难点问题.对于如何计算无限多项和式的极限问题，虽然在很多数学教材里均有所涉及，但是少有专题研究它的求法.当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形式(简称无穷和式),就不能用这些常规的方法了.通常是先求出无穷数列前项n 的和,再求和式的极限.但当数列的前n 项的和不易求出时,我们就可以考虑用定积分的定义来求它的极限是微分学的灵魂，极限的计算是极限理论的重要内容.本文将详细地归纳出求解和式极限的几种基本方法和运用相关定理求解和式极限的方法. 2 求解和式极限的几种方法一般而言，求解和式极限有求和、夹逼准侧、定积分的定义以及无穷级数展开式求和等方法，以及应用托布利兹（Toeplitz ）定理和施笃兹（Stolz ）定理求解相关问题，下面以例题的形式介绍一下这几种方法的具体应用. 2.1利用求和的方法求和式极限是指使用初等的方法——数列求和、裂项相消等——求出1nkk a=∑的和，然后再求其极限.例1 求极限222333112(1)lim []nn k n nn n →+∞=-++⋅⋅⋅+∑. 解 222333112(1)lim []nn k n n n n →+∞=-++⋅⋅⋅+∑31(1)(21)lim []6n n n n n →+∞--=⋅13=. 例2 求极限111lim[]1223(1)n n n →+∞++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+.解1111,12223=-⋅⋅11,23=-,⋅⋅⋅1(1)n n ⋅+111n n =-+叠加得111223+⋅⋅1(1)n n +⋅⋅⋅+⋅+11n+1=- 所以lim n →+∞11[1223++⋅⋅⋅+⋅⋅1](1)n n ⋅+ lim n →∞=1(1)n+1-1=. 2.2利用夹逼准则求和式极限需要构造两个和式或数列将要求极限的和式夹在中间，并使得两边的极限相等，这时往往使用放缩的方法.例3 求极限n lim →+∞+⋅⋅⋅+.解≤≤且limn lim1n ==所以n lim 1→+∞⋅⋅⋅+=.例4 求极限lim 0)n x ≥.解（1）当01x ≤≤时，01nx ≤≤，20()12nx ≤≤则1≤又lim1n =，所以当01x ≤≤时，1n = （2）当12x <≤时，01x <<，202x x <≤则x ≤，lim n x →+∞=所以当12x <≤时lim n x = （3）当2x >时，2012x <<，202x x <<则22x ≤≤ 又2lim 2n x = 所以当2x >时2lim 2n x =综上所述21,01lim ,12,22n x x x x x ⎧⎪≤≤⎪=<≤⎨⎪⎪>⎩. 2.3利用定积分的定义求解和式极限和式极限是一个基本的数学问题,由于解法的多样性,也是一个难题.讨论一类用定积分定义求和式极限的方法,同时这种方法充分表现了和式极限与积分这两个不同的数学概念之间的紧密联系,也表现出求和式极限的多样性与灵活性.和式极限是一类基本的极限,其一般的方法是先求和,然后取极限.但是,有些和式求和并非易事,而有些和式甚至不能求和,怎么求它的极限呢?我们知道,“和”与“积分”是有紧密联系的,有些和式极限,在满足特定的条件下,可以转化为积分.一般需要将极限化为11lim ()n n k kf n n →∞=∑的形，然后根据定积分的定义将极限转化为积分1()x f x d ⎰计算.例5求lim n →+∞+⋅⋅⋅+.解 设n S=+1n=+⋅⋅⋅+=11n i n =由此可知，n S可看作()f x =在[0,1]上的积分和式1()niii f x ξ=∆∑其中i ξ=,i n i x ∆=1n,(1,2,),i n =⋅⋅⋅于是 原极限1x ==⎰1ln(xln(1=.例6求极限limn 解令n a ==则11ln ln(1)n n k k a n n==+∑有11lim lim ln(1)n n n n k ka n n →+∞→+∞==+∑10ln(1)2ln 21x x d =+=-⎰所以limn2ln 214e e -==.2.4利用幂级数展开式求和式极限讨论由幂级数列0{()}n n a x x -所产生的函数项级数200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (1)它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它是可以看作室多项函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别是在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有很多新的了解和认识.下面将着重讨论00x =.即：20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑（2） 的情形，因为只要把（2）中的x 换成0x x -，就得到（1）.（阿贝尔定理）若幂级数（2）在0x x =≠收敛，则对满足不等式||||x x <的任何x ，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在x x =时发散，则对满足不等式||||x x <的任何x ，幂级数（2）发散.在函数的幂级数(特别是麦克劳林)展开式中，选取适当的x 值，即可能转化为通过论数列级数的收敛性求和极限.例7 计算12lim[]2!3!(1)!n n n →+∞++⋅⋅⋅++即计算1lim (1)!nn k kk →+∞=+∑.解 21112!!xn e x x x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 2001112!!x x xn x x e d x x x d n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⎰⎰211112!!(1)!n n x x x x n n +=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 1x e =-在上两式中令1x =得111112!3!!e n =++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅01!k k ∞==∑ （3）01111112!3!!(1)!k e n k ∞=-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+∑ （4）（3）—（4）得001111lim ()!(1)!(1)!n k k k kk k k ∞∞∞→∞====-=++∑∑∑ 所以12lim[]12!3!(1)!n nn →+∞++⋅⋅⋅+=+.例8 求2331313(1)3lim[()()()()]43454214n n n n →+∞--+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-，收敛域[.解 令 211(1)3()()214n n n n s x x n ∞-=-=⨯-∑2101(1)3[()]'214n xn n x n x d n ∞-=-=⨯-∑⎰ 220113[(1)()]4xn n x n x d x ∞==-⨯∑⎰ 222013()34xx x d x x -=+⎰x = 取1x =，即得1(1)3(1)()214n nn s n ∞=-=⨯-∑x =. 2.5利用傅里叶级数展开式求和式极限一般地说，若f 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数，则可按公式1()cos ,0,1,2n xa f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰ 1()sin ,0,1,2n xb f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰计算出n a 和n b ，它们称为函数f （关于三角函数系）的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑称为f （关于三角函数系）的傅里叶级数，记作01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑.这里的记号“→”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数.由公式知道，若01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑得右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数f 的傅里叶级数，即此时01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑中的“→”号换成等号.然而，若从以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数f 出发，按公式:1()cos ,0,1,2n xa f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰1()sin ,0,1,2n xb f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑，这时还需要讨论此级数是否收敛.如果收敛，是否收敛于f 本身.在函数的傅氏（特别是正、余弦）展开式中在其收敛域内选取适当x 的值，即可转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限.例9 求211limnn k k→+∞=∑. 解 将()2||f x x =+在[1,1]-展开成余弦级数1002(2)5x a x d =+=⎰102(2)cos()n x a x n x d π=+⎰1cos()x x n x d π=⎰222(cos 1),(0,1,2)n n n ππ-==⋅⋅⋅因为所给函数在[1,1]-上满足狄氏收敛定理 因此()2||f x x =+22152(cos 1)cos()2n n n x n πππ∞=-=+∑22154cos(21)2(21)n k xk ππ∞=+=-+∑ [1,1]x ∈- 令0x =时，则22154cos(21)22(21)n k xk ππ∞=+=-+∑ 所以2201(21)8k k π∞==+∑ 222000111(21)(2)k k k n k k ∞∞∞====++∑∑∑ 2201111(21)4k n k n ∞∞===++∑∑ 故22001413(21)k k nk ∞∞===+∑∑ 2438π=⋅26π=. 例10 计算121(1)lim k nn k k +→+∞=-∑. 解 将2()2f x x =在[,]ππ-展开成余弦级数22002423x a x πππ=⎰d =220282cos (123)nn x a x nx n nππ==⋅⋅⋅⎰d =(-1)，，， 且该余弦级数在[,]ππ-满足狄利克莱充分条件，因此:22128()(1)cos 3n f x nx n π∞==+-∑ [,]x ππ∈-令0x =，则0=22128(1)3n n π∞=+-∑ 所以122111(1)12n n n π∞+=-=∑ 故121(1)lim k nn k k +→∞=-∑2112π=. 另外，2211lim (21)8nn k k π→+∞==-∑，2211lim 6nn k kπ→+∞==∑. 2.6利用数项级数收敛性求和式极限1nn u∞=∑收敛的充分必要条件是lim n n S →∞存在.因此可以通过讨论数项级数的收敛性和式n S的极限.一般地，可以将所给和式扩充为一个级数来讨论，也可以通过讨论某级数的收敛性来求和式的极限.例11 计算2lim (cos cos 2cos )nn q q q n ααα→+∞++⋅⋅⋅+及2lim (sin sin 2sin )n n q q q n ααα→+∞++⋅⋅⋅+(||1)q <.解 首先讨论1nim n qe α∞=⋅∑的收敛性：因为1nim n qeα∞=⋅∑为等比数列，且||||||1i r qe q α==<所以1nim n qe α∞=⋅∑收敛且其和为(cos sin )1(1cos )sin i i qe q i Z qe q iq αααααα+==--- 2222{(1cos )cos sin (1cos )sin qq q q q ααααα=---- [(1cos )sin cos sin ]}i q q αααα+-+222cos sin 12cos 12cos q q q iq q q q αααα-=++-+- 又11(cos sin )nim n n n qeq n i n ααα∞∞==⋅=⋅+∑∑22(cos cos2cos )(sin sin 2sin )n n q q q n i q q q n αααααα=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅22lim (cos cos 2cos )lim(sin sin 2sin )n n n n q q q n i q q q n αααααα→+∞→∞=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+所以222cos lim (cos cos 2cos )12cos nn q q q q q n q q ααααα→+∞-++⋅⋅⋅+=+- 22sin lim (sin sin 2sin )12cos n n q q q q n q q ααααα→+∞++⋅⋅⋅+=+-.2.7利用等价无穷小替换求和式极限定理 若()0F x >0(),lim1,()x F x f x →=则当,,0k n n a →∞→时 ,,11lim ()lim ()n nk n k n n n k k F a f a →∞→∞===∑∑.例12 求)n n →∞.解因为n1)1)1)=++⋅⋅⋅+11)nk==∑令1()1,()2F x f x x==则()lim1()xF xf x→=当,2,0,(1,2,,)k nkn a k nn→∞=→=⋅⋅⋅故原式)nn→∞211lim1)lim2n nn nk kkn→∞→∞====∑∑2(1)lim4nn nn→∞+=14=.例13求22212lim()nn n nna a a n→∞++⋅⋅⋅+-(0)a>.解因为22212nn n na a a n++⋅⋅⋅+-12(1)(1)(1)nn n na a a=-+-+⋅⋅⋅+-21(1)knnka==-∑令()1,()lnxF x a f x x a=-=则()lim1()xF xf x→=当,2,0,(1,2,,)k n kn a k n n→∞=→=⋅⋅⋅ 故原式2211lim(1)lim ln k nnn n n k k ka a n→∞→∞===-=∑∑2(1)1ln lim ln 22n n n a a n →∞+==. 2.8构造母函数求和式极限母函数法是一种生产函数法，它充分具体现了由特殊到一般及由一般到特殊的关系，把问题“化整为零”，把分散的问题归总起来，可收“事半功倍”之效.例14 求证123lim[]22482n n n→∞+++⋅⋅⋅+=. 证明 构造1,2,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的母函数，即231()23nnn f x x x x nx nx∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑，亦即()f x 是1nn nx∞=∑的和函数由,11()n n f x x nx ∞-==∑有=11()n n f x nx x ∞-=∑积分得1100111()1()1xx x n n n x x x n n n f x d nx d nx d x x x ∞∞∞--=======-∑∑∑⎰⎰⎰ (||1)x < 再微分得21(),(1)f x x =-故有2()(1)xf x x =- (||1)x <取1,2x =即得 21111232()lim lim[]21222482(1)2k n n n n k n f ∞→∞→∞===+++⋅⋅⋅+==-∑. 2.9利用托布利兹（Toeplitz ）定理求和式极限托布利兹（Toeplitz ）定理 若()lim1()n x x φϕ→∞=其中()0x ϕ>且当n →∞时，20(1,2,).ik i n n→=⋅⋅⋅则有1212lim[()()()]lim[()()()]n n nn n n nn n n a a a a a a φφφϕϕϕ→∞→∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.例15 求极限2222lim[sinsin sin ]n k k nkn n n →∞++⋅⋅⋅+.解 因为sin lim 1,x x x →∞=而且当n →∞时，20(1,2,)iki n n→=⋅⋅⋅又因为2222lim[sin sin sin ]n k k nk n n n →∞++⋅⋅⋅+2(1)2lim 2n n n kk n →∞+== 由利用托布利兹（Toeplitz ）定理即得：2222lim[sinsin sin ]n k k nk n n n →∞++⋅⋅⋅+2k=. 例16 求极限22212lim()nn n n n a a a n →∞+++- (0)a >.解 我们知道11lim()1ln x x a x a→∞-⋅= 当n →∞时2ln 0(1,2,)ia i n n →=⋅⋅⋅ 又因为222121lim[()ln ]ln 2n n a a n n n →∞++⋅⋅⋅+= 因而由由利用托布利兹（Toeplitz ）定理即得222121lim()ln 2nn n n n a a a n a →∞+++-=. 2.10利用施笃兹（Stolz ）定理求和式极限施笃兹（Stolz ）定理设{}n x 和{}n y 是两个数列，若满足条件： 1)存在自然数，当0N n >时 1;n n y y +> 2) lim n n y →∞=+∞;3) 11limn nn n nx x y y +→∞+--存在（有限或者是±∞）.则11limlim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-=-.例17 求极限1111lim(1).ln 23n n n →∞+++⋅⋅⋅+解 令1111,ln 23n n x y n n=+++⋅⋅⋅+=由施笃兹（Stolz ）定理即得1111lim(1)ln 23n n n →∞+++⋅⋅⋅+11lim lim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-==-11lim ln(1)ln n n n n→∞+=+-111lim11ln ln(1)n n en→∞+===+.结束语本文系统地阐述了求解和式极限的几种方法，并以例题的形式给出示范.正文中主要提到10种求解方法，前面8种是常见的基本方法，而后面两种是通过对托布利兹（Toeplitz ）定理和施笃兹（Stolz ）定理的巧妙应用来求解和式极限的.当然求解和式极限的方法远远不止这10种，所以需要大家共同去探索研究.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M],北京:高等教育出版社,2001. [2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉:崇文书局,2003.[3] 朱小红,关于和式极限求法的探讨[J],武汉工程职业技术学院学报,19：1(2007),74-76. [4] 翟龙余,一类和式极限的求解[J],宜春学院学报,30：4(2008),20-22. [5] 陈传璋,数学分析[M], 复旦大学出版社,1983.[6] 佐里奇,Mathematical Analysis [M],世界图书出版公司2006.Several Ways to Evaluate the Sum LimitAbstract The sum limit is the foundation and an important tool of analysis, it is also a difficult point in higher mathematics teaching. This paper mainly introduces several ways to evaluate the sum limit , namely, the evaluation by using the partial sum formula of sequence of number, the evaluation by using the definition of definite integral, the evaluation by using the expanded form of power series, the evaluation by using the convergence of series of constant term, etc.Keywords sum limit sequence of number integration infinite series。
定积分定义中的黎曼和,其极限就是后面的定积分
定积分定义中的黎曼和,其极限就是后面的定积分标题：定积分定义中的黎曼和及其极限一、引言数学是一门抽象的科学，它以符号语言表达出对自然现象的理解。
在高等数学中，定积分是其中的一个重要概念，其背后蕴含着深厚的理论基础与丰富的实际应用。
本文将以定积分定义中的黎曼和作为主题，探讨其与定积分的关系以及它们在数学领域中的重要性。
二、黎曼和的概念黎曼和，是以德国数学家伯恩哈德·黎曼命名的一种求和方法，它是计算定积分的基础。
对于一个函数f(x)在[a,b]区间上的黎曼和，我们可以将其分割成n个小区间，并取每个小区间的左端点或右端点为参照点，然后用函数值乘以小区间的宽度，最后将所有这些乘积相加起来，就得到了黎曼和。
三、黎曼和与定积分的关系定积分是对函数曲线下面积的精确计算，而黎曼和则是这个过程的一个近似计算方法。
当我们将区间[a,b]分割得越来越细，即n越来越大时，黎曼和就会越来越接近于函数曲线下面积的真实值，这就是定积分的定义。
简单来说，定积分就是黎曼和的极限。
四、定积分的定义根据上述讨论，我们可以给出定积分的正式定义。
设f(x)是一个定义在闭区间[a,b]上的函数，如果存在一个实数A，使得对于任意正数ε，都存在一个正数δ，只要将区间[a,b]分割成n个小区间，且每个小区间的长度小于δ，那么对应的黎曼和与A的差的绝对值小于ε，那么我们就称A为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^b f(x)dx=A。
五、黎曼和的性质黎曼和具有以下一些重要的性质：1. 线性性：若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，那么cf(x)+dg(x)也在[a,b]上可积，且有∫_a^b (cf(x)+dg(x))dx=c∫_a^b f(x)dx+d∫_a^b g(x)dx。
2. 非负性：若f(x)≥0，则∫_a^b f(x)dx≥0。
3. 保号性：若f(x)≤g(x)，则∫_a^b f(x)dx≤∫_a^b g(x)dx。
定积分定义求极限
定积分定义求极限极限问题是数学中最复杂的概念之一，也被称为极值问题。
极限定义是指对于一个给定的积分序列来说，如果它的值越来越接近但并不等于某个预定值，那么这种积分序列就称为极限值。
通常，极限定义是用户在计算特定函数在特定点处的极限时使用的术语。
当极限值存在时，它具有极大的意义，因为它提供了某种参考，在这种参考范围内某种情况下可以获得有效的结果。
这是极限定义相关的基本概念，它提供了理论基础，用来分析函数的变化。
为了理解极限定义，我们需要考虑一个问题的两个基本要素-函数和X轴上的点。
下面我们将看一个简单的例子，以确定某种函数f（x）在X轴上的某点的极限：当x 的值趋于某一值a时，f（x）的值会趋于L，当此时，积分L就是定义函数f（x）在x = a处的极限L。
使用极限定义可以帮助用户更清楚地理解特定函数在特定点处的变化，在解决一些复杂的计算问题时做出适当的判断。
比如，在处理运动学问题方面，用极限定义可以清楚地分析函数的变化，以便找出最合适的解决办法。
然而，在推理过程中，用户必须深入考虑，及时找出相关问题的合适范围，以便正确理解函数在特定点下的变化以及极限值。
正确理解极限问题需要严格的推理过程，因此有时用户会遇到一些困难。
因此，当解决极限问题时，用户可能需要从几何图象、推导或证明角度出发，以便从完整的数学角度来推理极限值的变化。
极限定义是一个涉及高级数学的复杂概念，它可用于分析特定函数在特定点处的极限。
当极限存在时，它为我们提供了一些参考，用来确定特定情况下特定函数变化的范围。
在极限定义的正确理解和应用方面，用户需要从证明角度、几何图象角度以及其他角度出发，从而从整体的角度理解极限值的变化。
定积分定义求极限公式
考研数学——定积分定义求极限众所周知，2021年考研数学大纲进行了很大的调整，很多知识点的要求也更加深刻，其中对于定积分定义求极限部分的要求也有了很大提高，如果同学们对定积分定义求极限的复习还停留在最基本的公式层面是远远无法满足考试的要求的，而且从调整后的真题也能反映出来，考试对这一内容的要求是更加灵活的，这就需要大家对定积分的定义有着深刻的理解。
1）用定积分定义求极限基本思路：再由分部积分求定积分，上述方法属于定积分定义求极限的基本方法，但这还远远不够，接下来我们介绍这一公式在目前考研中的变化方向。
2）两个变形方向①积分区间的变化：前文中我们说了，一般情况下积分区间是，但是考试这一块是可以灵活变化的。
针对这种情况，可以先用上述公司把定义写成原始积分，再对区间进行调整。
此时，我们发现选项中没有对应选项，区别是选项中的区间都是，此时我们就需要调整积分区间，即积分上下限，换元即可，令T=1+X 可得：【解析】由上述公式知此题取的算术平均值，故直接选出B选项。
此题划分方式的变化较简单，我们再来看其他形式。
【解析】（1）式，显然是原始公式，即右端点，正确。
（2）式，对应的是算术平均值，正确。
（3）式，对应的是左端点，正确。
（4）式，将区间划分成段2n段，仍然选取右端点，正确。
（5）式，对应几何平均值，正确。
（6）式，对应调和平均值，正确。
故选D。
根据以上的讲解，相信大家能够发现，定积分定义求极限的变化方向多，灵活度广，就需要大家在学习中，一方面能够深刻理解微元法的思想及定积分定义的内容，另一方面也要掌握其中变形的方向和技巧，且备综合应用能力。
以此类推其他考点，也希望大家在学习中能够全面的把握知识点并结合考试要求进行理解和学习。
考研数学专题 利用定积分的几何意义求和式极限
前言： 在本专题之前，应该初步掌握定积分的定义及其几何意义，详细内容见同济
版教材相关内容，此处不再赘述。在此基础上，通过几道经典的题目来进一步熟 练掌握利用定积分的定义来求相对简单的和式的极限。最后，在上述基础上熟练 掌握利用“夹逼准则+定积分的定义”的方法计算早年考研数学中曾出现过的所 谓的“复杂和式的极限”。
（A）
lim
n
n k 1
g
4k 4n
1
1 2n
（B）
lim
n
2n k 1
g
2k 2n
1
1 n
（C）
lim
n
2n k 1
g
k 1 2n
1 n
（D）
lim
n
n k 1
g
4k 4n
1
1 n
四． 总结 本专题介绍的内容是定积分内容当中相当重要的问题，该问题的核心在于深
刻理解定积分的定义与其几何含义。并且能够进行恰当的放缩。而且可以考虑到 夹逼准则和定积分的综合运用。这是考研数学中的一个重点内容，也是一个难点 内容。但只要认真思考，仔细体会，一定能有所突破。
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)
2
lim
n
1 n
(ln
1
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)
n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是 ，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
利用定积分定义求和式极限问题的探讨作者：陈小蕾来源：《成才之路》2009年第16期摘要:无限多项和式的极限求解具有一定的难度。
本文用具体例题形式给出了利用定积分求解和式极限的常用方法.关键词:和式;积分;极限在一般的规律总结中,通常把极限的求法总结为十种具体的求解方法。
利用定积分来求和式极限的方法在总结中常常被忽略掉,因为这种方法具有很强的针对性。
为了对加深对积分概念的理解,很有必要对种方法进行讨论归纳。
例1 求极限。
解:因为ln=ln=ln•=lnxdx=-1,所以=e=e=e-1极限问题转化为,把[0,1]区间n等分,?孜取,的右端点(即?孜=),由函数f(x)=lnx构成的积分和f•的极限, 再根据积分定义转化为定积分求解。
一般情况下只要符合定积分定义和式结构都可以利用定积分来进行求解,积分限的选取需要由函数结构本身和极限和形式来定,恰当的选择积分限可以简化运算.若能和其他求解极限方法结合效果会更好。
例2 求极限sin[na+i(b-a)]p (p>0,a解:因n→∞时,sin~,所以sin[na+i(b-a)]p=[na+i(b-a)]p =[a+(b-a)]p •=xpdx=。
这里取f(x)=xp,区间为[a,b],极限转化为xpdx。
若取f(x)=[a+(b-a)x]p,区间为[0,1],极限转化为[a+(b-a)x]pdx。
后者较前者稍显复杂。
在历年的考研数学中也曾多次出现过利用定积分来求解极限和的形式,下例就是在考研数一中出现的题型。
例3 求极限++…+。
解:利用夹逼原理:sin+sin+…+sin?仔?燮++…+?燮sin+sin+…+sin?仔。
三端同时取极限有sin+sin+…+sin?仔=•sin=,又sin+sin+…+sin?仔=sin= ,故有++…+=。
有些特殊的和的极限可以利用二重积分的定义求解。
例4 计算 (5m4-18m2k2+5k4)。
解:(5m4-18m2k2+5k4) =5-18+5•= (5x4-18x2y2+5y4)d?滓=dx(5x4-18x2y2+5y4)dy=(5x4-6x2+1)dx=0 ,其中D={(x,y)=|0≤x≤1,0≤y≤1｝。
最新专题1——利用定积分定义求极限 (1)
专题1——利用定积分定义求极限(1)专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1ni =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n--++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()nb a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。
专题1——利用定积分定义求极限-(1)
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n -（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n-+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n--+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i nξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。
利用定积分定义求极限的几种情况探析
利用定积分定义求极限的几种情况探析
孙长军
【期刊名称】《广西民族师范学院学报》
【年(卷),期】2012(029)003
【摘要】The definite integral definition is defined by the limit, while some limits are also frequently salved by the definition of definite integra- tion. This thesis studies several kinds of limit questions which can be solved by the definition of definite integration and some other complex limit problems with the theorem.%定积分定义是用极限定义的，反过来一些极限也常常用积分的定义来求。
讨论几种常见的用定积分定义能求的极限问题，并结合夹逼定理解决一些比较复杂的极限问题。
【总页数】3页(P8-10)
【作者】孙长军
【作者单位】连云港职业技术学院数学教研室,江苏连云港222000
【正文语种】中文
【中图分类】O212.1
【相关文献】
1.工科定积分定义求极限教学 [J], 朱夺宝;
2.利用定积分定义求无穷项和式的极限 [J], 冯佳宾;
3.利用定积分的定义求极限 [J], 陈桂东
4.利用定积分定义求极限的新方法 [J], 殷峰丽
5.定积分定义在证明和求极限中的应用 [J], 曾静;程珍珍;耿立刚
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利用定积分定义求解极限问题小议
利用定积分定义求解极限问题小议
陈小蕾
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2008(11)6
【摘要】和式的极限求解具有一定难度,在具体求解过程中很难套用常规的基本方法.根据其结构的特殊性,通过对几个典型例题的具体讨论,发现可以利用定积分的定义来求解这一类和式的极限.对这种基本方法进行归纳总结,从而可获求此类型极限问题的针对性解决方案.
【总页数】2页(P60-61)
【作者】陈小蕾
【作者单位】西北农林科技大学理学院,陕西杨凌,712100
【正文语种】中文
【中图分类】O172
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1.利用定积分定义求无穷项和式的极限 [J], 冯佳宾;
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3.利用定积分的定义求极限 [J], 陈桂东
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由上述两例求解可知 ! 将和式极限化为某一积 分形式关键在于确定被积函数和积分区间 ! 且二者 是相互关联的 ! 若和式 中 有 公 因 子 ! ! 或 经 变 换 后 " 出现公因子 ! !这时可以选取积分区间为/" ! !0 $
收稿日期 !.((3,).,.1
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由上例中所述的方法" 可以确定出被积函数
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作者简介 ! 兰光福 %)531, &" 男 " 畲族 " 福建省南平工业技术学校讲师 " 主要从事数学教学与研究 )
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参考文献
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参考文献 ! ! 马 菲赫金哥茨 著 "吴亲任 #陆秀丽译 $数学分析原理 %$ !"# 格
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