垂径定理练习题
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
垂径定理练习题4套
1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。
7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。
9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。
1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
垂径定理练习题及答案
1．△ ABC中 , AB=6cm , ∠ A=30° , ∠ B=15° , 则△ ABC绕直线 AC旋转一周所得几何体的表面积为 ____
2．一个圆锥的高为 10 3 cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是 3．已知圆锥的母线长是 10cm，侧面展开图的面积是 60π cm2，则这个圆锥的底面半径是
）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为 ( )
A． 5 米 B ． 8 米 C ． 7 米 D ． 5 3 米
3、如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， AB=6，则圆环的面积是 _____________
1．在三角形 ABC中， BC=14， AC=9， AB=13，它的内切圆分别和 BC、 AC、 AB切于点 D、 E、 F，求 AF 、 BD、 CE的长。
第 1 题图 4．如图，已知在△ 切线；
第 2 题图
第 3 题图
ABC中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O交 AC于点 F，交 BC于点 D，DF⊥ AC于点 F．求证： DF 是⊙ O的
2．如图所示， 已知 PA、PB切⊙ O于 A、B 两点，C是上一动点， 过 C 作⊙ O的切线交 PA于点 M，交 PB于点 N，已知∠ P=56°， 求∠ MON的度数。
A、 B、C 三根木柱，使得 A、 B 之间的
距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC长为 240 米， A 到 BC的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半
九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)
答案：B 解析：解答：：∵AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D， ∴AD=BD=
1 AB（垂径定理）， 2
∴AB=2AD， 在 Rt△ADO 中，OD⊥AB 于 D，若 AO=10，OD=6， ∴AD= AO2 ‒ OD2 = 102 ‒ 62 = 8（勾股定理）； ∴AB=16． 故选 B． 分析：先根据勾股定理求出 AD 的长，再根据垂径定理求出 AB 的长． 8、 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB 于 点 E， 连 接 OC， 若 OC=5， CD=8， 则 tan∠COE=（ ） A．
11、 如 图 ， ⊙O 过 点 B、 C， 圆 心 O 在 等 腰 Rt△ABC 的 内 部 ， ∠BAC=90°， OA=1， BC=6．则⊙O 的半径为（ ） A．6 B．13 C． 13 D．2 13
答案：B 解析：解答：如图：
过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∵OC 过圆心 O，AB=24， ∴AC=BC=
1 AB=12， 2
AO2 ‒ AC2 = 132 ‒ 122=5．
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC= 故选：B．
分析：过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可． 6、如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB⊥OC 于 C，AB=2 3，则 OC 等于（ ） A．2 2 B. 3 C．1 D．2− 3
答案：B 解析：解答：如图：
连接 OA， ∵⊙O 的直径为 10， ∴OA=5， ∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4， 由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，AM= 由勾股定理可得，AM=3，所以 AB=6． 故选 B． 分析：先根据垂径定理求出 AM=
1 AB， 2Байду номын сангаас
(完整word版)垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
(完整版)垂径定理练习题及答案
垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41 答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米O图 4E DCBA答案：63 cm★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：63 cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 答案：5★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：217★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm PBAO答案：6★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米BAPOyx答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
垂径定理(含答案)
9题10题11题5题6题《垂径定理》练习题1.半径为8的圆中，垂直平分半径的弦长为 。
2.⊙O 的半径为6，M 为⊙O 内一点，OM=4，则过点M 的所有弦中，最长的弦长为 ,最短的弦长为 。
3. 如图，⊙O 的AB 垂直平分半径OACB 的形状为 。
4.如图，⊙O 中，AB ⊥AC ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，且OE=3,OF=4,则AB= ,AC= ,⊙O 的半径R= 。
5.如图，⊙O 中，AB 为弦，AB=8m,直径为10cm ，若M 为弦AB 上一点，则OM 的长x 的取值范围为 。
6.如图，⊙O 中，AB 为弦，且AB=421 cm ，sin ∠OAB=25,则⊙O 的半径为 。
7.如图，AB 是半径为15cm 的⊙O 中的一条弦，交半径为13cm 的同心圆于点C 、D 两点，已知，O 到AB 的距离为12cm,则AC+BD= 。
8.如图，有一条圆弧形拱桥，桥的跨度AB=16m,拱高CD=4m ，则拱形的半径为 。
9.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加一个条件 ，就可以得到M 为AB 的中点。
10.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于点B ，现测得PB=4cm,AB=10cm, ⊙O 的半径R=13cm,此时P 点到圆心O 的距离是 。
11.如图，已知AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,则⊙O 的半径为 。
12.如图，水平放置的圆柱形水管的截面半径为5dm,水面宽AB 为6dm,则此时水深为 。
13.⊙O 的半径为13cm ，E 为⊙O 内一点，OE=5cm,则过E 点的所有弦中，长度为整数的弦有 条。
14.⊙O 中弦AB 与弦CD 垂直于点P ，且AP=PB=4cm,PC=2cm,则⊙O 的直径为 .15.已知P 为⊙O 内一点，且经过P 点的最长弦长为26cm, 过P 点的最短弦长为10cm ，则OP= 。
垂径定理练习题及答案
垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8答案：D★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位D．15个单位答案：B★★5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD ，则直径AB的长是（）A．B．C．D．答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米图 4答案：★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.答案：★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB 于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0) ★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cmPBAO答案：6★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB 于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米答案：5★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米 答案：7或1★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
垂径定理练习题
垂径定理一、选择题（共9小题）1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．C．D．【答案】B【解答】解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，而OB＝OC，∴∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝．故选：B．2．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，∵OB＝5，OD＝3，∴BD＝4，∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝∠BOD，∴tan A＝tan∠BOD＝＝，故选：D．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE＝4，∴AB＝2BE＝8．故选：D．4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE＝BE B．＝C．OE＝DE D．∠DBC＝90°【答案】C【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∴AE＝BE，＝，故A、B正确；∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，故D正确．故选：C．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE＝BE B．＝C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【答案】B【解答】解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE＝CE，＝，根据已知不能推出OE＝BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选：B．6．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD 的长为（）A．3B．6C．6D．12【答案】C【解答】解：连结OC交BD于E，如图，设∠BOC＝n°，根据题意得2π＝，得n＝60，即∠BOC＝60°，而OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C＝60°，∠OBC＝60°，BC＝OB＝6，∵BC∥OD，∴∠2＝∠C＝60°，∵∠1＝∠2（圆周角定理），∴∠1＝30°，∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，∴BE＝DE，在Rt△CBE中，CE＝BC＝3，∴BE＝CE＝3，∴BD＝2BE＝6．故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【答案】B【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．8．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④【答案】B【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D＝30°，∴∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AOB＝60°，∵点A是劣弧的中点，∴BC＝2CE，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB＝6cm，∴BE＝AB•cos30°＝6×＝3cm，∴BC＝2BE＝6cm，故②正确；∵∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝，故③正确；∵∠AOB＝60°，∴AB＝OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC＝AB，∴AB＝BO＝OC＝CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选：B．9．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1．则的长是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，∵△ACE中，AC＝2，AE＝，CE＝1，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sin A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠COE＝60°，∴＝sin∠COE，即＝，解得OC＝，∵AE⊥CD，∴＝，∴＝＝＝．故选：B．二、填空题（共16小题）10．如图，圆O的直径CD＝10cm，AB是圆O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8cm，则sin∠OAP＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB⊥CD，∴AP＝BP＝AB＝×8＝4cm，在Rt△OAP中，OA＝CD＝5，∴OP＝＝3，∴sin∠OAP＝＝．故答案为：．11．在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD＝4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝×1×4＝2．故答案为：2．12．如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB＝33°，则∠OBC的大小为24度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OA⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝33°，∴∠AOB＝2∠ACB＝66°，∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝24°．故答案为：24．13．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点C．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆心是弦EF和弦FG的中垂线的交点，是C．故选C．14．如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝2，则∠BAC的度数为60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结OB、OC，作OD⊥BC于D，如图，∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝，在Rt△OBD中，OB＝OA＝2，BD＝，∴cos∠OBD＝＝，∴∠OBD＝30°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故答案为60°．15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为2cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结OB，如图，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2（cm）．故答案为：2．16．⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，∴AD⊥BC，∴BD＝BC＝，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2＝OB2，即（）2+OD2＝22，解得OD＝1，∴当如图1所示时，AD＝OA﹣OD＝2﹣1＝1；当如图2所示时，AD＝OA+OD＝2+1＝3．故答案为：1或3．17．如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△AOC中，OA＝5，∴OC＝＝＝3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．18．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC＝α，则sinα的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，在Rt△BCE中，BE＝＝2，∴sinα＝＝＝．故答案为：．19．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB＝12cm，则CD＝2cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，∴OA＝OC＝10cm，AD＝AB＝×12＝6cm，∵在Rt△AOD中，OA＝10cm，AD＝6cm，∴OD＝＝＝8cm，∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2cm．故答案为：2．20．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝5，∵CD⊥AB，CD＝8，∴CE＝4，∴OE＝＝＝3．故答案为：3．21．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD ＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，∵∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∵CD⊥AB，∴DE＝CE，在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝R﹣2，OD＝R，∵cos∠EOD＝cos60°＝，∴＝，解得R＝4，∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝OE＝2，∴CD＝2DE＝4故答案为：4．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则OE＝4cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CD⊥AB∴CE＝CD＝×6＝3cm，∵在Rt△OCE中，OE＝cm．故答案为：4．23．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则P A+PC的最小值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．根据垂径定理，得到BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC＝7，则P A+PC的最小值为．故答案为：24．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是4．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．故答案为：4．25．如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6 cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△CAG，由于C、D为直径AB的三等分点，∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG＝∠BDF＝60°，∵∠ECB＝60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴＝，在Rt△ONC中，∠OCN＝60°，∴ON＝sin∠OCN•OC＝•OC，∵OC＝OA＝2，∴ON＝×2＝，∴AM＝2，∵ON⊥GE，∴NE＝GN＝GE，连接OE，在Rt△ONE中，NE＝＝＝，∴GE＝2NE＝2，∴S△AGE＝GE•AM＝×2×2＝6，∴图中两个阴影部分的面积为6，故答案为：6．三、解答题（共5小题）26．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠OEF＝90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC＝90°，而∠EOF＝∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF＝OF：OC，即4：6＝6：OC，∴⊙O的半径OC＝9；在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，∴CF＝＝3，∵OF⊥CD，∴CF＝DF，∴CD＝2CF＝6．27．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．28．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB＝8cm，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB＝×10＝5cm，∴OE＝＝＝3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．29．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，∴∠C＝∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，∴劣弧AC的长为：＝．。
垂径定理-练习题 含答案
垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。
垂径定理练习题及答案
初三 垂径定理一.选择题1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．82．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41 4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm6．下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cmB ． 7cmC ． 3 cm 或4 cmD ． 1cm 或7cm9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．3二.填空题1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O的半径为 cm 2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米O图 4EDC B A6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B 的坐标是B A PO yx12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm 13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cmPBAO15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是Cm16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
垂径定理练习题及答案
垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4B．．7D．8答案：D★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．．4D．5答案：B★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为，则OM 的长为（）A．B．C．D．答案：C★★4．如图，xx同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位答案：B★★5．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（）A．B．C．D．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座xx是圆弧形（劣弧），其跨度为，拱的半径为，则拱高为()A．B．C．D．米答案：B★★★8．⊙O的半径为，弦AB//CD，且AB=,CD=,则AB与CD之间的距离为()A．B．C．或D．或答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙Oxx，如果底边BC的长为8，那么BC边xx的高为()A．2B．．2或8D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝，OC⊥AB与C，OC=，则⊙O的半径为cm答案：5 cm★2．在直径为的圆中，弦的长为，则它的弦心距为cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝，OC⊥AB与C，OC=，则⊙O的半径为cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD ＝120°，OE＝，则CD＝厘米图 4答案： cm★★6．半径为的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.答案： cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM 的长等于cm答案：★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝，半径OA＝，则中间柱CD的高度为m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)OD=cm★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=，则Array答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是，P 是⊙O 外一点,PO=，∠P=30º,则AB=cmPBAO答案：6★★★15．⊙O 的半径为，弦AB∥CD，AB ＝，CD ＝，那么AB 和CD 的距离是Cm答案： 或★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为，跨度为，那么这个门拱的半径为米答案：★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果xx为，净高为，那么这个隧道所在圆的半径是___________米答案：5★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。
垂径定理练习题
垂径定理练习题1、如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（）A、2B、4C、6D、82、如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A、a＞b＞cB、b＞c＞aC、c＞a＞bD、a=b=c3、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为（）A、4cmB、5cmC、6cmD、8cm4、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10cm和8cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是 cm．5、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB 与点B 运动所形成的圆O 交于点A ，测得PA ＝4cm ，AB ＝5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离。
6、平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，求⊙O 的半径.7、如图，为了测量一圆形工件的直径，一同学想利用一宽为1cm 的矩形纸条放在这个圆形工件上，量得AB ＝BC ＝6cm ，DE ＝5cm ，请你帮助分求得该工件的直径的长度.8、如图所示，⊙O 中，弦CD 交直径AB 于点P ，AB=12cm ，PA ：PB=1：5，且∠BPD=30°，求CD 的长．9、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是 mm ．10、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长.11、如图，过⊙O 的直径AB 的两个端点A 、B 分别作弦CD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：CE=DF。
垂径定理练习题
垂径定理练习题1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝310cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。
7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。
9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。
10、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E，CD=10，BE=1，则AB= 。
11、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D．BD =BC 12、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。
13、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm，求AB的长。
14、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求CD的长。
15、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
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垂径定理练习题
1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。
3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。
6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
7、在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
8、在弓形ABC 中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。
9．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。
10、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，CD=10，BE=1，则AB= 。
11、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一
定成立的是（ ） A ．∠COE ＝∠DOE B ．CE ＝DE C ．OE ＝BE D ．BD =BC
12、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝
1:3，求PC 的长。
O A B C D 10题图
O
A
P B
C
11题图
C
D
A O
B
E
6题图
13、如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3
1，圆的半径为2cm ，求AB 的长。
14、如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知，AE ＝6cm ，EB ＝2cm ，∠CEA ＝300，求CD 的长。
15、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。
16、如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且MB:MA ＝1:4，求工件的半径的长。
17、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是
的
圆心，E 为
上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD = 600m ，EF =
100m ，
求这段弯路的半径．
O
A
B D
C O A
B
M
15cm
8cm
O
A
C D
E C
A D E
C
O
D
E F 17题图
18、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换
一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径
多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做
吗？
19、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。
如图所示，AD＝2.3米，CD＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计
算说明这辆卡车能否通过厂门？
20、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB与点B 运动所形成的圆O交于点A，测得PA＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。
A B
C
D。