概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

5
(2) x 0 时， F ( x)
x

f (t )dt 0dt 0 ，
x 0 x 2 2 2x x2 f (t )dt 0dt ( 2 t )dt ， 0 a a a a2
x
0 x a 时， F ( x) x a 时， F ( x) 1 ， X 的分布函数为

x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
e
2 e ， 2
2 或 0 (舍去)， P ( X 4) 24 2 2 2 e e ． 4! 3
P ( X 1) 1 P ( X 1) 1 P ( X 0) P ( X 1) 1 e 2 2e 2 1 3e 2 ．
其中 a 0 ，试求：(1) 常数 A ， B ；(2) 概率密度 f ( x) ．
x 解：(1) 0 F ( a ) F ( a 0) lim ( A B arcsin ) A B ， x ( a ) a 2 A B F (a ) F (a 0) lim F ( x) 1 ， xa 2 1 1 A ，B ． 2
1 ,2 x 6, f ( x) 4 ， 0, 其他．
记 A { X 3} ，则
P ( A) P ( X 3)
6
3
3 设 Y 为对 X 进行三次独立观测事件 { X 3} 出现的次数，则 Y ～ B (3, ) ， 4
1 3 dx ， 4 4
8．设随机变量 X 的分布函数为
1 (1 x)e x , x 0, F ( x) 0, x 0．
求：(1) X 的概率密度；(2) P ( X 2) ．
xe x , x 0, 解：(1) f ( x) F ( x) ； 0, x 0．
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ． 方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的 概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成 功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药 的年销售额，求 X 的分布律． 解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ， 由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ． 两组技术人员试制不同类型的新药， 共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，
由题知， { X k} A B ， AB ，则
P ( A) p k 1 (1 p ) ， P ( B ) (1 p ) k 1 p ， P ( X k ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ，
于是， X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ， k 2,3, ．
7．随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X 1) P ( X 2) ，求 P ( X 4) 及 P ( X 1) ．
3
解： P ( X 1) P ( X 2) ，
所求概率为
P (Y 2) P (Y 2) P (Y 3)
3 3 C32 P 2 ( A) P ( A ) C3 P ( A)
3 1 27 3 3 3 C32 ( ) 2 C3 ( ) ． 4 4 4 32
13．设随机变量 X 的概率密度为
3 x 2 ,0 x 1, f ( x) 0, 其他． 1 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 { X } 出现的次数，求： 2 1 1 (1) { X } 至少出现一次的概率；(2) { X } 恰好出现两次的概率． 2 2
(2)
1 , x a, f ( x) F ( x) a 2 x 2 ． 0, x a．
11．设随机变量 X 的概率密度曲线如图所示，其中 a 0 ．
y h
O
a
x
(1) 写出密度函数的表达式，求出 h ； (2) 求分布函数 F ( x) ；
a (3) 求 P ( X a ) ． 2
2 2． 设 P ( X k ) a ( ) k ，k 1,2, ， 问 a 取何值时才能成为随机变量 X 的分布律． 3 2 2 [1 ( ) n ] 2 k 3 2a ， 解：由规范性， 1 a ( ) a lim 3 n 2 3 k 1 1 3 1 a ， 2 1 2 P ( X k ) ( ) k ， k 1,2, ． 此时， 2 3
6
1 1 1 解：由题意知 Y ～ B (3, p ) ，其中 p P ( X ) 2 3 x 2 d x ， 0 2 8
1 (1) { X } 至少出现一次的概率为 2
1 (2) { X } 恰好出现两次的概率为 2
P ( X 1) F (1) F (1 0) 0.2 0 0.2 ， P ( X 2 ) F ( 2 ) F ( 2 0 ) 0 .7 0 .2 0 .5 ， P ( X 4 ) F ( 4 ) F ( 4 0 ) 1 0 .7 0 .3 ， X 的分布律为 X P 1 0 .2 2 0 .5 4 0 .3
解：(1) 由题设知
h h x ,0 x a , f ( x) a 其他． 0, 1

f ( x )d x ( h
0
a
h ah x )d x ， a 2 2 h ， a
从而
2 2 x ,0 x a , f ( x) a a 2 ． 其他． 0,
1 ln 3) ；(3) 分布函数 F ( x) ． 2
A 1 2 (2) P (0 X ln 3) 2
Biblioteka Baidu
ex d x A arctan e x | A， 2 x 1 2e 2 A 2

．
1

1 ln 3 2 0 x
ln 3 1 2 1 x 2 d x arctan e | ． 0 x x e e 6
(2) P ( X 2) F (2) 1 3e 2 ． 9．设随机变量 X 的概率密度为
f ( x) A ， e ex
x
求：(1) 常数 A ；(2) P (0 X 解：(1) 1

f ( x )d x
A dx e ex
x
6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为 p ， 0 p 1 ，以 X 表示直至两 个面都出现时的试验次数，求 X 的分布律． 解： X 所有可能的取值为 2，3，…， 设 A { k 次试验中出现 k 1 次正面，1 次反面}，
B { k 次试验中出现 k 1 次反面，1 次正面}，
A1 A2 ，相对应的 X 的值为 100000、40000、60000、0，则 P ( X 100000) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.16 ， P ( X 40000) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.24 ， P ( X 60000) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.24 ，
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ， X 的分布律为 X P
1000000 0.16
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
3．设离散型随机变量 X 的分布律为
X P 1 0 .2 1 0 .5 2 0 .3
1
1 求：(1) X 的分布函数；(2) P ( X ) ；(3) P (1 X 3) ． 2
解：(1) x 1 时， F ( x) P ( X x) 0 ，
1 x 1 时， F ( x) P ( X x) P ( X 1) 0.2 ， 1 x 2 时， F ( x) P ( X x) P ( X 1) P ( X 1) 0.7 ， x 2 时， F ( x) P ( X x) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ， X 的分布函数为 x 1, 0, 0.2, 1 x 1, F ( x) ． 0.7, 1 x 2, x 2． 1, 1 (2) 方法 1： P ( X ) P ( X 1) P ( X 2) 0.8 ． 2 1 1 1 方法 2： P ( X ) 1 P ( X ) 1 F ( ) 1 0.2 0.8 ． 2 2 2
(3) F ( x)
x

f (t )dt

2
1 2 d x arctan e x ． x e e
x
10．设连续型随机变量 X 的分布函数为
4
0, x a, x F ( x) A B arctan , a x a, a 1, x a．
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
1．离散型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1, 0.2, 1 x 2, F ( x) P( X x) 0.7, 2 x 4, 1, x 4．
求 X 的分布律． 解： P ( X x0 ) F ( x0 ) F ( x0 0) ，
{ X k} A1 A2 Ak 1 Ak ，
于是
P ( X k ) p (1 p ) k 1 ，
所以 X 的分布律为 P ( X k ) p (1 p ) k 1 ， k 1,2, ． (2) Y 的所有可能取值为 0，1，2，…， k ，…，于是
Y 的分布律为 P (Y k ) p (1 p ) k 1 ， k 0,1,2, ．