含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法

含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法

恒成立问题是数学中常见问题，

也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一

个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若

a_ f x 恒成立，只须

求出

f X

max ，则

a

-

f X

血；若

^

f X

恒成立，只须求出

f X

min ，则

a

乞

f X

讪，

转化为函数求最值。

例1已知函数f X = lg I X a

-2，若对任意x ：= 2川a?恒有f X \ >0，试确定a 的 I x 丿

取值范围。

a

解：根据题意得：x 2 1在x ：= 12,牡阳上恒成立，

x

即：a •-X

2

• 3x 在 x ：二 2,上恒成立，

设 f x = -x

2

3x ，则 f x - - x-

3

9

I 2丿4

当 X =2时，f X max =2 所以 a 2

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不

等式的两边，即：若 f (a )Z g (x )恒成立，只须求出g (x )max ，则f (a )K g (x )m ax ，然后 解不等式求出参数

a 的取值范围；若f (a )兰g(x)恒成立，只须求出g (x ).,则

f (a )兰g( x m in ，然后解不等式求出参数 a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

t +1 f t p

3

f t min = f 2 —

4

解：令2二t ,二，1丨■ 10,2所以原不等式可化为：

宀亠1

，

例2、已知x^- ,11时，不等式1 ■ 2X 亠〔a -a

2

4X

0恒成立，求a 的取值范围。

要使上式在t 三i 0,2 1上恒成立，只须求出

在t 0,2 1上的最小值即

可。

t 十1

f t 〒 1

3 a :: 2 2

_a ::-

二、分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分

类讨论的思想来解决。

例3、若x 1-2,2 ］时，不等式 X ax 3>a 恒成立，求a 的取值范围。

例4、若不等式2x-1>m(x

2

-1 )对满足m 兰2的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：设f m = m x 2

-O (2x -1，对满足 m _2的m , f m ：：： 0恒成立,

2

f -2 ：：0

—2 x 一1 一 2x —1 ::: 0

f 2

2 x 2

-1 - 2x -1 ：： 0

四、利用集合与集合间的关系

系来求解，即：l.m, n ' f a , g a ，则fa 乞m 且g a _ n ,不等式的解即为实数

a 的取值范围。

解：;—1 ::： log a x <1

1

当a 1时， X ：：：a ，则问题转化为

a

解：设

f x =x 2

ax 3-a ，则问题转化为当

1-2,2 1时，f x 的最小值非负。

(1)

当

a

2 不存在；

-2 即：a 4 时，f x min 二f -2 =7-3a_0 . a --又 a 4 所以 a 3

(2)

a

当—2 2 即：—4 _ a _ 4 时，

2

送亠「

A 0

.—6_a_2 又—4_a_4

.一4 _a _2

时，f x

m

--2 即：a ：：： -4 2

a ： —4 一 7 乞 a ：： -4

综上所得：-7乞a 空2

三、确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 (3)

=7 a _0 . a _ -7 又

x 看成是主元(未知数)，而把另 如果把

已知取值范围的变量作为

解得:

-V .7

1.3

x :: 2 2

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量,

就可利用集合与集合之间的包含关

例5、

时，lOg a x <1恒成立，求实数

(3丿

a 的取值范围。

1

当0 ：：： a ::: 1时，a ■■ x，则

问题转化为

a

1

综上所得：0 ：：： a 或a _ 3

3

五、数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象,

然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例6、若不等式3x2-logaXcO在x€f0 1 i内恒成立，求实数a的取值范围。「3丿

合分析，选择适当方法准确而快速地解题。

(2)

当0 ：：： a 1时，由图可知，y = log a x的图象必须过点11,-或在这个点的上方，则，

3,3

log」一1• a 一丄

3 3 27

1a-

1

27

综上得: 1a-

1

27

上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法, 在解题过程中，要灵活运用题设条件综

3,30 ：：：

a _ —解：由题意知：宀…在x*o!i

数y =3x2图象的下方，所以不成立;