探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹

探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹

两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含. 笔者就两定圆的五种不同位置关系进

行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系.

1.两定圆相离

设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22.

（1）当圆C 与圆C1、C2 都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|

当r1＞r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线

的右支；

当r1＜r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线

的左支；

所以点C 的轨迹为双曲线的一支.

（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）.

（2）当圆C 与圆C1、C2 都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|

当r1＞r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；

当r1＜r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；所以点C 的轨迹为双

曲线的一支,且其轨迹方程为

（3）当动圆C 与两个定圆一个内切一个外切时，

若圆C 与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.

点C 的轨迹是双曲线的右支.

若当圆C 与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，

点C 的轨迹为双曲线的左支.

所以动圆圆心C 的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为

综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1 与⊙C2 相离，当动圆C与定圆C1、C2都外

切或都内切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线一支；当动圆C 与定圆C1、C2 其中一个内切，

而与另一个外切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线的两支.

2.两定圆外切

当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中，

∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|，

∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2

∴|C C1|－|C C2|=r2－r1

在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|，

∴|C C1|－r1=|C C2|－r2

∴|C C1|－|C C2|=r1－r2

由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2| 为定值，所以动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线.

3.两定圆相交

两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.

动圆圆心C 的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C 的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）.4.两定圆内切或两定圆内含

如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C 的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.

由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：

①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.

②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.

③当两定圆为同心圆时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是一个圆.

④当两定圆内切时，与这两定圆都相切与切点的动圆圆心的轨迹是一条直线（不包含切点）.

特殊情况:当r1=r2时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹一般为直线.

总之，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一般是二次曲线（特殊情况轨迹是圆或直线或直线的一部分）理学角度分析，孩子分心的程度与年龄成反比。5—7 岁的孩子能够集中注意力15 分钟左右，7—10 岁20 分钟左右。可见，让刘洋这样的小学生全神贯注地坐上40分钟认真听讲，完全是不现实的。

另外，过度的学习压力易造成心理疲劳。象刘洋这样的同学，由于长期受到老师的批评，学习压力过大，多半会造成分神、贪玩，屡做屡错的后果。笔者在调查过程中，询问了很多像

刘洋一样的同学，他们在学习上的相同点概括起来大致有：因为没有对数学产生较好的兴趣，注意力很难集中，并且容易受外界的干扰，所以学习上虽然花费的时间很多，但是成绩很难

提高；没有求知欲，当然对玩感兴趣，致使课堂上搞小动作，也会把自己喜欢的东西藏在抽

屉里，趁老师不注意偷偷地看；没有学习兴趣，做题时，听老师讲解似乎很明白，但因为没

把老师的讲解内容放在心上，所以，下次遇到这样的问题，还会犯同样的错误。

●处方：上述案例，孩子上课之所以做小动作，不管是从生理角度，还是从心理角度来分析，都是正常的。反过来说，老师用批评之类的教育方法强迫孩子就范，达到注意力集中的短暂

目的倒是不正常的。

如何根据孩子的生理、心理特点，科学合理地培养孩子的注意力，笔者在教学实践中大胆改

进传统的“40 分钟”教学时间，巧设“课堂精彩五分钟”。这时教学时间的基本分配方法是：20

分钟（学习）—5 分钟（玩）—15 分钟（学习）。也就是：当学生在教师有组织地学习了20

分钟时，注意力开始涣散，这时结合教学内容设计5 分钟玩的时间，让大脑得以适当的休息，再进行15 分钟的学习。这“5 分钟”该怎样“玩”最有效呢？

1“. 静下来”———5 分钟注意力专注游戏

专注是培养注意力的基础。关注学生的注意力问题，就是要训练学生把注意力持续地集中在

某个事物上达一段时间，而这个过程不会被外界环境所干扰。

如学过长方体后，笔者组织5 分钟搭积木：每个小组的同学都全神贯注，要在摞起来的12

层高的长方体积木上再搭上4 层。因为太专心，负责动手操作的同学，手有些发抖。他知道

只有在不碰翻的情况下，把下一块积木搭上去才能成功。这时，负责干扰的同学对着他的耳

朵喊了一声，并有意弄出点噪音来，还时不时地与他说话，试图分散他的注意力。但他完全

不为所动，深呼吸，放松肌肉，眼睛紧盯着目标，暗暗告诉自己：“只看眼前的目标”。果然，他成功地把4 块积木全搭上去了，小组里一片沸腾……

类似的游戏内容还有“五分钟听故事”、“五分钟拼图竞赛”等等。这些内容看似简单，但需要

参与者集中注意力，具备较好的动作协调能力和较强的抗干扰能力，目的是教会学生注意专

注的技能。

2“. 追上去”———5 分钟注意广度游戏

笔者在教学一年级“认识几何形体”时，穿插了5 分钟“追上去”的游戏：找一些长方体、正方体、球体等放在盒子里，同桌的一个同学迅速打开盒子，让另一个同学看两秒，然后又迅速

合上盒子，让看的人说出盒内长方体、正方体、球体的个数。这种游戏其实是为了训练学生

的注意广度。令人意外的是，笔者在引导学生总结游戏收获时，有个调皮的小男孩竟然神气

十足地说：“通过这个游戏，我发明了一种‘追上去’的听讲方法。课堂上，如果老师要讲课了，我的练习还没写完怎么办？我也要先‘追上去’听老师的讲课内容，别落下！没完成的练习课

后补上。”多么新颖有趣的听课方法啊！

3“. 两不误”———5 分钟注意分配游戏

我们大多强调“一心一意”，这主要强调的是注意的集中性和稳定性。实际上，学生上课的时候，尤其需要一边听课一边记录老师所讲的内容。为此，从低年级起就要注意引导训练。

“边听故事边笔算”、“两只手算不同的题”、“两只手做不同的动作”等等的“两不误”的五分钟

游戏，充分调动了学生的学习兴趣。

4“. 转回来”———5 分钟注意转移游戏

笔者发明了“转回来”记数游戏卡，具体做法是：随便写两个数字，一个在上面，一个在下面，例如：