数学高二-选修2-1测评7 空间向量的运算
高二数学选修2-1《空间向量的运算》
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B'C' D（' 如图），化简下列
向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' 2
数学：《空间向量的运算》 （北师大版选修2-1）
空间向量及其运算
一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的
⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面
向量的运算一样
OB OA AB =a+b，
AB OB OA （指向被减向量）
OP λa ( R)
运算律：⑴加法交换律：a b b a
⑵加法结合律：(a b) c a (b c)
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
B
H
G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面。
重.心2.如。图求设证AA：G是△1 (BACB D A所C在 A平D)面外的一点，G是△BCD的 3
高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点
高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。
高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算
空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其加减运算预习课本P84～85，思考并完成以下问题1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？[新知初探] 1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法：⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示.②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |.2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0单位向量 模为1的向量|a |＝1或|AB |＝1相反向量与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法OB＝OA＋AB＝a＋b加法Z CA＝OA－OC＝a－b运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()(2)零向量没有方向()(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()答案：(1)√(2)×(3)√2．化简PM－PN＋MN所得的结果是()A．PM B．NPC．0 D．MN答案：C3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形答案：A4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．答案：球面空间向量的概念辨析[典例]A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故选B.[答案] B(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[活学活用]给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝A C11；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的序号是________．解析：①正确；②正确，因为AC与A C11的大小和方向均相同；③错误，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；④错误，单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．综上可知，正确命题为①②.答案：①②空间向量的加法、减法运算[典例]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简A F11－EF＋DF＋AB＋CC1，并在图中标出化简结果的向量．[解]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以A F11＝AF.同理AB＝ED，CC1＝DD1，DF＝D F11，所以A F11－EF＋AB＋CC1＋DF＝AF＋FE＋ED＋DD1＋D F11＝AF1，如图．[一题多变]1．[变设问]若本例条件不变，化简AB＋CC1＋DE＋B D11，并在图中标出化简结果的向量．解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，所以BB1＝CC1，DE＝D E11，所以AB＋CC1＋DE＋B D11＝AB＋BB1＋D E11＋B D11＝AB＋BB1＋B D11＋D E11＝AE1.2．[变条件、变设问]若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简AF 1－AB ＋BC，并在图中标出化简结果的向量．解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以BC∥EF，BC＝EF，又因为E1F1∥EF，E1F1＝EF，所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，所以BCE1F1是平行四边形，所以AF1－AB＋BC＝BF1＋BC＝BE1.在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．层级一学业水平达标1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD＝() A．2DB B．3MGC．3GM D．2MG解析：选B MG－AB＋AD＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD 是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形解析：选A∵AO＋OB＝DO＋OC，∴AB＝DC.∴AB∥DC且|AB|＝|DC|.∴四边形ABCD为平行四边形．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量AC1的共有()①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A D11)＋D C11；③(AB＋BB1)＋B C11；④(AA1＋A B11)＋B C11.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．4．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A．EB＋BF＋EH＋GH＝0B．EB＋FC＋EH＋GE＝0C．EF＋FG＋EH＋GH＝0D．EF－FB＋CG＋GH＝0解析：选B由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中EH＝FG，且FC＝BF，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB＋FC＋EH＋GE＝0.5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有()①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，AC与A C''是________向量，AB与B A''是________向量(用“相等”“相反”填空)．答案：相等相反7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A B1＝________.解析：如图，A B 1＝B B1－B A11＝B B1－BA＝－CC1－(CA－CB)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b8．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．答案：④9．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA1的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1，A A1，BB1，B B1，DD 1，D D 1，CC 1，C C 1共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1，D A 1，C B 1，BC 1，B C 1，CB 1，A D 1，DA 1.(3)向量AA 1的相反向量为A A 1，B B 1，C C 1，D D 1，共4个． 10.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1) AP ；(2) A N 1；(3) MP . 解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ＝AA 1＋A D 11＋D P 1＝a ＋AD ＋12D C 11＝a ＋c ＋12AB ＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A N 1＝A A 1＋AB ＋BN ＝－a ＋b ＋12BC＝－a ＋b ＋12AD ＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ＝MA ＋AP ＝12A A 1＋AP＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 层级二 应试能力达标1．下列命题中，正确的个数为( ) ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；③AB ＝CD 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ①正确，∵a ＝b ，∴a ，b 的模相等且方向相同．∵b ＝c ，∴b ，c 的模相等且方向相同，∴a ＝c .②正确，a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .③不正确，由AB ＝CD ，知|AB |＝|CD |，且AB 与CD 同向．故选C.2．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA ＋CD －CB 等于( )A ．DB B ．ABC ．ACD ．BA解析：选D 法一：DA ＋CD －CB ＝(CD ＋DA )－CB ＝CA －CB ＝BA . 法二：DA ＋CD －CB ＝DA ＋(CD －CB )＝DA ＋BD ＝BA . 3．如果向量AB ，AC ，BC 满足|AB |＝|AC |＋|BC |，则( ) A ．AB ＝AC ＋BC B ．AB ＝－AC －BC C ．AC 与BC 同向 D ．AC 与CB 同向解析：选D ∵|AB |＝|AC |＋|BC |， ∴A ，B ，C 共线且点C 在AB 之间， 即AC 与CB 同向．4．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：选C CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ＝－a ＋b ＋c . 5．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，CC 1＝c ，E 是A 1B 的中点，则CE ＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：CE ＝12(CA 1＋CB )＝12(CA ＋CC 1＋CB ) ＝12(a ＋b ＋c )． 答案：12(a ＋b ＋c )6．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A B 11＝a ，A D 11＝b ，A A 1＝c ，用a ，b ，c 表示D M 1，则D M 1＝________.解析：D M 1＝D D 1＋DM ＝A A 1＋12(DA ＋DC )＝c ＋12(－A D 11＋A B 11)＝12a－12b＋c.答案：12a－12b＋c7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB＋BC－C C1；(2)AB－DA－A A1.解：(1)AB＋BC－C C1＝AB＋BC＋CC1＝AC＋CC1＝AC1(如图)．(2)AB－DA－A A 1＝AA1＋(AB＋AD)＝AA1＋(A B11＋A D11)＝AA1＋A C11＝AC1(如图)．8.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB＋BC－DC；(2)AB－DG－CE.解：(1)AB＋BC－DC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD，如图中向量AD.(2)AB－DG－CE＝AB＋GD＋EC＝AB＋BG＋EC＝AG＋GF＝AF，如图中向量AF.。
高二选修2-1北师大版：第二章_空间向量与立体几何_§2_空间向量的运算(一)_word版有答案
§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一 空间向量的加减法及运算律思考 下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二 空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一 空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解 结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二 共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2，故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断解 设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三 空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→ ＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A. 3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 －12解析 若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线， 则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A解析 如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B解析 连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →， 又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 D解析 设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 0解析 连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0， 解得λ＝－1，μ＝3.。
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 空间向量的基本定理
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．0【解析】 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.【答案】 D2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a－2b ，∴BD→＝－2BA →，∴BD→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p q ，q ⇒p .【答案】 B5．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12 C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB→) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量． 又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0， ∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2＋μ2＋v 2＝0. 【答案】 07．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________.【导学号：15460063】【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．如图3-1-18所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3-1-18(1)AP→；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.【解】 由题意知|PB→|＝2，|CD→|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0， ∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC→＝0， ∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB→2＝|AB →|2＝1， 又∵|PB→|＝2，|CD →|＝2， ∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.10．正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH→. 【解】 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA→＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA→＋OB →－2OC →) ＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝(OA→＋OB →＋OC →)2 ＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3＝ 6.1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA→－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA→＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4．如图3-1-19所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-19【解】 由题图可得MN →＝MA →＋AD →＋DN →，①∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，② 又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得2MN →＝AD →＋BC →，即MN→＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
高中数学新湘教版选修2-1 空间中向量的概念和运算
3．1空间中向量的概念和运算第一课时 空间中向量的概念和线性运算[读教材·填要点]1．向量的概念既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→.3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律)(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．(2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律)[小问题·大思维]1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？ 提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [自主解答]如图，(1)∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→ ＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→，∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.本例中，若P Q ―→＝x BA ―→＋y BC ―→＋z BP ―→，则x ，y ，z 为何值？解：∵P Q ―→＝PB ―→＋BC ―→＋C Q ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12CD ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12BA ―→＝12BA ―→＋BC ―→－BP ―→，∴x ＝12，y ＝1，z ＝－1.利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．1.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB ―→＋BA 1―→； (2) AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→；(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→. 解：(1)CB ―→＋BA 1―→＝CA 1―→.(2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM ―→＝12BB 1―→.又AA 1―→＝BB 1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→.(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→＝CA 1―→－CB ―→＝BA 1―→. 向量CA 1―→，AM ―→，BA 1―→如图所示．空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且CF ―→＝23CB ―→， CG ―→＝23CD ―→.判断EH ―→与FG ―→是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的形状．[自主解答] 根据题意，∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→， BD ―→＝AD ―→－AB ―→， 又∵AH ―→＝12AD ―→，∴AE ―→＝12AB ―→.∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝23CD ―→，CF ―→＝23CB ―→，∴FG ―→＝23(CD ―→－CB ―→)＝23BD ―→.②由①②得，EH ―→＝34FG ―→.∴EH ―→与FG ―→共线．∴EH ∥FG ―→，且|EH ―→|≠|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |. ∴四边形EFGH 为梯形．判断空间图形中两个向量共线的步骤为： (1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ； (3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？ 解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点， ∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→， AH ―→＝12AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝12CD ―→，CF ―→＝12CB ―→，∴FG ―→＝12(CD ―→－CB ―→)＝12BD ―→.②由①②，得EH ―→＝FG ―→， ∴EH ―→∥FG ―→且|EH ―→|＝|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |. ∴四边形EFGH 是平行四边形．2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E ―→＝2ED 1―→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F ―→＝23FC ―→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c . ∵A 1E ―→＝2ED 1―→，A 1F ―→＝23FC ―→，∴A 1E ―→＝23A 1D 1―→，A 1F ―→＝25A 1C ―→.∴A 1E ―→＝23AD ―→＝23b ，A 1F ―→＝25(AC ―→－AA 1―→)＝25(AB ―→＋AD ―→－AA 1―→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF ―→＝A 1F ―→－A 1E ―→ ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB ―→＝EA 1―→＋A 1A ―→＋AB ―→＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF ―→＝25EB ―→.所以E ，F ，B 三点共线．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→.(1)判断MA ―→， MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[自主解答] (1)∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→，∴OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)＝BM ―→＋CM ―→. ∴MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→. ∴向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH . 证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12BD ―→，所以EH ∥BD .又EH⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.[巧思] 要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量MN ―→可以用平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．[妙解] 因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′， 所以AM ―→＝kAC ′―→＝k AC ―→＋kAA ′―→，又AN ―→＝AB ―→＋BN ―→＝AB ―→＋k BC ―→＝AB ―→＋k (AC ―→－AB ―→)＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→， 所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→－k AC ―→－kAA ′―→＝(1－k )AB ―→－kAA ′―→. 因为AB ―→与AA ′―→不共线，由共面向量定理，可知MN ―→，AB ―→，AA ′―→共面． 因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′， 所以MN ∥平面ABB ′A ′.1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→， ∴AB ―→＝DC ―→.∴AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A2．已知向量AB ―→，AC ―→，BC ―→满足|AB ―→|＝|AC ―→|＋|BC ―→|，则( ) A ．AB ―→＝AC ―→＋BC ―→ B ．AB ―→＝－AC ―→－BC ―→ C ．AC ―→与BC ―→同向D ．AC ―→与CB ―→同向 解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确． 答案：D3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式： ①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→；②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→；④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→中，运算结果为向量AC 1―→的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→； ②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1―→＋D 1C 1―→＝AC 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→； ④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→. 答案：D4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有DA ―→＋CD ―→－CB ―→等于________． 解析：由向量加(减)法的三角形法则可知DA ―→＋CD ―→－CB ―→＝DA ―→＋BD ―→＝BA ―→. 答案：BA ―→5．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB ―→－CB ―→＝AC ―→； ②AA ′―→＝CC ′―→；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝AC ′―→. 其中正确的有________．解析：①AB ―→－CB ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AC ―→，正确；②显然正确；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝(AB ―→＋BC ―→)＋(BB ′―→＋C ′C ―→)＝AC ―→＋0≠AC ′―→，错误．答案：①②6.如图，在直四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.证明：由题意知AB ―→＝2DC ―→，∵F 是AB 的中点， ∴AF ―→＝12AB ―→＝DC ―→，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ―→＝FC ―→.∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，∴EE 1―→＝AE 1―→－AE ―→＝12AA 1―→－12AD ―→＝12CC 1―→－12FC ―→，又CC 1―→与FC ―→不共线，根据共面向量定理可知EE 1―→，CC 1―→，FC ―→共面． ∵EE 1不在平面FCC 1内， ∴直线EE 1∥平面FCC 1.一、选择题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)等于( )A ． AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋12×(2BG ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.答案：A2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG ―→－AB ―→＋AD ―→等于( )A.32 DB ―→ B ．3MG ―→ C ．3GM ―→D ．2MG ―→解析：MG ―→－AB ―→＋AD ―→＝MG ―→－(AB ―→－AD ―→) ＝MG ―→－DB ―→＝MG ―→＋BD ―→ ＝MG ―→＋2MG ―→＝3MG ―→. 答案：B3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB ―→，CD ―→共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(其中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB ―→，CD ―→共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2； 当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1； 当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面． 答案：D 二、填空题5．化简：AB ―→－AC ―→＋BC ―→－BD ―→－DA ―→＝________. 解析：原式＝(AB ―→－AC ―→)＋(BC ―→－BD ―→)－DA ―→＝CB ―→＋DC ―→－DA ―→＝DB ―→－DA ―→＝AB ―→. 答案：AB ―→6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝e 1＋ke 2，BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ―→＝λBD ―→，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ，k ＝6λ，∴k ＝1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB ―→＝a －2c ，CD ―→＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF ―→＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点， 连接EG ，FG ，则EF ―→＝EG ―→＋GF ―→ ＝12AB ―→＋12CD ―→ ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 答案：3a ＋3b －5c8．在空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，给出以下向量：①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ； ④43a －b －c . 其中与MN ―→平行的向量是________(只填相应序号即可)．解析：由已知得MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝－23a ＋12b ＋12c .所以MN ―→＝16(－4a ＋3b ＋3c )＝－12⎝⎛⎭⎫43a －b －c ，故②④适合． 答案：②④ 三、解答题9.如图，H 为四棱锥P -ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边形．若G ，B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．解：连接BD ，BG ，∵AB ―→＝PB ―→－PA ―→ 且 AB ―→＝DC ―→， ∴DC ―→＝PB ―→－PA ―→. ∵PC ―→＝PD ―→＋DC ―→， ∴PC ―→＝PD ―→＋PB ―→－PA ―→ ＝－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→. ∵PH HC ＝12，∴PH ―→＝13PC ―→＝13(－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→)＝－13PA ―→＋13PB ―→＋13PD .又∵AH ―→＝PH ―→－PA ―→， ∴AH ―→＝－43PA ―→＋13PB ―→＋13PD ―→.∵AGAH ＝m ，∴AG ―→＝m AH ―→＝－4m 3PA ―→＋m 3PB ―→＋m 3PD ―→.∵BG ―→＝－AB ―→＋AG ―→＝PA ―→－PB ―→＋AG ―→， ∴BG ―→＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3PA ―→＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB ―→＋m 3PD ―→. 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m 3＝0，∴m ＝34.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形； (2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点， ∴AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→，FC 1―→＝FB 1―→＋B 1C 1―→＝12BB 1―→＋B 1C 1―→.又AD ―→＝B 1C 1―→，DD 1―→＝BB 1―→， ∴AE ―→＝FC 1―→，即AE 綊FC 1， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，又AE ―→＝AD ―→＋ 12DD 1―→，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝AB ―→＋12BB 1―→， ∴A 1D 1―→＝x (AD ―→＋12DD 1―→)＋y (AB ―→＋12BB 1―→)即(x －1)A 1D 1―→＋y AB ―→＋12(x ＋y )BB 1―→＝0.∵A 1D 1―→，AB ―→，BB 1―→不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可以使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，∴A1D1不平行于平面AEC1F.第二课时空间向量的数量积[读教材·填要点]空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.(3)数量积的性质：[小问题·大思维]1．已知三个非空向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c成立吗？提示：不一定有b＝c.当a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c＝0，此时不一定有b＝c.2．已知向量a，b，对于|a·b|＝|a|·|b|成立吗？提示：|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|.∴当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)EF ―→·DC ―→； (4)AB ―→·CD ―→.[自主解答] (1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos 〈BD ―→，BA ―→〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)EF ―→·DC ―→＝12BD ―→·DC ―→＝12|BD ―→|·|DC ―→|cos 〈BD ―→，DC ―→〉＝12cos 120°＝－14.(4)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0.空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 答案：A2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．解：(1)OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OB ―→|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA ＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→) ＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→＋OB ―→－2OC ―→)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．[自主解答] ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→，∴|AD ―→|2＝AD ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|CD ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2BC ―→·CD ―→＋2AB ―→·CD ―→.①∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴|AB ―→|＝|BC ―→|＝|CD ―→|＝2.② 又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴AB ―→·BC ―→＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴CD ―→·BC ―→＝0.④把②③④代入①可得|AD ―→|2＝4＋4＋4＋2AB ―→·CD ―→＝12＋2|AB ―→|·|CD ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉 ＝12＋8cos 〈AB ―→，CD ―→〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF . ∴〈AB ―→，DC ―→〉＝〈DF ―→，DC ―→〉＝60°. ∴〈AB ―→，CD ―→〉＝120°.代入⑤式得到|AD ―→|2＝12＋8cos 120°＝8， ∴|AD ―→|＝2 2.即A ，D 两点间的距离为2 2.求两点间的距离或线段长度的方法如下： (1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a |＝a 2，通过计算求出|a |，即得所求距离．3．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长． 解：∴PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .[自主解答] 设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0.于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 于是有A 1O ⊥平面GBD .用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .证明：在△OAC 和△OAB 中， OB ＝OC ，AB ＝AC ， ∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→) ＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OC ―→|cos ∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|cos ∠AOB ＝0， ∴OA ⊥BC .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[巧思] 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD ―→的模，但向量BD ―→的模无法直接求出，可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．[妙解] ∵∠ACD ＝90°， ∴AC ―→·CD ―→＝0.同理AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉． ∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.1．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②a ·b a2＝ba ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．答案：C2.已知正四面体A -BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A -BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA ―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA ―→ 2＋12BA ―→·AD ―→＋AD ―→2＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.答案：A3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则a ·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0. 答案：B4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________．解析：cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝OA ―→·BC ―→|OA ―→|·|BC ―→|＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)|OA ―→|·|BC ―→|＝|OA ―→||OC ―→|cos π3－|OA ―→||OB ―→|cosπ3|OA ―→|·|BC ―→|＝0. 答案：05．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________. 解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝ 3.答案： 36．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：(1)BC ―→·ED 1―→； (2)BF ―→·AB 1―→.解：如图所示，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC ―→·ED 1―→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF ―→·AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.一、选择题1．下列各命题中，不．正确的命题的个数为( ) ①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)； ③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵a ·a ＝|a |2， ∴a ·a ＝|a |，故①正确．m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确． a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确． a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ， 故④不一定正确． 答案：D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，即a ·b ＝32. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝14. 答案：D3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144 解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BC ―→，∴PC ―→2＝PA ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC |＝12.答案：C4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD―→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴BD ―→·BC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝AD ―→·AC ―→－AD ―→·AB ―→－AB ―→·AC ―→＋|AB ―→|2＝|AB ―→|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC ―→，BD ―→〉＝BC ―→·BD ―→|BC ―→|·|BD ―→|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B二、填空题5．在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ′―→·BC ′―→＝________.解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′―→， BC ′―→〉＝0，又|AD ′―→|＝|BC ′―→|＝2，所以AD ′―→·BC ′―→＝2·2·1＝2.答案：26．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G为△ABC 的重心，则OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：由已知OA ―→·OB ―→＝OA ―→·OC ―→＝OB ―→·OC ―→＝0，且OG ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→3， 故OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)2 ＝13(|OA ―→|2＋|OB ―→|2＋|OC ―→|2) ＝13(1＋4＋9)＝143. 答案：1437．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．解析：AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，∴AB ―→·CD ―→＝(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)·CD ―→＝AC ―→·CD ―→＋CD ―→2＋DB ―→·CD ―→＝0＋12＋0＝1，又|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1.∴cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→| AB ―→|·|CD ―→|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°.答案：60°8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→.∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.答案：7三、解答题9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1. ∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .10.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长． 解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→， BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→·BC ―→〉＝π－〈BA ―→·BC ―→〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1.又|AB 1―→|＝AB ―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|.∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。
高二数学空间向量及其运算
高二数学空间向量及其运算嗨，大家好！今天咱们来聊聊高二数学里的一个神奇领域——空间向量。
别急，虽然这听起来有点儿高深，但咱们一步一步来，保证让你轻松搞懂。
相信我，空间向量就像是一位神秘的导游，带你领略数学的奇妙世界。
行啦，咱们不废话了，直接进入正题！1. 什么是空间向量？1.1 空间向量的基本概念首先，咱们得搞清楚，什么是空间向量。
简单来说，空间向量就是一种用来描述空间中位置关系的工具。
就好像你用箭头标记地图上的位置，空间向量就是数学中用来标记空间位置的“箭头”。
它有方向和长度，还能在空间中“移动”，不受限制。
1.2 空间向量的表示方法说到这里，大家可能会问：“那空间向量是怎么表示的呢？”其实很简单，咱们通常用一个字母加上箭头的方式，比如说 (vec{A}) 或者 (vec{B})。
如果你还记得初中学过的平面向量，那么空间向量也是类似的，只不过它多了一个“Z轴”，变成了三维空间的“箭头”。
2. 空间向量的基本运算2.1 向量的加法和减法现在我们来看看空间向量的基本运算——加法和减法。
其实，向量的加法就像是把两个箭头放在一起，然后画一个从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的新箭头。
减法就类似，咱们把第二个箭头翻转过来，然后加到第一个箭头上，得到的结果就是从第一个箭头的起点到第二个箭头的终点的箭头。
是不是很形象呢？2.2 向量的数量积接下来是向量的数量积，这个就有点儿高级了。
数量积，也叫点积，简单来说就是两个向量“互相投影”后得到的结果。
公式是 (vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| |vec{B}| cos theta)，其中 (theta) 是它们之间的夹角。
这个公式的意思就是，如果两个向量的夹角很小，它们的点积就会很大，夹角很大的话，点积就会很小。
3. 空间向量的应用3.1 向量在实际问题中的应用说了这么多，空间向量究竟有什么用呢？其实，空间向量在很多实际问题中都能派上用场。
高二上期末复习6--选修2-1空间向量
因此，∠AEB是所求二面角的平面角，
EA EB 21 cos( EA, EB ) , 7 | EA | | EB |
21 7
解得所求二面角的余弦值为
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3 ，BC=1，PA=2， E为PD的中点 （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC， 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(0,0,0)、B( ,0,0)、 C( 3 ,1,0)、D(0,1,0) 、P(0,0,2)、 3 1 E(0, ,0)，
1 1 NC (1 x ,1 y , z ), MC (1, 0, ), x 1 , y 1, z . 2 2 1 4 要使 AN MC , 只需 AN MC 0即x z 0, 解得 .
，
从而 n (2,1,2)
| D1 E n | 2 1 2 1 . 所以点到平面的距离为 h 3 3 |n|
n ( a , b , c ) （3 ）设平面 D1EC 的法向量 ， ∴ CE (1, x 2, 0), D1C (0, 2, 1), DD1 (0, 0,1),
(2)线线垂直:证两直线的方向向量垂直,即 a b a b 0
(3)线面垂直: ①证直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线 性变式直线的方向向量.
(4)线面垂直: ①证直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行: ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直: ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6.运用空间向量求空间角.
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲
高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。
0a 0=λ=λ时，。
运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
高中数学选修2-1精要空间向量的线性运算
＝A→C，一般的四边形 ABCD 不满足此式．
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3.1.1
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探究点二 空间向量的加减运算 问题 1 怎样计算空间两个向量的和与差？
答案 因为任意两个向量都是共面向量，所以空间两个向量 的加减法和平面向量的加减法完全一样．运算中要掌握好三 角形法则和平行四边形法则的应用．
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3.1.1
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跟踪训练 2 化简：(1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)； (2)(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)． 解 (1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B＋B→D－(A→C＋C→D) ＝A→D－A→D＝0.
(2)(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)＝(A→B－A→C)＋(C→D－B→D) ＝C→B＋C→B＝2C→B.
④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量 必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相 同，故①错；
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小结 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向 量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化 的目标．
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跟踪训练 3 在如图所示的空间四边形 ABCD
北师版数学高二-选修2-1课后作业 2.2 空间向量的运算
§2 空间向量的运算1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量表达式DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后的结果是( ) A .BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析:DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .答案:A2.如图,已知空间四边形ABCD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,则MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .23DB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.3MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.2MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:B3.如图,已知PA ⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=1,则PC 等于( )A .√2 B.1 C.2 D.4解析:∵PC ⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PC ⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+2×1×cos 60°=4,∴|PC ⃗⃗⃗⃗ |=2. 答案:C4.设A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则△BCD 为( )A .钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定解析:BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>0, ∴<BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >为锐角, 同理cos <CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD⃗⃗⃗⃗⃗ >>0,∴∠BCD 为锐角, cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC⃗⃗⃗⃗⃗ >>0,∴∠BDC 为锐角,即△BCD 为锐角三角形. 答案:B5.设e 1,e 2是空间中两个不共线的向量,已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,且A ,B ,D 三点共线,则k 的值为( ) A .2 B.3 C.-8 D.8解析:∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2. ∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2)=λe 1-4λe 2,∵e 1,e 2是空间中两个不共线的向量,∴{2=λ,k =-4λ,∴k=-8. 答案:C6.已知a ,b 是两个非零向量,现给出以下命题: ①a ·b >0⇔<a ,b >∈[0,π2); ②a ·b =0⇔<a ,b >=π2; ③a ·b <0⇔<a ,b >∈(π2,π];④|a ·b|=|a||b|⇔<a ,b>=π. 其中正确的命题有( ) A .1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断.∵a ,b 为非零向量,∴|a |≠0,|b |≠0. 又∵a ·b=|a||b|cos <a ,b >,且0≤<a ,b >≤π, 于是a ·b >0⇔cos <a ,b >>0⇔<a ,b >∈[0,π2); a ·b =0⇔cos <a ,b >=0⇔<a ,b >=π2; a ·b <0⇔cos <a ,b ><0⇔<a ,b >∈(π2,π]. 因此,命题①②③均为真命题.∵|a ·b|=|a||b|⇔|cos <a ,b >|=1⇔<a ,b >=0或π,∴|a ·b |=|a ||b |⇔<a ,b >=π不正确,即命题④为假命题.故选C. 答案:C7.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为矩形ABCD 对角线的交点,则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中的x ,y 值应为x= ,y= .解析:∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(2A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12.答案:12 128.若|a |=|b|,且非零向量a ,b 不平行,则a+b 与a-b 所在直线所形成的角的大小是 . 解析:如图,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作▱OACB ,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b .又∵|a |=|b |,∴四边形OACB 为菱形,∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故a+b 与a-b 的夹角为π2.答案:π29.已知|a+b|=2,|a-b|=3,且cos <a+b ,a-b >=14,则|a|= ,|b|= . 解析:由|a+b|=2,知a 2+2a ·b+b 2=4.由|a-b|=3,知a 2-2a ·b+b 2=9. 故2a 2+2b 2=13,则|a|2+|b|2=132.①由cos <a+b ,a-b >=|a 2|-|b |2|a+b |·|a -b |=14,得|a |2-|b |2=32.②由①②,得|a |=2,|b |=√102.答案:2√10210.已知四边形ABCD 是空间四边形,E,H 分别是边AB,AD 的中点,F,G 分别是边CB,CD 上的点,且CF⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.证明:∵E,H 分别是AB,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(32CG ⃗⃗⃗⃗⃗ -32CF ⃗⃗⃗⃗ ) =34(CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ )=34FG ⃗⃗⃗⃗ . ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗ ,且|EH⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗ |≠|FG ⃗⃗⃗⃗ |. 又∵F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形.11.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点,用向量法证明:A 1O ⊥平面GBD.证明:设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则a ·b =0,b ·c =0,a ·c =0.而A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c +12(a +b ),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a , OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(a +b )-12c , 所以A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +12a +12b)·(b -a ) =c ·(b -a )+12(a +b )·(b -a )=c ·b -c ·a +12(b 2-a 2)=12(|b |2-|a |2)=0.所以A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以A 1O ⊥BD. 同理可证A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1O ⊥OG. 又因为OG ∩BD=O,且A 1O ⊈平面GBD,所以A 1O ⊥平面GBD.备选习题1.有下列命题:①当λ∈R ,且a 1+a 2+…+a n =0时,λa 1+λa 2+…+λa n =0;②当λ1,λ2,…,λn ∈R ,且λ1+λ2+…+λn =0时,λ1a +λ2a +…+λn a =0;③当λ1,λ2,…,λn ∈R ,且λ1+λ2+…+λn =0时,a 1,a 2,…,a n 是n 个向量,且a 1+a 2+…+a n =0,则λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0. 其中真命题有 .(填序号)解析:由于λa 1+λa 2+…+λa n =λ(a 1+a 2+…+a n )=λ0=0,故命题①为真命题.由于λ1a +λ2a +…+λn a =(λ1+λ2+…+λn )a =0×a =0,故命题②也为真命题.命题③为假命题,假如当n=2时,取λ1=1,λ2=-1,a 1=a (a ≠0),a 2=-a ,则λ1a 1+λ2a 2=a+(-1)×(-a )=2a ≠0,但此时有λ1+λ2=0,a 1+a 2=0,故命题③是假命题. 答案:①②2.已知a ⊥b ,<a ,c>=π3,<b ,c >=π6,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则向量a+b+c 的模是 . 解析:因为|a +b +c |2=(a +b +c )2=|a |2+|b |2+|c |2+2(a ·b +a ·c +b ·c ) =1+4+9+2(0+1×3×12+2×3×√32)=17+6√3,所以|a +b +c |=√17+6√3. 答案:√17+6√33.如图所示,点O 是正△ABC 所在平面外的一点,若OA=OB=OC=AB=1,E,F 分别是AB,OC 的中点,试求OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BF⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值.解:设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则a ·b =b ·c =c ·a =12,|a |=|b |=|c |=1,OE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a +b ),BF ⃗⃗⃗⃗ =12c -b ,∴OE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =12(a +b )·(12c -b) =12(12a ·c +12b ·c -a ·b -|b |2) =12×(14+14-12-1)=-12. ∴cos <OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ >=OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ |OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BF⃗⃗⃗⃗⃗ |=-12√32×√32=-23. ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BF ⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为-23. 4.如图所示,正方形ABCD 与正方形ABEF 的边长均为1,且平面ABCD ⊥平面ABEF,点M 在AC 上移动,点N在BF 上移动.若CM=BN=a(0<a<√2).(1)求MN 的长度;(2)求当a 为何值时,MN 的长最小.解:(1)由题意,得AC=√2,BF=√2,CM=BN=a,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1√2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1√2)BF ⃗⃗⃗⃗ .∴NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1√2)BF ⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1√2)AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1√2)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1√2)(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1√2)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )-BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1√2)(-BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1√2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ √2⃗⃗⃗⃗ . ∴|NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√|(1a 2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ a 2⃗⃗⃗⃗ |2=√(1√2)2√2√2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ +12a 2 =√(a -√22)2+12(0<a<√2).(2)由(1),知当a=√22时,|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |有最小值为√22,即M,N分别为AC,BF的中点时,MN的长最小,且最小值为√22.。
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 空间向量的线性运算
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM→ D ．2MG→ 【解析】 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.【答案】 B2．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，与向量A ′B ′→的模相等的向量有( )【导学号：15460060】A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个【解析】 |D ′C ′→|＝|DC →|＝|C ′D ′→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B ′A ′→|＝|A ′B ′→|.【答案】 A3．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-10A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－DD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →－DD 1→≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→. 【答案】 A5．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，则OE→＝( )A.12a －14b ＋14cB ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D.14a ＋12b ＋14c【解析】 OE→＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →) ＝OA→＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB →＋14OC → ＝12a ＋14b ＋14c . 【答案】 C 二、填空题6．下列说法正确的有________(填序号)． ①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段．【解析】 由平行向量的定义可知①正确；由相等向量定义知②正确；有公共终点的向量的基线不一定平行或重合，故③错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是同一概念，故④错误．【答案】 ①②7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.【解析】 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD→)＝AD →－AD →＝0. 【答案】 08．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF→＝________.【解析】 EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c .【答案】 3a －52b ＋3c 三、解答题9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →. 【解】 如图．DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →) ＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 10．如图3-1-11，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，图3-1-11(1)单位向量共有多少个； (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB→相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→，共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→，共3个． (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个．1．已知λ，μ∈R ，给出以下命题： ①λ<0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反； ②λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量； ③λμ>0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相同； ④λμ<0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相反． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由数乘的定义及性质可知①②③④均正确． 【答案】 D2．已知点M 是△ABC 的重心，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3D ．13【解析】 因为M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ， 所以OM→＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →) ＝13OA →＋23·12(OB →＋OC →)＝13OA →＋13OB →＋13OC →， 故x ＝13. 【答案】 D3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则有AB→＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________.【导学号：15460061】【解析】 延长DE 交边BC 于点F ，则AB→＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF→，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.【答案】 04．如图3-1-12所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，若B 1C →＝xOD →＋yOC 1→，则x ，y 的值分别为多少？图3-1-12【解】 设C 1B 1→＝a ， C 1D 1→＝b ，C 1C →＝c ，∵四边形B 1C 1D 1A 1为平行四边形，∴B 1C →＝c －a ， 又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O →＝12(a ＋b )， ∴OC 1→＝－12(a ＋b )， OD 1→＝C 1D 1→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )． ∵D 1D 綊C 1C ，∴D 1D →＝c ， ∴OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c . 若存在实数x ，y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC 1→(x ，y ∈R )成立，则 c －a ＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(b －a )＋c ＋y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12(a ＋b )＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a ，b ，c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.。
数学北师大版高中选修2-1空间向量及其运算
俞华山
回顾：平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量 2.表示法：
1 用两个大写字母加方向箭头表示 2.用一个小写字母加方向箭头表示 3.用一个黑体小写字母表示
3.相等向量：长度相等且方向相同
的向量
B
A D C
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
共同进步！
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
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学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·广州高二检测)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件．【答案】 A2．如图2-2-7所示，已知三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )图2-2-7A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.【答案】 D3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.12 B ．14 C ．1D ．2【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0.∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2，∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )【导学号：32550026】A. 2 B ． 3 C. 5D ．7【解析】 依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3.【答案】 B5.如图2-2-8所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )图2-2-8A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉 又OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．如图2-2-9，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AM →＋12A 1A →＝________.(用a 、b 、c 表示)图2-2-9【解析】 AM →＋12A 1A →＝AA 1→＋A 1M →－12AA 1→＝12AA 1→＋12A 1C 1→ ＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ＝12(a ＋b ＋c )． 【答案】 12(a ＋b ＋c )7.如图2-2-10，在45°的二面角α-l -β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．图2-2-10【解析】 由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2.【答案】2－ 28．如图2-2-11所示，已知空间四边形ABCD 每条边和对角线都等于1，点E ，F 分别是CD ，AD 的中点，则AB →·EF →＝________.【导学号：32550027】图2-2-11【解析】 ∵EF →綊12CA →，〈AB →，AC →〉＝60°，∴〈AB →，FE →〉＝120°. ∴AB →·EF →＝|AB →||EF →|cos 〈AB →，EF →〉 ＝1×12cos 120°＝－14. 【答案】 －14 三、解答题9．在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC .M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .【证明】 如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b ，∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a·c －a·b ＋b·c －b 2＋c 2－b·c ) ＝14(|a |2cos θ－|a |2cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG ⊥BC .10．如图2-2-12，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH →与FG →为共线向量．图2-2-12【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →) ＝12BD →.又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →. ∴FG →＝CG →－CF → ＝23CD →－23CB → ＝23(CD →－CB →) ＝23BD →.∴BD →＝32FG →.∴EH →＝34FG →.∴EH →与FG →为共线向量．[能力提升]1．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定【解析】 BD →＝BA →＋AD →，BC →＝BA →＋AC →，CD →＝CA →＋AD →， ∴cos 〈BD →，BC →〉＝(BA →＋AD →)·(BA →＋AC →)|BA →＋AD →|·|BA →＋AC →|＝BA →2|BA →＋AD →||BA →＋AC →|＞0， ∴〈BD →，BC →〉为锐角，同理cos 〈CB →，CD →〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB →，DC →〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形． 【答案】 B2．如图2-2-13，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为( )图2-2-13A.13 B ．23 C.33D ．43【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB 2→＋AD 2→＋AA 21→＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→).∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 【答案】 B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】 14a 24．如图2-2-14，正方形ABCD 与正方形ABEF 边长均为1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．图2-2-14(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．【解】 (1)由已知得|AC →|＝2，|CM →|＝|BN →|＝a . AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →，NF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →，∴NM →＝NF →＋FA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →＋FA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2(BE →＋BA →)＋FA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(BE →＋BA →)－BE →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(－BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2BE →，|NM →|＝NM →·NM →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →－a 2BE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22－2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →·BE →＋12a 2＝1－2a ＋a 2(0＜a ＜2)．(2)由(1)知当a ＝22时，|NM →|的最小值为22，即M ，N 分别是AC ，BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22.。