综合--解一元二次方程—换元法
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
第01讲一元二次方程的定义与解法(核心考点讲与练)【暑假预习】2024年暑假新九年级数学核心考点讲与
第01讲一元二次方程的定义与解法（核心考点讲与练）【基础知识】一．一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x 的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．二．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．三．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．四．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．五．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．六．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．七．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．八．解一元二次方程-公式法（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．九．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．十．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣xC．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝02．（2021秋•宜兴市月考）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝．3．（2021秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．二．一元二次方程的一般形式（共4小题）4．（2021秋•南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．（2021秋•海州区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为（）A．1、0 B．1、3 C．1、﹣3 D．﹣1、﹣36．（2021秋•黄石期末）将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是．7．（2020秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．三．一元二次方程的解（共5小题）8．（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣129．（2022•常州模拟）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝．10．（2022•邗江区一模）关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为．11．（2021•南海区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．（1）求a的取值范围；（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．12．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．四．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）13．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝2514．（2021秋•东台市期中）解方程：2x2＝6．15．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．16．（2018秋•鼓楼区期末）求4x2﹣25＝0中x的值．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）17．（2020秋•香洲区期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．18．（2022•碑林区校级三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）19．（2019秋•榕城区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．六．解一元二次方程-公式法（共3小题）20．（2019•合浦县二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．21．（2019•鼎城区模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．22．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）23．（2021秋•广陵区期末）解方程：（1）x2+5x+4＝0．（2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．24．（2021秋•泗阳县期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．八．换元法解一元二次方程（共3小题）25．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣226．（2021秋•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝．27．（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019•怀集县一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2．（2019秋•竞秀区期末）将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x+4）2＝﹣9 D．（x+8）2＝73．（2021秋•顺德区月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，104．（2019秋•苏州期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x+2＝3 B．x+y＝1 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2 15．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（）A．0或﹣2 B．﹣2 C．0 D．1或﹣1二．填空题（共3小题）6．（2018春•商南县期末）若（x﹣1）2＝4，则x＝．7．（2018春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝，p＝．8．（2016•江阴市校级开学）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝．三．解答题（共9小题）9．（2020秋•沭阳县期末）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．（2）8（x+1）3＝27．10．（2021秋•新北区校级期中）用恰当的方法解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）x2﹣3x﹣2＝0；（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．11．（2021秋•南京期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）100（x﹣1）2＝121．12．（2022•常州模拟）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣45＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．13．（2016秋•盐都区期末）（1）解方程：（x+1）2＝9；（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．14．（2021•吴中区开学）解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x+1）2＝2（x+1）．15．（2018秋•武进区校级期末）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．16．（2018秋•京口区校级月考）（阅读理解题）阅读材料，解答问题：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；当y ＝4时，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解为x1，x2，x3，x4；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若设x2﹣2x＝a，那么原方程可化为（结果化成一般式）（2）请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．17．（2020秋•饶平县校级期中）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：．解：设（t≥0）∴原方程化为2t﹣3＝0∴而∴∴请利用上面的方法，解出下面两个方程：（1）（2）。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解(提高)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）撰稿：张晓新 审稿：杜少波【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =±；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根； △＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】 类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x - 看作一个整体，然后设21x y -=， 那么原方程可化为2540y y -+=……①， 解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x ∴=，2x ∴=±当4y =时，214x -=，25x ∴=，5x ∴=±12x =22x =-35x 45x =-．解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程4260x x --=．【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设2x y =，那么原方程可化为260y y --= 解得13y =；22y =-当3y =时，23x =；3x ∴=±当2y =-时，22x =-不符合题意，舍去． 所以原方程的解为13x =，23x =-．【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想. 举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例3】 【变式】设m 是实数，求关于x 的方程2320x mx x m --++=的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值. 【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝240b a -=，可得出a 、b 之间的关系，然后将4)2(222-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值． 【答案与解析】∵)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．∵2222222222244444)2(aab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴4222==a b a ab【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根， ∴2(3)4()k ---＞0．即49k >-，解得，94k >-． （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=． 解得，135x +=，235x -=． （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．）类型二、分式方程3．解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x【思路点拨】把原方程右边化为x x x x x x x x x x 222225556561561156-+-+=-+--+=--+代入原方程求解较为简单.【答案与解析】x x x x x x 222561561156-+--+=--+原方程变为1176115622-++=--+x x x x∴++=-+∴++=-+∴=176156765602222x x x x x x x x x经检验，x =0是原方程的根. 【总结升华】因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式1】解方程：x x x x x x x x ++-++=++-++21436587【答案】原方程化为111113115117++--+=++--+x x x x ∴+-+=+-+11131517x x x x 方程两边通分，得213257()()()()x x x x ++=++∴++=++()()()()x x x x 5713化简得832x =- 解得x =-4经检验：x =-4是原方程的根.【变式2】解方程：7643165469222x x x x x x ----+=--+ 【答案】 设，则原方程可化为：k x x =-+265793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320当时，k x x =--=126702()()x x -+=710解之得：，x x 1217=-=当时，k x x =--+=-932065932022012019302x x -+=解此方程此方程无解.1217x x =-=经检验：，是原分式方程的根.4．m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？ 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m 的值. 【答案与解析】方程两边都乘以x 24-，得2436x m x x ++=-整理，得()m x -=-110【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m 为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3 【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m ＝3.所以，当m ＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？ 【思路点拨】设规定日期是x 天，则甲的工作效率为1x ，乙的工作效率为13x +，工作总量为1. 【答案与解析】设规定日期为x 天 根据题意，得2113231()x x x x +++-+= 解得x =6经检验x =6是原方程的根 答：规定日期是6天.【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，由题意得1000550 240x x=-，解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝ 30，④－②×，得＝，即x ＝ 10，④－③×，得＝，即y＝ 15．经检验，x＝ 10，y＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
换元法解方程四例
换元法是一种常见的解方程的方法。
下面为你举出四个例子，希望能帮助你理解换元法的思想。
解一元二次方程：设有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/2a，则原方程可化为y^2 + c - b^2/4a^2 = 0。
解得y1 = √(b^2/4a^2 - c)，y2 = -√(b^2/4a^2 - c)。
则x1 = y1 - b/2a，x2 = y2 - b/2a。
解一元三次方程：设有一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/3a，则原方程可化为y^3 + 3py + 2q = 0，其中p = c - b^2/3a^2，q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d。
如果p^3 + q^2 = 0，则y1 = y2 = y3 = √(-q)。
如果p^3 + q^2 ≠ 0，则y1 = √(-q + √(q^2 + p^3))，y2 = √(-q - √(q^2 + p^3))，y3 = 0。
则x1 = y1 - b/3a，x2 = y2 - b/3a，x3 = y3 - b/3a。
解二元一次方程组：设有二元一次方程组ax + by = c，dx + ey = f。
设y = xe/b，则原方程组可化为a - (d - ae/b)y = c，ey = f。
解得x = (bf - ce)/(e^2 - ab)，y = (c - ax)/b。
解二元二次方程组：设有二元二次方程组ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0。
设y = mx + n，则原方程组可化为(am^2 + bmn + cm)x^2 + (2amn + dm + en)x + (bn^2 + en + f) = 0，(gm^2 + hmn + im)x^2 + (2hmn + jm + kn)x + (hn^2 + kn + l) = 0。
11.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(七大题型)-原
1.2.1一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==2．若()222a =-，则a 是（）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．43．方程x 2-=0的根为_______．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．6．解方程：（1）23270x -=；（2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=；（4）()()4490+--=y y ．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝2382x =）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x =D ．12x x ==题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是()A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④12．方程x 2=（x ﹣1）0）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=013．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数14．已知方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是（）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，20．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为()A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．一、单选题10．若方程()200ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-二、填空题三、解答题19．解下列方程：224(1)x x =-．20．用直接开平方法解下列方程．（1）2160x -=；（2）2(2)9x -=．21．用开平方法解下列方程：(1)2 2.25x =；(2)243x =；(3)27560x -=；(4)()22714x -=．22．解方程：22(1)(12)x x +=-．→→→的顺序运算，请列式并计算结果；（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B答案与解析题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．【点睛】本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-= 2a ∴=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2-=0的根为_______．【答案】x=±【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解：x 2-=0，∴x 2=8，∴x =±．故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D 【解析】【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=⨯-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=≥的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=；（2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=；（4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x =）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x =D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x ，解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是()A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是()A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程x 2=（x ﹣1）0）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（）.A ．0m >B ．7mC ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-≥m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-≥m 时方程有实数解，解不等式得7m，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是（）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0≥可判断出正确答案．原方程可化为2a =c -x ，∵2x 0≥，∴c0a-≥时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a-≥，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y ==-；（2）121,3x x ==．【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=- ，4(52)x x ∴-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C 【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A 【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：，∴-a ，故选A 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D 【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为()A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A 【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=⋅=⋅=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++ ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，18．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++ 的值为________．【答案】1-【分析】根据()41444n n n i i i i i +=⋅=⋅=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．【解析】解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=⋅=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++ ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．三、解答题【解析】解：原式＝m 2﹣1﹣（4m 2+4m +1）+3m 2+6m＝m 2﹣1﹣4m 2﹣4m ﹣1+3m 2+6m＝2m ﹣2，∵m 2﹣1＝0，∴m ＝±1，当m ＝1时，原式＝2﹣2＝0，当m ＝﹣1时，原式＝﹣2﹣2＝﹣4，综上所述：原式的值为0或﹣4．【点睛】本题考查整式的化简求值，准确掌握乘法公式是解题的关键，计算中注意符号问题．26．计算(1)化简：2(1)(1)+--m m m (2)小华在解方程2(6)90x +-=时，解答过程如下：解：移项，得2(6)9x +=第一步两边开平方，得63x +=第二步所以3x =-第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D →→→的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+⨯--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B →→→的顺序运算，请列式并计算结果；（2）嘉嘉说x ，对x 按C B D A →→→的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求x ．【答案】（1）2(223)(3)--+⨯-，3-；（2）嘉嘉出的数是1或3．【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；（2）根据题意，可以得到关于x 的方程，然后解方程即可．【解析】（1）2(223)(3)--+⨯-1(3)=⨯-3=-.（2）根据题意得2[(2)(3)]312x -⨯-+=，29(2)9x -=，2(2)1x -=，11x =，23x =.x 为整数，∴嘉嘉出的数是1或3.【点睛】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，。
解一元二次方程(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
根的判别式 定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=． 【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=， 开平方得514x +=±， 解得114x =，294x =-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=． 【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =． 【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤． 例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=． 【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6， 配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116， 开方，得x +54＝±114， 解得：x 1＝32，x 2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值． 【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． （1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++． 当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8； （4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值． 【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=． 解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式． 练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值． 【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0． 【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解． 【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法） 【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=． 【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可； （2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-． （2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法； 题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=， 解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-． 【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-． 【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可． 【详解】解：（x -3）2=2（x -3） 移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0， （x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁． 练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解； （2）利用提公因式分解因式后求解． （1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =． （2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=， 解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =； （2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可． 【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0， 解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=． 【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2， 原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去 ， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+． 【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可． 【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0， 解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0． 【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0， 令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-； 当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=． 综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程1122x x +=． 【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验2x ＝是原方程的解； 故答案为：2x ＝； 理解应用：移项：1212x x -=+， 两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =， 经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值． 【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解． （1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值． 【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____． 【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-， 故答案为：552m +=或552-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． （1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法教学目标1.理解一元二次方程及其有关概念2.会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解教学重难点1.一元二次方程的判定，求根公式2.一元二次方程的解法与应用 课前练习： 1.方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
2.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
3.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
4.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法例1、解方程：;0822=-x ();0912=--x ()()2221619+=-x x11162492=+-x x例2. 下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x类型二、配方法 基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。
例4：已知010n 6-n m 2m 22=+++，求m 和n 的值。
例5：已知M=x+2，N=19-x 5x 5x -x 22+=+Q ，，其中x ＞2.（1）求证M ＜N ；（2）比较M 与Q 的大小。
换元法解一元二次方程例题20道
换元法解一元二次方程例题20道
当我们使用换元法解一元二次方程时，我们通常会使用一个新的变量来替代原方程中的变量，以便简化方程的求解过程。
这个新的变量通常被选为方程中的一部分，以便将原方程转化为一个更容易解决的形式。
以下是20个例题，使用换元法解一元二次方程的示例：
1. 解方程 $x^2 4x + 3 = 0$。
2. 解方程 $2x^2 5x + 2 = 0$。
3. 解方程 $3x^2 + 7x 6 = 0$。
4. 解方程 $4x^2 12x + 9 = 0$。
5. 解方程 $x^2 6x + 8 = 0$。
6. 解方程 $2x^2 9x + 5 = 0$。
8. 解方程 $4x^2 8x + 3 = 0$。
9. 解方程 $x^2 7x + 10 = 0$。
10. 解方程 $2x^2 3x 2 = 0$。
11. 解方程 $3x^2 + 4x 4 = 0$。
12. 解方程 $4x^2 5x + 1 = 0$。
13. 解方程 $x^2 8x + 15 = 0$。
14. 解方程 $2x^2 7x + 3 = 0$。
15. 解方程 $3x^2 + 2x 1 = 0$。
16. 解方程 $4x^2 9x + 2 = 0$。
17. 解方程 $x^2 9x + 20 = 0$。
19. 解方程 $3x^2 + 8x 4 = 0$。
20. 解方程 $4x^2 7x + 2 = 0$。
希望以上例题能够帮助您更好地理解如何使用换元法解一元二次方程。
如果您需要更详细的解答或其他问题，请随时告诉我。
第二章 一元二次方程 综合题型归类 培优练习(含详解)
一元二次方程-综合题型归类 培优练习【综合题型一】一元二次方程➼➻解法【综合①】一元二次方程的解法➼➻解一元二次方程★✭分式方程★✭换元法1．（2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①2310x x -+=；①2(1)3x -=；①230x x -=；①224x x -=．2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．3．（2019·上海·中考真题）解分式方程：228122-=--x x x x．4．（2020·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．问题：解方程2250x x ++=（提示：可以用换元法解方程），()0t t =≥，则有222x x t +=，原方程可化为：2450t t +-=，续解：2212(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x 满足220x x --=．6．（2020·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭，其中a 是关于x 的方程2230x x --=的根．【综合题型二】解一元二次方程➼➻根的判别式★✭韦达定理★✭换元法【综合①】根的判别式➼➻求参数取值范围★✭证明7．（2017·北京·中考真题）已知关于x 的方程()23220x k x k -+++=（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k 的取值范围8．（2013·山东淄博·中考真题）关于x 的一元二次方程()2a 6x 8x 90--+=有实根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；①求2232x 72x x 8x 11---+的值．9．（2016·北京·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2-1=0有两个不相等的实数根．【综合②】根的判别式✭★韦达定理➼➻求参数取值范围★✭证明10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．11．（2021·湖北荆门·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ，2x 两实数根．（1）若11x =，求2x 及m 的值；（2）是否存在实数m ，满足()()126115x x m --=-？若存在，求出求实数m 的值；若不存在，请说明理由．12．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1) 求实数k 的取值范围．(2) 设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．【综合题型三】一元二次方程的应用【综合①】一元二次方程的应用➼➻增长率问题★✭传播问题13．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加14．（2022·广西南宁·校联考一模）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：①用科学记数法表示数据8000万个为__________个；①如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米910-=米）15．（2017·广西桂林·中考真题）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2) 如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？【综合②】一元二次方程的应用➼➻图形问题★✭营销问题16．（2010·湖北宜昌·中考真题）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的213.设甬道的宽为x米.（1）求梯形ABCD的周长；17．（2021·山东日照·统考中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y （桶）与每桶降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？18．（2021·山东烟台·统考中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？19．（2012·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【挑战题型一】一元二次方程➼➻阅读材料问题★✭规律问题20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x ，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1) 直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2) 间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ，求44a b +的值； (3) 拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．21．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a 材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：①一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，①m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求n mm n+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求11s t-的值．22．（2018·贵州黔东南·统考中考真题）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（2022·安徽合肥·校考二模）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：＝第1个等式：1221+=++=+＝第2个等式：4682+=+＝第3个等式：912183+=+＝第4个等式：1620324(1)写出第5个等式：________．(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．24．（2018·江苏常州·中考真题）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；（2）拓展：用“转化”x=的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【挑战题型二】一元二次方程➼➻拓展问题★✭探究问题25．（2014·四川凉山·统考中考真题）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=1n（n+1）2n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12下列用一元二次方程解决上述问题n（n+1）设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．26．（2022·山东青岛·统考二模）实际问题：婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．问题探究：为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图4所示，第4条线与原来3条线相交，多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；(1)探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出部分，即最多分成部分；(2)探究六：用n条直线分一个长方形，最多可以分成部分；（用含n的代数式表示）(3)探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．27．（2020·山东青岛·中考真题）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．参考答案1．①x =①1x =①10x =，23x =；①1x = 【分析】①利用公式法求解即可．①利用直接开平方法求解即可．①利用因式分解法求解即可；①利用配方法求解即可；解：①2310x x -+=； ①a =1，b =-3，c =1， ①①=（-3）2-4×1×1=5＞0，①x =即12x x ==； ①2(1)3x -=；①x -1=①1211x x == ①230x x -=； ①x （x -3）=0 ①x =0或x =3 ①10x =，23x =； ①224x x -= ①22141x x -+=+ ①()215x -=；①1x -=①1211x x ==2．1x 2x 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 解：原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝， 29x x 172﹣＝， 298181x x 1721616-++＝，29353x 416-（）＝，所以12x 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．x ＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．解：去分母得2x 2－8＝x 2－2x ， 移项、整理得x 2＋2x －8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝－4．经检验：x ＝2是增根，舍去；x ＝－4是原方程的根． ①原方程的根是x ＝－4．【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．4．11x =-21x =-．【分析】利用因式分解法解方程t 2+4t -5=0得到t 1=-5，t 2=11=，然后进行检验确定原方程的解．解：续解：()229t +=，23t ∴+=±，解得11t =，25t =-（不合题意，舍去），1t ∴=，221x x +=，2(1)2x ∴+=，1211x x ∴=-=-经检验都是方程的解．【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．5．x （x +1）；6【分析】先求出方程220x x --=的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 解：①220x x --= ①x =2或x =-1 ①2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2222()11x x x x x ++÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x （x +1）①x =-1分式无意义，①x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x 的值是解答本题的易错点．6．a 2+2a+1；16【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可． 解：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭ ()()1111a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥-⎣⎦ ()()()1111a a a a aa+-+=⨯-()21a =+=a 2+2a+1①a 是关于x 的方程2230x x --=的根， ①a 2-2a -3=0， ①a=3或a=-1， ①a 2+a≠0， ①a≠-1， ①a=3，①原式=9+6+1=16.【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键． 7．（1）证明见分析；（2）10k -<<【分析】（1）证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成； （2）将k 视为数，求出方程的两个根，即可求出k 的取值范围. 解：（1）证明：1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥①方程总有两个实数根（2）()23220x k x k -+++=①3(1)2k k x +±-=①121,2x k x =+= ①方程有一个小于1的正根①011k <+< ①10k -<<【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．（1）a 的最大整数值为7．（2）①12x 4x 4==①292-【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到()644a 690∆=-⨯-⨯≥且a 60-≠，解得7a 79≤且a≠6，然后在此范围内找出最大的整数．（2）①把a 的值代入方程得到2x 8x 90-+=，然后利用求根公式法求解．①由于2x 8x 90-+=则2x 8x 9-=-，把2x 8x 9-=-整体代入所求的代数式，再变形得到()272x 8x 2-+，再利用整体思想计算即可．解：（1）根据题意() a 60{644a 690-≠∆=-⨯-⨯≥，解得 a 6{7a 79≠≤．①a 的最大整数值为7．（2）①当a=7时，原方程变形为2x 8x 90-+=， 6441928∆=-⨯⨯=，①x 4==①12x 4x 4== ①①2x 8x 90-+=，①2x 8x 9-=-． ①()()2222232x 732x 7777292x 2x 2x 16x 2x 8x 29x 8x 119112222---=-=-+=-+=⨯-+=--+-+【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握①与根的情况之间的关系是关键.9．（1）m ＞-54；（2）x 1=0，x 2=-3．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m =1，将m =1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 解：（1）①关于x 的一元二次方程2x +（2m +1）x +2m ﹣1=0有两个不相等的实数根， ①Δ=()()2221411m m +-⨯⨯-=4m +5＞0， 解得：m ＞54-；（2）m =1，此时原方程为2x +3x =0， 即x （x +3）=0， 解得：1x =0，2x =﹣3．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 10．(1) 见分析(2) 1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值． 解：（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+， ①2120m ≥， ①241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-， ①25αβ+=， ①52αβ=-， ①522ββ-+=， 解得：3β=，1α=-， ①23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 11．（1）25x =，3m =；（2）存在，2m =【分析】（1）根据题意可得①＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m 的方程，整理后可即可解出m 的值． 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m −1)>0， ①m <5，将x 1=1代入原方程得：m =3， 又①x 1•x 2=2m −1=5， ①x 2=5，m =3；（2）设存在实数m ，满足()()126115x x m --=-，那么 有()1212615x x x x m -++=-⋅， 即6(21)615m m --+=-， 整理得：28120m m -+=， 解得2m =或6m =． 由（1）可知5m <， ①6m =舍去，从而2m =， 综上所述：存在2m =符合题意．【点拨】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．12．(1) k 174≤；(2) k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值． （1）解：①一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． ①∆≥0，即32-4（k -2）≥0， 解得k 174≤（2）①方程的两个实数根分别为12,x x ， ①12123,2x x x x k -+==-， ①()()12111x x ++=-， ①121211x x x x +++=-， ①2311k --+=-， 解得k =3．【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．13．(1) 20% (2) 18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ， 根据题意得：21000(1)1440x +=， 解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-， 经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区， 由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+， 解得181823y ≤． ①y 为正整数，①最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．14．(1) 10个人(2) ①7810⨯；①12.8米【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据“有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感”建立方程，解方程即可得；（2）①根据科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）即可得；①利用160纳米乘以8000万即可得．（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 由题意得：22(1)242x +=，解得1210,12==-x x （不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人． （2）解：①8000万34781010810=⨯⨯=⨯， 故答案为：7810⨯；①9729716010810 1.6101081012.8--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（米）， 答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是12.8米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、科学记数法、负整数指数幂与同底数幂乘法的应用，正确建立方程和熟练掌握科学记数法是解题关键．15．(1) 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2021年最多可购买电脑880台【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其中的最大值即可．（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意得：5000（1＋x ）2=7200， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元）， 设购买电脑m 台，则购买实物投影仪（1500−m ）台， 根据题意得：3500m ＋2000（1500−m ）≤86400000×5%， 解得：m ≤880，答：2021年最多可购买电脑880台．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x 的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m 的一元一次不等式．16．（1）256米 （2）（128-2x ）米 （3）4米解：（1）在等腰梯形ABCD 中， AD =EF =48，()121(10848)23050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴===，，，，∴梯形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =50+108+50+48=256(米).···· 2分（2）甬道的总长：402482(1282)x x ⨯+-=-米.··············· 4分 （3）根据题意，得 21(1282)40(48108)132x x -=⨯⨯+.····················· 7分 整理，得x 2−64x +240=0， 解之得x 1=4，x 2=60.因6048>，不符合题意，舍去. 答：甬道的宽为4米.···························· 10分17．（1）y =10x +100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x 的一元二次方程，通过解方程即可求解． 解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：1101303k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：10100y x =+；（2）由题意得：(10100)(5535)1760x x +⨯--=， 整理，得210240x x --=． 解得112x =，22x =-（舍去）． 所以5543x -=．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键．18．（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x 元，根据利润不变，列出关于x 的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m 折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）设每件的售价定为x 元， 则有：60(1020)(40)(6040)205xx -⨯+⨯-=-⨯，解得：125060x x ==，(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m 折， 根据题意得：62.55010m ⨯≤， 解得：8m ≤，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．19．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.①要尽可能让利于顾客，①每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．20．(1) 1x ，2x =3x 4x =(2)454(3) 15【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令21m =a ，-n =b ，则2a +a -7=0，2b +b =0，再模仿例题解决问题． （1）解：令y =2x ，则有2y -5y +6=0，①（y -2）（y -3）=0，①1y =2，2y =3，①2x =2或3，①1x =2x =3x =4x =故答案为：1x =，2x =3x 4x =。
换元法解一元二次方程专题
换元法 解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我 们可 以通过整体换元的方法,把 方程转
化为一元二次方程进行求解,从 而达到降次或变 复杂为简单 的 目的。 换元法 的实质是换元,关 键是构造元和设元,体 现 的是转化化归思想。
用换元法解某些高次方程
例 1.解 访Γ程 :艿 4-2艿 2-3=0.
设
刂原方程z楚形为:y2-5y+4=0①
'≡ `,贝
解 之得 :yl=1,y2=4
当2〓,△源自1,解 之得 :△=± 1;
`=1时
当 y=4时,/=4,解 之得:石 =±2.
综上,原方程 的解 为:万1=1,艿2=-1,丌 3=2,豸4=-2,
转化思想;
(2)解方程:02+力2-402+力 -12=0.
程无觥
由 =2得 ⒉ 2一 艿+嘟
苄
之得 冯 〓-:/2=⒈
灶 ,肪 程 咖 伪 凡 一 :彳 =⒈
第 2页
例 方程 ÷十刃 5.解
2十
:γ
+÷ =0。
2-2=/-2. 分 析 :设 卅 〓y,则 厉2+÷ =〔 艿+引
÷
解:'十 ⊥L十 艿十÷=0
〔· 艿 +÷ )2+〔
+÷)-2=0
设 艿+÷ =y,贝刂有 :y2+yˉ 2=0
第 4页
(yˉ lX冫 十2)=0 ,· 。yˉ 1=0或 y+2=0
r。 、1=1,y2〓 -2
∴艿十⊥〓1或 艿+⊥ =-2
艿
豸
由
刃+⊥
=1得
2一
中考数学复习换元法解一元二次方程专项练习35题
换元法解一元二次方程(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6 （12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0 （15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2020的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0， (32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0 ∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2020的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2020=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4 (28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A．20°B．35°C．15°D．45°【答案】A【解析】根据∠ABD＝35°就可以求出AD的度数，再根据180BD︒=，可以求出AB,因此就可以求得ABC∠的度数，从而求得∠DBC【详解】解：∵∠ABD＝35°，∴的度数都是70°，∵BD为直径，∴的度数是180°﹣70°＝110°，∵点A为弧BDC的中点，∴的度数也是110°，∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，∴∠DBC ＝＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．2．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DGGE CG==1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】A 选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°； B 选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°， ∴∠2=∠4， ∵∠1+∠4=180°， ∴∠1+∠2=180°； C 选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB ∥DE ，∴∠2=∠EFC ， ∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°； D 选项：∠1和∠2不一定互补. 故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.4．如图,已知点E 在正方形ABCD 内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80【答案】C【解析】试题解析：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴22226810AE BE +=+=∴S 阴影部分=S 正方形ABCD -S Rt △ABE =102-1682⨯⨯ =100-24=76. 故选C.考点：勾股定理.5．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ） A ．10000x ﹣90005x -=100B ．90005x -﹣10000x=100 C ．100005x -﹣9000x=100D ．9000x ﹣100005x -=100 【答案】B【解析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 ﹣10000x=100，故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°【答案】B【解析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=1 2（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=1 2（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．7．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2，4穿回哪里，铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变，观察四个选择即可得出结论．【详解】解：摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，∵选项A ，B ，C 中铁片顺序为1，1，5，6，选项D 中铁片顺序为1，5，6，1． 故选D ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，找准铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变是解题的关键． 8．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数ky x= (x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )A ．92B ．74C ．245D ．12【答案】C【解析】设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （4a，b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k. 【详解】∵四边形OCBA 是矩形， ∴AB=OC ，OA=BC ， 设B 点的坐标为（a ，b ）， ∵BD=3AD ， ∴D （4a，b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上，∴4ab =k ，∴E （a ， ka），∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-12•4ab-12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=245，故选：C 【点睛】考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab ＜0，②b 2＞4a ，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当x ＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论的个数是A ．5个B ．4个C ．3个 D ．2个【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax 3+bx+c （a≠3）过点（3，3）和（﹣3，3）， ∴c=3，a ﹣b+c=3．①∵抛物线的对称轴在y 轴右侧， ∴bx 2a=-,x ＞3． ∴a 与b 异号． ∴ab ＜3，正确．②∵抛物线与x 轴有两个不同的交点， ∴b 3﹣4ac ＞3． ∵c=3，∴b 3﹣4a ＞3，即b 3＞4a ．正确． ④∵抛物线开口向下，∴a ＜3． ∵ab ＜3，∴b ＞3．∵a ﹣b+c=3，c=3，∴a=b ﹣3．∴b ﹣3＜3，即b ＜3．∴3＜b ＜3，正确． ③∵a ﹣b+c=3，∴a+c=b ． ∴a+b+c=3b ＞3． ∵b ＜3，c=3，a ＜3，∴a+b+c=a+b+3＜a+3+3=a+3＜3+3=3． ∴3＜a+b+c ＜3，正确．⑤抛物线y=ax 3+bx+c 与x 轴的一个交点为（﹣3，3），设另一个交点为（x 3，3），则x 3＞3， 由图可知，当﹣3＜x ＜x 3时，y ＞3；当x ＞x 3时，y ＜3．∴当x ＞﹣3时，y ＞3的结论错误．综上所述，正确的结论有①②③④．故选B ． 10．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 【答案】A【解析】解：∵点P 所表示的数为a ，点P 在数轴的右边，∴-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍，∴数-3a 所对应的点可能是M ，故选A ．点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍．二、填空题（本题包括8个小题） 11．计算(32)3_____ 2【解析】根据二次根式的运算法则进行计算即可求出答案．【详解】( 323=3232 2【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.12．关于x 的一元二次方程24410x ax a +++=有两个相等的实数根，则581a aa --的值等于_____．【答案】3-【解析】分析：先根据根的判别式得到a-1=1a，把原式变形为23357a a a a +++--，然后代入即可得出结果.详解：由题意得：△=2(4)44(1)0a a -⨯+= ，∴210a a --= ，∴221,1a a a a =+-=，即a(a-1)=1, ∴a-1=1a, 5562232888()811a a a a a a a a a a--∴==-=-- 33232(1)8(1)3318835a a a a a a a a a=+-+=+++--=+-(1)3(1)57a a a a =+++-- 24a a =--143=-=-故答案为-3.点睛：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac ：当△>0, 方程有两个不相等的实数根；当△<0, 方程没有实数根；当△=0，方程有两个,相等的实数根，也考查了一元二次方程的定义.13．若-2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，则m+n= ． 【答案】-1．【解析】试题分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得方程组，根据解方程组，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．试题解析：由-2a m b4与5a2b n+7是同类项，得，解得．∴m+n=-1．考点：同类项．14．如图，正方形ABCD的边长为422+，点E 在对角线BD 上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是__________．【答案】2【解析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．【详解】设EF=x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∴BD=2AB=42+4，EF=BF=x，∴BE=2x，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠DAE，∴AD=ED，∴BD=BE+ED=2x+4+22=42+4，解得：x=2，即EF=2.15．因式分解：a2b＋2ab＋b＝．【答案】b2【解析】该题考查因式分解的定义首先可以提取一个公共项b，所以a2b＋2ab＋b＝b （a2＋2a＋1）再由完全平方公式（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2所以a2b＋2ab＋b＝b（a2＋2a＋1）=b2 16．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．【答案】36°【解析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为36°．17．如图，点,,D E F分别在正三角形ABC的三边上，且DEF∆也是正三角形.若ABC∆的边长为a，DEF∆的边长为b，则AEF∆的内切圆半径为__________．【答案】3()6a b-【解析】根据△ABC 、△EFD 都是等边三角形，可证得△AEF ≌△BDE ≌△CDF ，即可求得AE+AF=AE+BE=a ，然后根据切线长定理得到AH=12（AE+AF-EF ）=12（a-b ）；，再根据直角三角形的性质即可求出△AEF 的内切圆半径．【详解】解：如图1，⊙I 是△ABC 的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE ，BD=BF ，CE=CF ，∴AD=AE=12[（AB+AC ）-（BD+CE ）]=12 [（AB+AC ）-（BF+CF ）]=12（AB+AC-BC ），如图2，∵△ABC ，△DEF 都为正三角形， ∴AB=BC=CA ，EF=FD=DE ，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°， ∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3； 在△AEF 和△CFD 中，13BAC CEF FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CFD （AAS ）；同理可证：△AEF ≌△CFD ≌△BDE ； ∴BE=AF ，即AE+AF=AE+BE=a ．设M 是△AEF 的内心，过点M 作MH ⊥AE 于H ， 则根据图1的结论得：AH=12（AE+AF-EF ）=12（a-b ）；∵MA 平分∠BAC ， ∴∠HAM=30°；∴HM=AH•tan30°=12（a-b ）3)3a b -)3a b -． 【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出AH 的长是解题关键．18．关于x 的方程2230mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是__________．【答案】13m <且0m ≠【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m ＞1且m≠1，求出m 的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx 2-2x+3=1有两个不相等的实数根， ∴△＞1且m≠1， ∴4-12m ＞1且m≠1，∴m ＜13且m≠1， 故答案为：m ＜13且m≠1．点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=1（a≠1，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，ABC ∆的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.在图1中画出AB 边上的中线CD ；在图2中画出ABEF ，使得ABEFABC SS ∆=.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）利用矩形的性质得出AB 的中点，进而得出答案．（2）利用矩形的性质得出AC 、BC 的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等. 【详解】（1）如图所示：CD 即为所求.（2）【点睛】本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键．20．如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 与边AC 相交于点D ，BC 是⊙O 的切线，E 为BC 的中点，连接AE 、DE ．求证：DE 是⊙O 的切线；设△CDE 的面积为 S 1，四边形ABED 的面积为 S 1．若 S 1＝5S 1，求tan ∠BAC 的值；在（1）的条件下，若AE ＝32，求⊙O 的半径长． 【答案】（1）见解析；（1）tan ∠BAC ＝22；（3）⊙O 的半径＝1．【解析】（1）连接DO ，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E 为BC 的中点可以得出DE=BE ，就有∠EDB=∠EBD ，OD=OB 可以得出∠ODB=∠OBD ，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．（1）由S 1=5 S 1可得△ADB 的面积是△CDE 面积的4倍，可求得AD ：CD=1：1，可得AD :BD 2:2=．则tan ∠BAC 的值可求；（3）由（1）的关系即可知DB BCAD AB=，在Rt △AEB 中，由勾股定理即可求AB 的长，从而求⊙O 的半径.【详解】解：（1）连接OD ，∴OD ＝OB∴∠ODB ＝∠OBD ． ∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠CDB ＝90°． ∵E 为BC 的中点，∴DE ＝BE ， ∴∠EDB ＝∠EBD ，∴∠ODB+∠EDB ＝∠OBD+∠EBD ， 即∠EDO ＝∠EBO ．∵BC 是以AB 为直径的⊙O 的切线， ∴AB ⊥BC ， ∴∠EBO ＝90°， ∴∠ODE ＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线； （1）∵S 1＝5 S 1 ∴S △ADB ＝1S △CDB ∴AD 2DC 1= ∵△BDC ∽△ADB∴AD DBDB DC⋅= ∴DB 1＝AD•DC ∴DB 2AD 2=∴tan ∠BAC ＝＝22． （3）∵tan ∠BAC ＝DB 2AD 2=∴22BC AB =，得BC ＝22AB ∵E 为BC 的中点∴BE ＝24AB∵AE ＝32，∴在Rt △AEB 中，由勾股定理得2222(32)AB AB 4⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得AB ＝4 故⊙O 的半径R ＝12AB ＝1．【点睛】本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．21．实践：如图△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）作∠BAC 的平分线，交BC 于点O.以O 为圆心，OC 为半径作圆.综合运用：在你所作的图中，AB 与⊙O 的位置关系是_____ .（直接写出答案）若AC=5，BC=12，求⊙O 的半径.【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）⊙O 的半径为103. 【解析】综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB 与⊙O 的位置关系是相切； （2）首先根据勾股定理计算出AB 的长，再设半径为x ，则OC=OD=x ，BO=（12-x ）再次利用勾股定理可得方程x 2+82=（12-x ）2，再解方程即可． 【详解】（1）①作∠BAC 的平分线，交BC 于点O ； ②以O 为圆心，OC 为半径作圆．AB 与⊙O 的位置关系是相切．（2）相切； ∵AC=5，BC=12，∴AD=5，AB=22512+=13， ∴DB=AB-AD=13-5=8，设半径为x ，则OC=OD=x ，BO=（12-x ） x 2+82=（12-x ）2，解得：x=103．答：⊙O 的半径为103． 【点睛】本题考查了1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．切线的判定． 22．已知关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2(k ﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根．求 k 的取值范围；写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．【答案】方程的根120=2x x =-或【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（1）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 1﹣1（k ﹣a ）x+k （k+1）=0有两个不相等的实数根， ∴△=[﹣1（k ﹣1）]1﹣4k （k ﹣1）=﹣16k+4＞0， 解得：k ＜14． （1）当k=0时，原方程为x 1+1x=x （x+1）=0，解得：x 1=0，x 1=﹣1．∴当k=0时，方程的根为0和﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（1）取k=0，再利用分解因式法解方程．23．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是（42，0）．正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ．将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45°，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ 为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．【答案】（1）4，(22,22；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216；（3）83t =. 【解析】（1）连接AB ，根据△OCA 为等腰三角形可得AD=OD 的长，从而得出点A 的坐标，则得出正方形AOBC 的面积；（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C ，A′E ，再求出面积即可；（3）根据P 、Q 点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时，②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时，③当点P 、Q 在AC 上时，可方程得出t ．【详解】解：（1）连接AB ，与OC 交于点D ， 四边形AOBC 是正方形， ∴△OCA 为等腰Rt △，∴AD=OD=12OC=22，∴点A 的坐标为()22,22.4，()22,22. （2）如图∵ 四边形AOBC 是正方形， ∴ AOB 90∠=，AOC 45∠=.∵ 将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45， ∴ 点A '落在x 轴上. ∴OA OA 4'==. ∴ 点A '的坐标为()4,0. ∵ OC 42=，∴ A C OC OA 424=-='-'. ∵ 四边形OACB ，OA C B '''是正方形， ∴ OA C 90∠''=，ACB 90∠=. ∴ CA E 90∠'=，OCB 45∠=. ∴ A EC OCB 45∠∠=='.∴ A E A C 424=='-'.∵2ΔOBC AOBC 11S S 4822==⨯=正方形， ()2ΔA EC11S A C A E 4242416222'=⋅=-=-''，∴ΔOBC ΔA EC OA EBS S S ''=-=四边形 ()82416216216--=-.∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为16216-.（3）设t 秒后两点相遇，3t=16，∴t=163①当点P 、Q 分别在OA 、OB 时， ∵POQ 90∠=,OP=t ，OQ=2t∴ΔOPQ 不能为等腰三角形②当点P 在OA 上，点Q 在BC 上时如图2，当OQ=QP ，QM 为OP 的垂直平分线， OP=2OM=2BQ ，OP=t ，BQ=2t-4， t=2（2t-4）， 解得：t=83． ③当点P 、Q 在AC 上时，ΔOPQ 不能为等腰三角形综上所述，当8t 3=时ΔOPQ 是等腰三角形 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．24．雾霾天气严重影响市民的生活质量。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
综合 解一元二次方程—换元法
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【典例解析】例1．用适当方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣3=0（2）16（x+5）2﹣9=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，∴x===，∴x1=3，x2=﹣；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=±，即x1=﹣4，x2=﹣5，（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=﹣3．∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5（2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．解：（1）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．（2）设x2﹣x=y∴原方程化为y﹣=1∴y2﹣2=y∴y2﹣y﹣2=0∴（y+1）（y﹣2）=0∴y1=﹣1，y2=2∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1．例3．解下列方程：（1）2x2+5x﹣3=0（2）（3﹣x）2+x2=9（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答．解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以2x﹣1=0或x+3=0，解得，x=或x=﹣3；（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9=0，变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，解得x=3或x=6；（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0即（x﹣3）（x﹣4）=0解得x=3或x=4．例4．阅读下面材料：解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．解：设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）解得y1=6，y2=﹣2（4分）当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0∴x1=3，x2=﹣2（6分）当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0∴方程无实数解（8分）∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）例5．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【同步训练】一．选择题（共10小题）1．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣1，x2=﹣22．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）A．y2+y﹣6=0 B．y2﹣y﹣6=0 C．y2﹣y+6=0 D．y2+y+6=03．用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（）A．y2+2y+1=0 B．y2﹣2y+1=0 C．y2+2y﹣1=0 D．y2﹣2y﹣1=04．已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣25．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2=0，如果设x2﹣3=y，那么原方程可变形为（）A．y2﹣5y+2=0 B．y2+5y﹣2=0 C．y2﹣5y﹣2=0 D．y2+5y+2=06．若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（）A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣67．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣18．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或39．正整数x，y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y的值是（）A．10 B．18 C．26 D．10或1810．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2二．填空题（共5小题）11．已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．12．解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为_________．13．若a2﹣2ab+b2+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b=_________．14．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，如果设x2﹣x=y，那么原方程变为_________．15．在解方程（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0时，通过换元并整理得方程y2﹣2y﹣3=0，则y=_________．三．解答题（共4小题）16．解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=017．如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．18．对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程．19．用适当方法解下列方程（1）（2y﹣1）2=（2）x﹣=5x（﹣x）（3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0参考答案一．选择题（共10小题）1．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．故选D．2．解：把x2+x整体代换为y，y2+y=6，即y2+y﹣6=0．故选A．3．解：设y=x2+x，得y2+2y﹣1=0．故选C．4．解：∵x2+=0∴∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0∴x+=1或﹣2．∵x+=1无解，∴x+=﹣2．故选D．5．解：∵x2﹣3=y∴3﹣x2=﹣y所以y2+5y+2=0．故选D．6．解：设x﹣y=m，则原方程可化为：m2+m﹣6=0，解得x1=2，x2=﹣3；故选B7．解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，又∵x2+y2的值是非负数，∴x2+y2的值为只能是1．故选B．8．解：∵x、y为正整数，∴或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，∴x+y=10或18．故选D．10．解：设a2+b2=x，则有：x（x﹣2）=8即x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4；∵a2+b2≥0，故a2+b2=x2=4；故选B二．填空题（共5小题）11．解：原方程可化为x2+（）2+2x•+2（x+）+1=2+2x•（x++1）2=4x++1=±2．12．解：∵x2﹣5=y，∴x2=5+y，∴（x2﹣5）2﹣x2+3=y2﹣y﹣5+3=y2﹣y﹣2=0，故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．13．解：设t=a﹣b，则原方程可化为：t2+2t+1=0，整理得：（t+1）2=0，解得：t=﹣1．∴a﹣b=﹣1．14．解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=015．解：方程整理，得（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0故y=x2﹣1三．解答题（共4小题）16．解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣．17．证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．x4±2x+1=0，即x4﹣x2+x2±2x+1=x2（x+1）（x﹣1）+（x±1）2=0，此等式有公因式，可得x=±1．而由题意知：a≠±2，即x≠±1．则有a=﹣=﹣x3﹣，其中x≠±1．a为整数，而a=﹣x3﹣，若x为整数且x≠±1，那么x3为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．那么﹣x3﹣=﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．故当a为整数时，方程没有有理根．18．解：因为方程左边的第1、3项都是整数，所以3y是整数．注意到，代入方程，得到，．所以是整数，3y是10的倍数．令3y=10k，k是整数，代入得，其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．所以有，．当k取不同整数时，的情况如下表：k ≤﹣2 =﹣1 =0 =1 =2 =3 ＞31﹣k﹣＜﹣1=﹣=1===0 ＜﹣1k的可能值是﹣1和3，相应的和y=10．代入验算得到或y=10．故答案：或y=10．19．解：（1）方程原式两边同乘以2得（2y﹣1）2=，∴2y﹣1=±，y=±；（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，解得x1=，x2=﹣；（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，解得x1=﹣3，x2=8；（4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，设2x+1为y，得y2+3y﹣4=0，利用配方法得（y+）2=4+，y+=±，得y=1或﹣4，设2x+1为y，则x1=0，x2=﹣．。
第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法
第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法知识点01 因式分解的方法1. 因式分解的方法：①提公因式法：=++cm bm am ；②公式法：平方差公式：=-22b a ；完全平方公式：=+±222b ab a ；③十字相乘法：分解c bx x ++2，若mn c =且b n m =+，则=++c bx x 2 。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
【即学即练1】1．把下列各式因式分解：（1）2a 2﹣4a ；（2）（a 2+9）2﹣36a 2； （3 ）x 2+2x ﹣15．知识点02 利用因式分解法解一元二次方程1. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤：①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 。
②对方程的左边进行 ，使其成为两个整式的积的形式。
③别分令两个整式为 ，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。
题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。
②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】2．一元二次方程（x ﹣5）2＝4（x ﹣5）的解为（ ）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝5x 2＝9D ．x 1＝5x 2＝1【即学即练2】3．方程x 2﹣3x ﹣18＝0的根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝6B ．x 1＝﹣3，x 2＝6C ．x 1＝3，x 2＝﹣6D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣6 【即学即练3】4．解方程（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0．知识点03 整体法或换元法解一元二次方程1. 整体法或换元法：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【【【【【【()()041512=+---x x 【 【【【y x =-1，【【【【【【【0452=+-y y 【 【【4121==y y ，【 【y=1【【【x -1=1【【【x =2【【y=4【【【x -1=4【【【x =5【【【【【【【【【x 1=2【x 2=5【题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。
解一元二次方程(压轴题专项讲练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(苏科版)
解一元二次方程换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。
换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。
换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。
换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。
一、直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤：①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.二、配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．三、公式法解一元二次方程个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【典例1】阅读材料，并解答问题：数学运算中有一种非常重要的思想—“换元法”．它的本质是将一个冗长的、前后具有相同形式的式子用一个字母来代替，将其化为我们所熟悉的形式．例如：为解方程(x2―1)2―5 (x2―1)+4=0，我们将x2―1看成一个整体，然后设x2―1=y，则原方程化为y2―5y+4=0，∴(y―1) (y―4)=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2―1=1，∴x=±y=4时，x2―1=4，∴x=±x1=x2=―x3=x4=―请利用以上方法解下面方程：（1）x4―2x2―8=0；（2）(x2+3)2―9(x2+3)+20=0；（3）3x―12x―8x3x―1=3．（1）设x2=y，则y2―2y―8=0，解得y1=4,y2=―2，根据y=x2>0，得出x2=4，求解即可；（2）设x2+3=y，则y2―9y+20=0，解得：y1=4,y2=5，分别求解当y=4时，和当y=5时，方程x2+3=y的解即可；（3）设3x―12x=y，则y―4y=3，求解y1=4,y2=―1，分别求解当y=4时和当y=1时方程3x―12x=y的解即可．（1）解：x4―2x2―8=0，设x2=y，y2―2y―8=0，(y―4)(y+2)=0，y―4=0或y+2=0，解得：y1=4,y2=―2，∵y=x2>0，∴y=4，∴x2=4，解得：x1=2,x2=―2．（2）解：(x 2+3)2―9(x 2+3)+20=0，设x 2+3=y ，y 2―9y +20=0，(y ―4)(y ―5)=0，y ―4=0或y ―5=0，解得：y 1=4,y 2=5，当y =4时，x 2+3=4，解得：x =±1，当y =5时，x 2+3=5，解得：x =±综上：x 1=1,x 2=―1,x 3=4=―（3）解：3x―12x ―8x 3x―1=3，设3x―12x=y ，y ―4y =3，y 2―3y ―4=0，(y ―4)(y +1)=0，y ―4=0或y +1=0，y 1=4,y 2=―1，经检验，y 1=4,y 2=―1，是方程y ―4y =3的解，当y =4时，3x―12x=4，解得：x =―15，经检验，x =―15是方程3x―12x =4的解；当y =1时，3x―12x =1，解得：x =1，经检验，x =1是方程3x―12x =1的解；综上：x 1=―15,x 2=1．1．（2023上·山东菏泽·九年级校考阶段练习）解方程：（1）2t 2―6t +3=0（用配方法）（2）3(x ―5)2=2(5―x )（用因式分解法）（3）2x 2―4x ―1=0（公式法）2．（2023上·四川成都·九年级华西中学校联考期中）用适当的方法解方程：（1）2(x ―1)2―18=0（2）9x 2―12x ―1=0（3）x 2+5x =6（4）3x (2x ―5)=4x ―103．（2023上·辽宁鞍山·（1）2(x ―3)2=x 2―9（因式分解法）（2）2x 2――3=0（公式法）4．（2023上·湖南衡阳·九年级阶段练习）解方程（1）(x ―1)(x +2)=4；（3）2(x ―3)(x +4)=x 2―10．5．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考期中）解方程（1）x2―3x―1=0（2）x(2x+3)=4x+6（3）(x―2)2―7(x―2)=18（4）(2x+3)2=x2―6x+96．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）运用适当的方法解方程（1）(x―3)2=25；（2）x2―x―1=0；（3）x2―6x+8=0；（4）(x2―x)2―5(x2―x)+6=07．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）用适当方法解下列方程（1）x2+4x―12=0（2）x2―3x+2=0（3）x(x―1)=x（4）x2―3x+1=0（5）(4x+1)2=(5x+2)2（6）(2x+1)2+3(2x+1)+2=0．8．（2023下·八年级课时练习）解方程(x―2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．9．（2023下·湖南长沙·=y =z =x．10．（2023上·全国·九年级专题练习）解下列方程：（1）2(x 2﹣7x)2﹣21(x 2﹣7x)+10＝0；（2）(2x 2+3x )2﹣4(2x 2+3x )﹣5=0．11．（2024·全国·=103．12．（2023上·湖北宜昌·八年级校考期末）解方程x 2+3x ―3x 2+3x―7=9．13．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）解方程：（1）x―2x+2―16x 2―4=x+2x―2．（2）(x +4)2―5(x +4)=0．14．（2023上·上海青浦·八年级校考期末）解方程：（1=2；（2）2xx2―2x―3―1x―3=1；（3）2x2―=015．（2023下·安徽六安·八年级校考阶段练习）根据要求解答下列问题（1）①方程x2-2x+1=0的解为；②方程x2-3x+2=0的解为；③方程x2-4x+3=0的解为；（2）根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2-9x+8=0的解为，并用配方法解方程进行验证；（3）根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2-(1+m)x+m=0的解为．16．（2023上·山西运城·九年级统考期中）读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如x3+x2―2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x―2)=0，解方程x=0和x2+x―2=0，可得方程x3+x2―2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2―2x=0的解是x1=0，x2=，x3=；（2）拓展：用“转化”=x的解．17．（2023上·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程x4―x2―6=0可将方程变形为(x2)2―x2―6=0然后设x2=y，则(x2)2=y2，原方程化为y2―y―6=0①，解①得y1=―2，y2=3．当y1=―2时，x2=―2无意义，舍去；当y2=3时，x2=3，解得x=±∴原方程的解为x1=x2=―上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）(x2―2x)2―5x2+10x+6=0；（2）3x2+15x+=2．18．（2023上·江苏·九年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：解方程：x2+|x|―2=0．解：∵x2=|x|2，∴方程即为：|x|2+|x|―2=0，设|x|=t，原方程转化为：t2+t―2=0解得，t1=1，t2=―2，当t1=1时，即|x|=1，∴x1=12=―1；当t2=―2时，即|x|=―2，不成立．∴综上所述，原方程的解是x1=1，x2=―1．以上解方程的过程中，将其中|x|作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：x2+1x2―2x―2x―1=0，若设x+1x=m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方程是______；（2）仿照上述方法，解方程：1x――5=0．19．（2024·全国·八年级竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：x2―3x+2=0，将方程左边因式分解得：(x―1)(x―2)=0，则x―1=0或x―2=0，解得x1=1,x2=2．根据以上材料，解答下列问题：（1）解方程：x2―4x+3=0；（2+4⋅x2―6x―5=0．20．（2023上·甘肃天水·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：方程：x4―6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2―6y+5=0，解这个方程得：y1=1，y2=5．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±所以原方程有四个根：x1=1，x2=―1，x3=x4=―在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）利用换元法解方程(x2―x)2―4(x2―x)―12=0得到方程的解为______．（2）若x2+y2+1x2+y2+3=8，求x2+y2的值．（3）利用换元法解方程：x2―42x +2xx2―4=2．。
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2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【典例解析】例1．用适当方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣3=0（2）16（x+5）2﹣9=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，∴x===，∴x1=3，x2=﹣；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=±，即x1=﹣4，x2=﹣5，（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=﹣3．∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5（2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．解：（1）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．（2）设x2﹣x=y∴原方程化为y﹣=1∴y2﹣2=y∴y2﹣y﹣2=0∴（y+1）（y﹣2）=0∴y1=﹣1，y2=2∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1．例3．解下列方程：（1）2x2+5x﹣3=0（2）（3﹣x）2+x2=9（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答．解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以2x﹣1=0或x+3=0，解得，x=或x=﹣3；（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9=0，变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，解得x=3或x=6；（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0即（x﹣3）（x﹣4）=0解得x=3或x=4．例4．阅读下面材料：解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．解：设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）解得y1=6，y2=﹣2（4分）当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0∴x1=3，x2=﹣2（6分）当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0∴方程无实数解（8分）∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）例5．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【同步训练】一．选择题（共10小题）1．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣1，x2=﹣22．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）A．y2+y﹣6=0 B．y2﹣y﹣6=0 C．y2﹣y+6=0 D．y2+y+6=03．用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（）A．y2+2y+1=0 B．y2﹣2y+1=0 C．y2+2y﹣1=0 D．y2﹣2y﹣1=04．已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣25．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2=0，如果设x2﹣3=y，那么原方程可变形为（）A．y2﹣5y+2=0 B．y2+5y﹣2=0 C．y2﹣5y﹣2=0 D．y2+5y+2=06．若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（）A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣67．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣18．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或39．正整数x，y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y的值是（）A．10 B．18 C．26 D．10或1810．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2二．填空题（共5小题）11．已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．12．解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为_________．13．若a2﹣2ab+b2+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b=_________．14．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，如果设x2﹣x=y，那么原方程变为_________．15．在解方程（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0时，通过换元并整理得方程y2﹣2y﹣3=0，则y=_________．三．解答题（共4小题）16．解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=017．如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．18．对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程．19．用适当方法解下列方程（1）（2y﹣1）2=（2）x﹣=5x（﹣x）（3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0参考答案一．选择题（共10小题）1．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．故选D．2．解：把x2+x整体代换为y，y2+y=6，即y2+y﹣6=0．故选A．3．解：设y=x2+x，得y2+2y﹣1=0．故选C．4．解：∵x2+=0∴∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0∴x+=1或﹣2．∵x+=1无解，∴x+=﹣2．故选D．5．解：∵x2﹣3=y∴3﹣x2=﹣y所以y2+5y+2=0．故选D．6．解：设x﹣y=m，则原方程可化为：m2+m﹣6=0，解得x1=2，x2=﹣3；故选B7．解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，又∵x2+y2的值是非负数，∴x2+y2的值为只能是1．故选B．8．解：∵x、y为正整数，∴或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，∴x+y=10或18．故选D．10．解：设a2+b2=x，则有：x（x﹣2）=8即x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4；∵a2+b2≥0，故a2+b2=x2=4；故选B二．填空题（共5小题）11．解：原方程可化为x2+（）2+2x•+2（x+）+1=2+2x•（x++1）2=4x++1=±2．12．解：∵x2﹣5=y，∴x2=5+y，∴（x2﹣5）2﹣x2+3=y2﹣y﹣5+3=y2﹣y﹣2=0，故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．13．解：设t=a﹣b，则原方程可化为：t2+2t+1=0，整理得：（t+1）2=0，解得：t=﹣1．∴a﹣b=﹣1．14．解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=015．解：方程整理，得（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0故y=x2﹣1三．解答题（共4小题）16．解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣．17．证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．x4±2x+1=0，即x4﹣x2+x2±2x+1=x2（x+1）（x﹣1）+（x±1）2=0，此等式有公因式，可得x=±1．而由题意知：a≠±2，即x≠±1．则有a=﹣=﹣x3﹣，其中x≠±1．a为整数，而a=﹣x3﹣，若x为整数且x≠±1，那么x3为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．那么﹣x3﹣=﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．故当a为整数时，方程没有有理根．18．解：因为方程左边的第1、3项都是整数，所以3y是整数．注意到，代入方程，得到，．所以是整数，3y是10的倍数．令3y=10k，k是整数，代入得，其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．所以有，．当k取不同整数时，的情况如下表：＜﹣=1=k的可能值是﹣1和3，相应的和y=10．代入验算得到或y=10．故答案：或y=10．19．解：（1）方程原式两边同乘以2得（2y﹣1）2=，∴2y﹣1=±，y=±；（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，解得x1=，x2=﹣；（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，解得x1=﹣3，x2=8；（4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，设2x+1为y，得y2+3y﹣4=0，利用配方法得（y+）2=4+，y+=±，得y=1或﹣4，设2x+1为y，则x1=0，x2=﹣．。