第五章 第二节 等差数列及其前n项和1
2021高考数学一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和练习
第2节 等差数列及其前n 项和[A 级 基础巩固]1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8， 所以d ＝4，故选C. 答案：C2．(2020·安阳联考)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则(a 3＋a 7)2－a 5＝( ) A ．60 B ．56 C ．12D ．4解析：因为在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，所以a 2＋a 8＝2a 5＝8，解得a 5＝4，(a 3＋a 7)2－a 5＝(2a 5)2－a 5＝64－4＝60.答案：A3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 3＝6，则S 2n ＋1＝( ) A ．(2n ＋1)(n ＋1) B ．(2n ＋1)(n －1) C ．(2n －1)(n ＋1)D ．(2n ＋1)(n ＋2)解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋d ＝3，3a 1＋3d ＝6，所以a 1＝d ＝1，则a n ＝1＋(n －1)×1＝n .因此S 2n ＋1＝（2n ＋1）（1＋2n ＋1）2＝(2n ＋1)(n ＋1)．答案：A4．(2020·宜昌一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．a 7＝0B ．|a 7|＝|a 8|C ．|a 7|>|a 8|D ．|a 7|<|a 8|解析：因为公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0， 所以S 9>S 8，所以S 8<S 5<S 9，所以a 6＋a 7＋a 8<0，a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， 所以a 7<0，a 7＋a 8>0，|a 7|<|a 8|. 答案：D5．中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的棉数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， 所以8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.所以a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤． 答案：B6．(2019·江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）（a 1＋4d ）＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27， 解得a 1＝－5，d ＝2，所以S 8＝8×(－5)＋8×72×2＝16.答案：167．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________． 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2008．在等差数列{a n }中，若a 7＝π2，则sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝________．解析：根据题意可得a 1＋a 13＝2a 7＝π， 2a 1＋2a 13＝4a 7＝2π，所以有sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝ sin 2a 1＋sin(2π－2a 1)＋cos a 1＋cos(π－a 1)＝0. 答案：09．各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1（a n ＋a n ＋2）2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明：依题意得，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，故1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2. (2)解：由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1（n ＋2）（n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3＝n 6（n ＋3）. 10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . (1)解：设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.[B 级 能力提升]11．(2020·珠海联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＋1S n ＝n ＋1n，则数列{a n }( ) A ．既非等差数列，又非等比数列 B ．既是等差数列，又是等比数列 C ．仅为等差数列 D ．仅为等比数列 解析：数列{a n }中，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则S n S n －1＝nn －1(n ≥2)， 则S n ＝S n S n －1×S n －1S n －2×…×S 2S 1×S 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n (n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －(n －1)＝1，当n ＝1时，a 1＝1符合，故a n ＝1(n ∈N *)，则数列{a n }为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列． 答案：B12．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－3，S 5＝－10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋5×42d ＝－10， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，a 1＋2d ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－4n ＋n 2－n 2＝12(n 2－9n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818，因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5时，S n 取最小值，最小值为－10. 答案：0 －1013．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝02n(－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑k ＝0n1T k <12d 2.证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，有c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1·a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n （a 2＋a 2n ）2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝0n1T k ＝12d 2∑k ＝0n 1k （k ＋1）＝12d 2∑k ＝0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d2. [C 级 素养升华]14．(多选题)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则( ) A ．a 6＋a 7＝4 B ．a 6＋a 7＝12 C ．a 6a 7≥4D ．a 6a 7≤4解析：在等差数列{a n }中，因为S 12＝6(a 6＋a 7)＝24， 所以a 6＋a 7＝4.又a 6>0，a 7>0，所以a 6a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．故选AD. 答案：AD。
高中数学课件第五章第二节《等差数列及其前n项和》
的思想解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法.
[特别警示] 因为 ＝ n＋a1－ ，故数列{ }是 等差数列.
(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，
Sn为其前n项和，满足
，S7＝7.
则a6＝
.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6， 则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案：13
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，
则S7∶S3等于
.
解析：
＝2.
答案：2∶1
6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对 任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn＝ ，求数列{kn}的前n项和Tn.
个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定 义的表达式为 an＋1－an＝d(n∈N*) .
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公 式为an＝ a1＋(n－1)d .
[思考探究1] 已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n
项an能否用am与d表示？ 提示：可以.an＝am＋(n－m)d.
C.
D.2
解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－ . 答案：B
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，
则S7等于
()
A.13
B.35
2020届高三数学一轮复习： 第5章 第2节 等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B.1 C ．2D.－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5 B.7 C ．9D.11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100 B.99 C ．98D.97C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623， 则在100以内有16个能被6整除的数．]n n 为{a n }的前n项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D.12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9 B.10 C ．11D.15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B.1 C ．2D.3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：01772176】(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.5分又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.7分 (2)由(1)知，b n ＝n －72，9分 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )【导学号：01772177】A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 图5-2-1 A ．2 B.8 C ．7D.4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，4分 即d ＝－213a 1.7分从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1>0，所以－a 113<0.9分 故当n ＝7时，S n 最大.12分 法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，5分即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，9分解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.12分 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，5分故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，9分 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大.12分 [规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18 B.99 C ．198D.297(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“n ”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。
数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析
第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。
理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。
(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。
第五章 第二节 等差数列及其前n项和
n
是等差数列． 证明：数列 证明：数列{bn}是等差数列． 是等差数列
证明：由已知a 证明：由已知 n＋1＝2an＋2n得 an＋1 2an＋2n an bn＋1＝ n ＝ ＝ n－1＋1＝bn＋1. ＝ 2 2n 2 又b1＝a1＝1， ， 是首项为1，公差为1的等差数列 的等差数列． 因此{b 是首项为 因此 n}是首项为 ，公差为 的等差数列．
证明： 成等比数列， 解：(1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a2＝a1a4. 证明 2 是等差数列， 而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d.于是 是等差数列 ， 于是 (a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， ，
2 2 化简得a 即a1＋2a1d＋d2＝a1＋3a1d.化简得 1＝d. ＋ 化简得
等差数列及其前n项和 等差数列及其前 项和 1. 理解等差数列的概念． 理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． ．掌握等差数列的通项公式与前 项和公式 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关 ． 系，并能用有关知识解决相应的问题． 并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系． ．了解等差数列与一次函数的关系．
条件． 成等差数列的 充要 条件．
[究 疑 点] 究 1．已知等差数列{an}的第 项为 m，公差为 ，则其第 ．已知等差数列 的第m项为 公差为d，则其第n 的第 项为a 能否用a 表示？ 项an能否用 m与d表示？ 表示 提示： 提示：能．an＝am＋(n－m)d. － 2．等差数列前n项和公式能否看作关于 的函数，该函数 ．等差数列前 项和公式能否看作关于 的函数， 项和公式能否看作关于n的函数 是否有最值？ 是否有最值？ 提示： 是关于n的且常数项为 的二次函数， 的且常数项为0的二次函数 提示：当d≠0时，Sn是关于 的且常数项为 的二次函数， 时 是二次函数图象上的一群孤立的点， 则(n，Sn)是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得： ， 是二次函数图象上的一群孤立的点 由此可得： 当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值． 时 有最小值； 时 有最大值．
第5章 第2节第二节 等差数列及其前n项和
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第五章 数 列
(2)解：由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即an＋1－an＝2n－1. ∴an－an－1＝2(n－1)－1 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋ a1 ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1] －(n－1)＋a1 nn－1 ＝2· －(n－1)＋a1＝n2－2n＋2 2 又a1＝1满足上式∴数列{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
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5．在等差数列{an}中，2a3＋a9＝3，则数列{an}的前9项 和S9＝________.
解析：9 设数列{an}的公差为d，由2a3＋a9＝3可得3a1＋ a1＋a9· 9 2a5· 9 12d＝3，即a1＋4d＝a5＝1，得S9＝ ＝ 2 ＝9. 2
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(3)等差数列{an}的单调性是由公差d的符号决定的．(
(4)若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数， 则该数列不是等差数列，它从第2项起成等差数列．( π (5)若△ABC的角A、B、C成等差数列，则B＝3.( ) )
)
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第五章 数 列
(2)解：结论：存在λ＝4满足题意． 由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，
第五章 第二节 等差数列及其前n项和
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2．设 Sn 是{an}的前 n 项和，若 Sn＝n2＋1，则{an}是等差数列， 对吗？
提示：不对，由 Sn＝n2 得当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－ 1)2＝2n－1，又 a1＝2，所以数列{an}去掉首项后，才是等差数列．
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1．(必修 5·2.1 例 1 改编)已知等差数列－5，－2,1，…，则该
数列的第 20 项为
．
解析：依题意得，该等差数列的首项为－5，公差为 3，所以 a20＝－5＋19×3＝52，故第 20 项为 52.
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3．(实践题)(必修 5·2.2 练习 T2 改编)某剧场有 20 排座位，后 一排比前一排多 2 个座位，最后一排有 60 个座位，则剧场总共的
座位数为
．
解析：设第 n 排的座位数为 an(n∈N*)，数列{an}为等差数列， 其公差 d＝2，则 an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知 a20＝60， 得 60＝a1＋2×(20－1)，解得 a1＝22，则剧场总共的座位数为 20a12＋a20＝20×222＋60＝820.
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3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m) d(n，m∈N*)． (2)若{an}是等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak ＋al＝ am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是 等差 数列， 公差为 2d . (4) 若 {an} ， {bn} 是 等 差 数 列 ， 则 {pan ＋ qbn}(p ， q ∈ N*) 也 是 __等__差____数列．
2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2， 解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？ 解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0， 因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析 由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析 依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4， 即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ， 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3） ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析 由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案 －14 4。
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第五章 第二节等差数列及其前n项和
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课时提升作业(三十一)一、选择题1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)242.等差数列{a n}满足a2+a9=a6,则前9项和S9=( )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)23.(2013·哈尔滨模拟)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3a4-6,则S9等于( )(A)25 (B)27 (C)50 (D)544.如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)355.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=42，则a10+a11+a12=( )(A)156 (B)102 (C)66 (D)486.已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d<0，S n是数列{a n}的前n项和，则( )(A)S5>S6(B)S5<S6(C)S6=0 (D)S5=S67.(2013·滨州模拟)等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{a n}的前n项和中也为常数的是( )(A)S 7(B)S 8(C)S 13(D)S 15二、填空题8.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8-S 3=10，则S 11的值为________. 9.若{a n }为等差数列，a 15=8，a 60=20，则a 75=_________.10.(2013·济南模拟)设关于x 的不等式x 2-x ＜2nx(n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n =________.11.(能力挑战题)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有n n S 2n 3T 4n 3--＝，则935784a ab b b b ++＋的值为___________. 三、解答题12.(2013·太原模拟)已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5. (1)求{a n }的通项a n .(2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.13.(2013·温州模拟)等差数列{a n }的首项为a 1,公差d=-1,前n 项和为S n . (1)若S 5＝-5，求a 1的值.(2)若S n ≤a n 对任意正整数n 均成立，求a 1的取值范围.14.(能力挑战题)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)·a n (n ＝1,2，…)，λ是常数.(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值.(2)数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式;若不可能，说明理由.答案解析1.【思路点拨】利用首项a1与公差d的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解.【解析】选B.方法一：≧a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d,≨a2+a10=a4+a8=16.方法二：由等差数列的性质a2+a10=a4+a8=16.2.【解析】选B.由a2+a9=a6得a5+a6=a6,由此得a5=0，故S9=9a5=0.3.【解析】选B.由a2=3a4-6,得a1+d=3(a1+3d)-6，即a1=-4d+3,S9=9a1+36d=9(-4d+3)+36d=27.4.【解析】选C.在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=a4+a4，所以a4=4.根据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28，故选C.5.【思路点拨】根据已知的特点，考虑使用等差数列的整体性质求解.【解析】选C.根据等差数列的特点，等差数列中a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,a10+a11+a12也成等差数列，记这个数列为{b n}，根据已知b1=12,b2=42-12=30，故这个数列的首项是12，公差是18，所以b4=12+3×18=66.6.【思路点拨】根据已知得到a3+a9=0，从而确定出a6=0，然后根据选项即可判断.【解析】选D.≧d<0，|a3|=|a9|，≨a3>0,a9<0，且a3+a9=0，≨a6=0，a5>0，a7<0,≨S5=S6.【变式备选】(2013·聊城模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10,则S 19=( )(A)55 (B)95 (C)100 (D)不能确定【解析】选B.≧a 3+a 17=10，≨a 10=5,那么S 19=19a 10=95. 7.【解析】选C.设a 2+a 4+a 15=p(常数)， ≨3a 1+18d=p,解得a 7=13p ，≨S 13()113713a a 1313a p.23⨯+=== 8.【解析】()()1813838a a 3a a S S 101022++-=⇒-= ⇒5a 1+8a 8-3a 3=20⇒10a 1+50d=20⇒a 1+5d=2⇒a 6=2 ⇒()11111611a a S 11a 222+===. 答案:229.【思路点拨】直接解出首项和公差，从而求得a 75，或利用a 15,a 30,a 45,a 60,a 75成等差数列直接求得.【解析】方法一：{a n }为等差数列，设公差为d ，首项为a 1,那么1560a 8,a 20=⎧⎨=⎩，即11a 14d 8a 59d 20.+=⎧⎨+=⎩，解得：1644a d 1515==，. 所以751644a a 74d 74241515=+=+⨯=.方法二：因为{a n }为等差数列，所以a 15,a 30,a 45,a 60,a 75也成等差数列，设公差为d ，则a 60-a 15＝3d ，所以d=4，a 75=a 60+d=20+4=24.答案:2410.【解析】由x 2-x ＜2nx(n ∈N *)得0＜x ＜2n+1, 则a n =2n,所以S n =n 2+n. 答案:n 2+n(n ∈N *)11.【解析】≧{a n }，{b n }为等差数列， ≨93939366578466666a a a a a a 2a a.b b b b 2b 2b 2b 2b b +=+===++＋ ≧661111111111662a a S a a 21131919,T b b 2b 411341b 41+⨯-====∴=+⨯-. 答案:1941【方法技巧】巧解等差数列前n 项和的比值问题关于等差数列前n 项和的比值问题，一般可采用前n 项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时S n =na 中,也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{a n }与{b n }都是等差数列，且前n 项和分别是S n 与T n ，则m 2m 1m 2m 1a Sb T --=. 【变式备选】已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n A 7n 45B n 3+=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【解析】选D.由等差数列的前n 项和及等差中项，可得12n 112n 1n n 12n 112n 111(a a )(2n 1)(a a )a 2211b (b b )(2n 1)(b b )22----+-+==+-+()()2n 12n 172n 145A14n 387n 19B 2n 132n 2n 1---+++====-+++ 127n 1=++ (n ∈N *),故n=1,2,3,5,11时，nna b 为整数.故选D. 12.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11a d 1,a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5. (2)S n =()()221n n 1na d n 4n n 242-+=-=--. 所以n=2时，S n 取到最小值-4.【变式备选】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.【解析】(1)≧S 12>0,S 13<0,≨11112a 66d 0,13a 78d 0,a 2d 12.+>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩≨-247＜d<-3. (2)由()11313713a a S 13a 0,2+==<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0,又≧d ＜0,≨n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0, ≨S 6最大，即n=6.13.【解析】(1)由条件得，S 5=5a 1+542⨯d=-5, 解得a 1=1.(2)由S n ≤a n ,代入得()11n n 1na a 1n 2--≤+-, 整理，变量分离得：()2113n 1a n n 122-≤-+=12(n-1)(n-2), 当n=1时，上式成立.当n>1,n ∈N *时，a 1≤12(n-2), n=2时，12(n-2)取到最小值0， ≨a 1≤0.【变式备选】等差数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足2S 2=a 2(a 2+1)，且a 1=1.(1)求数列{a n }的通项公式. (2)设n n 2S 13b n +=，求数列{b n }的最小值项. 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d. 由22222S a a =+，可得2(a 1+a 1+d)=(a 1+d)2+(a 1+d). 又a 1=1，可得d=1(d=-2舍去)， ≨a n =n. (2)根据(1)得()n n n 1S 2+=， ()n n n n 1132S 1313b n 1n n n+++===++.由于函数f(x)=x+13x(x>0)在上单调递减，在≦)上单调递增， 而，且f(3)=13228833312+==，f(4)=13298744412+==，所以当n=4时，b n 取得最小值， 且最小值为2933144+=， 即数列{b n }的最小值项是b 4=334. 14.【解析】(1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，理由如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾.所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列.关闭Word文档返回原板块。
【全程复习方略】(广东专用)高考数学 第五章 第二节 等差数列及其前n项和名师课件 理 新人教A版
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(3)设公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即
a12+4a1d+4d2=a12+3a1d，解得a1=-4d(舍去d=0).
S3 S2 a3
4d 2d
=2.
S5 S3 a4 a5 4d 3d 4d 4d
答案:2
【互动探究】本例题(2)中条件不变，则Sn=__________.
根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使
用公式Sn=na1+
nn
1
d
，若已知通项公式，则使用公式
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Sn= n(a1 an ) ．
2
【变式备选】(2012·广州模拟)已知等差数列{an}中,
a5=1,a3=a2+2,则S11=________.
【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得 a1=-7，所以S11=11×(-7)+ 1110 ×2=33.
3． 2 -1与 2 +1的等差中项是______.
【解析】 2 -1与 2 +1的等差中项为 ( 2 1) ( 2 1) 2 .
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答案: 2
4．在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式 为_________.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
(5)错误．根据等差数列的前n项和公式，Sn=na1+ n n 1 d
2
= d n2+(a1- d )n，显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二
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次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时)．
2015届高考数学总复习 第五章 第二节等差数列及其前n项和课时精练 理
第二节 等差数列及其前n 项和1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由等差中项的性质知a 3＝a 1＋a 52＝5.又∵a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B. 答案：B2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7解析：S 4－S 2－S 2＝4d ＝12⇒d ＝3.故选B. 答案：B3．(2013·深圳一模)等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2则a 4的值为A ．18 B ．15 C ．12 D ．20解析：由题意可得 a 1＝3，a 2＝8，a 3＝13，故此等差数列的公差为5，故a 4＝a 3＋d ＝18，故选A.答案：A4．(2013·揭阳一模)已知等差数列{a n }满足，a 1＞0，5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：设数列的公差为d ，由5a 8＝8a 13得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )，解得d ＝－361a 1，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－361a 1≥0，可得n ≤643＝2113， 所以数列{a n }前21项都是正数，以后各项都是负数， 故S n 取最大值时，n 的值为21，故选B. 答案：B5．(2013·韶关三模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P(n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋4d2＝55，解得a 1＝3，d ＝4.∴直线的斜率为a n ＋2－a nn ＋2－n＝4，故答案选A.答案：A6．等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．8解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0，∴ d ＝6n －1.又d ∈N *，∴n (n ≥3)的最大值为7.故选A. 答案：A7．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0 B. π216 C.π28 D.13π216解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝(2a 1－cos a 1)＋(2a 2－cos a 2)＋…＋(2a 5－cos a 5)＝5π，即2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 5)＝5π，而{a n }是公差为π8的等差数列，代入2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 5)＝5π，即10a 3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫a 3－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π8＋cos a 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π8＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋π4＝10a 3－2cos π4＋2cos π8＋1cos a 3＝5π， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π4＋2cos π8＋1cos a 3不是π的倍数， ∴10a 3＝5π.∴a 3＝π2.∴[f (a 3)]2－a 1a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－02－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝13π216.故选D.答案：D8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝∫30(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30解析：S 10＝∫30(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|30＝3＋32－0－02＝12，由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20为等差数列，解得S 30＝15. 答案： A9．(2013·广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.解析：依题意2a 1＋9d ＝10，所以3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝20.或3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.答案：2010．(2013·重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝a 1＋a 82＝4×(1＋15)＝64.答案：6411．(2013·洛阳统考)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且S 2 011＝2 011，a 1 007＝－3，则S 2 012＝________.解析：∵S 2 011＝2 011，∴a 1＋a 2 0112＝2 011.得a 1＋a 2 011＝2.又∵a 1＋a 2 011＝2a 1 006，∴a 1 006＝1. 又∵a 1 007＝－3，∴S 2 012＝a 1＋a 2 0122＝a 1 006＋a 1 0072＝－2＝－2 012.答案：－2 01212．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________________.1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …解析：由2n －1＝2 009，求得n ＝1 005，由此可知将正奇数按从小到大的顺序排列，2 009 位于第1 005个，而数表自上而下，每行所放的奇数个数，恰好与行数相等，设2 009位于第i 行，则1＋2＋3＋…＋i ≥1 005，且1＋2＋3＋…＋ (i －1)≤1 005，于是得i ＋i2≥1 005且i i －2≤1 005⇒i (1＋i )≥2 010，i (i －1)≤2 010，并注意到i ∈N *，所以i＝45，而j ＝1 005－＋2＝1 005－22×45＝1 005－990＝15，故i ＋j ＝45＋15＝60.答案：6013．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n，n ∈N *，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)若存在一个常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，求λ的值； (3)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，则有2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，将a 1，a 2，a 3代入，解得λ＝1.(3)由a n ＋1＝1＋a n 3－a n ，得a n ＋1－1＝1＋a n 3－a n －1＝2a n －23－a n ＝a n －2－a n －，取倒数1a n ＋1－1＝1a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝－12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，1a n －1＝1a 1－1＋(n －1)d ＝－1－12(n －1)＝－12n －12，整理得a n ＝n －1n ＋1，n ∈N *.14．(2013·梅州二模)f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (1－x )＝12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n (n ∈N *)的值；(2)数列{a n }满足：a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；(3)令b n ＝44a n －1，T n ＝b 21＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ，S n ＝32－16n.试比较T n 与S n 的大小．解析：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.令x ＝1n ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝12. (2)a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，又a n ＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)，两式相加2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝n ＋12，所以a n ＝n ＋14，n ∈N *.又a n ＋1－a n ＝n ＋1＋14－n ＋14＝14.故数列{a n }是等差数列．(3)b n ＝44a n －1＝4n，T n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋132＋…＋1n 2≤16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋11×2＋12×3＋…＋1n n －＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝32－16n＝S n .所以T n ≤S n .。
(教参)第五章第二节 等差数列及其前n项和含解析
第二节 等差数列及其前n 项和授课提示：对应学生用书第92页[基础梳理]1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （a 1＋a n ）2．3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数；S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是无常数项的二次函数．[四基自测]1．(基础点：求项数)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：A2．(基础点：求公差)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．(基础点：求通项)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a n 等于________． 答案：－n ＋24．(基础点：求等差数列的前n 项和)已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________．答案：514(15n －n 2)授课提示：对应学生用书第92页考点一 等差数列的基本运算及性质挖掘1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算/自主练透 [例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2×d ＝2a 1＋2×（2－1）2×d ＋4a 1＋4×（4－1）2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. [答案] B (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n [解析] 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .故选A. [答案] A(3)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．70 B ．58 C ．51 D ．40 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）2＝58.故选B.[答案] B挖掘2 用等差数列性质进行计算/互动探究[例2] (1)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∴⎩⎨⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，∴d ＝4，故选C. [答案] C(2)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 ( ) A ．7 B ．3 C ．－1 D ．1 [解析] 由{a n }是等差数列及a 1＋a 3＋a 5＝105， 得3a 3＝105，即a 3＝35，由{a n }是等差数列及a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33，则公差d ＝a 4－a 3＝－2，则a 20＝a 3＋(20－3)d ＝35－34＝1，故选D. [答案] D (3)(2020·广东第一次模拟)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A ．3 B ．4 C ．log 318 D ．log 324 [解析] ∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x （4x ＋2）＝（3x ）2，2x ＞0，4x ＋2＞0，3x ＞0，解得x ＝4.∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3. [答案] A[破题技法] 等差数列的计算技巧 方法 解读适合题型基本量法 用a 1和d 表示条件和所求，用方程思想求出a 1和d五个基本量，a 1，d ，S n ，n ，a n 中知三求二性质法 用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示a n 和S n当已知中有“a n ＋a m ”式的表达式(2020·河北石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图像关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－50 解析：由y ＝f (x －2)的图像关于直线x ＝1对称，可得y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，可得a 50＋a 51＝－2， 又由等差数列的性质得a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝－2，则{a n }的前100项的和为100（a 1＋a 100）2＝－100，故选B.答案：B考点二 等差数列的判定与证明挖掘1 用等差数列定义证明/自主练透 [例1] (2020·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．[解析] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1），又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12（n ＝1），－12n （n －1）（n ≥2）. 挖掘2 用等差中项法证明/互动探究[例2] 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .(1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？ [解析] (1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2， 所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2]＝2a 13 [1－14×(－12)m ]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ]1－（－12）＋a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋1]1－（－12）＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m]， 所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．[破题技法] 判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N ＋，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N ＋，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．[拓展] 判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点)分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列．如果a ，b ，c 成等差数列且不全相等，1a ，1b ，1c 能构成等差数列吗？用函数图像解释一下．解析：a ，b ，c 成等差数列，通项公式为y ＝pn ＋q 的形式，且a ，b ，c 位于同一直线上， 而1a ，1b ，1c 的通项公式为y ＝1pn ＋q 的形式．其图像不是直线，故1a ，1b ，1c 不是等差数列．考点三 等差数列前n 项和及综合问题挖掘1 等差数列的求和及最值/ 互动探究 [例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.①求{a n }的通项公式；②求S n ，并求S n 的最小值．[解析] ①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. (2)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)·(a n ＋n )(n ∈N ＋)．①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；②设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .[解析] ①证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N ＋)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .②由①知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－13＋2n －15）2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7. ∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和 T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n .n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.[破题技法] 等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最值的情况：如果a 1＞0，d ＜0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则S n 最大，或者S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 表示开口向下的抛物线，S n 存在最大．如果a 1＜0，d ＞0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则S n 最小，或者S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 表示开口向上的抛物线，S n 存在最小．挖掘2 等差数列求和的综合应用/ 互动探究 [例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. ①若a 3＝4，求{a n }的通项公式；②若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． [解析] ①设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . ②由①得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n （n －9）d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，公差为d (d ∈N ＋)． ①若a 5＝30，求数列{a n }的通项公式；②是否存在d ，n 使S n ＝10成立？若存在，试找出所有满足条件的d ，n 的值，并求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． [解析] ①当a 5＝30时，由a 5＝a 1＋4d ， 得30＝－2＋4d ，解得d ＝8. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8n －10. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝8n －10. ②由S n ＝10，得－2n ＋n （n －1）2d ＝10，即－4n ＋dn 2－dn ＝20， 所以dn 2－(d ＋4)n －20＝0. n ＝1时，得－24＝0不存在； n ＝2时，得d ＝14符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝14n －16；n ＝3时，得d ＝163不符合； n ＝4时，得d ＝3符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －5； 当n ＝5时，d ＝2符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －4；n ＝6时，得d ＝2215不符合；n ＝7时，得d ＝87不符合； n ＝8时，得d ＝1314不符合；n ≥9时，d ＜1均不符合， 所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为 d ＝14，n ＝2，a n ＝14n －16； d ＝3，n ＝4，a n ＝3n －5； d ＝2，n ＝5，a n ＝2n －4.[破题技法] 有关S n 的处理方法关于等差数列前n 项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为： (1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法． ①求和：用哪个公式，需要哪些量． ②求S n 最值：(ⅰ)借助S n 的二次函数法；(ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0，d <0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0a m ＋1≤0，S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .挖掘3 等差数列和的性质及创新问题/ 互动探究 [例3] (1)(2020·河北唐山第二次模拟)设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．2X ＋Z ＝3Y B ．4X ＋Z ＝4Y C ．2X ＋3Z ＝7Y D ．8X ＋Z ＝6Y [解析] 设数列{a n }的前3n 项的和为R ，则由等差数列的性质得X ，Y －X ，R －Y ，Z －R 成等差数列，所以2(Y －X )＝X ＋R －Y ，解之得R ＝3Y －3X ，又因为2(R －Y )＝Y －X ＋Z －R ，把R ＝3Y －3X 代入得8X ＋Z ＝6Y ，故选D. [答案] D (2)(2020·湖北黄冈一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝2 018n －13n ＋4，则a 3b 3＝( )A ．528B ．529C ．530D ．531 [解析] 根据等差数列的性质：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1得a 3b 3＝S 5T 5＝2 018×5－13×5＋4＝531.故选D.[答案] D(3)(2020·江西红色七校第一次联考)已知数列{a n }为等差数列，若a 2＋a 6＋a 10＝π2，则tan(a 3＋a 9)的值为( ) A ．0 B.33 C ．1D. 3[解析] ∵数列{a n }为等差数列，a 2＋a 6＋a 10＝π2， ∴3a 6＝π2，解得a 6＝π6，∴a 3＋a 9＝2a 6＝π3，∴tan(a 3＋a 9)＝tan π3＝ 3.故选D. [答案] D(4)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A ．174斤 B ．184斤 C ．191斤 D ．201斤 [解析] 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B. [答案] B1．(2020·广东六校第三次联考)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 解析：依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16，故选C. 答案：C2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列， 所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6，- 11 - 因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941.所以a 6b 6＝1941. 答案：19413．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9，27，S 9－S 6成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2×27－9＝45.答案：45。
2013届高考数学一轮复习课时检测 第五章 第二节 等差数列及其前n项和 理
第五章 第二节 等差数列及其前n 项和一、选择题1．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：由S 3＝9，S 5＝20，得d ＝1，a 1＝2，∴a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×9＝27. 答案：D2．(2012·西南大学附中模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( )A ．18B ．36C ．45D ．60解析：∵{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝15－a 5 ∴3a 5＝15，即a 5＝5. ∴S 9＝9a 1＋a 929a 5＝45.答案：C3．在等差数列{a n }中，a n ＜0，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，那么S 10等于( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15解析：由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0， ∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 3＋a 8)＝5×(－3)＝－15.答案：D4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6解析：a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞0a 7＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧23＋5d ＞023＋6d ＜0，解得－235＜d ＜－236，又d 为整数，所以d ＝－4. 答案：C5．(2011·大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：依题意得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2(2k ＋1)＋2＝24，解得k ＝5. 答案：D6．(2011·四川高考)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.答案：B 二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：748．(2011·广东高考)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1， 得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ， 所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以[1＋(k －1)×(－16)]＋[1＋(4－1)×(－16)]＝0.即k ＝10. 答案：109．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 5＝13，则a 5＋a 6＋a 7＝________. 解析：由a 1＋a 6＝a 2＋a 5得a 6＝11. 则a 5＋a 6＋a 7＝3a 6＝33.答案：33 三、解答题10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝147a 1＋21d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3..所以a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n ·48n－1＝23.当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5.所以a 6＝－3－5＝－8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9a 1d ＋10d 2＋1＝0.两边同乘以8，得16a 21＋72a 1d ＋80d 2＋8＝0，化简得(4a 1＋9d )2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2(n ≥2，n 为正整数)，a 1＝12.(1)令b n ＝2n a n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围．解：(1)由2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，得2S n ＋1＝S n －(12)n ＋2，两式相减得2a n ＋1＝a n ＋(12)n，上式两边同乘以2n 得2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，故数列{b n }是等差数列，且公差为1，又因为b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，因此2n a n ＝n ，从而a n ＝n ·(12)n .(2)由于2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，所以2S n －S n －1＝2－(12n －1，即S n ＋a n ＝2－(12)n －1，S n ＝2－(12)n －1－a n ，而a n ＝n ·(12)n ，所以S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(n ＋2)·(12)n . 所以S n ＋1＝2－(n ＋3)·(12)n ＋1，且S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋1＞0，所以S n ≥S 1＝12，又因为在S n ＝2－(n ＋2)·(12)n 中，(n ＋2)·(12)n ＞0，故S n ＜2，即S n 的取值范围是[12，2)。
高考理科数学总复习第五章 第二节 等差数列及其前n项和
的项数m使得Sn取得最
即时应用
1．已知在等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＝15，则 a1＋a2＋a3＋… ＋a9＝___4_5____.
因为{an}为等差数列，a4＋a5＋a6＝15，所以3a5＝15，解得a5＝ 5，a1＋a2＋a3＋…＋a9＝a1＋2a9×9＝2a52×9＝9a5＝9×5＝45.
主干知识 自主排查
1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的 公差 ，公差通常用字母 d 表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，或 an－an－1 ＝d(n≥2，d 为常数)． (2)若 a，Aa，＋bb成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项， 且 A＝ 2 .
4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)． 5．等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最 大 值；若 a1＜0， d＞0，则 Sn 存在最 小 值．
方法技巧
等差数列的判定与证明方法
即时应用
1．设数列{an}的通项公式为 an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋… ＋|a15|＝__1_3_0____.
由 an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8 为首项，2 为公差的等差 数列，又由 an＝2n－10≥0，得 n≥5，∴当 n≤5 时，an≤0， 当 n＞5 时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4) ＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第2讲等差数列及其前n项和 Word版含答案
第2讲 等差数列及其前n 项和,)1．等差数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1．辨明两个易误点(1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C.2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2，若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N *)， 则当n ≥2且n ∈N *时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N *)， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件．3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2.25．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.－72等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多消灭在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属简洁题． 高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(1)(2021·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 (1)由于公差为1，所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.由于 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192，故选B.(2)法一：由题知S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 【答案】 (1)B (2)D等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．角度一 求公差d 、项数n 或首项a 11．(2021·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3D 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，故选D.角度二 求通项或特定项2．(2022·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97C 设等差数列{a n }的公差为d ，由于{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27. 27等差数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1， 公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4， 使得数列{a n }为等差数列．(1)推断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简洁推断．(2)用定义证明等差数列时，常接受两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必需加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．由于a n ＝2－1a n －1，所以a n ＋1＝2－1a n.所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1，＝12－1a n－1－1a n －1，＝a n －1a n －1＝1， 所以{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．等差数列的性质及最值(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 (1)由于a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)由于{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.(3)当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.【答案】 (1)B (2)21 (3)⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78应用等差数列的性质应留意的两点(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m 、n 、p 、q 、k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质． (2)把握等差数列的性质，悉心争辩每共性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，全部奇数项之和为15，全部偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.2．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17A 设{a n }的公差为d ， 由于a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．3．(2021·陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，假如 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66C 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66， 所以a 2＋a 5＋a 8＝33，所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99.,)——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________． 【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：法一中两方程相减得 －90a 1－100×99－902d ＝90，所以a 1＋110－12d ＝－1，所以S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝－110.法三：由于S 100－S 10＝（a 11＋a 100）×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝（a 1＋a 110）×1102＝（a 11＋a 100）×1102＝－110.【答案】 －110(1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－12d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很便利．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求同学要娴熟把握公式，理解其结构特征．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 20,)1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 设{a n }的公差为d ，由S 5＝（a 2＋a 4）·52⇒25＝（3＋a 4）·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又由于a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4⇒2(a 4＋a 14)＝4⇒a 1＋a 17＝2，故S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17.4．(2021·东北三校联考(一))已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7（b 1＋b 7）2＝72＝－112，则a 8＝－109. 5．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)＝40＋3×20＝100.6．(2021·杭州重点中学联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9C 在等差数列{a n }中 ，由于a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＜0，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝4(a 4＋a 5)＞0.所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37. 所以m ＝37. 378．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________． 设{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.－19．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．由于a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92，所以a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.21410．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________． 当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝－8，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－10，公差d ＝a k ＋1－a k ＝－2，S k ＝k （a 1＋a k ）2＝0，所以a 1＋a k ＝0，所以a 1＝8，所以a n ＝－2n ＋10，由a n ＝0得n ＝5，所以S 4＝S 5＝20最大．2011．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由于b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝12n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．由S 2 0172 017－S 2 0152 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017，所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 0182×2＝2 019.2 01913．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．由于数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1.14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．由于2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. 所以a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0， 解得292≤n ≤312，由于n ∈N *，所以n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，所以T 15最小． 由于数列{b n }的首项是－29，公差为2， 所以T 15＝15（－29＋2×15－31）2＝－225.。
2016届高考数学总复习课件：第5章-第2节 等差数列及其前n项和
战 沙 场
切
点
脉 搏
[(2n＋1＋3)－3]＝1，
兵
核
心 突 破
∴数列{bn}是首项为a1＋2 3＝－32＋3＝0，公差为 1 的等差 课
时
数列．
提 升
练
菜单
第十六页，编辑于星期五：二十一点 四分。
高三总复习·数学(理)
提
考向二 等差数列的基本运算
素
养
满
分
研
[典例剖析]
指
动
导
向
考 纲
【例 2】 (2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差 d＞
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
实
第二节 等差数列及其前 n 项和
战 沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
第一页，编辑于星期五：二十一点 四分。
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲 考
考纲要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项 演
向
实
公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.等差数列的基本量
养
满
分
研
指
动
导
向 考
1．等差数列运算问题的通性通法
纲
考 向
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差
2022届高考数学一轮复习第五章第二节等差数列及
2022届高考数学一轮复习第五章第二节等差数列及第二节等差数列及其前n项和[全盘巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是()1A.B．4C．－4D．－34解析：选B∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27S3＝3a1＋3d＝9，解析：选B设等差数列{an}的公差为d，依题意得6某5S＝36，6＝6a1＋2＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.3．(2022·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；anp3：数列是递增数列；np4：数列{an＋3nd}是递增数列．解得a1其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：选D∵{an}是等差数列，∴设an＝a1＋(n－1)d.∵d>0，∴{an}是递增数列，故a1－da1－d3p1是真命题；nan＝dn2＋(a1－d)n的对称轴方程为n＝－当－时，由二次函数2d2d2anana1－d的对称性知a1>2a2，{nan}不是递增数列，p2＝d＋，当a1－d>0时，是nnn递减数列，p3是假命题；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d>0，{an＋3nd}是递增数列，p4是真命题．故p1，p4是真命题．4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.用Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18解析：选B∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴3a3＝105,3a4＝99，即a3＝35，a4＝33.∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.某令an≥0且an＋1≤0，n∈N，则有n＝20.5．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1＝4，则的值为()935 A.B.．4423解析：选A由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S44，得S4S2S6S4S4S2S4－S2S2S69＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.S44某6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11解析：选B因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，12－－某故公差d＝＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N)，即an＋1－an＝2n－8.10－3所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.－d解析：a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋＝21d，2而ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，所以(k－1)d＝21d，d≠0，故k＝22.答案：228．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值为________．解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，a1＋a10即30，a1＋a10＝6，∴a5＋a6＝6，2a5＋a62＝9.∴a5·a6≤2答案：929．已知等差数列{an}中，an≠0，若n>1且an－1＋an＋1－an＝0，S2n－1＝38，则n＝________.2解析：∵2an＝an－1＋an＋1，an－1＋an＋1－an＝0，2∴2an－an＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：10 1213某10．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N，所有项an>0，且Snn＋an －.424(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．1213解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a11－，424解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，112an＝Sn－Sn－1(a2n＋2an－3)an－1＋2an－1－3)．4422∴4an＝an－an－1＋2an－2an－1.即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项公式an；(2)求Sn的最小值；(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.n＋c解：(1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，2∴a3，a4是方程某－22某＋117＝0的两实根，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，Sna1＋2d＝9，∴a1＋3d＝13，a1＝1，∴d＝4.∴通项公式an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，nn－1212∴Sn＝na1＋d＝2n－n＝2n－，248∴当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.2Sn2n－n2(3)由(2)知Sn＝2n－n，∴bn＝n＋cn＋c1615∴b1＝b2＝b3.1＋c2＋c3＋c∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，61152即2c＋c＝0，2＋c1＋c3＋c11∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－222212．已知数列{an}是等差数列，bn＝an－an＋1.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)若a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在实数k，使Sn当且仅当n＝12时取得最大值？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．22222解：(1)证明：设{an}的公差为d，则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋2)－(an－an＋1)＝2an＋1－(an＋1222－d)－(an＋1＋d)＝－2d，2(2)∵a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k，∴13d＝13－13k，∴d＝1－k，－又13a1＋某2d＝130，∴a1＝－2＋12k，2∴an＝a1＋(n－1)d＝(－2＋12k)＋(n－1)(1－k)＝(1－k)n＋13k－3，2222∴bn＝an－an＋1＝(an＋an＋1)(an－an＋1)＝－2(1－k)n＋25k－30k＋5.(3)存在满足题意的实数k.由题意可知，当且仅当n＝12时Sn最大，则b12>0，b13<0，22－k＋25k－30k＋5>0，－即22－－k＋25k－30k＋5<0，k＋18k－19>0，∴2k－22k＋21>0，2解得k<－19或k>21.故k的取值范围为(－∞，－19)∪(21，＋∞)．[冲击名校]a11a12a13a32a33等差数列，若a22＝8，则这9个数的和为()A．16B．32C．36D．72解析：选D依题意得a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32＝9a22＝72.2．(2022·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．311．已知数阵aa21a22a23中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成10a1＋45d＝0，，得15a1＋105d＝25，解析：由Sn＝na1nn－22解得a1＝－3，d＝，3nn－212则Sn＝－3n＋n－10n)，233132所以nSn＝(n－10n)，3132令f(某)＝(某－10某)，320222则f′(某)＝某－＝某某，3320当某∈1，时，f(某)单调递减；320当某∈时，f(某)单调递增，320又，f(6)＝－48，f(7)＝－49，3所以nSn的最小值为－49.答案：－49[高频滚动]21．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值为()A．5B．4C．3D．22解析：选A由Sn＝－n＋3n，可得an＝4－2n，因此an＋1·an＋2＝[4－2(n＋1)][4－2(n＋2)]＝80，即n(n－1)＝20，解得n＝－4(舍去)或n＝5.2n2．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(某)＝某－bn某＋2的两个零点，则b10＝________.nn＋1解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2，∴an＋1·an＋2＝2，∴an ＋2＝2an.nn－1某又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2，a2n－1＝2(n∈N)，∴b10＝a10＋a11＝64.答案：64。
第二节---等差数列及其前n项和1
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
数学
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Байду номын сангаас第二节
等差数列及其前n项和
结束
[小题热身]
1．(2014· 福建高考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，S3 ＝12，则 a6 等于 A．8 C．12 B．10 D．14 ( )
解析：设等差数列{an}的公差为 d，则 S3＝3a1＋3d，所以 12 ＝3×2＋3d，解得 d＝2，所以 a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故 选 C.
3．用方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本 量，通过建立方程(组)获得解．
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第二节
等差数列及其前n项和
结束
三、必明
易误点
1．要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从 第 2 项起， 而是从第 3 项或第 4 项起， 每一项与它前一项的差是 同一个常数，那么此数列不是等差数列．
等差数列及其前n项和
结束
[类题通法]
1．等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组 解决问题的思想．
2． 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换 的作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知 和未知是常用方法．
结束
二、必会
方法
1．等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d 是常数)⇔{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
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抓 基 础
第 五 章 数 列
等 差 数 列 及 其 前 n 项 和
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
[备考方向要明了]
考 什 么 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有 关知识解决相应的问题．
2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k， …仍为等差
列，公差为 kd . 返回
3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，¡仍为 等差数列，公差为 n2d . 4．等差数列的增减性：d>0时为 递增 数列，且当a1<0
时前n项和Sn有最 小 值．d<0时为递减 数列，且当
5．(2012· 大连模拟)等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 前n项和为Sn，则“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn
无最大值”的
A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
(
)
D．既不充分也不必要条件
返回
解析：依题意，当d>|a1|时，数列{an}是递增的数列，无
论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过
答案： D
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3．(教材习题改编)已知数列{an}，其通项公式为an＝ 3n－17，则其前n项和Sn取得最小值时n的值为( A．4 B．5 )
C．6
D．7
返回
解析：由通项公式 an＝3n－17 可知{an}是以 3 为公差，－14 为 首项的等差数列． nn－1 3 2 31 则 Sn＝－14n＋ 2 ×3＝2n － 2 n， 所以当 n＝5 时，Sn 取得最小值．
答案：B
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[冲关锦囊]
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝ na1＋an nn－1 ＝na1＋ 2 d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn， 2 知其中三个就能求另外两个，公式在解题中起到变量 代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用 它们表示已知和未知是常用方法.
2．等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 a＋b A＝ 2 ，其中 A 叫做 a，b 的 等差中项 ．
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二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
nn－1 a1＋ann 2．前n项和公式：Sn＝ na1＋ . d ＝ 2 2
三、等差数列的性质 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数 列，则 am＋an＝ap＋aq .
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1．(2011· 重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4， 则a10＝ A．12 C．16 B．14 D．18 ( )
返回
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为
a1＝0 由此解得 d＝2
a1＋d＝2 d，依题意得 a1＋2d＝4
，
.a10＝a1＋9d＝18.
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2 1 1 1 解析：由a ＝ ＋ (n≥2)知{a }是等差数列． an＋1 an－1 n n 1 1 1 又a ＝2，a ＝1， 1 2 1 1 1 ∴数列{a }的首项为2，公差为2. n 1 1 1 n 2 ∴a ＝2＋2(n－1)＝ 2，∴an＝n.
n
2 答案：n
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2．(2012· 兰州模拟)若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*， n≥2)，a3＝27. (1)求a1、a2的值； 1 (2)记bn＝2n(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn} 为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
答案： D
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π 3π 2． (教材习题改编)在等差数列{an}中，2＋a6＝ 2 ， sin 2a4－3＝( a 则
)
3 A. 2 3 C．－ 2
1 B.2 1 D．－2
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3π 3π 解析：∵a2＋a6＝ 2 ，∴2a4＝ 2 . ∴sin
3π π π π 1 2a4－ ＝sin － ＝－cos ＝－ . 3 3 3 2 2
A．14
C．28
B．21
D．35
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[自主解答]
∵{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12，
∴a3＋a4＋a5＝(a3＋a5)＋a4＝3a4＝12.∴a4＝4. 7a1＋a7 7×2a4 7×2×4 a1＋a2＋„＋a7＝ ＝ 2 ＝ ＝28. 2 2
[答案] C
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
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[精析考题] [例 1] (2011· 北京宣武一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝3，点 n＋1 (Sn，Sn＋1)在直线 y＝ n x＋n＋1(n∈N*)上． Sn (1)求证：数列{ n }是等差数列； (2)求 Sn.
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[自主解答]
n＋1 (1)证明：点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ n x＋n＋1(n∈N*)上，
n＋1 ∴Sn＋1＝ n Sn＋n＋1，同除以n＋1， Sn＋1 Sn 则有 － ＝1， n＋1 n Sn ∴数列{ n }是以3为首项，1为公差的等差数列． Sn (2)由(1)知 n ＝3＋(n－1)×1，∴Sn＝n2＋2n.
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本例条件不变，若数列{bn}满足bn＝an· n，求数列{bn}的 2a 通项公式．
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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怎 么 考 1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点．
2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数
的性质解决等差数列问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题、填空题为主，与其他知识点结合则以 解答题为主.
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一、等差数列的有关概念
1．定义：如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一 项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差 数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)．
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解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1， 得a1＝2. (2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列． 1 1 1 则2b2＝b1＋b3，即2×4(9＋t)＝2(2＋t)＋8(27＋t)， 1 1 1 ∴t＝1.∴bn＝2n(an＋1)．∴bn－bn－1＝2n(an＋1)－ n－1(an－1＋1) 2 1 1 n ＝2n(2an－1＋2 ＋1＋1)－ n－1(an－1＋1) 2 ＝ 1 2n－1 an－1＋1＋ 1 2n－1 － 1 2n－1 an－1－ 1 2n－1 ＝1(常数)．
2
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2、用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an ＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加 上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义.
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[精析考题]
[例2] (2011· 福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，
a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：因Sn＝n2＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，经检验，当n＝1时也
成立，
∴an＝2n＋1(n∈N*)． ∵bn＝an· n，∴bn＝(2n＋1)·2n＋1. 2a 2
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
2 1 1 1．(2012· 银川模拟)数列{an}中，a1＝2，a2＝1，a ＝ ＋ an＋1 an－1 n (n≥2，n∈N*)，则其通项公式为an＝________.
a1>0时前n项和Sn有最 大 值．
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5．等差数列{an}的首项是 a1，公差为 d.若其前 n 项之和可以 d d 2 写成 Sn＝An ＋Bn，则 A＝ ，B＝ a1－2 ，当 d≠0 时它表 2 示 二次 函数，数列{an}的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn 是{an}成 等差数列的 充要 条件．
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4．(2012· 济南模拟)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列 且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8 ＝ A．0 C．8 B．3 D．11 ( )
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解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12， 12－－2 故公差d＝ ＝2.于是b1＝－6， 10－3 且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8， 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝„＝a1＋(－6)＋ (－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
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[自主解答]
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
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(2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝ n[1＋3－2n] ＝2n－n2. 2
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7.
答案： B
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4．(2011· 湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，
且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.
解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1 5×4 ＋ 2 ×2＝25.
答案： 25
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5．(2011· 辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝ S6，a4＝1，则a5＝________. 解析：根据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由 等差数列性质得，a3＋a6＝a4＋a5，所以a4＋a5＝0，
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[冲关锦囊]