第五章 第二节 等差数列及其前n项和1

又a4＝1，所以a5＝－1.
答案：－1
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1．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于 设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为
…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；
若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－ 3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数 列的定义进行对称设元．
答案： D
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π 3π 2． (教材习题改编)在等差数列{an}中，2＋a6＝ 2 ， sin 2a4－3＝( a 则
)
3 A. 2 3 C．－ 2
1 B.2 1 D．－2
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3π 3π 解析：∵a2＋a6＝ 2 ，∴2a4＝ 2 . ∴sin
3π π π π 1 2a4－ ＝sin － ＝－cos ＝－ . 3 3 3 2 2
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解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1， 得a1＝2. (2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列． 1 1 1 则2b2＝b1＋b3，即2×4(9＋t)＝2(2＋t)＋8(27＋t)， 1 1 1 ∴t＝1.∴bn＝2n(an＋1)．∴bn－bn－1＝2n(an＋1)－ n－1(an－1＋1) 2 1 1 n ＝2n(2an－1＋2 ＋1＋1)－ n－1(an－1＋1) 2 ＝ 1 2n－1 an－1＋1＋ 1 2n－1 － 1 2n－1 an－1－ 1 2n－1 ＝1(常数)．
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2．S奇，S偶在等差数列中的整体应用 设S奇，S偶分别是等差数列{an}中所有奇数项的和与所有偶数项 的和．则 (1)当数列项数为偶数2n时，有S偶－S奇＝nd； na2＋a2n (2)当数列项数为奇数2n＋1时，有S偶＝ ＝nan＋1，S奇＝ 2 n＋1a1＋a2n＋1 ＝(n＋1)an＋1， 2 S奇 n＋1 S奇－S偶＝an＋1， ＝ n . S偶
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3．(2011· 北京西城区期末)设{an}是等差数列，若a2＝4， a5＝7，则数列{an}的前10项和为 A．12 C．75 B．60 D．120 ( )
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解析：数列{an}为等差数列，a5－a2＝3d＝3，d＝1，
S10＝10a1＋45d＝10a2＋35d＝40＋35＝75. 答案： C
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4．(2012· 济南模拟)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列 且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8 ＝ A．0 C．8 B．3 D．11 ( )
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解析：因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12， 12－－2 故公差d＝ ＝2.于是b1＝－6， 10－3 且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8， 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝„＝a1＋(－6)＋ (－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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怎 么 考 1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点．
2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数
的性质解决等差数列问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题、填空题为主，与其他知识点结合则以 解答题为主.
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一、等差数列的有关概念
1．定义：如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一 项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差 数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)．
2．等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 a＋b A＝ 2 ，其中 A 叫做 a，b 的 等差中项 ．
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二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
nn－1 a1＋ann 2．前n项和公式：Sn＝ na1＋ . d ＝ 2 2
三、等差数列的性质 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数 列，则 am＋an＝ap＋aq .
5．(2012· 大连模拟)等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 前n项和为Sn，则“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn
无最大值”的
A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
(
)
D．既不充分也不必要条件
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解析：依题意，当d>|a1|时，数列{an}是递增的数列，无
论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过
a1>0时前n项和Sn有最 大 值．
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5．等差数列{an}的首项是 a1，公差为 d.若其前 n 项之和可以 d d 2 写成 Sn＝An ＋Bn，则 A＝ ，B＝ a1－2 ，当 d≠0 时它表 2 示 二次 函数，数列{an}的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn 是{an}成 等差数列的 充要 条件．
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[自主解答]
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
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(2)由(1)可知an＝3－2n. 所以Sn＝ n[1＋3－2n] ＝2n－n2. 2
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进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7.
来，当Sn的最小值为S1，且Sn无最大值时，如a1＝1，d＝ 0时，此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，不满足 d>|a1|.综上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最 大值”的充分不必要条件．
答案：A
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6．(2012· 无锡联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn， 且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60. 答案：60
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[冲关锦囊]
1、证明{an}为等差数列的方法 （1） 用定义证明： n－an－1＝d(d 为常数， a n≥2)⇔{an}为等差数列； （2）用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列； （3）通项法：an 为 n 的一次函数⇔{an}为等差数列； na1＋an （4）前 n 项和法：Sn＝An ＋Bn 或 Sn＝ . 2
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[精析考题] [例3] (2011· 重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，
则a2＋a4＋a6＋a8＝________. [自主解答] 由等差数列的性质知
a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74. [答案] 74 返回
[例4] (2010· 全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋ a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于 ( )
2
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2、用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an ＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加 上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义.
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[精析考题]
[例2] (2011· 福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，
a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
答案： B
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4．(2011· 湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，
且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.
解析：设数列的公差为d，则3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1 5×4 ＋ 2 ×2＝25.
答案： 25
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5．(2011· 辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝ S6，a4＝1，则a5＝________. 解析：根据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由 等差数列性质得，a3＋a6＝a4＋a5，所以a4＋a5＝0，
n＋1 ∴Sn＋1＝ n Sn＋n＋1，同除以n＋1， Sn＋1 Sn 则有 － ＝1， n＋1 n Sn ∴数列{ n }是以3为首项，1为公差的等差数列． Sn (2)由(1)知 n ＝3＋(n－1)×1，∴Sn＝n2＋2n.
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本例条件不变，若数列{bn}满足bn＝an· n，求数列{bn}的 2a 通项公式．
2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k， …仍为等差
列，公差为 kd . 返回
3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，¡仍为 等差数列，公差为 n2d . 4．等差数列的增减性：d>0时为 递增 数列，且当a1<0
时前n项和Sn有最 小 值．d<0时为递减 数列，且当
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2 1 1 1 解析：由a ＝ ＋ (n≥2)知{a }是等差数列． an＋1 an－1 n n 1 1 1 又a ＝2，a ＝1， 1 2 1 1 1 ∴数列{a }的首项为2，公差为2. n 1 1 1 n 2 ∴a ＝2＋2(n－1)＝ 2，∴an＝n.
n
2 答案：n
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2．(2012· 兰州模拟)若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*， n≥2)，a3＝27. (1)求a1、a2的值； 1 (2)记bn＝2n(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn} 为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
答案： D
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3．(教材习题改编)已知数列{an}，其通项公式为an＝ 3n－17，则其前n项和Sn取得最小值时n的值为( A．4 B．5 )
C．6
D．7
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解析：由通项公式 an＝3n－17 可知{an}是以 3 为公差，－14 为 首项的等差数列． nn－1 3 2 31 则 Sn＝－14n＋ 2 ×3＝2n － 2 n， 所以当 n＝5 时，Sn 取得最小值．
第 二 节
抓 基 础
第 五 章 数 列
等 差 数 列 及 其 前 n 项 和
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
[备考方向要明了]
考 什 么 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有 关知识解决相应的问题．
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1．(2011· 重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4， 则a10＝ A．12 C．16 B．14 D．18 ( )
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解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为
a1＝0 由此解得 d＝2
a1＋d＝2 d，依题意得 a1＋2d＝4
，
.a10＝a1＋9d＝18.
A．14
C．28
B．21
D．35
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[自主解答]
∵{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12，
∴a3＋a4＋a5＝(a3＋a5)＋a4＝3a4＝12.∴a4＝4. 7a1＋a7 7×2a4 7×2×4 a1＋a2＋„＋a7＝ ＝ 2 ＝ ＝28. 2 2
[答案] C
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
解：因Sn＝n2＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，经检验，当n＝1时也
成立，
∴an＝2n＋1(n∈N*)． ∵bn＝an· n，∴bn＝(2n＋1)·2n＋1. 2a 2
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
2 1 1 1．(2012· 银川模拟)数列{an}中，a1＝2，a2＝1，a ＝ ＋ an＋1 an－1 n (n≥2，n∈N*)，则其通项公式为an＝________.
答案：B
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[冲关锦囊]
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝ na1＋an nn－1 ＝na1＋ 2 d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn， 2 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
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2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量 代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用 它们表示已知和未知是常用方法.
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[精析考题] [例 1] (2011· 北京宣武一模)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝3，点 n＋1 (Sn，Sn＋1)在直线 y＝ n x＋n＋1(n∈N*)上． Sn (1)求证：数列{ n }是等差数列； (2)求 Sn.
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[自主解答]
n＋1 (1)证明：点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ n x＋n＋1(n∈N*)上，