图论的基本算法分析67页PPT
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图论1—图论基础PPT课件
的度减去最小点的度，将最小点
的度设为0。
如果最后得到全0序列，则输出
yes，否则输出no
42 2
31
22 0
20
00 0
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个简单图的度序列？
332211 Yes
3331 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，将最大点
的值设为0，然后将其后部最大点
在图G中，与顶点v相关联的边的总数 称为是v的度，记为deg v
图论第一定理
deg v 2m
vV (G)
证明：在计算G中所有顶点度的和时，每一条 边e被计数了两次。
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个图（无自环）的度序列？
242 Yes
31 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，用最大点
图, 记 为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或
结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中
的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无 向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G 为有限图或n阶图.
如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 边上增设顶点使之满足.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
图论基础知识PPT课件
.
6
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
深度优先遍历与宽度优先遍历的比较：
深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”； 而广度优先遍历是尽可能沿顶点的“边表”进行访问， 然后再沿边表对应顶点的边表进行访问，因此，有关边表 的顶点需要保存(用队列，先进先出)，以便进一步进行广度 优先遍历。
下面是广度优先遍历的过程：
.
14
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
.
4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
边集数组
邻接表
优点
图论的介绍ppt课件
chedules
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
图论算法介绍
if （a[i,k]=1）and (a[k,j]=1) then a[i,j]=1 (a[i,j]=1表示i可达j，a[i,j]=0表示i不可达j）。
var
link，longlink：array[1..20，1..20] of boolean；{ 无向图和无向图的传递闭包。其
中
l o n g l i n k[i,
例如：公路交通图，边以距离w为权。
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图 例
245
无向完全图 5
1
例 1
3
6
图与子图
57
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
3
6
例 245
1
3
6
G1
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
245
简单路径：1，2，3，5
❖ 图 G = (V, E)
V = 顶点集 E = 边集 = V V的子集
结点集V＝｛a， b， c， d｝ 边集E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝ 其中e1＝（a， b）， e2＝（a， c），
e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
(一)、计算无向图的传递闭包
v1→v2→v4→v8→v5 →v3→v6→v7
算法结构:
调用一次dfs(i)， 可按深度优先搜索 的顺序访问处理结 点i所在的连通分 支（或强连通分 支），dfs(i)的时 间复杂度为W(n2)。 整个图按深度优先 搜索顺序遍历的过 程如下：
显然，为了避免重复访问同一个顶点，必须 记住每个顶点是否被访问过。为此，可设置 一个布尔向量visited[1..n],它的初值为 false，一旦访问了顶点vi，便将visited[i] 置为ture。 图的深度优先搜索是一个递归过程，可以使 用栈来存储那些暂时不访问的邻接点.类似于 树的前序遍历，它的特点是尽可能先对纵深 方向进行搜索，故称之深度优先搜索。
《图论的介绍》课件
添加副标题
图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
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添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
图论相关算法.ppt
w是顶点v在深度优先树上的孩子结点； k是顶点v在深度优先树上由回边联结的祖先结点；
当low[j]<dfn[i](j是i的儿子)时，说明j或者j的子孙 中存在指向i祖先的回边。反之，若对于某个顶点v，存 在孩子结点w，且low[w]>=dfn[v],表明w及其子 孙均无指向v的祖先的回边，则该顶点v必为关节点。 具体算法如下：
0
6
7
8
1
2
3
5
4
10
9
顶点0、4、5、6、
7和11为关节点。
11
12
割点、割边以及连通分量
时间戳：dfn[i]表示结点i是第dfn[i]个被访问到的结点。有的时候我
们
还要记录某个结点被遍历并检查完毕的时间。
void dfs(v)
{
dfn[v]=++times; //记录访问结点的时间戳
visit[v]=1;
if ( adj[curr][i] && !visit[i] )
{
visit[i] = true;
depth[i] = depth[curr] + 1;
time[i] = t++;
queue[++tail] = i;
}
}
}
深度优先搜索
相关概念
递归实现 结点颜色：
白色（开始），灰色（发现），黑色（结束）
到栈中的节点是否为一个强连通分量。
我们仍然定义dfn[i]为节点i搜索的次序编号(时间戳)， low[i]为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次 序号。由定义可以得出: 当dfn(u)=low(u)时，以u为根的搜索子树上的所有 节点构成一个强连通分量。
当low[j]<dfn[i](j是i的儿子)时，说明j或者j的子孙 中存在指向i祖先的回边。反之，若对于某个顶点v，存 在孩子结点w，且low[w]>=dfn[v],表明w及其子 孙均无指向v的祖先的回边，则该顶点v必为关节点。 具体算法如下：
0
6
7
8
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3
5
4
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顶点0、4、5、6、
7和11为关节点。
11
12
割点、割边以及连通分量
时间戳：dfn[i]表示结点i是第dfn[i]个被访问到的结点。有的时候我
们
还要记录某个结点被遍历并检查完毕的时间。
void dfs(v)
{
dfn[v]=++times; //记录访问结点的时间戳
visit[v]=1;
if ( adj[curr][i] && !visit[i] )
{
visit[i] = true;
depth[i] = depth[curr] + 1;
time[i] = t++;
queue[++tail] = i;
}
}
}
深度优先搜索
相关概念
递归实现 结点颜色：
白色（开始），灰色（发现），黑色（结束）
到栈中的节点是否为一个强连通分量。
我们仍然定义dfn[i]为节点i搜索的次序编号(时间戳)， low[i]为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次 序号。由定义可以得出: 当dfn(u)=low(u)时，以u为根的搜索子树上的所有 节点构成一个强连通分量。
(图论)图的基本概念(课堂PPT)
15
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
16
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
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图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
《图论基本概念》PPT课件
• 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构
15
判断两个图同构是个难题
图同构的实例
•
支，其个数 p(G)=k (k1)；
•
k=1，G连通
25
短程线与距离
• (3) 短程线与距离
•
① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路
•
② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度
•
③ d(u,v)的性质：
•
d(u,v)0, u≁v时d(u,v)=
•
d(u,v)=d(v,u)
• •
(简2)单n性(n质1：)阶有向完全图m——n每(对n顶点1)之,间均有两条方n向相1 反的有向边的有向简单图.
2
• (3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. • 简单性质：边数
m n(n 1), 2(n 1), n 1
m n(n 1) , n 1
•
D的出度列：d+(v1), d+(v21), d(v2), …, d(vn)
• 3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
• 易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，后者又是可 • 简单图化的，而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不是可简单图化 • 的，特别是后者也不是可图化的
图与网络：
•
组合图论图论及其算法课件
4. 实例：求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解：ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC： 权和 22 DACEBD： 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同，得到的近似解也不同.
5. 修改方法：最邻近插入法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来？
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三 顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个， 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网 络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
3). 重复2)过程直到汇y被标号，或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号，说明存在一条x y增广路P，进入步骤2调整过程； 若y未得到标号，标号过程无法进行，说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令
min{ min (vi ,v j )P
(Cij
f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
f ji}，调整增广路P中
三. 中国邮递员问题(1962，管梅谷)
1. 问题：邮递员每天从邮局选好邮件，送到他所管辖 的邮区的客户手中，再返回邮局，他每天必须走过每 条街道至少一次，问如何选择邮递路线，使得他走过 的投递总行程最短？
2. 模型：非负赋权图G： 顶点----交叉口或终端，边----街道，权-----街道长 度，此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
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6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
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第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
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第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
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3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
图论的基本算法
例如：对于有向图
可求得拓扑有序序列： ABCD 或 ACBD
对于下列有向图
B
A
D
C
不能求得它的拓扑有序序列。
因为图中存在一个回路 {B, C, D}
求拓扑序列
FUNC toporder(var dig:adjlisttp):boolean; init(top2); m:=0; ve[1..n]:=0 while Not empty(top1) do [ j:=pop(top1); push(top2,j); m:=m+1; k:=firstadj(dig,j); while k<>0 do [ 入度(k):=入度(k)-1; if 入度(k)=0 then push(top1,k); if ve[j]+dut(<j,k>)>ve[k] then ve[k]:=ve[j]+dut(<j,k>); k:=nextadj(dig,j,k) ] ] if m<n then return(false) else return(true);
endF;
拓扑排序
核心问题：给一些序关系，排出全序！
一个一个排 先排最大 然后第二大… 具体实现？
每次取0出度点 枚举所有点吗？ 0出度只可能是1出度变来的！ O(n+m)
神经网络
在兰兰的模型中，神经网络就是一张有向图，图中的节点 称为神经元，而且两个神经元之间至多有一条边相连，下 图是一个神经元的例子：
图中，X1—X3是信息输入渠道，Y1－Y2是信息输出渠道， C1表示神经元目前的状态，Ui是阈值，可视为神经元的一个 内在参数。
神经元按一定的顺序排列，构成整个神经网络。在兰兰 的模型之中，神经网络中的神经无分为几层；称为输入层、 输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元 输出信息，只从上一层神经元接受信息。
可求得拓扑有序序列： ABCD 或 ACBD
对于下列有向图
B
A
D
C
不能求得它的拓扑有序序列。
因为图中存在一个回路 {B, C, D}
求拓扑序列
FUNC toporder(var dig:adjlisttp):boolean; init(top2); m:=0; ve[1..n]:=0 while Not empty(top1) do [ j:=pop(top1); push(top2,j); m:=m+1; k:=firstadj(dig,j); while k<>0 do [ 入度(k):=入度(k)-1; if 入度(k)=0 then push(top1,k); if ve[j]+dut(<j,k>)>ve[k] then ve[k]:=ve[j]+dut(<j,k>); k:=nextadj(dig,j,k) ] ] if m<n then return(false) else return(true);
endF;
拓扑排序
核心问题：给一些序关系，排出全序！
一个一个排 先排最大 然后第二大… 具体实现？
每次取0出度点 枚举所有点吗？ 0出度只可能是1出度变来的！ O(n+m)
神经网络
在兰兰的模型中，神经网络就是一张有向图，图中的节点 称为神经元，而且两个神经元之间至多有一条边相连，下 图是一个神经元的例子：
图中，X1—X3是信息输入渠道，Y1－Y2是信息输出渠道， C1表示神经元目前的状态，Ui是阈值，可视为神经元的一个 内在参数。
神经元按一定的顺序排列，构成整个神经网络。在兰兰 的模型之中，神经网络中的神经无分为几层；称为输入层、 输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元 输出信息，只从上一层神经元接受信息。
图论讲义ppt教学课件
旅行商问题（TSP）
• 给出城市之间的距离，要求一位推销员从某一城 市出发，周游每个城市一次，然后回到出发的城 市，并且选的路径最短。(Traveling Salesman Problem)
• 这是一个图论优化问题，最早由美国数学家威特 涅于1934年在普林斯顿一次讨论班上提出。 1954年几位美国数学家写了第一篇论文，用线性 方程的方法解决了49个城市的旅行售货员问题。 后来也有不少论文讨论这个问题，在理论和应用 上都很有价值。
• 有向图: 一个有向图是指一个有序三元组 (V(G),A(D), ),其中V(G)是一个非空有限集，A(D) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 A(D)中每一元素对应于V(G)中的有序元素对（可 以相同）
• 图/Graph：可直观地表示离散对象之 间的相互关系，研究它们的共性和特 性，以便解决具体问题。
• 无向图（简称图）: 一个图是指一个有序三元组 (V(G),E(G), ),其中V(G)是一个非空有限集，Ｅ(G) 是与Ｖ(G)不相交的有限集合,是关联函数，它使 E(G)中每一元素对应于V(G)中的无序元素对（可 以相同）
关键路径问题
一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育中心,小
至组装一台机床,一架电视机, 都要包括许多工序.这些工 序相互约束,只有在某些工序完成之后, 一个工序才能开 始. 即它们之间存在完成的先后次序关系,一般认为这些 关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的 时间.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多少时间才 能够完成整个工程项目, 影响工程进度的要害工序是哪 几个？
第一部分
引言
两个有趣的问题
• 1.任意一群人中（人数不小于2），总有两人在该 人群中认识相同的朋友数
《图算法基础知识》PPT课件
精选ppt3
1/13/2021
图
● 通常用边数 |E|和顶点数|V|描述运行时间。
■ 无向图中 0≤|E|≤|V|(|V|-1)/2 ■ 有向图中 0≤|E|≤|V|(|V|-1) ■ 若|E| |V|2 ，图是稠密的 dense ■ 若 |E| |V| ，图是稀疏的 sparse
● 对稠密图和稀疏图使用不同的数据结构
● 完全图(Complete Grapth) 若有n个顶点的无向图n(n-1)/2条边，则此图为完 全图。
精选ppt2
1/13/2021
图的扩展
● 扩展:
■ 连通图（ connected graph） 从图中每一顶点都有到其
它顶点的路径 。
■ 无向图（ undirected graph）:
○ 边(u,v) = 边 (v,u)
精选ppt24
1/13/2021
//入度为0的顶点数小于n时，存在环；
否则图不存在环，且可进行拓扑排序，ord数组存储的就是排序后 的序号
If count<n then begin writeln(‘graph is cyclic’); topsort:=false; end;
End;
精选ppt25
图: 邻接矩阵
● Example: 1
2
4
3
A 12 1 01 2 00 3 00 4 00
34 10 10 00 10
精选ppt6
有向图
非对称矩阵
1/13/2021
图: 邻接矩阵
● Example:
1
a
2
d
4
b
c
3
A1 2 3 4
1
2
3
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39、没有不老的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
图论的基本算法分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。