第四章 矩阵练习题
矩阵练习(带答案详解)(最新整理)
一、填空题：1.若，为同阶方阵，则的充分必要条件是A B 22))((B A B A B A -=-+。
BAAB =2. 若阶方阵，，满足,为阶单位矩阵，则＝。
n A B C I ABC =I n 1-CAB3. 设，都是阶可逆矩阵，若,则＝。
A B n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C 1-C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 4. 设A ＝，则＝。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11121-A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21115. 设， .则。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B =+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7317336.设，则＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A 1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵，为的转置，则=.1 -1 32 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T A A B A T⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1602228. ，为秩等于2的三阶方阵，则的秩等于 2 .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A B AB 二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设均为阶方阵，则 （k 为正整数）。
……………（ × ）B A 、n kk k B A AB =)(2. 设为阶方阵，若，则。
……………………………（,,A B C n ABC I =111CB A ---=× ）3. 设为阶方阵，若不可逆，则都不可逆。
……………………… ( × )B A 、n AB ,A B4. 设为阶方阵，且，其中，则。
……………………… ( B A 、n 0AB =0A ≠0B =× )5. 设都是阶矩阵，且，则。
……………………（ C B A 、、n I CA I AB ==,C B =√ ）6. 若是阶对角矩阵，为阶矩阵，且，则也是阶对角矩阵。
…（ A n B n AC AB =B n × ）7. 两个矩阵与，如果秩（）等于秩（），那么与等价。
线代第四章练习
1．设n 阶(3n ≥)矩阵1111a a a aa a A aa a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 .2. . 如果矩阵 1400040004x x x x A x x ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = 3. 设A 是三阶矩阵, 已知3012010,103A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭则矩阵22A A +的秩为4. (本题满分10分) 设有线性方程组x y z ,x y z ,x y z ,l l l l l ì--=ïïïï-+-=-íïïï--+=ïî21问 l 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无限多解时求其通解.5. 六．(本题满分10分) 已知A 是n 阶方阵, 且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位矩阵).(1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆, 并分别求其逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆（A ≠E ）.6..设123,,ηηη是齐次线性方程组AX O =的一个基础解系，则（ ）也是它的基础解系.A. 122331,,ηηηηηη---；B.；123123,,ηηηηηη++,C. 1323,;ηηηη--D.. 112123,,ηηηηηη+++7. 设A 为4阶方阵，且秩()3R A =，*A 为A 的伴随矩阵，则*()R A =（ ）.A. 3B. 2.C. 1D. 08. 设12(1,1,1),T αα=T =(1,2,3)是线性方程组(0)Ax b b =≠的解，且R （A ）=2， 则Ax b =的通解为（ ）9. （12分）设有线性方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ-++=⎧⎪-+=⎨⎪-++=-⎩问：λ取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2) 无解;(3) 有无穷多解？并在有无穷解时求通解.10. 设向量组()()()TTTk 1,3,2,4,1,3,4,1321-=α-=α=α秩),,(321ααα=2，则k =__________。
(完整word)高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵试题及答案
矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。
答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。
答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。
答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。
答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。
第三章矩阵 第四章向量空间练习题
§3.1
1. 如果矩阵 X 满足 X+2A=B－X，其中
矩
阵
矩阵的运算练习题
⎛3 2 1⎞ ⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A= 0 3 2 ，B= 4 0 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ 3 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
求 X。 2. 已知矩阵
⎛1 3 0⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ ⎟ ，B= ⎜ 2 1 0 ⎟ ， ⎝ 0 3 1⎠ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
2. 用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．
⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 −1⎞ ⎜ ⎟ 1 1 −1 −1⎟ ⎜ ⎟ 0 （1） A= 2 1 . （2）A= ⎜ 。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 − 1 1 − 1 ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝1 −1 −1 1 ⎠
3. 设 A，B 分别是 m 阶，n 阶可逆矩阵，C 为 m×n 矩阵。
7. 设 3 阶矩阵 A 满足条件
Aα i = iα i
T T
( i = 1, 2,3) ，
T
其中列向量 α1 = (1, 2, 2 ) , α 2 = ( 2, −2,1) , α 3 = ( −2, −1, 2 ) 。试求矩阵 A。 8. 设 n 阶矩阵 A，B 满足条件 A+B=AB. （1） 证明 A - E 为可逆阵。
−1
1 0 M 0 0
0 2 M 0 0
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ M ⎟. ⎟ L n − 1⎟ L 0 ⎟ ⎠
L L
（2） 求A的第i行的代数余子式之和Ai1+ Ai2+ … + Ain . 6. 设A，B为 3 阶矩阵，将A的第 1 行的 （-3） 倍加到第 3 行得到A1 ， 将B的第 1 列乘以 （-3）
第4章-矩阵练习题
⎛ B ⎞
18．设 A 为 n 阶方阵,且 A = 1 ,则 r ( A) = ______________. 19. 设 n 维向量 α = ( a,0,",0, a ) , a < 0, E 为 n 阶单位矩阵 , A = E − αα , B = E +
T
T
逆矩阵为 B ,则 a = ______.
7. 设 n 阶阵 A 可逆,且 f ( A) = 0 ,其中 f ( x) = am x + am −1 x
m m −1
+ " + a1 x + a0 是一非零多项式,求 A−1 .
2
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 8．设 X = AX − A + E , 其中 A = 0 2 0 ,求矩阵 X . ⎜ ⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
* *
⎛k ⎜ 1 15. 设矩阵 A = ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝1
1 k 1 1
1 1 k 1
1⎞ ⎟ 1⎟ ,且 r ( A) = 3, 则 k = ______ . 1⎟ ⎟ k⎠
*
16. 设 A 是 n(≥ 3) 阶方阵, A 的各行元素之和为 0 ,而 A ≠ 0 ,则 r ( A) = _____ . 17. 设 A, B 是 n 阶方阵,且 r ( A) = r , r ( B ) = s 则 r ( A, AB ) = ________, r ⎜ ⎜ AB ⎟ ⎟ = _______ . ⎝ ⎠
⎛1 ⎜ 0 * 4. 设矩阵 A 的伴随矩阵 A = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝2
0 1 0 2
0 0 1 2
0⎞ ⎟ 0⎟ −1 −1 ,且 ABA = BA + 3E ,求矩阵 B 0⎟ ⎟ 8⎠
第四章矩阵练习题（可编辑修改word版）
第四章矩阵练习题（可编辑修改word版）s一、判断题矩阵习题1. 对于任意 n 阶矩阵 A ， B ，有 A + B = A + B .2. 如果 A 2 = 0, 则 A = 0 .3. 如果 A + A 2 = E ，则 A 为可逆矩阵.4. 设 A , B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0 ，则 A , B 的秩一个等于 n ，一个小于 n .5. A , B , C 为n 阶方阵，若 AB = AC , 则 B = C .6. A 为m ? n 矩阵，若r ( A ) = s , 则存在m 阶可逆矩阵 P 及n 阶可逆矩阵QI 0?，使 PAQ = ?.0 0?7. n 阶矩阵 A 可逆，则 A * 也可逆.8. 设 A , B 为n 阶可逆矩阵，则( AB )* = B * A *.二、选择题1. 设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵(B T = -B ) ,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（） (A) AB - BA(B) AB + BA(C) (A B )2 (D) BAB2. 设 A 是任意一个 n 阶矩阵，那么（）是对称矩阵。
(A) A T A(B) A - A T(C)A 2(D) A T - A3. 以下结论不正确的是（）。
(A) 如果 A 是上三角矩阵，则 A 2 也是上三角矩阵；(B) 如果 A 是对称矩阵，则 A 2 也是对称矩阵；(C) 如果 A 是反对称矩阵，则 A 2 也是反对称矩阵；(D) 如果 A 是对角阵，则 A 2 也是对角阵。
4. A 是m ?k 矩阵, B 是k ?t 矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（）( A ) AB 的第j 列元素全等于零；( B ) AB 的第j 列元素全等 7 于零；( C ) BA 的第j 列元素全等于零；( D ) BA 的第j 列元素全等于零；5.设A, B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（）(A) ( A +B)2=A2+ 2 A B +B2(B) A2-B2= ( A +B)( A -B)(C) ( AB)2=A2B2(D) A2-E2= ( A +E)( A -E)6.下列命题正确的是（）(A)若AB =AC ，则B =C (B)若AB =AC ，且A ≠ 0 ，则B =C(C)若AB =AC ，且A ≠ 0 ，则B =C (D) 若AB =AC ，且B ≠ 0, C≠ 0 ，则B =C7. A 是m ?n 矩阵，B 是n ?m 矩阵，则（）(A)当m >n 时，必有行列式AB ≠ 0 ；(B)当m >n 时，必有行列式AB = 0(C)当n >m 时，必有行列式AB ≠ 0 ；(D)当n >m 时，必有行列式AB = 0 ；8.以下结论正确的是（）(A)如果矩阵A 的行列式，则A = 0 ,则A = 0 ；(B)如果矩阵A 满足A 2= 0 ，则A = 0 ；(C)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的；(D)对任意方阵A, B ，有( A -B)( A +B) =A2-B29．设1,2,3,4是非零的四维列向量，A=(1,2,3,4),A*为A 的伴随矩阵，已知Ax = 0 的基础解系为(1, 0, 2, 0)T，则方程组A* x = 0 的基础解系为（）. （A）1,2,3. （B）1+2,2+3,3+1.（C）2,3,4. （D）1+2,2+3,3+4,4+1.10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 适合下列条件（）时， I n - A 必是可逆矩阵(A) A n = 0(B) A 是可逆矩阵 (C) A n = 0 (D) A 主对角线上的元素全为零11.n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是（）(A) A = 1 (B) A = 0 (C) A = A T (D)A ≠ 012.A ,B ,C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（）(A) 若 A 是可逆矩阵，则从 AB = AC 可推出 BA = CA (B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 AB = BA (C) 若A ≠ 0 ，则从 AB = AC 可推出 B = C (D) 若B ≠ C ，则必有AB ≠ ACA ,B ,C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 ABC = E ，则有（）(A) ACB = E （B ） BAC = E（C ） BCA = E(D) CBA = E14.A 是 n 阶方阵， A * 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A * 也是可逆矩阵；(B)若 A 是不可逆矩阵，则 A * 也是不可逆矩阵； (C)若A * ≠ 0 ，则 A 是可逆矩阵；(D) AA * = A ;15. 设是 5 阶方阵，且A ≠ 0 ，则 A * = （）(A) A(B) A 2(C) A 3 (D)A 416. 设 A * 是 A = (a ) 的伴随阵，则 A * A 中位于(i , j ) 的元素为（）ij n ?n(A)∑a jk Akik =1(B)∑ akik =1(C)∑a jk A ikk =1(D)∑ a ki A kjk =1a 11 a 1n ? ? A 11 A 1n ?17. 设 A = ? ? , B = ? ? ,其中A ij 是 a ij 的代数余子式，则a n 1 a nn ?? ?? A n 1 A nn ??（）n n n n2 0 0 - 0 0 0 (A) A 是 B 的伴随 (B) B 是 A 的伴随 (C) B 是 A ' 的伴随 (D)以上结论都不对A 0 ? * 18.设 A , B 为方阵，分块对角阵C = ? 0 B ?,则C = ( )A * 0 ?A A * 0 ?(A) C = ? 0 B* ? (B) C = ? 0B B * ? ? ?B A *0 ? ? ?A B A *(C) (C) C = ?0 A B * ? (D)C = ?0 A B B * ?4 6 ? ?1 3 5?19．已知 A = ?1 -2? , B = ?2 4 6? ，下列运算可行的是（）(A) A + B(B) A - B (C) AB (D) AB - BA20.设 A , B 是两个 m ? n 矩阵， C 是 n 阶矩阵，那么（）(A) ( A + B ) = CA + CB(B) ( A T + B T )C = A T C + B T C(C) C T ( A + B ) = C T A + C T B(D) ( A + B )C = AC + BC21. 对任意一个 n 阶矩阵 A ，若 n 阶矩阵 B 能满足 AB = BA ，那么 B 是一个（）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵22. 设 A 是一个上三角阵，且 A = 0 ，那么 A 的对角线上的元素（）(A) 全为零（B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零（D ）可能有零，也可能没有零1 3?23．设 A = ? ? ，则A -1 ?= （）1 ? ?2 ? ? 1 ? ? 3? ?1 ? ? 3 ? ?1 ? ?2 ? (A) ? 1 1 ? （B ） ?1 1 ? （C ） ? 1 1 ?（D ） ?1 1 ?- - ? ? ? ? - ? ? - ? ?? 3 6 ??3 6 ?? ?? 2 6 ??3 6 ??a 1b 1c 1 ? ?a 1 c 1 2b 1 ? 24．设 A = ?a b c ? ，若 AP = ?ac 2b ? ，则 P = （）2 2 2 ? ? 2 2 2 ? ??a3 b 3 c 3 ?? ??a 3 c 3 2b 3 ??1 0 0? (A) ?0 0 1? ??02 0?? ?1 0 0? （B ） ?0 0 2? ??0 1 0?? ?0 0 1? （C ） ?0 2 0? ??1 0 0?? ?2 0 0? （D ） ?0 0 1? ??0 1 0??，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为1(A) 1 （B ）-1 （C ）（D ）1 - n26. 设 A , B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: 1n - 1①若 A , B 为等价矩阵,则 A , B 的行向量组等价;②若 A , B 的行列式相等,即| A |=| B |, 则 A , B 为等价矩阵;③若 Ax = 0 与 Bx = 0 均只有零解,则 A , B 为等价矩阵;④若 A , B 为相似矩阵,则 Ax = 0 与 Bx = 0 解空间的维数相同.以上命题中正确的是( )(A) ①, ③. (B) ②, ④.(C) ②,③.(D)③,④.三、填空题1．设 A 为三阶方阵， A *为 A 的伴随矩阵，有 A = 2 ，则 (1 A ) 3-1 - 2 A * =2．设 A , B 为 4 阶方阵，且 A = 3 ，则 -(3A )-1 =, BA 2 B -1=。
高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案.docx
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。
线性代数第四章练习题答案
第四章二 次 型练习4、11、写出下列二次型的矩阵（1）),,(321x x x f =32312221242x x x x x x -+-；（2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：（1）因为),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202。
（2）因为),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1110。
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210。
解：（1）设T321),,(x x x X =，则),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x =323121232142x x x x x x x x -+-+。
（2）设T4321),,,(x x x x X =，则),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211************⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x=434232312124222x x x x x x x x x x x x +++-++-。
练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
矩阵的练习题
矩阵的练习题矩阵是线性代数重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在学习矩阵的过程中，我们需要通过大量的练习题来加深对矩阵的理解和掌握。
下面，我将为大家提供一些矩阵的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
练习题一：矩阵的基本操作1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：矩阵A的转置矩阵是矩阵A的行和列互换得到的矩阵。
所以，矩阵A的转置矩阵为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 已知矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：要求矩阵B的逆矩阵，需要满足矩阵B与其逆矩阵相乘的结果为单位矩阵。
对于3阶方阵的逆矩阵，可以使用伴随矩阵法求解。
经过计算，矩阵B的逆矩阵为：[0 0.333 -0.167; -0.667 0.333 0.333; 0.333 -0.667 0.333]。
练习题二：矩阵的乘法1. 已知矩阵C = [1 -2; 3 4]，矩阵D = [5 6; -7 8]，求矩阵C和矩阵D的乘积。
解答：矩阵的乘法是按行乘以列再求和的运算。
根据定义，矩阵C和矩阵D的乘积为：[1*-2+(-2)*(-7) 1*6+(-2)*8;3*-2+4*(-7) 3*6+4*8] = [-9 -10; -34 42]。
2. 已知矩阵E = [2 3; -1 4; 0 1]，矩阵F = [-2 1 5; 3 4 -2]，求矩阵E和矩阵F的乘积。
解答：矩阵E是一个3×2矩阵，矩阵F是一个2×3矩阵。
根据定义，矩阵E和矩阵F的乘积为：[2*-2+3*3 2*1+3*4 2*5+3*(-2);-1*(-2)+4*3 -1*1+4*4 -1*5+4*(-2);0*(-2)+1*3 0*1+1*4 0*5+1*(-2)] = [5 14 4; 14 15 -15; 3 -2 -10]。
练习题三：矩阵的行列式1. 求矩阵G = [2 1; 3 4]的行列式。
（完整版）矩阵练习（带答案详解）
（完整版）矩阵练习（带答案详解）一、填空题：1.若A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1 -C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，若=00A B C ,则1-C ＝--0011B A 。
4. 设A ＝?--1112，则1-A ＝2111。
5. 设???? ??--=111111A ，--=432211B .则=+B A 2--731733。
6.设=300020001A ，则1-A ＝310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B == ? ?，T A 为A 的转置，则B A T=-160222.8.=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(（k 为正整数）。
……………（× ）2. 设,,A B C 为n 阶方阵，若ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………（× ）3. 设B A 、为n 阶方阵，若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… (× )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B=。
……………………（√ ）6. 若A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…（× ）7. 两个矩阵A 与B ，如果秩（A ）等于秩（B ），那么A 与B 等价。
…………（× ）8. 矩阵 A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等。
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
矩阵的测试题及答案
矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。
答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。
答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。
对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。
四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。
答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。
8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。
答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。
五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。
在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。
矩阵练习带答案详解
一、填空题：1.假设A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 假设n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1-C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，假设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 。
4. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111。
5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B .则=+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--731733。
6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T A 为A 的转置，则B A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-160222.8. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题〔每题2分，共12分〕1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(〔k 为正整数〕。
……………〔 × 〕2. 设,,A B C 为n 阶方阵，假设ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………〔 × 〕3. 设B A 、为n 阶方阵，假设AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B =。
……………………〔 √ 〕6. 假设A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…〔 × 〕7. 两个矩阵A 与B ，如果秩〔A 〕等于秩〔B 〕，则A 与B 等价。
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
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矩阵习题一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+.2. 如果20,A =则0A =.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n .5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B =6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。
(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A - 3．以下结论不正确的是（ ）。
(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵。
4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）(A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 列元素全等7于零； (C ) BA 的第j 列元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C)若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ ）(A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =；8．以下结论正确的是（ ）(A) 如果矩阵A 的行列式，则0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ ）. （A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) 0nA = (B) A 是可逆矩阵 (C)0nA = (D)A 主对角线上的元素全为零 11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）(A) 1A = (B) 0A = (C) T A A = (D) 0A ≠ 12．,,A B C 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14． A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）(A)若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B)若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵； (C)若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； (D)*AA A =; 15．设是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L , 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L ,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（ ）(A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对 18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B AC A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA - 20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ ）(A) ()A B CA CB +=+ (B)()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D)()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的对角线上的元素（ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零 23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L L L L L ，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（ ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题:①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价; ②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.三、填空题1．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，有2A =，则11()2*3A A --=2．设,A B 为4阶方阵，且3A =，则1(3)A --= , 21BAB -= 。
3．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，那么是()'AB 一个 阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为 .4.n 阶矩阵A 可逆⇔ ⇔⇔ ⇔ .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 的伴随矩阵*A = . 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .6．设0,1,2,i a i n ≠=L ，矩阵121000000000000n n a aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L LL L L L的逆矩阵为 。
7．设,A B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 . 8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则(2)B A C -=（ ） 9．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且2,3A B =-=则行列式A B += .11．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，已知,A a B b ==，则行列式AB = . 12．设A 为n 阶方阵，且0A ≠，则 在A 等价关系下的标准形为 .13. 设12221311A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（a 为某常数），B 为43⨯的非零矩阵，且0BA =，则矩阵B 的秩为 .四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2) 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭; (3) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(4) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．设033110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭,2AB A B =+ ,求B . 3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,求11A .4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂 等矩阵的充要条件是.0==BA AB。