角平分线+平行应用模型的构造
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(解析版)
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。
结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。
初中数学几何模型之角平分线模型
①角分线与圆周角
模型分析：
如图，直线AB、CD相较于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE， ，则下列结论不正确的是（）
A.∠AOD与∠1互为补角B.∠1的余角等于
C. D.
【解析】
解：A.∠AOD与∠1互为补角，说法正确；
B.∠1的余角： ，说法正确；
C.∵OE⊥AB，
∴ ，
∵OF平分∠AOE，
∴ ，说法正确；
D. ，原题说法错误；
故选：D．
解题通法：掌握余角，补角，角平分线，垂线的性质，通过加减运算解决问题
模型精练：
1.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分 ， ，若 ，则 的度数为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 和射线OM平分 ，可求∠MOC=30°；再根据 ，即可求得∠CON．
【详解】解：∵ ，射线OM平分 ，
∴∠MOC=
∵
∴ =∠MON-∠MOC=90°-30°=60°，故选：C
【点睛】本题考查了角平分线和角的和差的知识，正确运用角的和差是解答本题的关键．
2.如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE＝_____．
数学模型-角平分线常见解题模型
角平分线作为图形最基础的概念,在选择题,填空题和几何证明题中屡见不鲜,同学们除了掌握角平分线的概念和性质定理以外,还需要对常见的角平分线的模型进行了解,在与平行线、三角形、四边形、圆等背景知识的基础上,结合角平分线得到一些常见的结论并对此进行整理记忆．
对此将角平分线的常见模型分为如下六个模块,其中前五模块为基础模块,需要同学们掌握其中结论的证明步骤,第六模块为补充模块,只需要了并会运用即可．
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
角平分线模型概览
角平分线模型概览
什么是角平分线模型？
角平分线模型是一个在几何学中常用的概念，用于描述平面上
的角度结构。
它是由角平分线所构成的几何图形。
角平分线的定义
角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角
的直线。
在平面几何中，任意角都存在唯一的平分线。
角平分线的性质
角平分线具有以下性质：
- 角平分线将原角分成两个相等的角。
- 角平分线与角的两边相交，且相交点在角的顶点所在的直线上。
角平分线模型的应用
角平分线模型在几何学中有广泛的应用，它可以用于解决角度
相关的计算问题。
通过使用角平分线模型，我们可以求解角的大小、角的平分线的长度等。
如何找到角平分线？
要找到一个角的平分线，可以按照以下步骤进行操作：
1. 连接角的两边的端点，画出角的两边。
2. 以角的顶点为圆心，任意取一个半径，画一个圆。
3. 从圆上任意点画一条必须经过圆心的弧，此弧与两边相交于两个点。
4. 连接这两个点和角的顶点，即得到角的平分线。
总结
角平分线模型是几何学中的一个重要概念，用于描述角的平分线。
它具有很多重要性质，并在解决角度计算问题时发挥着重要作用。
找到角平分线的方法可以通过连接角的两边和画圆来实现。
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
专题 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)
N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
高中数学中的常用几何模型及构造方法
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
“角平分线、等腰三角形、平行线”的转化模型研究
“角平分线、等腰三角形、平行线”的转化模型研究一、研究背景初中课程的教学活动，是基于基础知识、基本技能、基本思想的教学，在和学生探究到等腰三角形的性质等边对等角这一节知识时，课后练习涉及到等腰三角形、角平分线得出平行线，经过后面给学生不断的讲解练习，发现三者之间存在一些转化的关系，再经过不断的做题，经过不断的总结、提炼，得出解题规律，建立数学模型。
“平行线、角平分线、等腰三角形”三者相互组合成新的图形是初中阶段研究几何中常见图形，它将渗透到特殊的四边形以及圆之中，在初中学业水平考试中经常出现。
数学的学习是综合性的，单一的知识点的考察都相对简单，多个知识点综合运用就需要掌握一定的规律和解题技巧，学会知识的联想，从题目已知提炼出更多的已知条件，将所有的已知条件结合，就会为我们解题提供很大帮助。
二、转化模型分析几何数学题目，表面上看题目所给的条件和所要证的结论毫无关联，但结合所学的公式、定理把题目已知信息放大，通过推理得到更多的已知条件，你就会发现它们之间的内在联系，通过自己的总结归纳，便找到规律，当得到共性的结论后，便可用这个共性结论去指导解决类似的题目，看下面转化问题。
转化模型一：角平分线+等腰三角形推出平行线如图1所示，AE平分∠BAC，且AD=ED，求证：DE∥AB证明：∵ AE平分∠BAC，∴ ∠CAE=∠BAE又∵ AD=ED，∴ ∠CAE=∠AED.∴ ∠BAE=∠AED.∴ DE∥AB知角平分线、等腰三角形，得平行线（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型一。
转化模型二：平行线+等腰三角形推出角平分线如图1所示，DE∥AB，且AD=ED，求证：AE平分∠BAC证明：∵DE∥AB,∴ ∠BAE=∠AED.又∵ AD=ED,∴∠CAE=∠AED.∴∠CAE=∠BAE.∴ AE平分∠BAC知平行线、等腰三角形，得角平分线（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型二。
转化模型三：平行线+角平分线推出等腰三角形如图1所示，DE∥AB，AE平分∠BAC，求证：AD=ED（或者△ADE是等腰三角形）证明：∵DE∥AB,∴ ∠BAE=∠AED.又∵ AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴ ∠CAE=∠AED.∴ AD=ED.知平行线、角平分线，得等腰三角形（即知二得一），将此转化的图形记为转化模型三以上就是三者在同一个图中的转化问题，上图看似简单，但在平时解题的过程中常见其阴影，在解题中利用此模型，快速解题，为证明提供便捷。
由角平分线与平行线构成的等腰三角形
由角平分线与平行线构成的等腰三角形在我们学习几何的过程中，有些知识点之间关系密切，往往带有一定的共性,比如当角平分线与平行线同时出现，那么一定会得到等腰三角形.下面通过几例说明“角平分线＋平行线→等腰三角形”的规律，希望同学们能够举一反三，触类旁通，在解题中灵活运用.一、基本图形（分两种情况）：1.平行线平行于角的一边,如图1，OC 平分∠AOB ，CD ∥OB. 则DO=DC,2.平行线平行于角的平分线，如图2，OC 平分∠AOB ，OC ∥BD.则OD=OB.二、应用举例例1.如图3，在△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，交BC 于D,DE ∥AB ，则△ADE 是等腰三角形.证明：如图3，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∴AE ＝DE ，即△ADE 为等腰三角形.变式1：如图4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；变式2：如图5，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D, BE ∥AC ，则△A BE 是等腰三角形.仿例1可以给出证明.例2.如图6，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,CE ∥AD ，则△ACE 是等腰三角形.证明：∵AD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2,AEB CD图3图5 AE BCD图4 AEBCD图1图2∵CE ∥AD ，∴∠2＝∠3，∠1＝∠E ， ∴∠3＝∠E ，∴AC ＝CE.变式1：如图7，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,EF ∥AD ，交AC 于点G ，交BA 延长线于E,则△AEG 是等腰三角形.变式2：如图8，在△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，交BC 于D, EF ∥AD ，交BC 于F ,交CA 的延长线于G ，则△AEG 是等腰三角形.这些基本规律在解题中有一定的指导作用.例3.如图9，在△A BC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，（1）求证：EF ＝BE ＋CF ．（2）若AB=9,AC=8，求△AEF 的周长.分析：观察图形，看到EF 已被点D 分成了两条线段(DE 和DF)，而条件中恰好具备“角平分线＋平行线”，可得到两个等腰三角形△BDE 和△CDF ，于是可分别证明DE ＝BE ，DF ＝CF 即可.(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2， ∵EF ∥BC ，∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE ＝DE ， 同理DF ＝CF ，∴DE ＋DF ＝BE ＋CF ，即EF ＝BE ＋CF (2)由（1）得：△AEF 的周长 =AE+AF+EF =AE+AF+(BE ＋CF) =AB+AC =9+8 =17.上述两例都是由角平分线、平行线构成的等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键.例4.如图10，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，,AEB CD F G图7BCDFE AG 图8)13(AE BCF D 图9)2A EB CD)1)2图6（1）求证:AF=DE,（2）若AB=3，BC=4，FG=1,求∠A 的度数. (3) 若△EFG 为等腰直角三角形,求∠A 的度 数.解：（1）在平行四边形ABCD 中 ∵AD ∥BC, ∴∠2=∠5，又 ∠2=∠5， ∴∠1=∠5，∴AE=AB, 同理可证：DF=CD. ∵AB=CD ∴AE=DF .∵ AF=AE －EF; DE=DF-EF , ∴AF=DE.（2）在平行四边形ABCD 中，设BE 与CF 交于点G,， ∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∴12,2ABC ∠=∠ 13,2BCD ∠=∠ 123()902ABC BCD ∠+∠==∠+∠=°，∴∠BGC=90°，即BE ⊥CF ； 因为AD=BC=4，DF=DC=3，∴AF=AD-DF=4-3=1; 又AF=AE －EF; ∴1=3-EF , ∴EF=2.又∵FG=1，∴1,2FG EF =∴∠5=30°，∵AE=AB ，∠1=∠5=30°, ∴∠A=120°. （3）由（2）得∠BGC=90°，∴∠EGF=90°,若△EFG 为等腰直角三角形,则∠5=45°，∴∠1=∠5=45°， ∴∠A=90°.评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF,②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1,③利用平行线的性质得到Rt △BGC ，Rt △EGF , ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为30°.例5.已知：如图11,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,EF ∥AB 交BC 于E 、交AD 于F ,若DE=DC.求证：EF=AC.证明:过作CM ∥EF ,交AD 的延长线于M ，连结CM ，则∠M=∠3，，ABCDFE G)2)1 4(3(5(图10图11∠EDF=∠CDM ，又 DE=DC. ∴△EDF ≌△C DM ， ∴EF=CM. ∵ EF ∥AB ，∴∠3=∠1，又∠1=∠2，∴ ∠M=∠2，∴AC=CM ， 从而EF= AC.评析：本题的关键在于作通过添加平行线构成以AC(或EF)为腰的等腰三角形，再证EF=CM.通过上述例题，我们发现，尽管每道题目的结论各异，但每道题中都有角平分线、平行线，故都可得等腰三角形这一共性.所以，在学习过程中，要善于发现、总结规律.真正驳清了基本概念，变成一个个知识板块，其本质属性理解透彻，就能收到举一反三，融会贯通的效果.附：参考习题1.如图12，在△ＡＢＣ中，Ｏ是∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交点，ＯＤ∥ＡＢ，交ＢＣ于点Ｄ，ＯＥ∥ＡＣ，交ＢＣ于点Ｅ，若ＢＣ＝10cm ，求△DOE 的周长,2.如图13，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACP 的平分线交于D 点，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，求证：EF ＝EB －FC3.如图14：平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BCD 的平分线交AD 于F ，且AB=3，DE=2，（1）求平行四边形ABCD 的周长．（2）求证：BE ⊥CF （3）若CF=2，求BE 的长．.参考答案：1.△DOE 的周长为10cm ； 2.证明略；3.（1）平行四边形ABCD 的周长为16；（2）证明略；（3）BE=22226242BE BN EN =-=-=.AE B COD图12 )1 )2 4(图14A EBCFDP图13。
角平分线的四大模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
角平分线的四大模型解题策略模型1角平分线的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⏊OM 于点A ，PB ⏊ON 于点B ，则PB =PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型2截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ,连接PB ，则△OPB ≌△OPA 模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP ⏊OP 于P 点，延长AP 交ON 于点B ，则△AOB 是等腰三角形.模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.A B MNO PAB MNO P A B MNO PO P QMN经典例题【例1】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习)四边形ABCD 中，DA =DC ，连接BD ．(1)如图1，若BD 平分∠ABC ，求证：∠A +∠C =180°．(2)如图2，若BD =BC ，∠BAD =150°，求证：∠DBC =2∠ABD ．(3)如图3，在(2)的条件下，作AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，若DA ⊥DC ，BC =2，求DE 的长度．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【分析】(1)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED =FD ，结合已知条件HL 证明Rt △DAE ≌Rt △DCF ，继而可得∠C =∠EAD ，根据平角的定义以及等量代换即可证明∠BAD +∠BCD =180°；(2)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，根据含30度角的直角三角形的性质可得ED =12AD ，根据三线合一，可得DG =12DC ，进而可得DE =DG ，根据角平分线的判定定理可推出∠ABD =∠DBG =12∠DBC ，进而即可证明∠DBC =2∠ABD ；(3)先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌△FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设∠ABD =α，根据(2)的结论以及三角形内角和定理，求得α=15°，进而求得∠DBC =30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt △DEF 中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】(1)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，∵BD 平分∠ABC ，∴ED =FD∵DA =DC ，在Rt △DAE 与Rt △DCF 中AD =DC ED =FD∴Rt △DAE ≌Rt △DCF (HL )∴∠C =∠EAD∴∠DAB +∠EAD =∠DAB +∠C =180°即∠BAD +∠BCD =180°(2)如图，过点D 作DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，∵BD =BC∴DG =GC =12DC ,∠DBG =∠CBG =12∠DBC∵∠BAD =150°，∴∠EAD =180°-150°=30°∴ED =12AD ∵DA =DC∴ED =DG∵ED ⊥BE ,DG ⊥BG∴∠EBD =∠GBD∴∠ABD =12∠DBC 即∠DBC =2∠ABD(3)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DM ⊥EA 交EA 的延长线于点M ，∵AE ⊥BC ，DM ⊥ME ,DF ⊥FE∴四边形DMEF 是矩形∴∠MDF =90°∴∠MDA +∠ADF =90°∵DA ⊥DC∴∠ADC =90°∴∠ADF +∠FDC =90°∴∠FDC =∠MDA在△MAD 与△FCD 中∠MDA =∠FDC ∠DMA =∠DFC DA =DC∴△MAD ≌△FCD∴DM =DF ，∠MDA =∠FDC∴四边形DMEF 是正方形∴DF =EF设∠ABD =α∴∠DBC =2∠ABD =2α∵BD =BC∴∠BDC =∠BCD =12(180°-2α)=90-α∴∠MDA =∠FDC =90°-∠BCD =α∴∠DAE =∠M +∠MDA =90°+α∵∠BAD =150°∴∠BAE =60-α在△BAE 中∠ABE =90°-∠BAE =30°+α∵∠ABE =∠ABD +∠DBC =α+2α=3α∴α=15°∴∠DBC =2α=30°∵BD=2∴DF=12BD=12×2=1在Rt△DEF中，EF=DF=1∴DE=EF2+DF2=2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．【例2】(2022·山西·交城县教学研究办公室八年级期中)综合与实践：问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD．(1)初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是；(2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长(直接写出答案)．【答案】(1)PC=PD(2)PC与PD在(1)中的数量关系还成立，理由见解析(3)OC的长为7【分析】(1)根据角平分线的性质进行解答即可；(2)过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，根据“ASA”证明△CPE≌△DPF即可得出结论；(3)过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，先证明四边形OEPF为正方形，然后证明△CPE≌△DPF(ASA)，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论．【详解】(1)解：∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，故答案为：PC=PD；(2)还成立，理由如下：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，∵OM平分∠AOB，∴PE=PF，∠PEC=∠PFD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠EPF =360°-∠DEO -∠AOB -∠DFO =90°，∵∠CPD =90°∴∠CPD -∠EPD =∠EPF -∠EPD ，即∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠PEC =∠PFD，∴△CPE ≌△DPF ASA ，∴PC =PD ；(3)过点P 作PE ⊥OA ,PF ⊥OB ，垂足分别为E ,F ，∴四边形OEPF 为矩形，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE =PF =3，四边形OEPF 为正方形，∵∠AOB =90°，∠OEP =90°,∠OFP =90°，∴∠EPF =90°，∵∠CPD =90°，∴∠CPE +∠EPD =∠EPD +∠DPF =90°，∴∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠CEP =∠DFP，∴△CPE ≌△DPF (ASA )，∴CE =DF ，∵OD =1，∴DF =OD +OF =1+3=4，∴OC =OE +CE =3+4=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【例3】(2021·全国·八年级专题练习)如图，已知B (-1，0)，C (1，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在点D 运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【详解】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN，∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．【例4】(2021·贵州·九年级专题练习)【特例感知】(1)如图(1)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD=3，BD=4，求点D到直线AB的距离．【类比迁移】(2)如图(2)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】(3)如图(3)，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=72，AB=6，求△ABC的内心与外心之间的距离．【答案】(1)125；(2)AB+BC=2BE，理由见解析；(3)5．【分析】(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF=DE解决问题；(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE．只要证明ΔDFA≅ΔDEC(ASA)，推出AF=CE，RtΔBDF ≅RtΔBDE(HL)，推出AF=BE即可解决问题；(3)如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由(1)(2)可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：AN=6+10-82=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在RtΔOMN中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．图①∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC=BD2+CD2=42+32=5，∵12·BC·DE=12·BD·DC，∴DE=125，∴DF =DE =125．故答案为125(2)如图②中，结论：AB +BC =2BE ．图②理由：作DF ⊥BA 于F ，连接AD ，DC ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF =DE ，∠DFB =∠DEB =90°，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠EDF =180°，∴∠ADC =∠EDF ，∴∠FDA =∠CDE ，∵∠DFA =∠DEC =90°，∴ΔDFA ≅ΔDEC (ASA )，∴AF =CE ，∵BD =BD ，DF =DE ，∴Rt ΔBDF ≅Rt ΔBDE (HL )，∴BF =BE ，∴AB +BC =BF -AF +BE +CE =2BE ．(3)如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由(1)(2)可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③∵BD =72，∴正方形BEDF 的边长为7，由(2)可知：BC =2BE -AB =8，∴AC =62+82=10，由切线长定理可知：AN =6+10-82=4，∴ON=5-4=1，设内切圆的半径为r，则12×r×10+12×r×6+12×r×8=12×6×8解得r=2，即MN=2，在RtΔOMN中，OM=MN2+ON2=22+12=5．故答案为5．【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．培优训练一、解答题1.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC>BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC上截取BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C=∠DEC，则DE=DC，从而得出AD=CD即可证明．【详解】证：如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，∵BD=BD，∠ABD=∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A=∠DEB，AD=DE，∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴AD=CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．2.(2022·全国·八年级课时练习)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．(1)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；(2)判断△BEG的形状，并说明理由．【答案】(1)BE=12AD，见解析；(2)△BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】(1)延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE=HE=12BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH=AD，则BE=12AD；(2)先证明CF垂直平分AB，则AG=BG，再证明∠CAB=∠CBA=45°，则∠GAB=∠GBA= 22.5°，于是∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：(1)BE=12AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEH=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∠BAE=∠HAE，∴△BAE≌△HAE(ASA)，∴BE=HE=12BH，∵∠ACB=90°，∴∠BCH=180°-∠ACB=90°=∠ACD，∴∠CBH=90°-∠H=∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∠CBH=∠CAD，∴△BCH≌△ACD(ASA)，∴BH=AD，∴BE=12AD．(2)△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC=BC，AF=BF，∴CF⊥AB，∴AG=BG，∴∠GAB=∠GBA，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠GAB=1∠CAB=22.5°，2∴∠GAB=∠GBA=22.5°，∴∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，∵∠BEG=90°，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴EG=EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．3.(2022·江苏·八年级专题练习)在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．(1)如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E=48°，AE=AD=DC，则∠ABC的度数为 ．(2)如图2，AC>AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．(3)连接AE，若∠DAE=90°，∠BAC=24°，且满足AB+AC=EC，请求出∠ACB的度数(要求：画图，写思路，求出度数)．【答案】(1)108°；(2)AC+BP>AB+PC，见解析；(3)44°或104°；详见解析．【分析】(1)根据等边对等角，可得∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质求出∠ADE=2∠DAC=48°，由此即可解题；(2)在AC边上取一点M使AM=AB，构造△ABP≅△AMP，根据MP+MC>PC即可得出答案；(3)画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得GC=EC，可得∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；根据∠BAC= 24°，AD为△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠DAC=12°，可证△AGE≅△ABE(SAS)，得出∠ABE=∠G=90°-x，利用还有∠ABE=24°+2x，列方程90°-x=24°+2x；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA 到G，使AG=AB，可得GC=EC，得出∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；∠BAC=24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出∠BAD=∠DAC=12°，证明△AGE≅△ABE (SAS)，得出∠ABE=∠G=x，利用三角形内角和列方程x+24°+2x=180°，解方程即可．【详解】解：(1)∵AE=AD=DC，∴∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，∵∠E=48°，∠ADE=∠DAC+∠C，∴∠ADE=2∠DAC=48°，∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAC=2∠DAC，∴∠BAC=48°；∴∠ABC=180°-48°-24°=108°(2)如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在△ABP和△AMP中，AB=AM∠BAP=∠MAPAP=AP，∴△ABP≅△AMP(SAS)，∴BP=MP，∵MP+MC>PC，MC=AC-AM，∴AC-AB+BP>PC，∴AC+BP>AB+PC；(3)如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG= AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；又∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，∴∠BAE=90°-∠BAD=78°，∠GAE=90°-∠DAC=78°，∴∠BAE=∠GAE，在△AGE和△ABE中，AE=AE∠GAE=∠BAEAG=AB，∴△AGE≅△ABE(SAS)，∴∠ABE=∠G=90°-x，又∵∠ABE=∠BAC+∠ACB=24°+2x，∴90°-x=24°+2x，解得：x=22°，∴∠ACB=2x=44°；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；又∵∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，在△AGE和△ABE中，AE=AE，∠GAE=∠BAEAG=AB∴△AGE ≅△ABE (SAS )，∴∠ABE =∠G =x ，∴x +24°+2x =180°，解得：x =52°，∴∠ACB =2x =104°．∴∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．4.(2022·全国·八年级课时练习)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF ．(1)求证：AC =AE ；(2)若AB =7.4，AF =1.4，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)证明△ACD ≌△AED (AAS )，即可得出结论；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD (SAS )，得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE (HL )，得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，∠C =∠DEA∠DAC =∠DAE AD =AD，∴△ACD ≌△AED (AAS )，∴AC =AE ；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAMAD=AD，∴△FAD≌△MAD(SAS)，∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE，∴Rt△MDE≌Rt△BDE(HL)，∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE=12BM=3，即BE的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．5.(2022·江苏·八年级专题练习)如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．(1)求证AC=BN；(2)如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM的值．【答案】(1)见解析；(2)2k k+1【分析】(1)延长CM至点D，使CM=DM，可证ΔACM≅ΔBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证ΔDCB≅ΔNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；(2)如图所示，作CQ=CP，可证ΔCPO≅ΔCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠4=∠5，故可证ΔNOB≅ΔNOQ等量转化即可求出CPCM的值．【详解】(1)如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在△ACM与△BDM中，CM=DM∠AMC=∠BMDAM=BM，∴ΔACM≅ΔBDM，∴AC=BD，∵2CM=CN，∴CD=CN，在△DCB与△NCB中，CD=CN∠DCB=∠NCBCB=CB,∴ΔDCB≅ΔNCB，∴BN=BD，∴AC=BN；(2)如图所示，∵∠AMC=120°，∴∠CMN=60°，∵NP平分∠MNC，∠BCN=∠BCM，∠PNC+∠BCN=12∠AMC=60°，∴∠CON=120°，∠COP=60°，∴∠CMN+∠BOP=180°，作CQ=CP，在△CPO与△CQO中，CQ=CP∠QCO=∠PCOCO=CO，∴ΔCPO≅ΔCQO，∴∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5，在△NOB与△NOQ中，∠4=∠5∠BNO=∠QNONO=NO，∴ΔNOB≅ΔNOQ，∴BN=NQ，∴CN=CP+NB，∴2CM=CP+AC，设AC=a，∴CP=ka，CM=a(k+1)2，∴CP CM =2kk+1．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG 是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE=120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．7.(2022·全国·八年级课时练习)已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6．【分析】(1)用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；(2)①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用SAS证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，S△FAE:S△ACF=1:3，而△FAG≌△FAE，故S△FAG:S△ACF=1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．【详解】解：(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，∠BAD =∠CADAD =AD ∠ADB =∠ADC，∴△ABD ≌△ACD ASA ，∴AB =AC ；(2)①∵AB =AC ，∠ABC =30°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =60°，∴∠BAG =60°=∠CAD ，在△BAG 和△CAE 中，∠BAG =∠CAEAB =AC ∠ABG =∠ACE，∴△BAG ≌△CAE ASA ，∴AG =AE ，在△FAG 和△FAE 中，AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△FAG ≌△FAE SAS ，∴∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：由①知：△BAG ≌△CAE ，∵S △ABG :S △ACF =2:3，∴S △CAE :S △ACF =2:3，∴S △FAE :S △ACF =1:3，由①知：△FAG ≌△FAE ，∴S △FAG :S △ACF =1:3，∴12AG ⋅FK :12AC ⋅FK =1:3，∴AG :AC =1:3，∵AG =2，∴AC =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.8.(2022·全国·八年级)如图1，在△ABC 中，AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．(1)求证：CD 平分∠ACB ；(2)如图2，过F 作FP ⊥AC 于点P ，连接PD ，若∠ACB =45°，∠PDF =67.5°，求证：PD =CP ；(3)如图3，若2∠BAF +3∠ABE =180°，求证：BE -BF =AB -AE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG =DH =DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；(2)作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ，通过证明△SQD ≌△TFD 和△QDP ≌△FDP 得到∠PDC =∠PCD =22.5°，从而根据等角对等边判断即可；(3)延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ，通过证明△AFC ≌△AFM 得到AC =AM ，再结合CE =EB 即可得出结论．【详解】(1)证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴DG =DH =DK ，∴CD 平分∠ACB ；(2)证明：如图，作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ．∵CD 平分∠ACB ，∴DS =DT ，∵∠QDP =∠FDP =67.5°，∠ACB =45°，∴∠QDF +∠ACB =135°+45°=180°，在四边形QDFC 中，∠CQD +∠DFC =180°，又∵∠DFT +∠DFC =180°，∴∠CQD =∠DFT ，在△SQD 和△TFD 中，∠CQD =∠DFTDS =DT∠DSQ =∠DTF =90°∴△SQD ≌△TFD ，∴QD =FD ，在△QDP 和△FDP 中QD =FD∠QDP =∠FDPDP =DP∴△QDP ≌△FDP，∴∠QPD =∠FPD =45°又∵∠QPD =∠PCD +∠PDC ，∠PCD =22.5°，∴∠PDC =∠PCD =22.5°，∴CP =PD ；(3)证明：延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ．∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴2∠BAF +2∠ABE +∠C =180°，又∵2∠BAF +3∠ABE =180°，∴∠C =∠ABE =∠CBE ，∴CE =EB ，∵BM =BF ，∴∠BFM =∠BMF =∠ABE =∠CBE =∠C ，在△AFC 和△AFM 中，∠C =∠BMF∠CAF =∠BAF AF =AF，∴△AFC ≌△AFM ，∴AC =AM ，∴AE +CE =AB +BM ，∴AE +BE =AB +BF ，∴BE -BF =AB -AE ．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．9.(2022·湖南·宁远县至善学校八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,a )，点B 的坐标(b ,0)且a ，b 满足a 2-12a +36+a -b =0．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图(1)，点C 为x 轴负半轴一动点，OC <OB ，BD ⊥AC 于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分∠CDB ．(3)如图(2)，点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，S △AFH -S △FBG 的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】(1)A(0，6)，B(6，0)；(2)证明见解析；(3)不变化，S△AFH-S△FBG=9．【分析】(1)由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；(2)过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：(1)∵a2-12a+36+a-b=0∴(a-6)2+a-b=0，∴a-6=0a-b=0，即a=b=6．∴A(0，6)，B(6，0)．(2)如图，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据题意可知∠ACO+∠CAO=90°．∵BD⊥AC，∴∠BCD+∠CBE=90°，∴∠CAO=∠CBE．∵A(0，6)，B(6，0)，∴OA=OB=6．在△AOC和△BOE中，∠CAO=∠EBOOA=OB∠AOC=∠BOE=90°，∴△AOC≅△BOE(ASA)．∴OE=OC，AC=BE，S△AOC=S△BOE．∴1 2AC·ON=12BE·OM，∴OM=ON，∴点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB．(3)如图，连接OF，∵△AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点，∴OF⊥AB，OF=FB，OF平分∠AOB．∴∠OFB=∠OFH+∠HFB=90°．又∵FG⊥FH，∴∠HFG=∠BFG+∠HFB=90°，∴∠OFH=∠BFG．∵∠FOB=12∠AOB=45°，∴∠FOH=∠FOB+∠HOB=45°+90°=135°．又∵∠FBG=180°-∠ABO=180°-45°=135°，∴∠FOH=∠FBG．在△FOH和△FBG中∠OFH=∠BFG OF=BF∠FOH=∠FBG ，∴△FOH≅△FBG(ASA)．∴S△FOH=S△FBG，∴S△AFH-S△FBG=S△AFH-S△FOH=S△FOA=12S△AOB=12×12OA·OB=14×6×6=9．故不发生变化，且S△AFH-S△FBG=9．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得△BEF≌△BED，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得△AEF≌△AEC，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，BF=BD∠EBF=∠EBDBE=BE，∴△BEF≌△BED(SAS)，∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，∠EAF=∠EAC∠AFE=∠CAE=AE，∴△AEF≌△AEC(AAS)，∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11.(2022·全国·八年级课时练习)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=1，DF=2，求线段DB的长．【答案】(1)见解析；(2)AD-AB=2BE，理由见解析；(3)3．【分析】(1)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；(3)在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．【详解】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC=DC；(2)解：AD-AB=2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，AE=AF，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CDF =∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，∠CBE =∠CDF∠CEB =∠CFD =90°CE =CF，∴△BCE ≌△DCF (AAS )，∴DF =BE ，∴AD =AF +DF =AE +DF =AB +BE +DF =AB +2BE ，∴AD -AB =2BE ；(3)解：如图3，在BD 上截取BH =BG ，连接OH ，∵BH =BG ，∠OBH =∠OBG ，OB =OB在△OBH 和△OBG 中，BH =BG∠OBH =∠OBG OB =OB，∴△OBH ≌△OBG (SAS )∴∠OHB =∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH =∠ODF ，∵∠OHB =∠ODH +∠DOH ，∠OGB =∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH =∠DAB =60°，∴∠GOH =120°，∴∠BOG =∠BOH =60°，∴∠DOF =∠BOG =60°，∴∠DOH =∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，∠DOH =∠DOFOD =OD ∠ODH =∠ODF，∴△ODH ≌△ODF (ASA )，∴DH =DF ，∴DB =DH +BH =DF +BG =2+1=3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．12.(2022·全国·八年级)在平面直角坐标系中，点A -5,0 ，B 0,5 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD ⊥BC 交y 轴于点E ．(1)如图①，若点C 的坐标为(3，0)，试求点E 的坐标；(2)如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且OC <5，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分∠ADC(3)若点C 在x 轴正半轴上运动，当∠OCB =2∠DAO 时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．【答案】(1)(0，3)；(2)详见解析；(3)AD =OC +CD【分析】(1)先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE =OC ，再根据点C 的坐标为(3，0)，得到OC =2=OE ，进而得到点E 的坐标；(2)先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM =ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；(3)在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，根据三角形内角和定理，求得∠PAO =30°，进而得到∠OCB =60°，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，得OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，再根据三角形外角性质得PA =PO =OC ，故AD =PA +PD =OC +CD ．【详解】(1)如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE =∠BDE ，又∵∠AEO =∠BED ，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (-5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5，∴△AOE ≌△BOC ，∴OE =OC ，又∵点C 的坐标为(3，0)，∴OC =3=OE ，∴点E 的坐标为(0，3)；(2)如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；(3)如所示，在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，∵∠OCB =2∠DAO ，∠ADC =90°∴∠PAO +∠OCD =90°，∴∠DAC =90°3=30°，∠DCA =2×90°3=60°∵∠PDO =∠CDO ，OD =OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．13.(2022·全国·八年级)如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN⎳PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．(1)求证：BC⊥AC；(2)过点C作直线交MN于点D(不与点A重合)，交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)BE=AD+AB【分析】(1)由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法与①相同．【详解】解：(1)∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ∴∠BAC+∠ABC=12×180°=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC =CF ，AB =BF∵MN ∥BQ∴∠DAC =∠EFC∵∠ACD =∠FCE∴△ACD ≌△FCE∴AD =EF∴AB =BF =BE +EF =BE +AD即：AB =AD +BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD +AB =BE如图3，延长AC 交PQ 点F ,∵MN ⎳PQ ．∴∠AFB =∠FAN ，∠DAC =∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF =∠FAN∴∠BAF =∠AFB∴AB =FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC =FC在△ACD 与△FCE 中∠DAC =∠EFC AC =FC ∠ACD =∠FCE∴△ACD ≅△FCE (ASA )∴AD =EF∵AB =FB =BE -EF∴AD +AB =BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14.(2018·湖北武汉·八年级期中)在平面直角坐标中，等腰Rt △ABC 中，AB =AC ，∠CAB =90°，A (0，a )，B (b ，0)．(1)如图1，若2a-b+(a-2)2=0，求△ABO的面积；(2)如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；(3)如图3，在(1)的条件下，若以P(0，-6)为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．【答案】(1)△ABO的面积=4；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：(1)∵2a-b+(a-2)2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A(0，2)，B(4，0)，∴OA=2，OB=4，∴△ABO的面积=12×2×4=4；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，∵AB=AC，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△ACE和△BAF中，∠CAE=∠ABFAC=AB∠ACE=∠BAF，∴△ACE≌△BAF(ASA)，∴CE=AF，在△CED和△AFD中，CD=AD∠C=∠DAFCE=AF，∴△CED≌△AFD(SAS)∴∠CDE=∠ADB；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO，在△ACM和△BAO中，。
专题06 全等模型-角平分线模型(解析版)
专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
初中数学经典几何模型04-角平分线模型在三角形中的应用(含答案)
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
辅助线的作法之角平分线模型构造
辅助线的作法之角平分线模型构造在数学几何中，角平分线问题是比较基础而常见的问题，也被广泛地应用于解决各种实际的问题中。
本文将介绍一种应用辅助线的方法来构造角平分线模型的方法。
角平分线首先，我们来看一下什么是角平分线。
在一个角中，如果一个线段从角的顶点出发，将角分成两个大小相等的部分，那么这条线段便是这个角的平分线。
我们可以通过以下两种方法来确定一条角平分线：1.将顶点和角的另外两个点连起来，然后通过辅助线的方法将这个角分成两个大小相等的部分。
2.将角的顶点作为三角形底边所在的直线上的一点，然后从这个点向三角形的上面作一条平行于另外两个边的线，便可以确定一条平分线。
两种方法的具体实现细节稍有不同，但核心思路是相同的，都是通过构造一个辅助线，将要求的角平分成两个大小相等的部分。
角平分线模型构造除了解决角平分线问题外，角平分线模型也有着广泛的应用。
下面我们将介绍一种利用辅助线构造角平分线模型的方法。
构造思路假设我们有一个角ABC，需要构造它的平分线模型。
我们可以按照以下步骤来完成构造：1.连接角的顶点A和两条边的中点M和N，得到线段AM和AN；2.连接线段MN的中点P和顶点A，得到线段AP；3.在线段AP上取点Q，使得AQ = AP；4.连接点Q和MN的中点P。
这样，我们便得到了一条线段QD，它就是角ABC的平分线。
证明为了方便证明，我们先简化问题，假设角ABC是直角，且AB = AC = 1。
我们可以按照以下步骤来证明：1.设点M是AB的中点，N是AC的中点，线段MN的中点为O，角MOQ为x，则角NOQ为90-x；2.设AM = a，AN = b，则由勾股定理可得，a2 + b2 = 1；3.由正弦定理和余弦定理可得：sin(x) / a = sin(90-x) / bcos(x) / a = cos(90-x) / b4.将第一步和第三步的式子相减，得到：tan(x) = b/a；5.同时，将第二步和第三步的式子相加，并将其化简，得到：AQ / AP= 1。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(一)全等类
专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC 的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED ＝△ACD，又由△ACB＝2△B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．【详解】（1）猜想：AB AC CD=+．AB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△．△ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析 (3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：△AD 平分EAC ∠，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，△180180AED ACD ︒-∠=︒-∠，即FED ACB ∠=∠，△2ACB B ∠=∠，△2∠=∠，FED B又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，+===，△AB AE EB ED CD△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC 的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED （SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD△△AED（SAS）．△△AED=△C=90°，CD=ED，又△△ACB=2△B，△C=90°，△△B=45°．△△EDB=△B=45°．△DE=BE，△CD=BE．△AB=AE＋BE，△AB=AC＋CD．（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，在△ACD和△AED中，AC AEBAD EADAD AD＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,△△ACD△△AED，△△C=△AED，CD=DE，又△△C=2△B，△△AED=2△B，△△AED是△EDC的外角，△△EDB=△B，△ED=EB，△CD=EB，△AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CD﹣AC证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1图2图3D B邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°， 在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△ABCD 的周长为56，AB BC +=BE 平分∠EQ EF ==ABC S S ∆∆=【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识CD 交射线OA 于点F ，射线CE 交射线OB 于点G ．（1）如图1，若CD △OA ，CE △OB ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系；（2）如图2，若△AOB =120°，△DCE =△AOC ，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM△OA于M，CN△OB于N，证明△CMF△△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：△OP平分△AOB，CF△OA，CG△OB，△CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM△OA，CN△OB，△OP平分△AOB，CM△OA，CN△OB，△AOB=120°，△CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC=△BOC=60°（角平分线的性质），△△DCE=△AOC，△△AOC=△BOC=△DCE=60°，△△MCO=90°-60° =30°，△NCO=90°-60° =30°，△△MCN=30°+30°=60°，△△MCN=△DCE，△△MCF=△MCN-△DCN，△NCG=△DCE-△DCN，△△MCF=△NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。
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角平分线+平行应用模型的构造一、近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。
或者由其中两个条件推证另一个条件已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．1、如图,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB,求证：OC=OD.OD CBA2．如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC求证：AD+CE=DE3．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于ECE=20cm，求CD的长。
4．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，5．则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个AEB CD第16题EFCBAD5如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．26、如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABD =30o，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若BD =2，求CD 的长。
二 由平行线想到全等三角形和等腰三角形。
例. 如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
并证明这个命题（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF已知：EG ∥AF,_______,_________. 求证：___________. 证明:GFEDCBA1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE ，交BC 于F.求证：DF=EF.C第6题FECDBA三、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
（割）（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。
（补）例题：如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等例题6、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.求证：△ADC是等腰三角形例题7、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC．1、如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰△有（*）。
个A．4 B．5 C．6 D．72、如图，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．ACEBDAFECBO（1）画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于点E ，∠AEB 是什么角？（2）过点E 任作一线段交AM 于点D ，交BN 于点C ．观察线段DE 、CE ，有什么发现？请证明你的猜想．（3）试猜想AD ，BC 与AB 有什么数量关系？3、如图3，在△ABC 中BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是_______cm4、已知如图（1）：△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F 。
①图中有几个等腰三角形？且EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？(不证明) ②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有， 请分别指出它们。
另第①问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗？（不证明）③若△ABC 中，AB ≠AC ，∠B 的平分线与三角形外角∠ACD 的平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F 。
如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF 与BE 、CF 间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？BAP ACDE图 3(1)CB F OE A(2)BCF OE A(3)DCOFA EB5、如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ， 求证：BD=2CE.图2-6（a ）B6、如图2-7(a)，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD 上BD 、AE ⊥CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE.求证：DE ∥BC ，DE=21(AB+BC+AC)；(2)如图2-7(b)，BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其它条件不变；(3)如图2-7(c)，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，其它条件不变， 则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。
图2-7（b ）B 图2-7（a ）D 图2-7（c）7、如图2-8，在△ABC 中，AB=3AC, ∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AD=DEB8、如图2-9(a)，AB=AC ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB.问： (l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？图2-9（a ）B图2-9（b ）B(2)过D 点作EF ∥BC ，如图2-9(b)，交AB 于点E ，交AC 于点F ，图中又增加了几个等腰三角形？(3)如图2-9(c)，若将题中的△ABC 改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么关系？图2-9（c ）(4)如图2-9(d)，BD 平分∠ABC ，CD 平分外角∠ACG. DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F 线段EF 与BE 、CF 有什么关系？并说明理由．图2-9（d ）(5)如图2-9(e)，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么关系？图2-9（e）9、如图2-10(a)所示，已知△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 平分∠CAB ， 求证：AB=ACD图2-10（a ）A如图2-11所示，已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC.求证：BC=AB ＋CD.如图2-12，已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=IOO °，BD 平分∠ABC ，求证：BC=BD ＋AD.B10、如图2-13(a)，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形，图2-13(a)O请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2-13(b)，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F.请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；(2)如图2-13(c)，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(l)中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．图2-13（c ）11、(l)如图2-14 (a)，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点F ，过点F 作DF ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 之长为（ ）(2)如图2-14(b)，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE ∥AB ，FD ∥AC.，BC=6，求△DEF 的周长，图2-14(b)12、已知：如图2-15，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D.H 是BC 中点．求证：DH ＝21(AB －AC).图2-1513、已知如图2-16，四边形ABCD中，∠B+＝D=180°，BC=CD.求证：AC平分∠BAD.14.如图2-17，△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40。
，求∠CAP的度数．15.已知：如图2-18，在四边形中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°B16.在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图2-19(a)中证明CE＝CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2-19(b），直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC= 120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图2-19（c），求∠BDG的度数．图2-19(c)17.已知：如图2-20，在△ODC中，∠D一90°，EC是∠DCO的角平分线，且OE＝CE，过点E作EF⊥OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明．C图2-2018.已知：如图2-21，在四边形ABCD中，AB+BC＝CD＋DA，∠ABC的外角角平分线与∠CDA 的外角平分线交于点P，求证：∠APB=∠CPD.图2-21。