三角形的证明一元一次不等式
鲁教版数学目录(七年级)
七年级上册第一章三角形1.认识三角形（定义、分类、三边关系、有关的线段）2.图形的全等3.探索三角形全等的条件4.三角形的尺规作图5.利用三角形全等测距离第二章轴对称1.轴对称现象2.探索轴对称的性质3.简单的轴对称图形（线段、角、等腰三角形、垂直平分线性质、角的平分线的性质）4.利用轴对称进行设计综合与实践七巧板第三章勾股定理1.探索勾股定理2.一定是直角三角形吗3.勾股定理的应用举例第四章实数1.无理数2.平方根3.立方根4.估算5.用计算器开方6.实数综合与实践计算器运用与功能探索第五章位置与坐标1.确定位置2.平面直角坐标系3.轴对称与坐标变化第六章一次函数1.函数2.一次函数（正比例函数、一次函数）3.一次函数的图象4.确定一次函数的表达式5.一次函数的应用七年级下册第七章二元一次方程组1.二元一次方程组2.解二元一次方程组3.二元一次方程组的应用4.二元一次方程组与一次函数5.三元一次方程组综合与实践哪一款“套餐”更合适第八章平行线的有关证明1.定义与命题2.证明的必要性3.基本事实与定理4.平行线的判定定理5.平行线的性质定理6.三角形的内角和定理（外角）第九章概率初步1.感受可能性2.频率的稳定性3.等可能事件的概率第十章三角形的有关证明1.全等三角形2.等腰三角形3.直角三角形4.线段的垂直平分线5.角平分线第十一章一元一次不等式与一元一次不等式组1.不等关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组综合与实践生活中的“一次模型”。
三角不等式的证明方法
三角不等式的证明方法最近看到一道有意思的三角不等式问题：在锐角ΔABC中，证明：cosA+cosB+cosC−4cosAcosBcosC≥1这种三角形内角余弦的不等式有两种方法：一是化为边转换为齐次的代数不等式进行证明，二是利用三角形中内角相关恒等式或不等式进行证明。
下面来分别使用两种不同方法进行证明。
一、代数法利用余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc我们可以得到：cosA+cosB+cosC−4cosAcosBcosC≥1∑cycb2+c2−a22bc−4∏cycb2+c2−a22bc−1≥0∑cyca2bc(b2+c2−a2)−∏cyc(b2+c2−a2)−2(abc)2≥0(a+b+c)(∑cyca3(a2−bc)−∑cycab(a3+b3))≥0∑cyca3(a−b)(a−c)≥0由Schur不等式知：原命题得证。
当然，此题也可以使用SOS方法进行配方证明，具体配凑比较麻烦，在此不做赘述。
二、三角法利用三角形中的恒等式：cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2，我们有：cosA+cosB+cosC−4cosAcosBcosC≥1sinA2sinB2sinC2≥cosAcosBcosC>0 sin2A2sin2B2sin2C2≥cos2Acos2Bcos2C下面证明只需要两个不等式：{cosAcosBcosC≤18cosAcosBcosC≤∏cyc(1−cosA)对于前者，由射影定理：a=bcosC+ccosB≥2bccosBcosCb=ccosA+acosC≥2cacosCcosAc=acosB+bcosA≥2abcosAcosB三式相乘，得：abc≥∏cyc2abcosAcosB=8abccosAcosBcosC即cosAcosBcosC≤18对于后者，注意到ΔABC是锐角三角形，有：{cosA>01−cosA>0又这个不等式左右都是乘积形式，故两边取对后移项，只需证明：∑cyc[lncosA−ln(1−cosA)]≤0⋯⋯(∗)考察函数f(x)=lncosx−ln(1−cosx),(0<x<π2)则f′(x)=tanx−2sinxcosx−1f″(x)=(cosx−1)(1cos2x−2cosx)+sinx(tanx−2sinx)(cosx−1)2=(cos x−1)(1−2cos2x)+sin2xcosx(1−2cosx)cos2x(cosx−1)2=(cosx−1)(1−2cos2x)+(1−cos2x)cosx(1−2cosx)cos2x(cosx−1)2=1−2cos2x+cosx(1+cosx)(1−2cosx)cos2x(cosx−1)=cos2x−cosx+1cos2x(cosx−1)<0故由Jensen不等式，有：f(A)+f(B)+f(C)3≤f(A+B+C3)=f(π3)=ln12−ln12=0即(*)式得证。
三角形中一类不等式的转换证明
Ｃ 内 切 圆 。 与 三 边 分 别 ，
相切 于 Ｄ， ， 三点 ， Ｅ Ｆ 设 ＡＥ ： ， Ｄ ＝ Ｙ， Ｂ
（ ９ ３年瑞 士数 学竞 赛试 题 ） １９ 证明 应 用 （ 式置 换 可得 ※）
（ ６＋Ｃ—ｎ （ ＋ｎ—ｂ （ ）Ｃ ） ｎ＋ｂ—ｃ ）
图 １
Ｃ ， Ｅ： 则易得 ： 周长 半
社 ．９ ８ １９
４ 涂 荣 豹 ． 学 建 构 主 义 学 习 的 实质 及 其 主 要 特 数 征 ． 学教 育 学报 ， ９ ９ ４ 数 １９ （）
建 构 主义学 习环 境 的设 计 是 当今教 育 心 理 学一 个 活跃 的研 究 领 域 ， 多研 究 者 都 将 更 多 的精 力 投 许
５ 汤服 成等 中学 生数 学 学 习元认 知 水 平 的调 查 分
析 、 学教 育 学报 ，０ ０ ４ 数 ２０ （ ）
、 竞赛 之窗 ・竞 赛之 ・
竞 赛 窗 ・竞赛 之窗 － 赛之 窗 ’竞 赛之 窗 －竞 赛之 窗 ・竞 赛之 窗 －竞赛 之 窗 －竞赛之 窗 一竞 赛之 窗 －竞 赛之 窗 ・竞 赛之 窗 ・竞 赛之 之 ‘ ・ 竞 ‘ 一 ・ － － 一 ・ ・ －
用 的重 要 研究 课 题 ．
和理 解 的最佳 效 益 ， 到 学 习 成 功 ． 于 这 一 问 题 ， 达 对 可采 取 有指 导 的 学 习 者 控 制 ， 助 学 习者 更 好 地 计 帮
划、 监视 和 调节 自己的学 习 活 动 ． 注 意 让 学生 习得 如 对 自己作 为学 习者 主 体 的 认 知 状 况 的 认 知 ， 如 了 诸
有研 究表 明 ， 多 数 初 中 生 认 为 当 天 的 学 习 结 有 束 后没 有什 么 可 想 的 、 说 明学 生 还 缺 乏 对 学 习情 这 况有 效 、 时 的反馈 ， 及 特别 是 学 生 的 自主学 习能 力 和 自我 效能 感 的 负 增 长 现 象 ， 们 应 当对 当前 数 学 教 我 学有 更 深层 次 的审 视 ． 在学 习 活动 中 ， 只有要 求 学 生 善于 利用学 习 情 况 的特点 和 变 化 ， 极 监 测 、 积 主动 调
全等三角形定义与证明
全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。
轴对称一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。
能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）两条边是相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半实数如果一个正数x 的平方等于a ，即x²=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
北师大版八年级数学下册第一次月考试卷(含答案)
八年级数学下册第一次月考试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》班级姓名得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是()A. ∠B=∠CB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. AB=2BD2.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是()A. ∠A=40°，∠B=50°B. ∠A=40°，∠B=60°C. ∠A=40°，∠B=80°D. ∠A=20°，∠B=80°3.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是()A. a−c>b−cB. a+c<b+cC. ac>bcD. ab <cb4.若a>b，则()A. a−1≥bB. b+1≥aC. a+1>b−1D. a−1>b+15.不等式组{x−1<−3,2x+9≥3的解集是()A. −3≤x<3B. x>−2C. −3≤x<−2D. x≤−36.某商品进价10元，标价15元，为了促销，现决定打折销售，但每件利润不少于2元，则最多打几折销售()A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折7.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D.若AC=DB，则下列结论中不正确的是()A. ∠A=∠DB. ∠ABC=∠DCBC. OB=ODD. OA=OD9.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°10.若3a−22和2a−3是实数m的平方根，且t=√m，则不等式2x−t3−3x−t2≥512的解集为()A. x≥910B. x≤910或x≤6.5C. x≥811D. x≤811二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠BAD=度．12.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB=7，DE=4，则△ABD的面积为．13.商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗．为了避免亏本，售价至少应定为______元/千克．14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则不等式kx+b<x+a的解集为______．15.若关于x的不等式组{3x+5<5x+1 x>a−1 解集为x>2，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共100.0分）16.（8分）解不等式组：{3(x+1)>x−1 x+92>2x17.（10分）已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，(1)求BC的长；(2)求AE的长；(3)求BD的长18.（10分）解不等式组{4(x+1)≤7x+13,①x−4<x−83,②并求它的所有整数解的和．19.（10分）某工厂计划生产甲、乙两种机器共10台，其生产成本和利润如下表所示：(1)某工厂计划投入成本26万元，这些成本刚好生产出整数台机器.问：甲、乙两种机器各应安排生间多少台？(2)若工厂计划生产甲机器的数量不少于4台，并共能获利不少于16万元，问：工厂有哪几种生产方案？并说明哪种方案获利最大？最大利润是多少？20.（10分）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．(1)现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村(即AC+AB)(如图2)；方案2：作A点关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM(即AM+BM)(如图3)．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．(2)有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间(即点Q在线段CD上)，当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．21.（8分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如表：现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2)求y与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．22.（10分）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，F是边CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：AB=AD；(2)若∠BCD=114°，求∠BAD的度数．23.（10分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n，如：1※2=12×2−1×2−3×2=−6．(1)求(−2)※√3；(2)若3※m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．24.（12分）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm.甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为x(s)，甲、乙行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙比甲晚出发___________s，乙提速前的速度是___________cm/s，m=___________，n=___________；(2)当x为何值时，乙追上了甲？(3)何时乙在甲的前面？25.（12分）(1)如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小(不需要说明理由)．(2)如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6√3，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值．(3)如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．答案1.D2.D3.B4.C5.C6.C7.A8.C9.B10.B11.4012.1413.1014.x>315.a≤316.解：{3(x+1)>x−1①x+92>2x②解不等式①得x>−2，解不等式②得x<3，∴不等式组的解集为−2<x<3．17.解：(1)∵∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC=√102−82=6；(2)∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，{BD=BDCD=DE，∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，∴BE=BC=6，∴AE=AB−BE=10−6=4；(3)设CD=DE=x，则AD=8−x，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即42+x2=(8−x)2，解得x=3，所以，CD=DE=3，在Rt△BCD中，BD=√62+32=3√5．18.解：−3≤x<2．所有整数解的和为−5．19.解：(1)设甲、乙两种机器各应安排生间x台，(10−x)台，2x+5(10−x)=26，解得，x=8，则10−x=2，答：甲、乙两种机器各应安排生间8台、2台；(2)设生产甲种机器的数量为a台，{a+3(10−a)≥16a≥4，解得，4≤a≤7，∵a是整数，∴a=4，5，6，7，即工厂有四种进货方案，方案一：生产甲种机器4台，乙种机器6台；方案二：生产甲种机器5台，乙种机器5台；方案三：生产甲种机器6台，乙种机器4台；方案四：生产甲种机器7台，乙种机器3台；设利润为w元，w=a+3(10−a)=−2a+30，∴当a=4时，w取得最大值，此时w=22，即方案一获利最大，最大利润是22万元．20.解：(1)方案1：AC+AB=1+5=6，方案2：AM+BM=A′B=√CD2+(AC+BD)2=√41，∵6<√41，∴方案1更合适；(2)(方法不唯一)如图，①若AQ1=AB=5或AQ4=AB=5时，CQ1=CQ4=√52−12=2√6(或√24)>4∴(不合题意，舍去)②若AB=BQ2=5或AB=BQ5=5时，DQ=√52−42=3，③当AQ3=BQ3时，设DQ3=x，则有x2+42=(4−x)2+128x=1∴x=1，8；即：DQ=18故当DQ=3或1时，△ABQ为等腰三角形．821.解：(1)大货车、小货车各有12辆、8辆．(2)设到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有(10−x)辆，到B地的大货车有(12−x)辆，到B地的小货车有(x−2)辆，∴y=900x+500(10−x)+1000(12−x)+700(x−2)=100x+15600(2≤x≤10，且x为整数).(3)根据题意，得15x+10(10−x)≥140.解得x≥8．∴8≤x≤10．∴当x=8时，y取最小值，y最小=100×8+15600=16400．22.解：(1)连接AC，∵点E 是边BC 的中点，AE ⊥BC ，∴AB =AC(三线合一)同理AD =AC ，∴AB =AD ；(2)∵AB =AC ，AD =AC ，∴∠B =∠1，∠D =∠2，∴∠B +∠D =∠1+∠2，即∠B +∠D =∠BCD ，∵∠BAD +(∠B +∠D)+∠BCD =(4−2)⋅180°=360°，∠BCD =114°， ∴∠BAD =360°−114°−114°=132°．23.(1)3√3.(2)m ≥−2.解集在数轴上表示图略．24.解：(1)15 15 31 45(2)设y 1=k 1x.∵点A(31,310)在OA 上，∴31k 1=310．解得k 1=10.∴y 1=10x ．设BC 段对应的函数关系式为y 2=k 2x +b ，∵点B(17,30)，C(31,450)在BC 上，∴{17k 2+b =30,31k 2+b =450,解得{k 2=30,b =−480.∴y 2=30x −480(17≤x ≤31)．当y 1=y 2时，则10x =30x −480，解得x =24．∴当x =24时，乙追上了甲．(3)由图象可知，当x >24且x ≤45时，乙在甲的前面．25.解：(1)如图①中，作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B 交直线l 于P ，连接PA.则点P 即为所求的点．(2)如图②中，作DM//AC ，使得DM =EF =2，连接BM 交AC 于F ，∵DM=EF，DM//EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM，∴DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC=3√3，在Rt△ADO中，OD=√AD2−OA2=3，∴BD=6，∵DM//AC，∴∠MDB=∠BOC=90°，∴BM=√BD2+DM2=√62+22=2√10．∴DE+BF的最小值为2√10．(3)如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，∴∠ACD=∠ADB=60°∵DM=DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，∴∠ADM=∠BDC，∵AD=BD，∴△ADM≌△BDC，∴AM=BC，∴AC=AM+MC=BC+CD，∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，∵AD=AB=6，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4√3，∴四边形ABCD的周长最大值为12+4√3．。
一类关于三角形不等式的证明方法
， 。，．Ａ ｒ Ｔ 、 ７
由Ｇ ｅ ｒ ｒ ｅ ｔ ｓ ｅ ｎ 不等式： ｓ ， ）１ ６ Ｒ ｒ 一５ ｒ ２ ， 及Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ
不等式： Ｒ） ２ ｒ ， 知上式成立， 故例 ７ 获证．
．考文献
ｔ ＃ ８ ｒ ｚ ｓ ＞。 ， 这显然成立， 故例６ 获证．
例 ７ △Ａ Ｂ Ｃ的三边长ａ ， ｂ ， ｃ 满足ａ － ｝ － ｂ － ｝ － ｃ ＝
１－ ４ Ｖ
即ａ ２ ＋护＋Ｃ＋２ ａ ｂ ｃ ＜２ ．
对 － ２７
２ ５ ４
－ Ｔ ｒ ； 爷 ， 万门 一只 又￣ － 了月 一； 二二 ＝ 二 下，
４ ． 任 ＧＩ ４ １ Ｖ６ 乙ｌ
１ ．ｚ／ １ ，５ ＿ １ ． １ ７
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１３－ ２７
十ｂ Ｚ ＋扩＋ ２ ａ ｂ ｃ ＝２ （ 尹一４ Ｒ ｒ 一尸） ＋Ｍ ｒ ｓ＝ ２ （ １ 一
４ Ｒ ｒ 一ｒ ２ ） ＋８ Ｒ ｒ＝ ２ 一２ ｒ ＇ ＜２ ，
毛 矿十ｂ ３ ＋ｃ ３ ＋３ ａ ｂ ｃ
Ｃ ＃ ４ ｓ （ ｓ ｚ 一４ Ｒ ｒ 一ｒ ｚ ） 一４ ｓ （ ｓ ２ 一６ Ｒ ｒ 一３ ｒ ｚ ） 一１ ２ Ｒ ｒ ｓ 镇。 ，－ ａ ， ． ． － ． ． ２ 例 ３ 在 △Ａ Ｂ Ｃ中， 若ａ ＋ｂ ＋ｃ １９ ａｃ习七： 二 丁 ＃ ｝ Ｒ妻 ２ ｒ ， 这是著名的Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 不等式， 故例 ５ 获证． ａ 例６ 设 ａ ， ｂ ， ‘ 是三角形三边长， 求证： ａ （ ｂ ＇ ＋
欲证明例 ７ ， 只须证 １ ０ （ ｓ ， 一４ Ｒ ｒ 一ｒ ＇ ） ＋ ７ ２ Ｒ ｒ ｓ
７一 ３ 妻
－ －
万方数据
４
ａｓ ｌ ＋４ Ｒ ｒ ＋尸一Ｍｒ ｓ
一元一次不等式的证明
以下是证明一元一次不等式的基本步骤：
1. 去分母：如果一元一次不等式的两边都有分母，需要找到分母的最小公倍数，然后两边同时乘以这个最小公倍数，以消除分母。
注意在去分母时，也要给等号（如果有等号的话）或者不等号两侧的项乘以这个最小公倍数。
2. 去括号：如果一元一次不等式中含有括号，需要通过乘法分配律来去掉这些括号。
3. 移项：将不等式中的项进行移动，通常是为了将未知数这一项单独位于一边，常数项位于另一边。
4. 合并同类项：将移项后的不等式中相同次数的项进行合并，化简成 ax < b 或 ax > b 的形式。
5. 系数化为1：将含有未知数的项的系数变成1，这样就可以直接读出未知数的值，完成解不等式的过程。
以上步骤与解一元一次方程类似，但是在解不等式时需要额外小心，因为某些操作可能会改变不等式的意义，比如在去分母时，如果忘记给"1"也要乘以分母的最小公倍数，可能会导致错误的结果。
此外，不等式的性质告诉我们，可以对不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，而不等号的方向保持不变。
总的来说，证明一元一次不等式的正确性可以通过构造函数、图形、方程等方法来进行，具体使用哪种方法取决于不等式的具体情况和题目的要求。
一元一次不等式的起源
一元一次不等式的起源一元一次不等式，听起来像是个很深奥的数学名词，但其实它的起源和我们日常生活的点滴都有着千丝万缕的关系。
想象一下，你正在超市里买水果，老板说苹果一斤三块，香蕉一斤两块。
你心里默默算着，哎，要是我买了x斤苹果，那我买y斤香蕉，最后花的钱得少于十块，这就是不等式的雏形啊，真是生活中无处不在呢。
说到不等式的起源，其实可以追溯到古代。
古埃及和古巴比伦的人们就已经在搞数学了，他们用一种简易的方式解决问题。
比如说，他们会用图画来表示数量，然后通过一些简单的符号来比较大小。
嘿，那个时候可没有我们现在的符号和公式，想想看，那真是个了不起的时代呢！人们通过观察生活中的各种现象，比如说农田的面积、牛羊的数量，来理解这个世界。
而不等式，正好帮助他们理清了那些复杂的关系，嘿，不用再为啥一斤米要多少钱而发愁了。
再后来，数学逐渐发展起来了，很多伟大的数学家也在为这个东西添砖加瓦。
像是古希腊的欧几里得，虽然他主要是在研究几何，但他也在不知不觉中为不等式的形成打下了基础。
哦，对了，听说过“三角不等式”吗？那就是经典的例子了，三角形的两边之和总是大于第三边，这可不是随便说说的，而是经过大量实践证明的道理。
随着时间的推移，到了中世纪，阿拉伯数学家们开始对不等式进行更深入的研究。
他们把那些古老的理论整理了一下，加上一点自己的想法，终于让不等式的应用变得更加广泛。
这时候，人们开始用不等式解决实际问题，比如说在商业交易中，如何平衡收益和成本，简直就像在玩一场智力游戏，既刺激又有趣。
现代数学的发展更是让不等式大放异彩。
你看看，经济学、物理学、工程学等等，几乎所有的领域都在用不等式来描述和解决问题。
就拿经济学来说，研究者们用不等式来预测市场变化，帮助企业做决策，简直是有了不等式就有了底气，心里也有了数。
嘿，要是没有这些不等式，很多事情估计都得搞得像无头苍蝇一样，乱七八糟。
而且啊，不等式不仅仅是数学里的东西，它还渗透到了我们的生活中。
八年级数学下册知识点重点总结重点难点
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”或“≤”, “>”或“≥”连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系,不等式表示是不相等的关系;3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0≥0 <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0≤0 <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:1 不等式的两边加上或减去同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.2 不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cb c a >. 3 不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:a 、b 分别表示两个实数或整式 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1不等号的改变问题 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b 或ax<b ①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为ab x <; 5. 不等式应用的探索利用不等式解决实际问题列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. 3. 解一元一次不等式组的步骤:1分别求出不等式组中各个不等式的解集;2利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况a 、b 为实数,且a<b第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系;因式分解与整式乘法的区别和联系: 1整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; 2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: )(c b a ac ab +=+2. 概念内涵:1因式分解的最后结果应当是“积”;2公因式可能是单项式,也可能是多项式;3提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+3. 易错点点评:1注意项的符号与幂指数是否搞错;2公因式是否提“干净”; 3多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:1平方差公式: ))((22b a b a b a -+=-2完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 3. 因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底.4. 运用公式法:1平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项不含符号都是一个单项式或多项式的平方;③二项是异号.2完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤:1先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;2再看能否使用公式法;3用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;4因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;5因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= , 21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成c 2a 2c 1a 1的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ 2. 二次三项式q px x ++2的分解:3. 规律内涵:1理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.2如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4. 易错点点评:1十字相乘法在对系数分解时易出错;2分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章 分式一. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称BA为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有: ⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变.4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即:BD AC D C B A =⋅, CB DA C DB A DC B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A nn n=⎪⎭⎫⎝⎛逆向运用nn n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛成立.3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.1同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:CBA CBC A ±=± 2异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=±3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去. 2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出分式方程; ④解方程,并验根;⑤写出答案.第四章 相似图形一. 线段的比1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. 2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dcb a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数;⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a = 二. 黄金分割1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 四. 相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 五. 相似三角形_ 图1 _B_C _A1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5. 相似三角形周长的比等于相似比.6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件 1. 相似三角形的判定方法:基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边或两边的延长线相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l 1EF BCDE AB3. 平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的放大与缩小1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似变换: ①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章 数据的收集与处理_ 图2 _F_E _D_C_B _A _l _3_l _2 _l _1一. 每周干家务活的时间1. 所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二. 数据的收集1. 抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证明一一. 定义与命题1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.二. 为什么它们平行1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.并由此得到平行的判定定理2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.三. 如果两条直线平行1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.四. 三角形和定理的证明1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°2. 一个三角形中至多只有一个直角3. 一个三角形中至多只有一个钝角4. 一个三角形中至少有两个锐角五. 关注三角形的外角1. 三角形内角和定理的两个推论:推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。
三角形不等式的应用举例(含练习题)
三角形不等式的应用举例根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++ DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy ≥+即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
三角不等式定理
三角不等式定理三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它是我们学习三角函数和三角恒等式的基础。
本文将从三角不等式定理的定义、性质和应用三个方面进行阐述。
一、三角不等式定理的定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
这个定理表明了三个边之间的关系，即任意两边之和大于第三边。
1. 三角不等式定理是三角形的基本性质，它适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
2. 三角不等式定理可以推广到多边形，对于任意多边形，任意两边之和大于第三边。
3. 三角不等式定理的逆定理也成立，即如果三边中任意两边之和大于第三边，那么这三条边可以构成一个三角形。
三、三角不等式定理的应用三角不等式定理在几何学和代数学中有着广泛的应用。
1. 在几何学中，三角不等式定理可以用来判断三角形是否存在。
通过对三边长度进行比较，如果满足任意两边之和大于第三边的条件，则可以构成一个三角形。
2. 在代数学中，三角不等式定理可以用来证明三角函数的性质。
通过使用三角不等式定理，可以得到诸如sin(x) ≤ x ≤ tan(x)等不等式，从而推导出三角函数的性质。
3. 三角不等式定理还可以用来解决实际问题。
例如，在测量三角形边长时，可以利用三角不等式定理判断测量结果的合理性，避免测量误差。
三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它可以帮助我们判断三角形的存在性，证明三角函数的性质，解决实际问题等。
掌握三角不等式定理对于深入理解三角函数和几何学有着重要的作用。
希望通过本文的介绍，读者能够对三角不等式定理有更加清晰的认识。
三角形的不等式关系与证明
三角形的不等式关系与证明三角形是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和关系对于几何学的发展具有重要意义。
其中，三角形的不等式关系是一项十分重要的内容，它描述了三角形边长之间的关系，为解决几何问题提供了理论支持。
本文将对三角形的不等式关系进行探究，并给出相应的证明。
一、三角形的边长关系在任意三角形ABC中，根据三角形的性质，我们可以得到以下不等式关系：1. 两边之和大于第三边AC + BC > ABAB + BC > ACAB + AC > BC这个不等式关系可以通过直观的几何解释来理解。
首先，三角形的两边之和必须大于第三边，否则无法构成一个三角形。
想象一下，如果两边之和等于第三边，那么它们就会共线，无法形成一个封闭的图形。
所以，一条边的长度必须小于其他两条边的长度之和。
2. 两边之差小于第三边AC - BC < ABAB - BC < ACAB - AC < BC这个不等式关系的理解也可通过几何解释来推导。
假设我们有一个固定的边AC，我们可以通过改变边BC的长度来构造不同的三角形。
当BC的长度逐渐减小时，与边AC连接的第三边的长度AB也会逐渐减小。
当BC的长度等于AC时，三角形退化为一条线段；当BC的长度小于AC时，就无法将其与AC连接起来。
因此，边BC的长度必须小于边AC的长度，才能构成一个三角形。
二、三角形不等式关系的证明下面我们将证明三角形的边长关系。
首先，我们以"两边之和大于第三边"为例。
假设有一个三角形ABC，在边AC和边BC之间插入一条线段BD，使得D点在AC上。
那么，根据三角形的性质，我们可以得到以下不等式关系：AD + BD > AB （1）CD + BD > BC （2）现在，我们将上述两个不等式相加：AD + BD + CD + BD > AB + BC （3）由于BD + CD = BC，将其代入式（3）中得：AD + 2BD > AB + BC （4）由于AB + BC > AC，将其代入式（4）中得：AD + 2BD > AC （5）注意到AD + BD > BA，将其代入式（5）中得：BA + BD + BD > AC （6）化简式（6）得：AB + 2BD > AC （7）由于BD < CD，将BD替换为CD得：AB + 2CD > AC （8）根据式（8），我们得到了AC边长与AB边长的关系，即AC > AB。
初二数学下册全部知识点
数学八年级下册全册知识点汇总（北师大版）第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。
二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形的两锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线、角平分线1、线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
八年级数学第一次月考后的反思1
八年级数学第一次月考后的反思周原二中刘满全一、设计意图本次数学月考检测试卷主要以教材为依据，着重考查了基础知识与基本能力，比较突出地考查了学生理解分析、问题探究和应用数学知识解决实际问题的能力，淡化与减少机械记忆性的内容，情景力求生活化，贴近学生的实际。
重视对数学思想方法的考查和基本运算及画图操作能力的考查，同时渗透了数学思想的考察和应用。
按照新课标的总体要求，试卷整体难度属于中等程度，体现了“双基”考查的基本要求。
二、试卷内容分析：本次试卷主要考查了第一章《三角形的证明》及第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》的内容。
题型以填空题、选择题、解答题为主，全卷以百分制命题。
三、失分原因分析１、学生的基础知识不扎实是失分的主要原因。
本次试题基础题所占比例大，容易题占6０分左右，从答题情况看，选择和填空题失分较多，导致成绩普遍偏低，主要原因是基础不扎实，对课本知识生疏，或不能熟练运用，相当一部分后进生表现尤为突出。
例如，有个别同学对三角形的证明中推理方法不能熟练掌握，造成答题失误。
２、审题不仔细是造成失分的又一主要原因。
如在解一元一次不等式与一元一次不等式组中，出现符号变错，有相当一部分学生不能正确写出答案，纯粹属于答题不细心所造成的。
３、平时学习过程中，学习方法过死，灵活解决和处理问题的能力不足。
尤其表现在对课本上的一些变式问题缺乏分析和解决问题的能力，死搬硬套，照猫画虎，因而得分率较低。
４、整体表现为缺乏良好的思考和解题的习惯。
在考试过程中，发现仍有部分同学解题不用演草纸，直接在试卷上答题，缺乏对解题过程的布局和设计，解题思路混乱，涂改现象严重，答题结束不能认真检查。
５、平时检测密度不够，只注重了新课程的教学而忽略了对旧知识的复习和巩固，尤其对课本知识掌握不熟练，对规律探究性问题缺乏归纳和分析的能力，不能正确运用整体的数学思想解决问题。
６、转差工作不够细致，效率不高，往往事倍而功半，只注重了对学生的辅导而忽略了对学习效果的检测，方法过于死板，学生负担重，反而降低了学习效率。
三角不等式定理
三角不等式定理1. 引言三角不等式定理是几何中一个重要的定理，它描述了三角形边长之间的关系。
三角不等式定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍三角不等式定理的定义、证明、应用以及相关的例题。
2. 定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边的关系，即：AB + BC > AC AC + BC > AB AB + AC > BC3. 证明要证明三角不等式定理，可以使用几何证明和代数证明两种方法。
3.1 几何证明首先，假设三角形ABC的边长分别为AB、BC、AC。
我们可以通过以下步骤来证明三角不等式定理：1.作边AD，使得AD与BC平行，并延长AD至交点E；2.连接BE，AE；3.根据平行线的性质，我们可以得到△BDE与△ACD相似；4.根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AC = BE/AD 和 DE/AC = CD/AD；5.由于BE = BD + DE，所以BD/AC + DE/AC = (BD + DE)/AC = BE/AD =BC/AD；6.由于DE/AC = CD/AD，所以DE/AC + CD/AD = (DE + CD)/AC = DC/AD；7.根据三角形的内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°；8.由于∠BAC + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠ABC = 180°；9.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠ACB = 180°；10.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAD + ∠ACB + ∠BCD = 180°；11.由于∠BAD + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠BCD = 180°；12.由于∠BAD + ∠BCD = ∠BAC，所以∠BAC + ∠BAE = 180°；13.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；14.由于∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = ∠BAC + ∠BCD，所以∠BAC + ∠BCD =180°；15.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAC + ∠BCD + ∠ABC = 180°；16.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠BCD = 180°；17.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = 180°；18.由于∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = ∠BAD + ∠ACB，所以∠BAD + ∠ACB =180°；19.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = 180°；20.综上所述，我们可以得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = ∠BAC + ∠BCD +∠ABC = ∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；21.根据角度关系，我们可以得到△ABC与△BAD相似；22.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD = BC/AD；23.根据BD/AC + DE/AC = BC/AD 和 DE/AC + CD/AD = DC/AD，我们可以得到BD/AC + CD/AD = BC/AD；24.根据AC/BD = BC/AD 和 BD/AC + CD/AD = BC/AD，我们可以得到AC/BD +CD/AD = BC/AD；25.根据两边之和大于第三边的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC > CD/AD；26.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC = AB/AD；27.综上所述，我们可以得到AB/AD > CD/AD，即AB + BC > AC。
北师大版九年级数学上下册目录
社保管理员安全生产责任制社保管理员在安全生产方面的责任制包括以下几个方面：1. 安全生产方面的政策制定和宣传：社保管理员负责制定并宣传公司的安全生产政策，确保每位员工都能理解和遵守这些政策。
他们需要确保政策与相关法律法规相符，并通过培训和其他形式的宣传，使员工对安全生产有所了解。
2. 安全生产的监督和检查：社保管理员需要定期进行对公司的安全生产工作进行监督和检查，确保各项安全措施的落实情况，发现问题并及时处理。
他们需要确保公司的设施设备符合安全要求，并提供员工所需的安全防护用品。
3. 安全事故的处理和调查：社保管理员需要主导公司内部安全事故的处理和调查工作，确保事故的处理过程公正、合理，并根据调查结果采取相应的预防措施，避免事故再次发生。
他们还需要与相关部门和政府部门进行沟通和协调，配合外部调查工作。
4. 员工安全培训和教育：社保管理员负责组织和开展员工的安全培训和教育，确保员工具备必要的安全知识和技能。
他们需要制定培训计划，并与相关部门合作，提供专业的培训内容和教材，增强员工的安全意识和责任感。
5. 报告和统计工作：社保管理员需要定期向上级报告安全生产工作的情况，包括安全事故的发生情况、处理情况以及安全措施的落实情况等。
他们还需要对安全生产数据进行统计和分析，及时掌握安全生产状况，并提出改进意见和建议。
综上所述，社保管理员在安全生产方面的责任包括政策制定和宣传、监督和检查、事故处理和调查、员工培训和教育以及报告和统计工作等方面，旨在确保公司的安全生产工作得到有效推进和落实，保障员工的安全权益。
社保管理员安全生产责任制（二）社保管理员是企业安全生产工作的重要角色之一，他们承担着维护员工生命财产安全的责任。
社保管理员安全生产责任制的建立和实施对于保障企业安全生产工作的顺利开展具有重要意义。
本文将对社保管理员安全生产责任制进行深入探讨，使其更好地落实到实际工作中。
一、加强安全生产监管社保管理员作为企业安全生产的监管者和执法者，必须加强对企业安全生产工作的监督和管理。
三角形不等式的应用
即原不等式成立
比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.
但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走近命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.
三角形不等式的应用
根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用，并探究命题者是如何编拟这些题目的.
类型一：证明形如 型的不等式
例1、已知 为正数，求证：
证明:作角∠ ，∠ ，则∠ ，
例5、已知正数 满足 求证：
分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用 这个条件进行化简.
证明：要证
只要证
即证
即证
即证
注意到 即证
即证
即证
即证
而 故 成立.所以原不等式成立.
如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：
证明：左边
设 ， ， ，则
， 关于 轴的对称点为 ，
另由题设知， 在边长为 的正方形 的内部.
由 知原不等式成立.
应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.
设 ，由余弦定理：
又 所以原不等式成立.
例2、已知 为正数，求证：
三角形不等式
• 窍门1：在解决三角形不等式问题时，要学会观察题目中的条件，找到解决问题的关键。 • 窍门2：在解决三角形不等式问题时，要学会运用三角形不等式的性质，简化问题，提高解 题效率。 • 窍门3：在解决三角形不等式问题时，要学会运用代数方法，如代入法、因式分解法等，帮 助解决问题。
三角形不等式的实际 应用案例
CREATE TOGETHER
DOCS
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三角形不等式的习题拓展
• 拓展1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2，a^2 + c^2 > b^2。 • 拓展2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证sin(A + B) + sin(B + C) + sin(A + C) < 3。 • 拓展3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a^2 - b^2| < c^2，|b^2 - c^2| < a^2， |a^2 - c^2| < b^2。
05
三角形不等式的习题与解答
三角形不等式的经典习题
• 三角形不等式的经典习题 • 题目1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a + b > c，b + c > a，a + c > b。 • 题目2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证A + B + C < 180°，A + B > 90°，B + C > 90°，A + C > 90°。 • 题目3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a - b| < c， |b - c| < a，|a - c| < b。
三角形的证明一元一次不等式……复习
E B D A
F C
例题讲解
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直 平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8， AC－BC=2. 求AB与BC的长. 解析：由已知AC－BC=2，即 AB－BC=2，要求AB和BC的长， 利用方程的思想，需找另一个 D AB与BC的关系。
B
A
E C
例题讲解
例3、如图所示，在△ABC中， ∠C=900,∠BAC=600, ∠BAC的角平分线AM的长为 15cm,求BC的长。
解析：有一角是300的直角三角形的性
质是求线段和证明线段倍分的重要依据， 本题先证明BM=AM,再证明CM为AM的 二分之一 C A
变式训练：在△ABC，∠C=900, ∠B=300, ∠BAC的角平分线AM的长为 2cm，则AC的长是（ ）。
知识回顾
不等式的性质2 不等式的两边都乘（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变。 如果a>b, c>0, 那么 ac>bc; 如果a<b, c>0, 那么 ac<bc.
知识回顾
不等式的性质3 不等式的两边都乘（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变。 如果a>b, c<0, 那么 ac<bc; 如果a<b, c<0, 那么 ac>bc.
例题讲解
例1 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整 数解是 x=1, 2
-1
0
1
2
3
解析：不等式的解集为x<3,故这个 不等式的正整数解为x=1, 2.
例题讲解
例2 解不等式： 1说明 解：8-(7x-1)>2(3x-2) 8-7x+1 > 6x-4 -7x-6x > -4-8-1 -13x > -13 x<1
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第1讲：特殊三角形的性质与判定一、知识回顾：等腰三角形的性质与判定等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等边对等角等角对等边等边三角形的性质与判定(1 )等边三角形的每个内角都等于60°。
(2) 3个内角都相等的三角形是等边三角形。
如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形。
直角三角形的性质与判定直角三角形两锐角互余有两个内角互余的三角形是直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
直角(简写为“ H L”三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理勾股定理逆定理四、典型例题分析：1、已知：如图/ EAC是△ ABC的外角，AD平分/ EAC且AD// BC 求证：AB=ACD2、在上图中，如果AB= AC, AD// BC,那么AD平分/ EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？3:A ABC 中AD丄BC 于D , AB=3, BD=2, DC=1,贝U AC 等于4:A ABC中，BD 丄AC 与 D , AB=6,AD=4,BC=5,DC=5,^ABC 中，/ C=90°, AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8, AD=5，贝U AC 等于第五题图&△ ABC 中，AB=AC=10, BD 丄 AC 于 D , CD=2，贝U BC 等于达标训练1、 如果等腰三角形的周长为2、 如果等腰三角形有两边长为 3、 如果等腰三角形有一个角等于4、 如果等腰三角形有一个角等于5、 在^ ABC 中，/ A = 40°，当/ B 等于多少度数时，△ ABC 是等腰三角形?6、如图，△ ABC 中，AB= AC,角平分线 BD CE 相交于点 0, 求证：0B= 0C7、如图，在△ ABC 中，/ B =/ C = 36°,/ ADE ^/ AED= 2/ B ,由这些条件你能得到哪些 结论？请证明你的结论。
12, 一边长为5,那么另两边长分别为.2和5，那么周长为 ______ 50°,那么另两个角为_120 °，那么另两个角为.8、已知：如图，△ ABC是等边三角形，DE// BC,分别交AB AC于点D E。
求证：△ ADE是等边三角形。
C9•在△ ABC内部取一点P使得点卩到^ ABC的三边距离相等，则点P应是△ ABC的哪三条线交点.(A)高10.已知，个 ((1) AD平分/(A) 1 个11.如图，在△则需要加条件( )(B)角平分线(C)中线(D)边的垂直平分线如图，△ ABC中，AB=AC AD是角平分线，BE=CF则下列说法正确的有几)EDF; (2 )△ EBD^A FCD ( 3)(B) 2 个(C) 3 个ABC^n^ ABD中，/ C=/ D=90_______ 或BD=CD (4) ADI BC.(D) 4 个，若利用“ AAS证明△ ABG^^ ABD; 若利用“ HL”证明△ ABC^^ ABD 则需要加条件xQB12.如图，有一个直角△ ABC / C=90°, AC=1QAC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=13.如图，在^ ABC中，/ C= 90 ° , AG= BC AD平分/ CAB=6 cm，则△ DEB的周长为____________ cm.14.如图，在^ ABC中，已知D是BC中点，DEI AB, DF丄AC证：AB=ACBC=5 一条线段PQ=AB P.Q两点分别在 _时，才能使△ ABC^A PQA. 交BC于D,DE 丄AB 于E ,且AB垂足分别是E、F, DE= DF 求15.已知：如图，AC平分/ BAD CE1 AB于E, CF丄AD于F, 你能说明BE与DF相等吗？且BC= DC第2讲：垂直平分线与角平分线知识点：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等 角平分线上的点到角两边的距离相等在角的内部，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的平分线上三角形的三个角的角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等例题精讲例1、已知：如图，DE 是△ ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交 AB 、 BC 于D 、E , AE 平分/ BAC 若/ B=300,求/ C 的度数。
例2、如图，已知ABC 的角平分线，/ B=90° DF 丄AC,垂足为F , 求证BE=CF 例 3、厶 ABC 中, AC=BC, / C=90, AD 是^ ABC 的角平分线,当堂训练：1、 已知：线段AB2、 已知：如图，/ 平分线交 BC 于D 则/ ADC= ___________________________ O3、 A ABC 中，/ A=5C 0, AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则/ DBC 的度数 △、△ ABC 中，DE 、FG 分别是边 AB AC 垂直平分线，则/ B_/ BAC=126，则/ EAG= (1) 已知: CD=4cm 求 AC 长 求证: AB=AC+CD DEI AB 于 E 。
及一点P , PA= PB ,则点P 在BAC=120, AB=AC,AC 的垂直BAE / C — / GAF ，若/ DE=DCC5、如图，△ ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分 AB ，则△ BCD 的周长是6、有特大城市 A 及两个小城市 B C ,这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到 两城市的距离相等，且使 A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
到三角形三个顶点的距离是11、在^ ABC 中/ C=90°,/ A 的平分线交 BC 于 D, BC=CM BD ： DC =4: 3,的距离为 12、在RTA ABC 中，/ C=90°, BD 平分/ ABC 交AC 于D, DE 是是斜边 AB 的垂直平分线, 且 DE=1CM 则 AC= ___________________ .13、OM 平分/ BOA P 是OMh 的任意一点， PDI OA PEX OB 垂足分别为 D E ,下列结论 中错误的是（A: PD=PE B OD=OE C / DPO=^ EPO / OAC=15、与相交的两直线距离相等的点在（16、至L 个角的两边距离相等的点在 17、A ABC 中，/ C=90, / A 的平分线交 BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,贝U DUAB 的距离为 18、Rt △ ABC 中, AB=AC,BD 平分/ ABC DEI BC 于 E , AB=8cm 则DE+DC= 19、A ABC 中，/ ABC 和/ BCA 的平分线交于 O,则/ BAO 和/ CAO 的大小关系B 、C7、在三角形内部，有一点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； 三角形三条中线的交点； D 、三角形三条高的交点。
已知△ ABC 的三边的垂直平分线交点在△ ABC 的边上，则△ ABC 的形状为（ 锐角三角形；B 、直角三角形； C 钝角三角形；D 、不能确定 等腰Rt △ ABC 中，AB=AC,BC=a 其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点P —定是C 、 & A 则点O则点 D : PD=OD14、A ABC 中，/ ABC / ACB 的平分线交于点O,连结 AQ 若/ OBC=25 , / OCB=30，则 A: —条直线上 B :一条射线上 C :两条互相垂直的直线上 D :以上都不对cm o20、Rt △ ABC中，/ C=9rf, BD平分/ ABC CD=n AB=m 则^ ABD的面积是21、已知：OP是/ MON内的一条射线，AC丄OM,ADL ON,BE± OM,BH ON垂足分别为C、D E、F, 且AC=AD求证：BE=BF1、为2、（2013?雅安）（）A. 50°（2013?遂宁）如图, AB // CD, AD 平分/ BAC，且/ C=80 ° 则/ D 的度数B.如图,60 ° C . 70 ° D . 100 °在△ ABC中，/ C=90° / B=30 °以A为圆心，任意AP,连结AP并延长交BC于点）V长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心, 大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点D，则下列说法中正确的个数是（①AD是/ BAC的平分线；④ S DAC : ABC=1 : 3 .A . 1B . 2C . 3D . 4②/ ADC=60 :③点D在AB的中垂线上；3、（2013?曲靖）如图，直线 / COE，则/ AOE= .4、（2013成都市）如图,NACD二AAB、CD相交于点O,若/ BOD=40 ° OA平分N B =30°，若AB // CD , CB 平分N ACD，则匸5、(2013?湘西州)如图，RtAABC 中，/ C=90° AD 平分/ CAB , DE丄AB 于E，若AC=6 , BC=8 , CD=3 .(1 )求DE的长；(2)求^ADB的面积.O A第三讲：三角形的证明单元复习 一、等腰、等边三角形 1、在等腰三角形中顶角为 40°时底角等于 ，一个底角为50°,则顶角等于 2、 已知等腰三角形一个内角的度数为 30。
，那么它的底角的度数是 3、 等腰三角形的顶角的度数是底角的 4倍，则它的顶角是 _________ 4、 等腰三角形的两边长分别为 4厘米和6厘米，这个三角形的周长为 5、 等腰三角形的两边分别是 7 cm 和 6、 由在同一三角形中“等角对等边” _________ ，大角对 __________ . 8、等腰三角形中的一个角等于 100° 处,40。
B 、100。
, 20。
3 cm ,则周长为 __________ . “等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对 A 20。
9、等腰三角形的一个外角等于 50° ,50° , 80° 加，100。
, 20。
，则另两个内角的度数分别为（ ） C 、50。
，50。
D 、40。
，40。
或 100° , 100°，则这个三角形的三个内角分别为（ B 、20° 5QQ ,80° , 20° ,50。