抓住不变量解应用题

应用题中的不变量一、部分量不变例1、育红小学六年级图书角原来有科技书与文艺书本数比是5∶6，借出10本科技书后，科技书与文艺书本数比是3∶4。

科技书原来有多少本？解法一：本题文艺书本数不变。

由原来有科技书是文艺书本数的56，现在科技书是文艺书本数的34，则文艺书本数是10÷（56－34）本，得科技书原来有的本数。

10÷（56－34）×56＝10÷112×56＝100（本）解法二：本题文艺书本数不变。

由科技书与文艺书本数比。

原来5∶6＝10∶12现在3∶4＝9∶12则文艺书本数的份数12不变，得科技书原来有的本数。

10÷（10－9）×10＝100（本）例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。

小军原来有多少元钱？[思路点拔]：题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把小明的钱数看作单位“1”。

这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”，再根据题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。

因此小明的钱数是100÷1/3=300(元)，小军原有钱数是300×3/4=400（元）例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？[思路点拔]：从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。

因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名) 例4、有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖?[思路点拔]：糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克，所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620克那么要加糖:620-600=20克例5、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？[思路点拔]：首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，算出其只数80×(1－)=44只。

然后，计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1－=）。

接着，算出变化后的总只数：44÷=100只。

最后，对比变化前后总只数，得出结论：100－80=20只。

二、两个量和不变例6、实验学校组织学生大扫除，六年级学生参加大扫除的人数是未参加的14，后来又有12名学生主动参加，现在参加大扫除的人数是未参加的13，那么六年级有学生多少人？解法一：本题六年级学生的人数和不变。

学生参加大扫除的原来的人数是六年级的14＋1，现在的人数是六年级的13＋1，得六年级学生人数。

12÷（13＋1－14＋1）＝12÷120＝240（人）解法二：本题六年级学生的人数和不变。

由参加大扫除的与未参加的人数比。

原来1∶4＝4∶16现在1∶3＝5∶15则六年级学生人数和的份数4＋16＝5＋15不变，得六年级学生人数。

12÷（5－4）×（5＋15）＝240（人）例7、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。

问小芳借了多少本故事书给小丽？[思路点拔]：小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。

即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1)倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) ÷(3+1)=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78（本）。

可以验证一下：(108+78)÷(140-78)=186÷62=3，答案正确。

例8、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？[思路点拔]：根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“1”。

抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5；又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10，两人故事书的总本数是：15÷（2/5-3/10）=150（本），所以上层原有书150×2/5=60（本），下层原有书150-60=90（本）。

例9、某校合唱队人数是舞蹈队人数的3/2，如果将合唱队队员调10人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的7/8，原合唱队有多少人？[思路点拔]：根据合唱队与舞蹈队的前后人数之比可知，合唱队原来占全体人数的3/(3+2) ,后来调出10人后，占全体人数的7/(7+8)，则全体人数有：10÷[(3/(3+2) -7/(7+8)],求出全体人数后，就能根据原来占全体人数的比求出合唱队原来有多少人了．三、两个量差不变例10、五年级一班原来男、女生人数比是3∶5，后来男、女生各增加9人，现在男、女生人数比是3∶4。

现在全班共有多少人？解法一：本题男、女生人数差不变。

原来男生人数是男、女生人数差的35－3，现在男生人数是男、女生人数差的34－3，则男、女生人数差是9÷（34－3－35－3）人，得现在全班共有学生人数。

9÷（34－3－35－3）×3＋44－3＝9÷1.5×7＝42（人）解法二：本题男、女生人数差不变。

由男、女生人数比。

原来3∶5＝3∶5现在3∶4＝6∶8则男、女生人数的份数差5－3＝8－6不变，得现在全班共有学生人数。

9÷（6－3）×（6＋8）＝42（人）例11、今年琪琪5岁，妈妈32岁，再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍？[思路点拔]：不论经过多少年，琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。

今年妈妈与琪琪的年龄差为32-5=27（岁）,等于妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍时的年龄差，所以27岁对应的是那一年琪琪岁数的（4-1）倍。

那一年琪琪的岁数是（32-5）÷（4-1）=9（岁），经过的年限是：9-5=4（年）。

例12、用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克，求空瓶的重量。

[思路点拔]：随着倒进的杯数不同，瓶里水的重量和总重量都在变化，但是不管倒进几杯水，每一杯水的重量都是不变的，所以，（920-680）克就正好是（9-6）杯水的重量。

对应相除就能求出1杯水的重量，（920-680）÷（9-6）=80（克）从而就可以求出空瓶的重量。

920-80×9=200（克）例13、有甲乙两个粮仓，原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3：5，从两个仓库都运走后50吨的粮食后，甲仓库的存粮是乙仓库存粮的5/9。

问原来甲乙两个粮仓各存粮多少吨？[思路点拔]：根据题意，甲乙两个粮仓的存粮的吨数都发生了变化，而且它们的总存粮的吨数也发生了变化，但是我们可以发现，由于两个粮仓的存粮数都减少了50吨，所以现在两个粮仓存粮的吨数差不变。

我们可以把吨数差作为单位“1”。

“原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3：5”，可知甲仓库存粮的吨数占吨数差的3÷(5-3)=3/2，都运走后50吨后，甲仓库存粮的吨数占吨数差的5÷(9-5)= 5/4。

由此可以求出甲乙两个粮仓存粮的吨数差是50÷（3/2-5/4）=200（吨），甲仓库存粮的吨数是200×3/2=300（吨），乙仓库存粮的吨数是300+200=500（吨）四、用方程巧解分数应用题例14、.某车间女工人数是男工人数的3/4，后来调走男工24人，这时男工人数是女工人数的4/5。

这个车间现有男工多少人？例15、育才小学六年级有甲乙两个班，甲班学生人数是乙班的5/7。

如果从乙班调2人到甲班，甲班人数就是乙班的4/5。

甲班原来有学生多少人？例16、甲商店原来的电视机台数是乙商店的2/3。

两家商店分别卖了8台电视机后，甲商店的电视机台数是乙商店的3/5。

甲乙两商店原来各有多少台电视机？[思路点拔]：11题中，单位“1”不统一，这样不好列方程。

在这道题中，有一个“不变量”——这个车间的女工人数。

所以，我把它看作单位“1”，将所有的量都转化为以它为单位“1”的形式，即把“女工人数是男工人数的3/4”转化为“男工人数是女工人数的4/3”，就简单多了。

根据数量关系式“原来的男工人数-24 =现在的男工人数”列出方程：解：设女工人数为x人，男工人数原有4/3x人，现有4/5x人。

4/3x-24=4/5xx =454/3x=45×4/3=604/5x=4/5×60=36答：这个车间现有男工36人。

[思路点拔]：12题中，“不变量”是两个班学生的总人数。

无论两个班的学生怎么调换，总人数都不变。

根据这个“不变量”，可以列出数量关系式“甲班原来的人数+乙班原来的人数=甲班现在的人数+乙班现在的人数”，并列出方程：解：设乙班原有x人，甲班原有5/7x人。

x+5/7x= (x-2)+4/5(x-2)x=425/7x=5/7×42=30答：甲班原有学生30人。

[思路点拔]：13题中，两家商店卖出的电视机台数是相等的，都是8台。

所以，两家商店电视机台数的差始终相等。

这个“台数差”和卖出的电视机台数就是“不变量”——解决问题的关键。

我根据数量关系式“乙商店现在的电视机台数×3/5=甲商店现在的电视机台数”列出方程，很快就解决了问题：解：设乙商店原来有x台电视机，甲商店原来有2/3x台电视机。

2/3x-8=3/5(x-8)2/3x-8=3/5x-24/5x=482/3x=2/3×48=32答:甲商店原来有32台电视机，乙商店原来有48台电视机。

前后对比，问题得解量率对应，问题得解已知或能直接计算题目中的问题，计算出不变量，以不变量为单位“1”代入变化后数量关系中不变量，找出其变化后的对应分率，选中其中一个变量，求出变化后的一个变量，找出其变化前后各占“1”的分率，找出其变化前后的数量，算出分率差，算出数量差。