专题六 第3讲 母题突破1 范围、最值问题(解析版)
备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之解三角形：专题6 三角形中的最值问题 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】海中一小岛，周围mile n 8.3内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行mile n 8以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【解析】根据题意作出如图所示，其中设C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，∴CAB ABC ACB ∠-∠-︒=∠180=10°，∠CBD=30°， 由正弦定理得，ACBABCAB BC ∠=∠sin sin ， ∴ACB CAB AB BC ∠∠=sin sin =︒︒10sin 20sin 8≈15.7560，∴=∠=CBD BC CD sin ≈7.878＞3.8， ∴没有触礁的危险. 答：没有触礁的危险．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5第24页复习参考题A 组第2题．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型． 【思路方法】根据题意画出图形，C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，要判断是否触礁，即需要计算C 点到直线AB 的距离CD ，在△ABC 中利用正弦定理计算出BC,在通过解直角三角形即可求出CD ．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.（2）由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A + =22192sin sin 12(sin )48A A A -++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9(]28. 【例3】【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角C B A ,,满足)sin(2sin C B A A +-+ =21)sin(+--B A C ，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>126≤≤abc D.1224abc ≤≤【答案】A【解析】由题设得：()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒= ⇒ ()()1sin 222+sin2B+sin 22BC C π-+=()1sin2B+sin 2sin 222C B C ⇒-+= ⇒()()1sin 21cos 2sin 21-cos2B 2B C C -+=()14sin sin sin cos cos sin 2B C B C B C ⇒+= 1sin sin sin 8A B C ⇒=……………………（1） 由三角形面积公式1sin 2s ab C =及正弦定理得：214sin sin sin 2s R A B C =⨯ 所以24s R =,又为12s ≤≤，所以248R ≤≤,所以因()338sin sin sin b c b cbc b c abc R A B C R a a+++=⨯=⨯>恒成立，所以()8bc b c +>【例4】【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 【例5】【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．【解析】由2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，故(ab)(s i n A +-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=， 又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤． 【例6】【2016年高考北京理数】在∆ABC中，222+=+a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能力，是中档题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路 III ．理论基础·解题原理 考点一 三角形中的不等关系1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2.任一角都大于00而小于1800,任意两角之和也是大于00而小于1800;3 3..设角A 是一三角形的内角,则1sin 0≤<A ;4.在锐角三角形中, 任意两角之和也是大于900而小于1800; 5.在同一三角形中大边对大角,大角对大边 考点二 与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力。
中考数学复习 核心母题一 最值问题深度练习
核心母题一最值问题深度练习1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )A．6 B．8 C．10 D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DO B＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．5．如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x 轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a ，0)，F(a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点． (1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．参考答案1．B 2.7 3.(23－3，2－3) 4．解：如图，连接OQ.在Rt△OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2， 当OP 最小时，PQ 最大，此时OP⊥BC， 则OP ＝12OB ＝32，∴PQ 的最大值为9－（32）2＝332.5．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，a －b ＋c ＝0，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)当a ＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P(x ，－x 2＋4x ＋5)．如图，过点P 作PN⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4. S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(OF ＋PN)·ON－12MN·NP－12OE·OM ＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x·(－x 2＋4x ＋4)－12×1×1＝－(x －94)2＋15316， ∴当x ＝94时，S 四边形MEFP 最大，最大为15316.当x ＝94时， y ＝－x 2＋4x ＋5＝14316，此时点P 坐标为(94，14316)．(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2± 6. ∵点P 在第一象限， ∴点P(2＋6，3)．∵在四边形PMEF 中，PM ，EF 长度是固定的， ∴ME＋PF 最小时，四边形PMEF 的周长最小．如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)，作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)，连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ， 将P(2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3，m ＋n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y＝46－45x －46＋15.当y ＝0时，解得x ＝6＋54，∴F(6＋54，0)． ∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14， ∴当a ＝6＋14时，四边形PMEF 的周长最小．。
【高考二轮复习大题讲义】第3讲 求最值和范围-原卷+解析
第3讲 求最值和范围求最值和范围是数列部分相对较难的内容,解题方法的核心在于判定数列的单调性,进而来求解最值.判定单调性的方法主要有三种:函数法、作差法、作商法.函数法函数法判定数列单调性的核心在于理解数列的本质:数列是一种非连续性函数,即数列()n a f n =是函数()y f x =上的一些不连续的点,所以我们在解题时只要判定出函数y =()f x 的单调性,就得到了数列()n a f n =的单调性,但这里一定要注意数列的非连续性.【例1】已知2192n n a n+=-,求数列{}n a 的最大项与最小项。
【例2】已知2n b n =,其前n 项和为n S ,若11nn b S λ+恒成立,求λ的最小值.【例3】知n b n =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,若不等式(1)24nn n kb S n -<++对所有的正整数n 都成立,求实数k 的取值范围.作差法根据1n n a a +-的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列还是常数列. 若不是严格的单调数列,也可以利用不等式组()11020n n n n a a n a a -+-⎧⎨-⎩找到数列的最大项,利用不等式()1120n n n n a a n a a -+-⎧⎨-⎩找到数列的最小项.【例1】n S 是数列{}n a 的前n 项和,且n a =n ,若25n an n b a =-,求数列{}n b 中的最小项。
【例2】设公差不为零的等差数列{a }的前n 项和为n S ,已知21n a n =-,对任意的正整数n ,都有20n n m a ⋅->成立,求实数m .的取值范围.【例3】设()1122n n T n +=-+,求满足不等式22020n T n->的正整数n 的最小值.【例4】已知()*132n a n n =∈-N ,若n a λ+1n a λ对任意的*2,n n ∈N 恒成立,求实数λ的取值范围.作商法作商法:根据(10n n na a a +>或)0n a <与1的大小关系进行判断. 【例1】 已知22nn b n=,求数列{}n b 的最小项的值.【例2】记23nn b n λ=-,若数列{}n b 为递增数列,求λ的取值范围.【例3】记23(31)2nn c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若数列{}n c 为递增数列,求λ的取值范围.第3讲 求最值和范围求最值和范围是数列部分相对较难的内容,解题方法的核心在于判定数列的单调性,进而来求解最值.判定单调性的方法主要有三种:函数法、作差法、作商法.函数法函数法判定数列单调性的核心在于理解数列的本质:数列是一种非连续性函数,即数列()n a f n =是函数()y f x =上的一些不连续的点,所以我们在解题时只要判定出函数y =()f x 的单调性,就得到了数列()n a f n =的单调性,但这里一定要注意数列的非连续性.【例1】已知2192n n a n+=-,求数列{}n a 的最大项与最小项。
高考数学教材复习全国版破解难点优质课(三)最值、范围、证明问题(5课件)
点为 H,过点 E 且与 OP 垂
建立△MAP 的面积关于 k 的函数,最后利用基本
直的直线交直线 AH 于点
不等式求最值.
M,求△MAP 面积的最大值.
图 Y3-1
课堂考点探究
例 1 [2018·济南二模] 如图 Y3-1,已知离心
率为
2
的椭圆
2
2 2
C: 2 + 2 =1(a>b>0)经过点
圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为
(1)求 C 的方程;
(x-2)2+y2=4.【关键 1:利用椭圆定义及圆与圆的位置关系
(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直 确定圆的方程】
线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3.【关
调性法;(5)三角换元法;(6)导数法等.
课堂考点探究
案例
【基本不等式法】[2014·全国卷
Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆
x2 y2
E: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为
a
b
3
,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF
2
2 3
的斜率为 ,O 为坐标原点.
3
(1)求 E 的方程;
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交
(1 + 2 ) -41 2 =
为线段 AB 的中点,
1
2 1+ 2
所以|AP|= |AB|= 2 ,
2
2 +1
(2)若点 E 关于 x 轴的对称
中考数学总复习核心母题三最值问题课件
变化2：坐标系中的最值
变化3：特殊图形的最值
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
2019/5/26
最新中小学教学课件
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2019/5/26
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(3)如图③，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是 OB上一动点，求PA＋PC的最小值是_____．
【重要考点】 两点之间，线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、三角形相关知识、基 本作图等．
【母题剖析】 (1)关键是作点A关于直线l的对称点A′. (2)由题意得PB＋PE＝PD＋PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求解即可； (3)作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于点P，A′C的长即是PA＋PC的最小 值．
核心母题三 最值问题
【核心母题】 (1)如图①，点A，B在直线l的同侧，确定直线上一点P，使PA＋PB的值最小； (2)如图②，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD， 由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于点P，则PB＋PE 的最小值是________；
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
微专题三 最值与范围问题
微专题三 最值与范围问题突破点一 距离与面积的最值(范围)【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点F 到左顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，若OE→＝OA →＋OB →，延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值. 解 (1)由已知得b 2＝3，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2. 联立以上3个式子，可得a 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 因为过F (1，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不在x 轴上)，所以设l 的方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4.因为OE→＝OA →＋OB →，所以四边形AOBE 为平行四边形， 所以S ＝S ▱AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2| ＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18t 2＋13t 2＋4.令t 2＋1＝m ，则m ≥1，S ＝18m 3m 2＋1＝183m ＋1m.由函数的单调性易得当m ＝1，即t ＝0时，S max ＝92. 法二 由OE→＝OA →＋OB →知四边形AOBE 为平行四边形.所以S ＝S ▱AOBE ＋S △OGB ＝3S △AOB .当直线AB 的斜率不存在时，S ＝3S △AOB ＝92.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k4k 2＋3，y 1y 2＝－9k 24k 2＋3， 所以S ＝3S △AOB ＝32|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝18k 4＋k 24k 2＋3.令4k 2＋3＝m ，则m >3，S ＝92－3×1m 2－2m ＋1<92.综上可知，四边形AGBE 的面积S 的最大值S max ＝92.探究提高 1.本题求四边形AGBE 面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.【训练1】 (2021·全国乙卷)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p 的值；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值.解 (1)由题意知M (0，－4)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p 2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，直线AB 的方程为y＝kx ＋b ，联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0 (※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x 12，在点A处的切线方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝2k ，y ＝x 1x 24＝－b ，即P (2k ，－b ).因为点P 在圆M 上， 所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①， 且－1≤2k ≤1，－1≤4－b ≤1， 所以－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)式.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2k 2＋2b |1＋k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4（k 2＋b ）3.由①得，k 2＝1－（4－b ）24＝－b 2＋8b －154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝－b 2＋12b －154，且3≤b ≤5.因为t ＝－b 2＋12b －154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20 5. 突破点二 斜率与某些参数(式子)的范围(最值)【例2】 (2021·长沙联考)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±43，长轴长为8. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点(点E ，F 与点A 不重合)，且满足AE ⊥AF ，若点P 满足2OP →＝OE →＋OF →，求直线AP 的斜率的取值范围.解 (1)由题意得b e ＝abc ＝43，2a ＝8，a 2＝b 2＋c 2， 联立以上3个式子，可得a 2＝16，b 2＝12，c 2＝4. 所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)得A (4，0).易知直线l 不与x 轴平行. 当直线l ⊥x 轴时，不妨设点E 在点F 上方. 因为AE ⊥AF ，所以直线AE 的倾斜角为135°， 所以直线AE 的方程为y ＝－x ＋4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，x 216＋y 212＝1，得7x 2－32x ＋16＝0，解得x ＝47或x ＝4(舍去)，所以x E ＝x F ＝47(x E ，x F 分别为点E ，F 的横坐标). 由2OP →＝OE →＋OF →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，0，直线AP 的斜率为0.当直线l 不垂直于x 轴时，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠－4k ，k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 216＋y 212＝1消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－48＝0. 则Δ＝(8kt )2－4(3＋4k 2)(4t 2－48)>0， 即16k 2－t 2＋12>0，(*)x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－483＋4k 2.因为AE ⊥AF ，所以AE →·AF →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋(kx 1＋t )(kx 2＋t ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(kt －4)(x 1＋x 2)＋16＋t 2 ＝7t 2＋32kt ＋16k 23＋4k 2＝0，即7t 2＋32kt ＋16k 2＝0，所以(7t ＋4k )(t ＋4k )＝0，解得t ＝－4k7且t 满足(*)式.所以2OP →＝OE →＋OF →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 3＋4k 2，6t 3＋4k 2， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 3＋4k 2，3t 3＋4k 2.则直线AP 的斜率k AP ＝3t 3＋4k 2－4kt 3＋4k 2－4＝－3t 16k 2＋4kt ＋12＝k 8k 2＋7＝18k ＋7k . 当k <0时，8k ＋7k ≤－28k ·7k ＝－414，此时－1456≤k AP <0；当k >0时，8k ＋7k ≥28k ·7k ＝414，此时0<k AP ≤1456.综上可得，直线AP 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1456，1456.探究提高 1.本题的易错点有两处：一是忘记讨论直线l ⊥x 轴时的情形，从而遗漏了k AP ＝0这个取值；二是利用基本不等式求解8k ＋7k 的取值范围时，直接根据k >0求解其最小值，得到0<k AP ≤1456，遗漏了对k <0的讨论.2.圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换，目标关系式求范围.求k AP 的取值范围，分三步完成：第一步，消参，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由条件“AE ⊥AF ”得到关于k ，t 的等量关系t ＝－4k7(此时需要检验判别式Δ>0)；第二步，将等量关系t ＝－4k7代入目标关系式，化简得k AP ＝18k ＋7k；第三步，通过对k 的分类讨论，求出斜率k AP 的取值范围. 【训练2】 已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x 0<32. (1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)Q 是以AB 为直径的圆上一点，且AP →·BQ →＝0，求AP →·PQ →的最大值. 解 (1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 20－14x 0＋12＝x 0－12，且－12<x 0<32， 则－1<x 0－12<1.所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1). (2)由题意可知，AP→与AQ →同向共线，BQ ⊥AQ ， 联立直线AP 与BQ 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）.因为|AP |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝1＋k 2·(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x 0)＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以AP →·PQ →＝|AP →|·|PQ →|＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，AP →·PQ→取得最大值2716.突破点三 范围(最值)的探索性问题【例3】 (2021·天津模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点.当P 是C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与C 的另一个交点为Q ，是否存在点T (t ，0)，使得|TP |＝|TQ |？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆C 的半焦距为c .因为S △F 1PF 2＝12×2c ×b ＝3，所以bc ＝ 3. 又e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在点T (t ，0)，使得|TP |＝|TQ |.由直线PQ 过F 2(1，0)，设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为N (x 0，y 0). 当k ＝0时，t ＝0，符合题意. 当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(－8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144k 2＋144>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3.所以x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，y 0＝k (x 0－1)＝－3k4k 2＋3，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k24k 2＋3，－3k 4k 2＋3. 连接TN ，因为|TP |＝|TQ |，所以TN ⊥PQ ， 则k TN ·k ＝－1(k TN 为直线TN 的斜率). 所以3k 4k 2＋3t －4k 24k 2＋3·k ＝－1，即t ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2.因为4＋3k 2>4，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.综上可得，t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，14.探究提高 1.探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.本题的求解体现了数形结合思想在解答圆锥曲线问题中的应用.解题关键是如何将题设条件中的几何关系“|TP |＝|TQ |”转化成代数关系“k TN ·k ＝－1”，由此建立t 关于k 的函数关系式，进而求出t 的取值范围.【训练3】 已知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，若抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则△P AB 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆y 24＋x 23＝1，知a 2＝4，b 2＝3. 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.又抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点， 所以p2＝1，则p ＝2. 于是抛物线的方程为x 2＝4y .(2)△P AB 的面积存在最小值，理由如下： 由抛物线方程x 2＝4y 知，F (0，1).易知直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y 并整理，得x 2－4kx －4＝0， 且Δ＝(－4k )2－4(－4)＝16k 2＋16>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 对y ＝x 24求导，得y ′＝x 2，所以直线AP 的斜率k AP ＝x 12.则直线AP 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21.同理得直线BP 的方程为y ＝x 22x －14x 22. 设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·（4k ）2＋16＝4(1＋k 2)，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2|1＋k 2＝21＋k 2， 所以△P AB 的面积S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当且仅当k ＝0时等号成立.故△P AB 的面积存在最小值4，此时直线l 的方程为y ＝1.1.(2021·全国乙卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →＝9QF →，求直线OQ 斜率的最大值.解 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p ，故p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1，0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，QF →＝(1－x 2，－y 2). 因为PQ →＝9QF →，所以⎩⎨⎧x 2－x 1＝9（1－x 2），y 2－y 1＝－9y 2，得⎩⎨⎧x 1＝10x 2－9，y 1＝10y 2，∵点P 在抛物线C 上，所以y 21＝4x 1，则(10y 2)2＝4(10x 2－9)，化简得y 22＝25x 2－925， 则点Q 的轨迹方程为y 2＝25x －925.设直线OQ 的方程为y ＝kx ，易知当直线OQ 与曲线y 2＝25x －925相切时，斜率可以取最大.联立y ＝kx 与y 2＝25x －925并化简，得k 2x 2－25x ＋925＝0， 令Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252－4k 2·925＝0，解得k ＝±13， 所以直线OQ 斜率的最大值为13.2.已知椭圆C ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，求直线MN 的斜率；(2)若M ，N ，O 三点共线，直线NF 1与椭圆C 交于N ，P 两点，求△PMN 面积的最大值.解 (1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，两式相减，可得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）5＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 则4（x 1－x 2）5＋2（y 1－y 2）3＝0， 解得y 1－y 2x 1－x 2＝－65，即直线MN 的斜率为－65. (2)显然直线NF 1的斜率不为0，设直线NF 1：x ＝my －2，N (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 25＋y 2＝1，消去x 整理得(m 2＋5)y 2－4my －1＝0，显然Δ＝20(m 2＋1)>0，故y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5， 故△PMN 的面积S △PMN ＝2S △OPN＝2×12·|OF 1|·|y 1－y 2|＝45·m 2＋1m 2＋5， 令m 2＋1＝t ，其中t ≥1.S △PMN ＝45t t 2＋4＝45t ＋4t ≤452t ·4t ＝5， 当且仅当t ＝2，即m ＝±3时等号成立，故△PMN 面积的最大值为 5.3.已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2＝1(a >1)的离心率为32，圆A ：x 2＋(y －a )2＝r 2(r >0)与椭圆E相交于B ，C 两点.(1)求AB →·AC→的最小值； (2)若F 1，F 2分别是椭圆E 的上、下焦点，经过点F 1的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)由e ＝c a ＝a 2－1a ＝32，得a ＝2.所以椭圆E 的标准方程为y 24＋x 2＝1，则圆心A 的坐标为(0，2).设B (x 0，y 0)，由对称性得C (－x 0，y 0)，且y 204＋x 20＝1，所以AB →·AC →＝(x 0，y 0－2)·(－x 0，y 0－2) ＝(y 0－2)2－x 20＝(y 0－2)2－⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204 ＝54y 20－4y 0＋3＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－852－15. 由题意知－2<y 0<2，所以当y 0＝85时，AB →·AC →取得最小值，最小值为－15. (2)由题意知F 1(0，3)，F 2(0，－3)，直线l 的斜率一定存在. 设l ：y ＝kx ＋3，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，消去y 并整理得(4＋k 2)x 2＋23kx －1＝0， Δ＝(23k )2＋4(4＋k 2)＝16k 2＋16>0，则x 1＋x 2＝－23k 4＋k 2，x 1x 2＝－14＋k 2. 所以△OF 2N 与△OF 2M 的面积之和 S ＝12×3|x 2－x 1|＝32×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k 4＋k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋k 2 ＝32×16k 2＋16（4＋k 2）2＝23×1＋k 2（4＋k 2）2. 令t ＝1＋k 2，则t ≥1，所以S ＝23×t （t ＋3）2＝23×1t ＋9t ＋6≤23×112＝23×123＝1，当且仅当t＝9t，即t＝3，k＝±2时等号成立.所以当k＝±2时，△OF2N与△OF2M的面积之和取得最大值，且最大值为1，此时直线l的方程为2x－y＋3＝0或2x＋y－3＝0.。
专题06 等差数列、等比数列及数列的求和-高考数学试题探源与变式(解析版)
专题六 等差数列、等比数列及数列的求和【母题原题1】【2019浙江，10】设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ） A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为122x =±，令122a =±，则11022n a =±<，排除.选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【母题原题2】【2018浙江，10】已知成等比数列，且．若，则A.B.C.D.【答案】B 【解析】 令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但， 即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如【母题原题3】【2017浙江，6】已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d>0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >” ⇔ “46520S S S +->”，故互为充要条件． 【母题原题4】【2016浙江，文8理6】如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．{}2n S 是等差数列C ．{}n d 是等差数列D ．{}2n d 是等差数列 【答案】A【解析】S n 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(||sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A.【母题原题5】【2019浙江，20】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+.(2)结合(1)中的通项公式可得：2nC==<=<=，则()()()12210221212nC C C n n n+++<-+-++--=【母题原题6】【2018浙江，20】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a 4+a 5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n}的前n 项和为2n 2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.【命题意图】1.考查等差数列、等比数列的通项公式及求和公式；2.考查数列的求和方法；3.考查运算求解能力、转化与化归思想以及分析问题解决问题的能力.【命题规律】数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．【答题模板】解答数列大题，一般考虑如下三步：第一步：确定数列的基本量.即根据通项公式、求和公式，通过布列方程或方程组，求得进一步解题所需的基本量；第二步：确定数列特征，选择求和方法.根据已有数据，研究送来的的特征，选择“分组求和法”“错位相减法”“裂项相消法”等求和方法；第三步：解答综合问题.根据题目要求，利用函数、导数、不等式等，进一步求解.【方法总结】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. [特别提醒]：在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．(3)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (4)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 8. [特别提醒]：用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．（3）给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（4）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n .一、选择题1．【上海市虹口区2019届高三二模】已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】S n•，①n 为奇数时，S n •，可知：S n 单调递减，且•，∴S n ≤S 1＝2； ②n 为偶数时，S n•，可知：S n 单调递增，且•，∴S 2≤S n．∴S n 的最大值与最小值分别为：2，． 考虑到函数y ＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A ．B ．∴B﹣A的最小值．故选：B．2．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由单调递增，可得，由，可得，所以.时，可得.①时，可得，即.②若，②式不成立，不合题意；若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.排除B,C,D,故选A.3．【浙江省2019年高考模拟训练卷（三)】已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.4．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞ C ．3[,)8+∞ D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n ++++=+，① 当2n ≥时，21231111(1)(1)231n a a a a n n n -+++⋯+=-+--，② ①﹣②得：12n a n n=，故：22n a n =，数列{}n b 满足：22121214(1)n n n n n b a a n n +++==+221114(1)n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 则：2222211111114223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21114(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 由于*()1n n N T n nλ<∈+恒成立， 故：21114(1)1n n n λ⎛⎫-< ⎪++⎝⎭， 整理得：244n n λ+>+，因为211(1)4441n y n n +==+++在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，max213448n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 所以38λ>． 故选：D ．5．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应】已知数列{} 满足0<<<π，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由,取特殊值：，，得：=，=，排除C 、D ；==，=>；且，，均小于，猜测，下面由图说明：当时，由迭代蛛网图：当时，由迭代蛛网图：可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，综上可得，故选A.6．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,则,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，，，从而,因此,选C.二、解答题7．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】解：（1）设等比数列的公比为，由得，解得或.因为数列为正项数列，所以，所以，首项，故其通项公式为.（2）由（Ⅰ）得所以，所以.8.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知等比数列的公比，前项和为.若，且是与的等差中项.（I）求；（II）设数列满足，，数列的前项和为.求证：.【答案】（Ⅰ）（II）见证明【解析】（I）由，得①.再由是，的等差中项，得，即②.由①②，得，即，亦即，解得或，又，故.代入①，得，所以，即；（II）证明：对任意，，，即.又，若规定，则.于是，从而，即.8.9．【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】 （Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故. 令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.10．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟】已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，2n n S b +=，等差数列}{n a 满足123b a =，157b a += （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.【答案】（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】 （Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：112n n b b -=∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 112n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=- 332n n n T +=-即12231332n n nn a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-302n n +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 11．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知数列{}n a 中，14a =，n a >，1314n n n n a a a a +=-+，记22212111...n nT a a a =+++. （1）证明：2n a >；（2）证明：115116n na a +≤<； （3）证明：8454n n n T -<<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（2）见解析 【解析】（1）∵3133(2)(2)1422n n n n n n n na a a a a a a a +---=-+-=-，∴31323221212n n n n n n na a a a a a a +---==---，令1n t a =，则2312()122n n a m t t t a +-==---，∵n a >t ∈，∴'2()260m t t t =--<，∴()m t在单调递减，∴16()()10339m t m ->=-=>，即n a 时，1202n n a a +->-恒成立， ∴12n a +-与2n a -同号，又1220a -=>.∴2n a >成立．（2）2124214111514816n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭221115412816⎛⎫<-+= ⎪⎝⎭，又212111515481616n n n a a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…，∴115116n n a a +≤<. （3）先证4n nT <，因为2n a >，所以2114n a <，所以222121111...44n n n T n a a a =+++<⋅=，再证845n n T >-，∵1314n n n na a a a +=-+，∴()121144n n n n a a a a +-=+， 又21232141115151481616n n n n n a a a a a +⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴11615n n a a +>，∴116()31n n n a a a +<+，又10n n a a +-<，∴2211()4()431n n n n n a a a a a ++->-，所以221222121114...()314n n n n n T a a a a a +=+++>-+4488(416)31443145n n n >-+=->-， 故8454n n n T -<<． 12．【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．。
解三角形中的最值与范围问题(解析版)
专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。
专题六 第3讲 母题突破4 探索性问题
母题突破4 探索性问题 母题 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． (2)思路分析❶假设四边形OAPB 能为平行四边形↓❷线段AB 与线段OP 互相平分↓❸计算此时直线l 的斜率↓❹下结论(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx . 设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9). 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． [子题1] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点，若恒过定点，求出定点坐标．解 因为c ＝4－3＝1，所以F 2(1,0)，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0， 显然，Δ>0，则y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1－(－2)[x －(－2)]， 令x ＝4，则y ＝6y 1x 1＋2，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2， 同理得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2， 假设以线段PQ 为直径的圆恒过定点H (m ，n )，则HP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 1x 1＋2－n ，HQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 2x 2＋2－n ， 则HP →·HQ →＝(4－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 1x 1＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 2x 2＋2－n ＝0， 即(4－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 1ty 1＋3－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 2ty 2＋3－n ＝0， 即(36－12nt )y 1y 2－18n (y 1＋y 2)t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋n 2＋(4－m )2＝0， 即(36－12nt )(－9)－18n (－6t )－9t 2＋3t (－6t )＋9(3t 2＋4)＋n 2＋(4－m )2＝0， 即6nt －9＋n 2＋(4－m )2＝0，若以线段PQ 为直径的圆恒过定点H (m ，n )，则不论t 为何值，HP →·HQ →＝0恒成立，因此n ＝0，m ＝1或m ＝7，所以以线段PQ 为直径的圆恒过定点(1,0)和(7,0)．[子题2] (2020·新疆适应性检测)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点(2,0)作直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一点A ，使得x 轴平分∠MAN ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．解 ①当直线l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x 轴上任意一点A (不与点(2,0)重合)，都可使得x 轴平分∠MAN ；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，显然Δ>0，∴x 1＋x 2＝4k 2＋4k 2，x 1x 2＝4，(*) 假设在x 轴上存在一点A (a ,0)，使得x 轴平分∠MAN ，∴k AM ＋k AN ＝0，∴y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0， ∴y 1(x 2－a )＋y 2(x 1－a )(x 1－a )(x 2－a )＝0，又y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， ∴2x 1x 2－(a ＋2)(x 1＋x 2)＋4a x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＝0， 把(*)式代入上式化简得4a ＝－8，∴a ＝－2，∴点A (－2,0)，综上所述，在x 轴上存在一点A (－2,0)，使得x 轴平分∠MAN .规律方法 探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．跟踪演练1．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，点B (0,1)，点A 为椭圆G 的右顶点，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q 两点(点Q 在第一象限)，且与线段AB 交于点M .是否存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 设Q (x 0，y 0)，则P (－x 0，－y 0)，可知0<x 0<2,0<y 0<1.假设存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍，则|OP |＝3|MQ |，即|OQ |＝3|MQ |，即OM →＝23OQ →＝⎝⎛⎭⎫23x 0，23y 0，得M ⎝⎛⎭⎫23x 0，23y 0. 又A (2,0)，∴直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.∵点M 在线段AB 上，∴23x 0＋43y 0－2＝0， 整理得x 0＝3－2y 0，①∵点Q 在椭圆G 上，∴x 204＋y 20＝1，② 把①式代入②式可得8y 20－12y 0＋5＝0，∵判别式Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0，∴该方程无解．∴不存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c ,0)，下顶点为P ，过点M ⎝⎛⎭⎫0，b 2的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．当椭圆C 的离心率为何值时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB ?解 ①当直线l 平行于x 轴时，由P A ⊥PB ，得k P A ·k PB ＝32b 32a ·32b －32a ＝－1， ∴a 2＝3b 2，又a 2＝b 2＋c 2，∴2a 2＝3c 2，∴e 2＝23， ∵e ∈(0,1)，∴e ＝63. ②当直线l 不平行于x 轴时，下面证明当e ＝63时，总有P A ⊥PB ， 事实上，由①知椭圆可化为x 23b 2＋y 2b2＝1，∴x 2＋3y 2＝3b 2， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b 2，x 2＋3y 2＝3b 2，得(1＋3k 2)x 2＋3kbx －94b 2＝0， 显然，Δ>0，∴x 1＋x 2＝－3kb 1＋3k 2，x 1x 2＝－94b 21＋3k 2， ∵P A →＝(x 1，y 1＋b )，PB →＝(x 2，y 2＋b )，∴P A →·PB →＝x 1x 2＋(y 1＋b )(y 2＋b )＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1＋3b 2⎝⎛⎭⎫kx 2＋3b 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋3kb 2(x 1＋x 2)＋94b 2＝(1＋k 2)·－94b 21＋3k 2＋3kb 2·－3kb 1＋3k 2＋94b 2 ＝－94b 2(1＋3k 2)1＋3k 2＋94b 2＝－94b 2＋94b 2＝0， ∴P A →⊥PB →，综上，当椭圆C 的离心率为63时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB . 专题强化练1.(2020·泰安模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1.过点P (0,1)的动直线l (直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝S △APQ S △BPQ恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 假设在y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝S △APQ S △BPQ恒成立．设Q (0，m )(m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0， 显然，Δ>0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，S △APQ S △BPQ ＝12|QP ||QA |sin ∠PQA 12|QP ||QB |sin ∠PQB ＝|QA |sin ∠PQA |QB |sin ∠PQB ， ∵|QA ||QB |＝S △APQ S △BPQ，∴sin ∠PQA ＝sin ∠PQB ， ∴∠PQA ＝∠PQB ，∴k QA ＝－k QB ，∴y 1－m x 1＝y 2－m －x 2， ∴(m －1)(x 1＋x 2)＝2kx 1x 2，即－(m －1)·4k 2k 2＋1＝－2k ·22k 2＋1，解得m ＝2， ∴存在定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝S △APQ S △BPQ恒成立． 2．(2020·滨州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，①已知点Q (3，0)，直线l ：x ＝23，动点P 满足到点Q 的距离与到直线l 的距离之比为22. ②已知点H (－3，0)，G 是圆E ：x 2＋y 2－23x －21＝0上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P .③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且|ST |＝3，动点P 满足OP →＝63OS →＋33OT →. (1)在①②③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．解 (1)若选①，设P (x ，y )，根据题意得，(x －3)2＋y 2|x －23|＝22， 整理，得x 26＋y 23＝1， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1. 若选②，由E ：x 2＋y 2－23x －21＝0得(x －3)2＋y 2＝24，由题意得|PH |＝|PG |，所以|PH |＋|PE |＝|PG |＋|PE |＝|EG |＝26>|HE |＝23，所以点P 的轨迹C 是以H ，E 为焦点的椭圆，且a ＝6，c ＝3，则b ＝3，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1. 若选③，设P (x ，y )，S (x ′，0)，T (0，y ′)，则x ′2＋y ′2＝9，(*)因为OP →＝63OS →＋33OT →， 所以⎩⎨⎧ x ＝63x ′，y ＝33y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝62x ，y ′＝3y ，将其代入(*)，得x 26＋y 23＝1， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)当过点A 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，切线方程为x ＝2，x ＝－2， 当切线方程为x ＝2时，M (2，2)，N (2，－2)，以MN 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝2.①当切线方程为x ＝－2时，M (－2，2)，N (－2，－2)，以MN 为直径的圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.②由①②联立，可解得交点为(0,0)．当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋m ， 即|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1)． 联立切线与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，并消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝－8(m 2－6k 2－3)＝－8(2k 2＋2－6k 2－3)＝8(4k 2＋1)>0， 所以切线与椭圆C 恒有两个交点．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2， 因为OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·2m 2－61＋2k 2＋km ·－4km 1＋2k 2＋m 2 ＝3m 2－6－6k 21＋2k 2＝3×2(k 2＋1)－6－6k 21＋2k 2＝0. 所以OM ⊥ON ，所以以MN 为直径的圆过原点(0,0)，综上所述，以MN 为直径的圆过定点(0,0)．。
专题六 第3讲 母题突破1 范围、最值问题(原卷版)
第3讲 圆锥曲线的综合问题母题突破1 范围、最值问题母题 (2020·长沙模拟)已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1.若椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记△F 1MN 的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．[子题1] (2020·安徽肥东县高级中学调研)过点M(0,2)的直线l 与椭圆E ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．[子题2] 已知A(2,1)，过点B(3,0)且斜率大于0的直线l 与椭圆E ：x 26＋y 23＝1相交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 与x 轴分别相交于M ，N 两点，求|BM|＋|BN|的取值范围．【拓展训练】1．设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆C 1：x 24＋y 2＝1交于不同的两点P ，Q ，若O 在以线段PQ 为直径的圆的外部，求直线l 的斜率k 的取值范围．2．(2020·蚌埠模拟)直线y＝kx＋2交抛物线C：x2＝4y于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，若l1，l2分别交x轴于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值．专题训练1．(2020·潍坊模拟)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1,1)．(1)求抛物线E的标准方程；(2)若B，C为抛物线E上的两个动点(异于点A)，且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l ：x ＝4左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH|＝2|MF|，记动点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l ′交曲线C 于A ，B 两点，设AF →＝λFB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求|AB|的取值范围．。
专题六 第3讲 母题突破3 定值问题(解析版)
母题突破3 定值问题母题 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N.(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．思路分析❶联立l ，C 的方程，由判别式及PA ，PB 与y 轴有交点求斜率的取值范围 ↓❷用A ，B 坐标表示M ，N 坐标 ↓❸用M ，N 坐标表示λ，μ ↓❹利用根与系数的关系计算1λ＋1μ↓❺求出1λ＋1μ为定值【解析】(1)解 将点P 代入C 的方程得4＝2p ，即p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，显然l 斜率存在且不为0，设为k ，则l ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，(*)由已知，方程(*)有两个不同的根，且1不是方程的根(因为PA ，PB 都与y 轴有交点)， 所以Δ＝－16k ＋16>0且k 2＋(2k －4)＋1≠0， 即k<0或0<k<1，且k ≠－3，且k ≠1， 所以k<0或0<k<1，且k ≠－3，即直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 直线PA 方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0得y ＝－y 1－2x 1－1＋2，即点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 1－2x 1－1＋2， 所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 1－2x 1－1＋1， 又QO →＝(0，－1)，QM →＝λQO →， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 1－2x 1－1＋1＝λ(0，－1)， 所以λ＝y 1－2x 1－1－1＝y 1－x 1－1x 1－1，1λ＝x 1－1y 1－x 1－1，又点A(x 1，y 1)在直线l ：y ＝kx ＋1上，所以1λ＝x 1－1kx 1－x 1＝x 1－1k －1x 1＝1k －1－1k －1x 1，同理1μ＝1k －1－1k －1x 2.由(1)中方程(*)及根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2，所以1λ＋1μ＝1k －1－1k －1x 1＋1k －1－1k －1x 2＝2k －1－1k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k －1－1k －1·x 1＋x 2x 1x 2＝2k －1－1k －1·－2k ＋41＝2k －2k －1＝2，即1λ＋1μ为定值2. [子题1] 设直线l ：y ＝kx ＋t(t ≠0)与椭圆C ：x 24＋y22＝1相交于A ，B 两点，若以OA ，OB为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值． 证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t t ≠0，x 24＋y22＝1，联立，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt)2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8(4k 2－t 2＋2)>0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2t 2－22k 2＋1， 所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2t2k 2＋1， 因为四边形OAPB 为平行四边形，所以OP →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt2k 2＋1，2t 2k 2＋1，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 2k 2＋1，2t 2k 2＋1.又因为点P 在椭圆上， 所以4k 2t22k 2＋12＋2t 22k 2＋12＝1，即t 2＝2k 2＋12. 因为|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k222k 2＋1－t22k 2＋1＝231＋k 22k 2＋1，又点O 到直线l 的距离d ＝|t|1＋k2，所以平行四边形OAPB 的面积S ▱OAPB ＝2S △OAB ＝|AB|·d ＝23|t|2k 2＋1＝62k 2＋12k 2＋1＝6，即平行四边形OAPB 的面积为定值．[子题2] (2020·福州质检)直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1有且只有一个公共点P ，l 与圆x2＋y 2＝6交于A ，B 两点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值． 证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝±2； 当x ＝2时，A(2，2)，B(2，－2)，则k 1·k 2＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12， 当x ＝－2时，A(－2，2)，B(－2，－2)，则k 1·k 2＝－22×22＝－12. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，由题意Δ＝(4km)2－4(1＋2k 2)(2m 2－4)＝0， 得m 2＝4k 2＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝6，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－6＝0，依题意，Δ>0，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－61＋k 2，所以k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝kx 1＋mkx 2＋mx 1x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2·m 2－61＋k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 1＋k 2＋m 2m 2－61＋k 2＝m 2－6k 2m 2－6＝4k 2＋2－6k 24k 2＋2－6＝－12， 所以k 1·k 2为定值．规律方法 求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 【拓展训练】1．在平面直角坐标系xOy 中，过点M(4,0)且斜率为k 的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)当k ≠0时，若点A 关于x 轴为对称点为P ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：|ON|为定值． 【解析】(1)解 过点M(4,0)且斜率为k 的直线的方程为y ＝k(x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2－8k 2x ＋16k 2－1＝0，因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(－8k 2)2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14(16k 2－1)>0，解得－36<k<36，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36. (2)证明 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P(x 1，－y 1)， 由题意知x 1≠x 2，y 1≠y 2，由(1)得x 1＋x 2＝8k2k 2＋14，x 1·x 2＝16k 2－1k 2＋14，直线BP 的方程为x －x 1x 2－x 1＝y ＋y 1y 2＋y 1，令y ＝0，得N 点的横坐标为y 1x 2－x 1y 2＋y 1＋x 1，又y 1＝k(x 1－4)，y 2＝k(x 2－4)，故|ON|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1x 2－x 1y 2＋y 1＋x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1x 2＋x 1y 2y 2＋y 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2kx 1x 2－4k x 1＋x 2k x 1＋x 2－8k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ·16k 2－1k 2＋14－4k ·8k 2k 2＋14k ·8k 2k 2＋14－8k＝1.即|ON|为定值1. 2．(2020·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点A(2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ|为定值． 【解析】(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)证明 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)·4km 1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0，整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A(2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1)．所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1，－y 1)． 由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ|＝12|AP|＝223.若D 与P 重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ|为定值． 专题强化练1．过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0的直线交椭圆C ：x 22＋y 2＝1于E ，F 两点，求证：1|EP|2＋1|FP|2为定值．【解析】证明 当直线EF 的斜率为零时，则点E ，F 为椭圆长轴的端点， 则1|EP|2＋1|FP|2＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－632＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋632＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋632＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－632⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＝4＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝3，当直线EF 与x 轴不重合时，设直线EF 的方程为x ＝ty ＋63，设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋63，x 22＋y 2＝1，消去x 得(t 2＋2)y 2＋26t 3y －43＝0，Δ＝83t 2＋163(t 2＋2)＝8t 2＋323>0恒成立，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－26t3t 2＋2，y 1y 2＝－43t 2＋2.因此，1|EP|2＋1|FP|2＝11＋t2y21＋11＋t2y 22＝y 21＋y 221＋t 2y 21y 22＝y 1＋y 22－2y 1y 21＋t 2y 21y 22 ＝8t 23t 2＋22＋83t 2＋21＋t2·169t 2＋22＝16t 2＋13t 2＋221＋t2·169t 2＋22＝163×916＝3， 综上所述，1|EP|2＋1|FP|2＝3(定值)．2．(2020·泰安模拟)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，点O 到直线AB 的距离为255，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若直线l ∥直线AB ，设直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值．【解析】(1)解 直线AB 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则aba 2＋b 2＝255， 因为△OAB 的面积为1，所以12ab ＝1，即ab ＝2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 直线AB 的斜率为－12，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，代入x 24＋y 2＝1，得2y 2－2ty ＋t 2－1＝0，依题意得，Δ>0，则y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝t 2－12，所以k 1k 2＝y 1x 1－2·y 2－1x 2＝y 1y 2－y 1x 1x 2－2x 2， 因为x 1x 2－2x 2＝4(t －y 1)(t －y 2)－4(t －y 2) ＝4[t 2－t(y 1＋y 2)＋y 1y 2－t ＋y 2]＝4[(y 1＋y 2)2－(y 1＋y 2)(y 1＋y 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋y 2]＝4(y 1y 2－y 1)， 所以k 1k 2＝14为定值．。
高考专题突破范围、最值问题
范围、最值问题题型一范围问题2 21 ＋ 1 ＝ 3e，此中 O 为原 例 1设椭圆x2＋y＝ 1(a>3)的右焦点为 F ，右极点为 A.已知a 3|OF | |OA | |FA|点， e 为椭圆的离心率 .(1)求椭圆的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上 )，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H .若 BF ⊥ HF ，且∠ MOA ≤∠ MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围 .解 (1) 设 F(c,0)，由 1 ＋ 1 ＝3e，|OF | |OA| |FA|即 1＋1＝ 3c ，可得 a 2－ c 2＝ 3c 2.c a a a － c又 a 2－ c 2＝ b 2＝ 3，所以 c 2＝ 1，所以 a 2＝ 4.22xy所以椭圆的方程为＋ ＝ 1.(2)设直线 l 的斜率为 k(k ≠ 0)，则直线 l 的方程为 y ＝ k( x － 2).x 2 y 2 设 B( x B ， y B )，由方程组4 ＋3 ＝ 1， 消去 y ， y ＝ k x － 2整理得 (4k 2＋3)x 2－ 16k 2 x ＋ 16k 2－ 12＝ 0.28k －6由题意得 x B ＝8k 2－ 6－12k2，进而 y B ＝2.4k ＋ 3 4k ＋ 3由 (1) 知， F(1,0) ，设 H(0， y H )，→→9－ 4k 212k.有 FH ＝ (－ 1， y H )， BF ＝2，2＋ 34k ＋ 3 4k→ →由 BF ⊥ HF ，得 BF ·FH ＝ 0，2－9 12ky H24k ＝ 0，解得 y H ＝ 9－ 4k. 所以 2 ＋212k 4k ＋34k ＋ 31 9－ 4k 2所以直线 MH 的方程为 y ＝－ k x ＋ 12k .y ＝ k x － 2 ，设 M(x M ， y M )，由方程组21 9－ 4k ，y ＝－ k x ＋ 12k2 20k ＋9消去y ，解得 xM＝12 k 2＋ 1 .在 △ MAO 中，由 ∠ MOA ≤∠ MAO ，得 |MA |≤ |MO|，即 (x M －2) 2＋ y 2M ≤ x 2M ＋ y 2M ，20k 2＋ 9化简，得 x M ≥ 1，即 12 k 2＋ 1 ≥ 1，66解得 k ≤ － 4 或 k ≥ 4 . 所以直线 l 的斜率的取值范围为－ ∞ ，－6∪6，＋ ∞.44思想升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应试虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或鉴别式结构不等关系，进而确立参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这种问题的中心是成立两个参数之间的等量关系 .(3)利用隐含的不等关系成立不等式，进而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系结构不等式，进而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其余变量的函数，求其值域，进而确立参数的取值范围 .追踪训练 1(2018 ·浙江 )如图，已知点P 是y 轴左边(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝ 4x 上存在不一样的两点A ，B 知足 PA ， PB 的中点均在C 上 .(1)设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；2y 2(2)若 P 是半椭圆 x ＋ ＝ 1(x<0) 上的动点，求△ PAB 面积的取值范围 . 41 21 2 (1)证明 设 P(x 0， y 0)，A 4y 1， y 1 ， B 4y 2， y2 . 由于 PA ，PB 的中点在抛物线上，12＋ x 0所以 y ，y 为方程y ＋y4y2＝4·，1222即 y 2－ 2y 0y ＋ 8x 0－y 20＝0 的两个不一样的实根 .所以 y1＋y2＝ 2y0，所以 PM 垂直于 y 轴 .(2)解由 (1)可知y1＋ y2＝2y0，y1y2＝ 8x0－ y02，所以12232|PM|＝ (y1＋ y2 )－ x0＝ y0－ 3x0，84－ y2－4x |y12|＝2 2 y00 .S△PAB＝12|PM | ·|y1－ y2|＝342( y02－ 4x0)32.2由于 x20＋y40＝1( －1≤ x0<0) ，所以 y20－4x0＝－ 4x20－ 4x0＋ 4∈[4,5] ，所以△PAB 面积的取值范围是1510 6 2，.4题型二最值问题命题点 1 利用三角函数有界性求最值例 2过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A，B 两点，点 O 是坐标原点，则 |AF| ·|BF |的最小值是 ()B. 2C.4D.2 2答案C分析设直线 AB 的倾斜角为θ，可得 |AF |＝2， |BF|＝2，则 |AF| ·|BF|＝21－cos θ1－ cos θ1＋ cos θ×2＝42≥ 4. 1＋ cos θ sin θ命题点 2 数形联合利用几何性质求最值例 3在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x － y＋ 1＝ 0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 ________.答案2 2分析双曲线 x2－y2＝ 1 的渐近线为 x±y＝0，直线 x－ y＋ 1＝0 与渐近线 x－ y＝ 0 平行，故两|1－ 0|2平行线间的距离d＝12＋－12＝2 .由点 P 到直线 x－ y＋1＝ 0的距离大于 c 恒成立，得2，故 c 的最大值为2 c≤2 2.命题点 3 转变为函数利用基本不等式或二次函数求最值22例 4 已知椭圆 C ： x2＋y2＝1(a>b>0) ，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为3 b .a b3(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若点 M 3在椭圆 C 上，可是原点O 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ，B 两点，与直线3， 2OM 订交于点 N ，且 N 是线段 AB 的中点，求△ OAB 面积的最大值 .3 2 12解 (1) 由题意，得 a －c ＝b ，则 (a － c)＝ b ，33222 21 22联合 b＝a－c ，得 (a － c) ＝(a － c ) ，3即 2c 2－ 3ac ＋ a 2＝ 0，亦即 2e 2－ 3e ＋ 1＝ 0，联合 0<e<1 ，解得 e ＝12.所以椭圆 C 的离心率为12.(2)由 (1)得 a ＝ 2c ，则 b 2＝ 3c 2.3代入椭圆方程22将 Mx 2y23， 2 4c ＋3c ＝ 1，解得 c ＝ 1.x 2y 2所以椭圆方程为 4 ＋ 3 ＝ 1.易得直线1OM 的方程为 y ＝ x.2当直线 l 的斜率不存在时，线段 AB 的中点不在直线1y ＝ x 上，故直线 l 的斜率存在 .2设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m(m ≠ 0)，与x 2 y 22 2 ＋ 8kmx ＋ 4m 2＝0， ＋＝ 1 联立消 y 得(3 ＋4k )x－ 124 3由题意得＝ 64k 2m 2－4(3＋ 4k 2)(4m 2－ 12)＝ 48(3＋4k 2－ m 2)>0.设 A( x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1＋ x 2＝－ 8km2－122， x 1x 2＝ 4m 2 .3＋ 4k 3＋ 4k由于 y 1＋y 2 ＝ k(x 1＋ x 2)＋ 2m ＝6m2，3＋ 4k4km3m所以线段 AB 的中点 N 的坐标为－3＋ 4k 2， 3＋ 4k 2，1由于点 N 在直线 y ＝2x 上，所以－4km2＝2× 3m 2，3＋ 4k3＋ 4k3解得 k ＝－ 2.所以 ＝ 48(12－ m 2 )>0，解得－ 2 3<m<2 3，且 m ≠ 0，3 2|AB|＝1＋－2|x 2－ x 1|＝213· x 1＋ x 2 2 －4x 1x 2＝ 13· m 2－ 4m 2－ 12＝ 3912－ m 2.2 3 6又原点 O 到直线 l 的距离 d ＝2|m|，13 所以 S1 × 392 ×2|m|OAB ＝12－m△261322＝312－m 2m 2≤12－ m ＋ m3·2＝ 3.66当且仅当 12－m 2＝ m 2，即 m ＝ ± 6时等号成立，切合－ 2 3<m<2 3，且 m ≠0.所以 △OAB 面积的最大值为 3.思想升华办理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题种类许多，解法灵巧多变，但整体上主要有两种方法：一是利用几何法，即经过利用曲线的定义、简单性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法， 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 (些)参数的函数 (分析式 )，而后利用函数方法、不等式方法等进行求解.追踪训练 2 (2018 ·马鞍山模拟 ) 已知椭圆x22上两个不一样的点 A ，B 对于直线y ＝ mx ＋1＋ y ＝ 122对称 .(1)务实数 m 的取值范围；(2)求△ AOB 面积的最大值 (O 为坐标原点 ).解(1) 由题意知 m ≠ 0，可设直线 AB 的方程为x 22 12 ＋ y ＝1，y ＝－ m x ＋ b.由1y ＝－ m x ＋ b ，消去 y ，得1 ＋ 12 2b 2－ 1＝ 0.22 x －m x ＋ bm由于直线 y ＝－12＝－ 2b 2＋ 2＋ 42>0， ①x ＋ b 与椭圆x＋ y 2＝ 1 有两个不一样的交点，所以m 2m将 AB 的中点 M 2mb， m 2b 代入直线方程2 ＋22 2 ＋ 2 y ＝mx ＋1，解得 b ＝－ m2 ， ②m ＋2 m 2 2m66由 ①② 得 m<－ 3 或 m> 3 .1 ∈6 ∪6，则 t 2∈3－0，2 .(2)令 t ＝ m2 ， 00， 2423 则 |AB|＝ t 2＋ 1· － 2t ＋ 2t＋2，21t ＋ 2t 2＋ 1 且 O 到直线 AB 的距离为d ＝ 2.2t ＋ 1设 △AOB 的面积为 S(t)，1|AB| d ·＝1 －2 212＋ 2≤2 ，所以 S( t)＝2t －2222123当且仅当 t ＝2时，等号成立，此时知足t ∈ 0，2 .2故 △AOB 面积的最大值为2 .1.已知 P(x 0， y 0)是椭圆 C ：x 2 2 是 C 的两个焦点，若 → →＋ y ＝ 1 上的一点， F 1， F 2PF 1·PF 2<0 ，则4x 0 的取值范围是 ( )A. －2 6， 2 6B. －2 3，2 33333C. － 3，3D. － 6，63 3 33答案 A分析由题意可知， F 1(－3， 0)， F 2( 3， 0)，→ → 3)＋ y 02＝ x 02＋ y 02－ 3<0 ，则 PF 1·PF 2＝ (x 0＋ 3)(x 0－22x 0点 P 在椭圆上，则 y 0 ＝ 1－ 4，2x 06，故 x 02＋ 1－ 4 － 3<0 ，解得－ 23 6 <x 0< 2 3即x0的取值范围是－2 6，2 6. 332.定长为 4 的线段 MN 的两头点在抛物线y2＝ x 上挪动，设点P 为线段 MN 的中点，则点P 到 y 轴距离的最小值为 ()7B.4答案B分析设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，抛物线 y2＝ x 的焦点为 F 1， 0 ，抛物线的准线为x＝－1，44所求的距离 d＝x1＋x2x1＋1＋ x2＋11＝|MF |＋ |NF|－1，所以 |MF |＋ |NF|－1≥|MN|－1＝7＝44－2242424244(两边之和大于第三边且M， N， F 三点共线时取等号 ).3.过抛物线2π在y ＝ x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直线 l 的倾斜角θ≥，点 A4 x 轴上方，则 |FA|的取值范围是 ()1， 11，＋∞A. 4B. 41，＋∞ D. 1， 1＋2C. 242答案D分析记点 A 的横坐标是 x1，则有 |AF|＝ x1＋1 4＝1＋ |AF|cos θ＋1＝1＋ |AF|cos θ，44 211|AF|(1－ cos θ)＝2， |AF|＝2 1－ cos θ.πθ≤211≤1＝1＋2由≤ θ<π得－ 1<cos， 2－2≤2(1－ cos θ)<4 ， <2－ 2，4242 1－ cos θ2即 |AF|的取值范围是124， 1＋2 .224.(2018 重·庆质检 )已知 F 1， F分别是双曲线x2y22a－b＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上随意一点 P 都有 |PF 2|2＝ 8a|PF 1|(a 为实半轴长 ) ，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 () A.(1 ，＋∞ ) B.(2,3]C.(1,3]D.(1,2]答案 C分析由 P 是双曲线左支上随意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝ 2a＋ |PF1|，|PF 2|2 4a 2所以 1 ＝ |PF 1|＋ 1 ＋4a ＝ 8a ，|PF | |PF | ∴ |PF 1|＝ 2a ， |PF 2|＝ 4a ，在 △PF 1F 2 中， |PF 1 |＋ |PF 2|≥ |F 1F 2|，即 2a ＋ 4a ≥ 2c ，所以 e ＝ c≤3. a又 e>1，所以 1<e ≤ 3.应选 C.5.设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线y 2＝ 2px(p>0) 上随意一点， M 是线段 PF 上的点，且 |PM |＝2|MF |，则直线 OM 的斜率的最大值为 ()2 B.2C. 3A. 23 3答案 A分析由题意可得 Fp，设 Py 02， 0， y0 (y 0>0) ，22p→→→→ 1 →→ 1 →→则 OM ＝ OF＋ FM ＝ OF ＋ FP ＝ OF ＋(OP － OF)33→ → ＝y 02＋ p y 0，＝ 1OP ＋2OF， 3336p 3y 0可得 k ＝ 2 3 ＝ 1 ≤ 1＝ 2y 0＋ p y 0 ＋ p 2 y 0 p 2 .3 y 0 ·6p 2p2p y 0 当且仅当 y 0 p A.＝ 0时获得等号，应选2p yx 2 26.已知 M ，N 为双曲线 4 － y ＝ 1 上对于坐标原点 O 对称的两点， P 为双曲线上异于 M ，N 的点，若直线 PM 的斜率的取值范围是1， 2 ，则直线 PN 的斜率的取值范围是()21 111A. 8， 2B. － 2，－ 81， 1D.－1，－11， 1 C. 8 2 28∪8 2答案 C分析设 M(x 0，y 0)，N(－ x 0，－y 0 )，P(m ，n)( m ≠ ±x 0)，则 k PM ＝n －y 0，k PN ＝n ＋y 0.由于点 P ，m － x 0m ＋x 0x 22m 2 2x 022m － x 0 m ＋ x 0M ， N 均在双曲线 4 － y ＝ 1 上，所以 4 －n ＝1， 4 － y 0＝ 1，两式相减得4－ (n－ y 0)(n ＋ y 0) ＝0，化简得 n －y 0 n ＋ y 0 ＝ 1，即 k PM ·k PN ＝ 1，又 1≤ k PM ≤ 2，·m － x 0 m ＋ x 0 4 4 2 即 1≤ 1 ≤2，解得 1≤ k ≤ 1，应选 C.2 4k PN 8 PN 2x 2237.椭圆 C ： a 2＋ y ＝ 1(a>1) 的离心率为 2 ， F 1，F 2 是 C 的两个焦点，过 F 1 的直线 l 与 C 交于A ，B 两点，则 |AF 2 |＋ |BF 2|的最大值等于 ________.答案7由于椭圆 C 的离心率为 3a 2 － 13 分析 2 ，所以a ＝2 ，解得 a ＝ 2，由椭圆定义得 |AF 2|＋ |BF 2|＋ |AB|＝ 4a ＝ 8，即 |AF 2|＋ |BF 2|＝ 8－ |AB|，2而由焦点弦性质，知当AB ⊥ x 轴时， |AB|取最小值 2× b＝ 1，所以 |AF 2|＋ |BF 2|的最大值等于a8－ 1＝7.22xy8.(2018 开·封模拟 )已知 F 1， F 2 是双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a>0 ，b>0) 的左、右焦点，点 P 在双曲线的 右支上，假如 |PF 1|＝ t|PF 2|(t ∈(1,3]) ，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________. 答案 (0， 3]分析由双曲线的定义及题意可得2at ，|PF 12|PF 1|＝ t － 1|－ |PF |＝ 2a ，解得12|PF 2a|＝ t|PF |，|PF 2|＝ t － 1.又 |PF 1|＋ |PF 2|≥ 2c ，∴ |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2at ＋ 2a≥2c ，t － 1 t － 1整理得 e ＝ c ≤t ＋ 1＝1＋ 2 ，a t － 1 t － 1 ∵ 1<t ≤ 3， ∴ 1＋2≥2， ∴ 1<e ≤2.t － 12c2－ a2又 b2 a 22－ 1，a＝＝e2b∴ 0< b2≤3，故 0< ≤ 3.aa∴ 双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是 (0， 3].x 2 y 29.(2019 洛·阳模拟 )已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a>0 ，b>0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A ，B 两点，AF 2，BF 2 分别交 y 轴于 P ，Q 两点，若△ PQF 2的周长为 16，则b的最大值为 ________.a ＋ 14 答案3分析 由题意，得 △ ABF 2 的周长为 32， ∴ |AF 2|＋ |BF 2|＋ |AB|＝ 32，∵ |AF 2|＋ |BF 2|－ |AB|＝ 4a ， |AB |＝2b 2，a∴ 4b 2＝ 32－ 4a ， ∴ b ＝2a 8a － a (0< a<8)，∴b＝ 8a － a 2，令 t ＝ a ＋ 1(1<t<9) ，a ＋ 1 a ＋1则b＝8 t －1 － t － 1 210t － 9－ t 2a ＋ 1t 2＝t 2＝－92＋10－ 1，tt令 m ＝11b＝ －9m 2＋ 10m － 1，t9<m<1 ，则 a ＋ 1当 m ＝－105 412 时，b的最大值为－ 9× 25 ＋ 504 2× －9＝，即 a ＝ ， b ＝5－1＝ .95a ＋ 181 9 32210.(2018 上·饶模拟 )已知斜率为 k 的直线与椭圆 x＋ y＝1 交于 A ， B 两点，弦 AB 的中垂线交4 3x 轴于点 P(x 0， 0)，则 x 0 的取值范围是 ____________.11答案－ ，3x 2＋ 4y 2＝ 12，分析设直线的方程为 y ＝ kx ＋ m ，联立y ＝ kx ＋ m ，化简得 (3＋ 4k 2)x 2＋ 8kmx ＋4m 2－ 12＝0，所以 2 222－ 12)>0，＝ 64k m － 4(3＋ 4k )(4m 所以 4k 2－m 2＋ 3>0.设 A( x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，由题意得－ 8kmx 1＋ x 2 ＝3＋ 4k 2，4m 2－ 12x 1·x 2＝3＋ 4k 2，所以 y 1＋y 2 ＝ kx 1＋m ＋ kx 2＋ m ＝ k(x 1＋ x 2)＋ 2m28k m6m＝ 2m －2＝ 2，所以 x 1＋ x 2＝ － 4km ， y 1＋ y 2＝3m ， 23＋4k 223＋ 4k 2－4km3m所以线段 AB 的中点坐标为2，2 ，当 k ＝0 时，弦 AB 的中垂线为 y 轴，此时 x 0＝ 0，当 k ≠0 时，线段 AB 的垂直均分线方程为y －3m 2＝－ 1x ＋ 4km 2 ，3＋4k k 3＋ 4k 把点 P(x 0 ，0)代入上边的方程得 x 0(3＋ 4k 2) ＝－ km.所以 m ＝－ x 0 3＋4k222k，代入 4k － m ＋ 3>0.24k 4＋ 3k 22整理得 x 0<16k 4＋ 24k 2＋ 9，令 k ＝ t(t>0)，211 12 4t ＋ 3t＝＝， x 0<223 <16t ＋ 24t ＋ 916t ＋ 24t ＋ 944t 2＋ 3t4＋ t1 1综上，－ 2<x 0<2.11.已知曲线 C ：y 2＝ 4x ，曲线 M ：(x － 1)2＋ y 2＝ 4(x ≥ 1)，直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点， O 为坐标原点 .→ →(1)若 OA ·OB ＝－ 4，求证：直线 l 恒过定点；→ →(2)若直线 l 与曲线 M 相切，求 PA ·PB(点 P 坐标为 (1,0))的取值范围 .(1)证明 由已知得直线 l 的斜率不为 0，可设 l ： x ＝my ＋n ，A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， x ＝ my ＋n ，由得 y 2－ 4my －4n ＝ 0，y 2 ＝ 4x∴ y 1＋ y 2＝ 4m ， y 1·y 2＝－ 4n.22∴ x 1＋ x 2＝ 4m ＋ 2n ， x 1·x 2＝ n .→ →∴ 由OA ·OB ＝－ 4 可得，x 1·x 2＋y 1·y 2＝ n 2－ 4n ＝－ 4，解得 n ＝ 2. ∴ l ： x ＝ my ＋ 2，∴ 直线 l 恒过定点 (2,0).(2)解直线 l 与曲线 M 相切， M(1,0) ，明显 n ≥3.∴|1－n|2＝ 2，整理得 4m 2＝ n 2－2n －3.① 1＋ m由 (1) 及 ① 可得，→ →PA ·PB ＝ (x 1－ 1，y 1) ·(x 2－1，y 2)＝ (x 1－ 1)(x 2 －1)＋ y 1y 2 ＝ x 1x 2－ (x 1＋ x 2)＋ 1＋ y 1y 2 ＝ n 2－ 4m 2－ 2n ＋1－ 4n＝ n 2－ 4m 2－ 6n ＋1＝ 4－ 4n ，→ →∴ PA ·PB ≤－ 8，→ →即 PA ·PB 的取值范围是 (－ ∞ ，－ 8].12.已知抛物线 C ： y 2＝ 2px(p>0) 的焦点为 F ，A 为 C 上位于第一象限的随意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D .(1)若当点 A 的横坐标为 3，且△ ADF 为等边三角形，求 C 的方程；(2)对于 (1)中求出的抛物线C ，若点 D(x 0 ，0)x 0≥ 1，记点 B 对于 x 轴的对称点为 E ，AE 交 x2轴于点 P ，且 AP ⊥ BP ，求证：点 P 的坐标为 (－ x 0，0)，并求点 P 到直线 AB 的距离 d 的取值 范围 .解 (1) 由题意知 F p ， 0 ， |FA|＝ 3＋p，22则 D(3＋ p ， 0)，FD 的中点坐标为 32＋3p4， 0 ，则 3＋3p＝ 3，解得 p ＝ 2，2 4故 C 的方程为 y 2＝ 4x.(2)依题意可设直线 AB 的方程为 x ＝my ＋ x 0(m ≠ 0)，A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，y 2＝ 4x ，则 E( x 2，－ y 2 )，由x ＝ my ＋ x 0，消去 x ，得 y 2－ 4my － 4x 0＝ 0， x 0≥1.2所以＝ 16m 2＋ 16x 0>0， y 1＋ y 2＝ 4m ， y 1y 2 ＝－ 4x 0，设 P 的坐标为 (x P ， 0)，→→则 PE ＝ (x 2－ x P ，－ y 2)， PA ＝ (x 1－x P ，y 1 )，→ → ＋y 2 (x 1－ x P )＝ 0，由题意知 PE ∥ PA ，所以 (x 2－ x P )y 1 2 2即x 2y 1＋ y 2x 1＝ y 2y 1＋ y 1y 2＝ y 1y 2 y 1＋y2 44＝ (y 1＋ y 2) x P ，y 1y 2明显 y 1＋y 2 ＝ 4m ≠0，所以 x P ＝ ＝－ x 0，即证 P(－ x 0， 0)，由题意知 △ EPB 为等腰直角三角形，所以 k AP ＝ 1，即 y 1＋y 2 ＝1，也即 y 1＋ y 2＝ 1， x 1－x 2 1 22 4 y 1－ y 2所以 y 1－y 2 ＝ 4，所以 (y 1＋ y 2)2－ 4y 1y 2＝ 16， 即 16m 2＋ 16x 0＝ 16， m 2＝1－ x 0， x 0<1 ，又由于 x 0≥ 1，所以 1≤ x 0<1 ，2 2d ＝|－ x 0－ x 0|2x 0 ＝2x 0，1＋m2＝1＋ m22－ x 0令 2－ x 0＝ t ∈ 1， 26， x 0＝ 2－ t 2，d ＝ 2 2－t 2＝ 4－ 2t ，t t易知 f(t)＝4－ 2t 在 1，6上是减函数，t 2 所以 d ∈6， 2 .3所以 d 的取值范围是36， 2 .x 2 y 213.已知双曲线 Γ：a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0)的右极点为 A ，与 x 轴平行的直线交 Γ于 B ，C 两点， 记∠ BAC ＝ θ，若 Γ的离心率为 2，则 ( )A. θ∈ 0， πB. θ＝π2 2 3π 3πC.θ∈ ， πD. θ＝4 4答案B分析 ∵ e ＝ c＝ 2， ∴ c ＝ 2a ， ∴ b 2＝ c 2－ a 2＝ a 2 ，a∴ 双曲线方程可变形为 x 2－ y 2＝ a 2.设 B(x 0， y 0)，由对称性可知 C(－ x 0， y 0)， ∵ 点 B( x 0， y 0)在双曲线上，→→→ →∴ x 02－ y 02＝ a 2.∵ A(a,0)， ∴AB ＝(x 0 － a ， y 0)，AC ＝ ( －x 0 －a ， y 0 )，∴ AB ·AC ＝(x 0－ a) ·(－ x 0－ a)→ → π＋ y 02＝ a 2－ x 02＋ y 02＝0， ∴ AB ⊥ AC ，即 θ＝ .应选 B.214.若点 O 和点 F 分别为椭圆x22→ →＋y＝ 1 的中心和左焦点， 点 P 为椭圆上的随意一点， 则 OP ·FP98的最小值为 __________.答案62 2分析点 P 为椭圆 x ＋y＝ 1 上的随意一点，98设 P( x ，y)(－ 3≤ x ≤ 3，－ 2 2≤ y ≤ 2 2)，由题意得左焦点 F(－ 1,0)，→ → ∴ OP ＝ (x ， y)，FP ＝ (x ＋ 1， y)，→ →72－ 8x 2 ∴ OP ·FP ＝ x(x ＋ 1)＋ y 2＝ x 2＋ x ＋9＝19·x ＋92 2＋234.∵ － 3≤ x ≤ 3，∴ 3≤ x ＋ 9≤15，2 2 2 ∴94≤ x ＋92 2≤2254，∴ 1≤1 x ＋ 92≤ 25，4 9241 9223≤ 12， ∴ 6≤ ·x ＋2 ＋ 49→ →即 6≤OP ·FP ≤ 12.故最小值为 6.15.如图，由抛物线 y 2＝ 12x 与圆 E ： (x － 3)2＋ y 2＝ 16 的实线部分组成图形 Ω，过点 P(3,0)的直线一直与图形 Ω 中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为 ()A.[4,5]B.[7,8]C.[6,7]D.[5,6]答案B分析由题意可知抛物线y 2＝ 12x 的焦点为F(3,0) ，圆 (x － 3)2＋y 2＝16的圆心为 E(3,0) ，所以点 P ， F ， E三点重合，所以|PA|＝ 4，设B(x 0， y 0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝ x 0＋ 3，由2y ＝ 12x ，x 2＋ 6x － 7＝ 0，解得 x 1＝ 1， x 2＝－ 7(舍去 )，x － 3 得 (x － 3)2＋ 12x ＝ 16，整理得2＋ y 2＝ 16设圆 E 与抛物线交于C ，D 两点，所以 x C ＝ x D ＝1，所以 0≤x 0≤1，又 |AB|＝ |AP|＋ |BP |＝ 4＋x 0＋ 3＝ x 0＋ 7，所以 |AB|＝ x 0＋ 7∈ [7,8] ，应选 B.16.已知椭圆 C 1： x2－ y2＝ 1 与双曲线m ＋ 4 n 的取值范围 .∵椭圆 C ：x22解－y＝ 1，1m ＋4nC ：x 2 ＋y 2＝ 1 有同样的焦点，求椭圆 C 的离心率 e 2 m n 1 1∴ a 21＝ m ＋ 4，b 21＝－ n ， c 21＝m ＋ 4＋n ，e 21＝m ＋4＋n＝1＋ n .m ＋ 4m ＋ 422xy∵ 双曲线 C 2： m ＋ n ＝1，∴ a 22＝ m ， b 22＝－ n ， c 22＝ m － n ，∴ 由条件知 m ＋ 4＋n ＝ m － n ，则22∴ e 1＝ 1－.由 m>0 得 m ＋ 4>4， 1 <1，－m ＋ 4 4n ＝－ 2，2>－ 2，m ＋44∴ 1－ 2 >1，即 e 21>1，而 0<e 1<1，m ＋ 4 222 ∴2 <e 1<1.。
备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之圆锥曲线：专题六 范围、最值问题
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围.II ．考场精彩·真题回放【例2】（2016全国乙理5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ).A. ()1,3-B.(-C.()0,3D.(【解析】 由222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，得223m n m -<<，所以焦距244c m ===，得1m =±， 因此13n -<<.故选A.【例4】（2016全国乙理20）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点且与轴不重合，交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】 (1)如图所示，圆A 的圆心为()1,0A -，半径4R =，因为//BE AC ，所以C EBD ∠=∠.又因为AC AD =，所以C EDB ∠=∠，于是EBD EDB ∠=∠ ，所以EB ED =.故4AE EB AE ED AD +=+==为定值. 又2AB =，点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，由1c =，2a =，得23b =.故点E 的轨迹1C 的方程为()221043x y y +=≠.（2）因为直线l 与x 轴不重合，故可设l 的方程为1x my =+，过B 且与l 垂直的直线方程为(1)y m x =-.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122634my y m +=-+，122934y y m ⋅=-+.得()2212134m MN m +=+.四边形MPNQ 的面积12S MN PQ =⋅=因为02≥m ，所以121123102≤+<m ，故3812<≤S .即四边形MPNQ面积的取值范围是⎡⎣.【例5】（2016全国甲理20）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】（1）当4t =时，由于AM AN =，根据对称性可知1AM k =，所以221432x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22234+21207+16+4=0x x x x +-=⇒，所以47M A x x ⋅=.又2A x =-，所以27M x =-， 所以212144222749AMNS ⎛⎫=⨯⨯-+=⎪⎝⎭△.（2）设直线x my a =-，1m k=，a =则()222222233013x my amy a a y a x y a=-⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩，()222360m a y may +-=，所以2263M may m a =+.同理222266313N ama n y a m a m --==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为2AM AN =，所以()222222332661333212m m ma ma a m m a a m m --⇒=>⇒<++-所以)12k m=∈.【例6】（2016天津理19）设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠…，求直线l 斜率的取值范围.设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ， 整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x 或346822+-=k k x .由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B. 由（1）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭.由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y ，消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO △中，由MOA MAO ∠∠…，得||||MA MO …，即2222(2)M M M M x y x y -++…，化简得1M x …，即22209112(1)k k ++…，解得4k …或4k …. 所以直线l的斜率的取值范围为6,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭.【例8】（2016山东理21）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+= (0)a b >>的离，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】（1=，可得：2a b =. 因为抛物线E 的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆C 的方程为2241x y +=. （2）（i ）设2,(0)2m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得'y x =，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l的方程为2()2my m x m-=-，即22my mx=-.312022241x x mxm+==+，将其代入22my mx=-得2022(41)mym=-+，因为014yx m=-，所以直线OD方程为14y xm=-.联立方程14y xmx m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得点M的纵坐标为14My=-，即点M在定直线41-=y上.（ii）由（i）知直线l方程为22mmxy-=，令0=x得22my-=，所以20,2mG⎛⎫-⎪⎝⎭，又21,,0,,22mP m F D⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32222,412(41)m mm m⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以)1(41||2121+==mmmGFS，)14(8)12(||||212222++=-⋅=mmmxmPMS，所以222221)12()1)(14(2+++=mmmSS，令122+=mt，则211)1)(12(2221++-=+-=tttttSS，当211=t，即2=t时，21SS取得最大值49，此时22=m，满足0>∆，所以点P的坐标为124⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为1,24⎛⎫⎪⎪⎝⎭.【例10】（2016江苏22）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y--=，抛物线()2:20C y px p =>．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；②求p 的取值范围．【解析】 （1）因为:20l x y --=，所以l 与x 轴的交点坐标为()2,0， 即抛物线的焦点为()2,0，所以22p=，故28y x =． （2）①设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则由21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，得21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又因为,P Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-，即122y y p +=-， 所以122y y p +=-，又因为PQ 中点一定在直线l 上， 所以12122222x x y y p ++=+=-，故线段PQ所以12212244y y p y y p p+=-⎧⎨=-⎩，即关于y 的二次方程222440y py p p ++-=有两个不等根， 因此()()2224440p p p ∆=-->，解得40,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 精彩解读【试题来源】人教版选修2-1第80页复习参考题A 组第5题【母题评析】本题是借助直线与双曲线的位置关系求斜率k 的取自范围，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.对范围、最值问题的考查是近几年高考试题的热点之一，范围、最值问题的考查形式很多，灵活多变.【思路方法】圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【命题意图】本类题主要考查数形结合思想、不等式与函数思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，难度中等偏上． 【难点中心】涉及距离和面积的最值问题需要表达距离和面积，建立距离或面积关于某一变量的函数关系，借助求函数最值的方法求出最值，而难点是表示距离或面积；求范围问题的难点是建立不等关系，有的利用判别式，有的利用题目所提供的或隐含的不等关系. III ．理论基础·解题原理考点一 利用定义求最值考点二 利用直线与圆锥曲线的位置关系（判别式）求范围 考点三 利用均值不等式求最值 考点四 利用对勾函数求最值 V ．举一反三·触类旁通 考向1 定义与求最值的交汇【例8】抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54)B ．(1，1)C ．(32，94)D ．(2，4)【解析】选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝（x －1）2＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1，1)．考向2 利用直线与圆锥曲线的位置关系求范围【例9】(2014·高考湖南卷)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)．代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＜0，∴k 2＞1.∴k ＞1或k ＜－1. 考向3.距离或面积与最值【例10】【2016届邯郸市一中高三十研】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，点12,F F 分别为其左右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x x x x k +=+=，244MN k ==+ ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--， 将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22k P x y Q x y x x x x k k -+==++，由弦长公式242PQ k ==+PMQN 的面积22221)2(2)k S MN PQ k k +==+，令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-，所以S ≥【例11】【2016年江西省九江市三模】如图所示，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，⊙222:b y x O =+，点A 是椭圆C 的左顶点直线AB 与⊙O 相切于点)1,1(-B . （1）求椭圆C 的方程；（2）若⊙O 的切线l 与椭圆C 相交于N M ,两点，求OMN ∆面积的取值范围.【解析】（1）∵)1,1(-B 在⊙222:b y x O =+上，∴2,22==b b .又AB 是⊙O 的切线，∴0,=⋅⊥OB AB OB AB ，即0)1,1()1,1(=+-⋅-a ，解得2=a .∴椭圆C 的方程为12422=+y x . （2）设直线m ty x l +=;，则2221222+=⇒=+t m t m .联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x mty x ，消去x 得：042)2(222=-+++m tmy y t .设),(),,(2211y x N y x M ，则,24,222221221+-=+-=+t m y y t tm y y 2)4(4)2(4112222222212+--++=-+=t m t m t ty y t MN ]2,0(111421428241222222222∈+++=++=++-+=t t t t t m t t ，当且仅当0=t 时“=”成立.∴]2,0(221∈⨯⨯=∆MN S OMN . 【例12】【2016年河南省八市重点高中质检】 已知椭圆22:12x E y +=的右焦点为F ，过F 作互相垂直的两条直线分别与E 相交于,A C 和,B D 四点. （1）四边形ABCD 能否成为平行四边形，请说明理由； （2）求四边形ABCD 面积的最小值. 【解析】设点1122(,),(,).A x y C x y(Ⅰ)若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 在点F 处互相平分，又F 的坐标为121,0,0,y y ∴+=（）,由椭圆的对称性知AC 垂直于x轴，则BD 垂直于y 轴，显然这时ABCD 不是平行四边形． ∴四边形ABCD 不可能成为平行四边形.(Ⅱ) 当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的方程为()()y k x k =-≠1，0 由=(),,y k x x y -⎧⎪⎨+=⎪⎩22112消去y 得，),(k x k x k +-+-=2222214220∴·=.k k x x x x k k-+=++，221212224221212∴=.k AC k ++1）2221同理得，)k BD k +=+2212.222214(1)S=|AC||BD|2(21)(2)k k k +⋅=++.令21k t +=,则24161192S t t=≥+-． 当直线AC的斜率不存在时，12.2||||||||AC BD S AC BD ==∴=⨯＝ 当直线AC的斜率为零时，|||12.2|||||AC BD S AC BD ==∴=⨯＝|162,9S >∴的最小值为169.考向3 定义与均值不等式的交汇【例13】若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．考向3 范围、最值问题与平面向量的交汇【例15】(2015·陕西西安模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值；(2)设过定点M (0，2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】(1)由已知得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设点P (x ，y )，则x 24＋y 2＝1，且－2≤x ≤2.所以PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－x 24＝34x 2－2，当x ＝0，即P (0，±1)时， (PF 1→·PF 2→)min ＝－2；当x ＝±2，即P (±2，0)时， (PF 1→·PF 2→)max ＝1.(2)由题意可知，过点M (0，2)的直线l 的斜率存在．即x 1x 2＋y 1y 2＞0， 即x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0， 所以(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ·－16k 1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4， 所以34＜k 2＜4，即k ∈(－2，－32)∪(32，2)． 考向4 利用点在圆外求范围【例16】【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，其右焦点()1,0F ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点不在圆2259x y +=内， 求m 的取值范围．。
专题53 最值、范围问题原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破和分层检测
专题53最值、范围问题（新高考专用）【真题自测】 (2)【考点突破】 (3)【考点1】最值问题 (3)【考点2】范围问题 (4)【分层检测】 (6)【基础篇】 (6)【能力篇】 (8)【培优篇】 (9)一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B ．3C ．3-D ．23-二、解答题2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2022·全国·高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．考点突破【考点1】最值问题一、解答题1．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，右顶点Q 与C 的上，下顶点所围成的三角形面积为(1)求C 的方程．(2)不过点Q 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，直线QA 与QB 的斜率之积恒为14．（i ）证明：直线l 过定点；（ii ）求QAB 面积的最大值．2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F =，过点2F 作两条直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，1F AB 的周长为(1)求C 的方程；(2)若1F AB 的面积为43，求1l 的方程；(3)若2l 与C 交于,M N 两点，且1l 的斜率是2l 的斜率的2倍，求MN AB -的最大值．3．（2024·上海·模拟预测）已知点()1,1P 在双曲线2222:1Γ-=x y a b的一条渐近线上，12,F F 为双曲线的左、右焦点且120F P F P ⋅= .(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P 的直线l 与双曲线Γ恰有一个公共点，求直线l 的方程；(3)过点P 的直线l 与双曲线左右两支分别交于点A B 、，求证： 2.7min AB <.4．（2024·山东济南·二模）已知点(B 是双曲线222:1x T y a-=上一点，T 在点B 处的切线与x 轴交于点A .(1)求双曲线T 的方程及点A 的坐标；(2)过A 且斜率非负的直线与T 的左､右支分别交于,N M .过N 做NP 垂直于x 轴交T 于P （当N 位于左顶点时认为N 与P 重合）.C 为圆22:(1)(2)1E x y -++=上任意一点，求四边形MBPC 的面积S 的最小值.5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为抛物线C ：()220y px p =>上的一点，直线x my n =+交C 于A ，B 两点，且直线PA ，PB 的斜率之积为2.(1)求C 的准线方程；(2)求34m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值.6．（2024·内蒙古·三模）已知O 为坐标原点，F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，M 是C 上一点，且32MF MO ==.(1)求C 的方程；(2),A B 是C 上两点（,A B 异于点O ），以AB 为直径的圆过点,O Q 为AB 的中点，求直线OQ 斜率的最大值.反思提升：处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【考点2】范围问题一、解答题1．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E ：222210x y a b a b+=（＞＞），直线1l 与E 交于()4,0M -，()2,2N -两点，点P 在线段MN 上（不含端点），过点P 的另一条直线2l 与E 交于A ，B 两点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若MP PN =，7(AP PB =-，点A 在第二象限，求直线2l 的斜率；(3)若直线MA ，MB 的斜率之和为2，求直线2l 的斜率的取值范围.2．（2024·重庆·三模）已知F ，C 分别是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点、上顶点，过原点的直线l 交椭圆Γ于A ，B 两点，满足π||||4,3AF BF FCO +=∠=．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设椭圆Γ的下顶点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线12,l l ，这两条直线与椭圆Γ的另一个交点分别为M ，N ，设直线1l 的斜率为(0),k k DMN ≠ 的面积为S ，当16||9>S k 时，求k 的取值范围．3．（2025·浙江·模拟预测）已知P 为双曲线C ：2221y x a-=上一点，O 为坐标原点，线段OP 的垂直平分线与双曲线C 相切．(1)若点P 是直线x =与圆222x y +=的交点，求a ；(2)求OP 的取值范围．4．（2024·贵州贵阳·三模）已知A 为双曲线22:13y C x -=的右顶点，过点(0,2)B 的直线l 交C 于D 、E 两点.(1)若AD AE ⊥，试求直线l 的斜率;(2)记双曲线C 的两条渐近线分别为12,l l ，过曲线C 的右支上一点P 作直线与1l ，2l 分别交于M 、N 两点，且M 、N 位于y 轴右侧，若满足1,,42MP PN λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求MON S 的取值范围（O 为坐标原点）.5．（2024·重庆·三模）设圆D ：222880x y x ++-=与抛物线C ：22(0)y px p =>交于E ，F 两点，已知16.EF =(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l ：43160x y +-=与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，动点(M 异于点A ，)B 在抛物线C 上，连接MB ，过点A 作//AN MB 交抛物线C 于点N ，设直线AM 与直线BN 交于点P ，当点P 在直线l 的左边时，求：①点P 的轨迹方程；②PAB 面积的取值范围.6．（2024·辽宁·模拟预测）在直角坐标系xOy 中，点P 到点(0，1)距离与点P 到直线=2y -距离的差为﹣1，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)设点P 的横坐标为00(0)x x <.（i ）求W 在点P 处的切线的斜率(用0x 表示)；（ii ）直线l 与W 分别交于点A ，B ．若PA PB =，求直线l 的斜率的取值范围(用0x 表示).反思提升：解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【基础篇】一、单选题1．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆1C ：221123x y +=与抛物线2C ：()220y px p =>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB △的外接圆经过点()3,0C ，则p 等于（）A ．12B ．14C ．2D ．42．（2024·河南·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长为点M 在椭圆上，若||MF 的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）A ．3B ．4C ．1D ．23．（2021·云南文山·模拟预测）已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）AB ．3C D ．34．（2021·江西九江·一模）已知双曲线22:1E x y -=的左右焦点分别为()1200,,,F F P x y 为双曲线E 上一点，若1290F PF ∠ ，则20x 的取值范围是（）A ．B ．)+∞C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题5．（2024·山东济南·一模）已知椭圆22:11612x y C +=，且两个焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上任意一点，以下结论正确的是（）A ．椭圆CB ．12PF F 的周长为12C ．1PF 的最小值为3D ．12PF PF ⋅的最大值为166．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点95,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，左、右焦点分别为1F ，2F ，且一条渐近线的方程为340x y +=，点P 为双曲线C 上任意一点，则（）A ．双曲线C 的方程为221169x y -=B ．120MF MF ⋅= C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．1PF 的最小值为17．（2020·全国·模拟预测）已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点(2,2)M 不在抛物线C 上（）A ．若直线l 过点M ，F 且与y 轴垂直，则4p =B ．若||||PM PF +的最小值为3，则2p =C ．若直线l 经过焦点F ，则直线OA ，OB （O 为坐标原点）的斜率OA k ，OB k 满足14OA OB k k =-D ．若过A ，B 所作的抛物线C 的两条切线互相垂直，且A ，B 两点的纵坐标之和的最小值为2，则2ABM S = 三、填空题8．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知()()0,1,1,0A B ，点P 为椭圆22:143x yC +=上的动点，当PA PB +取最小值时，点P 的横坐标的值为．9．（2021·山东德州·二模）已知1F ，2F 是双曲线2214x y -=的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过2F 作12F PF ∠平分线的垂线，垂足为N ，则点N 到直线0x y +-=的距离的取值范围是．10．（2022·山东济南·二模）已知抛物线方程为24y x =，直线:0l x y +=，抛物线上一动点P 到直线l 的距离的最小值为．四、解答题11．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线的准线2x =-上的动点．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且,MF AB AF MB ⊥⊥，求直线l 在x 轴上截距b 的取值范围．12．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23⎛ ⎝⎭，且其左焦点坐标为()1,0-.(1)求椭圆的方程；(2)对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【能力篇】一、单选题1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆22223:1(0)x y C a a a+=>，点P Q 、在椭圆C 上，满足在椭圆C 上存在一点R 到直线OP OQ 、的距离均为12a ，则OP OQ ⋅的最大值是（）A ．213a B ．223a C ．243aD ．283a二、多选题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:14x C y +=，圆22:5O x y +=，P 为圆O 上任意一点，Q 为椭圆C 上任意一点.过P 作椭圆C 的两条切线1l ，2l ，当1l ，2l 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为1k ，2k ，则（）A ．椭圆CB ．||PQ 的最小值为1C ．||PQ2+D ．22123k k +≥三、填空题3．（2021·全国·模拟预测）已知直线12,l l 是双曲线22:14x C y -=的两条渐近线，点P 是双曲线C 上一点，若点P 到渐近线1l 的距离的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到渐近线2l 的距离的取值范围是．四、解答题4．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，P 是E 的右支上一点，且12PF PF ⊥，12PF F 的面积为3．(1)求E 的方程；(2)若E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点2F 的直线l 与E 的右支交于M ，N 两点，直线AM 和BN 的斜率分别即为AM k 和BN k ，求223AM BN k k +的最小值．【培优篇】一、单选题1．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆2219y x +=，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线1:3l y x =和2:3l y x =-平行的直线，分别交2l ，1l 交于M ，N 两点，则M 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题2．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线222:1(0),3x y E b F b-=>为其右焦点，点F 到渐近线的距离为1，平行四边形ABCD 的顶点在双曲线E 上，点F 在平行四边形ABCD 的边上，则（）A ．b =B ．AF CF -=C ．若平行四边形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为3±D ．四边形ABCD 的面积3ABCD S ≥三、填空题3．（2024·山东枣庄·模拟预测）设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =；若斜率为32d P M的最小值为．的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则(,)。
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第3讲 圆锥曲线的综合问题 母题突破1 范围、最值问题母题 (2020·长沙模拟)已知椭圆E ：x 24＋y23＝1.若椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记△F 1MN 的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．思路分析❶引入参数，设直线l 的方程 ↓❷联立l 和E 的方程设而不求，根与系数的关系 ↓❸等积法求出r 的表达式 ↓❹函数思想求r 的范围【解析】解 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 则△F 1MN 的周长为4a ＝8.1F MNS＝12(|F 1M|＋|F 1N|＋|MN|)r ＝4r ， 即r ＝114F MNS ，当l ⊥x 轴时，l 的方程为x ＝1，|MN|＝3，r ＝114F MN S ＝14×12|MN|×|F 1F 2|＝34， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k(x －1)(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0，所以y 1＋y 2＝－6k 4k 2＋3，y 1y 2＝－9k24k 2＋3，11212F MNF F MF F NSSS＝＋＝12|F 1F 2|·|y 1|＋12|F 1F 2|·|y 2| ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝12|F 1F 2|·y 2＋y 12－4y 1y 2＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4k 2＋32－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－9k 24k 2＋3 ＝12k2k 2＋14k 2＋32， 所以r ＝114F MNS＝3k2k 2＋14k 2＋32. 令4k 2＋3＝t ，则t>3， r ＝34t 2－2t －3t 2＝34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＝34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋132＋43， 因为t>3，所以0<1t <13，所以0<r<34，综上可知，r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. [子题1] (2020·安徽肥东县高级中学调研)过点M(0,2)的直线l 与椭圆E ：x 24＋y23＝1交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．【解析】解 显然直线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx ＋2， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则Δ＝(16k)2－4×4(3＋4k 2)>0， 即k 2>14，x 1＋x 2＝－16k 3＋4k 2，x 1x 2＝43＋4k 2，∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 3＋4k 22－4×43＋4k 2＝434k 2－14k 2＋32， 则S △OAB ＝S △OMB －S △OMA ＝12×2×|x 1－x 2|＝434k 2－14k 2＋32， 设t ＝4k 2－1>0，∴S(t)＝43t t ＋42＝43t ＋16t＋8≤432t ·16t＋8＝3，当且仅当t ＝16t ，即t ＝4，即4k 2－1＝4，即k ＝±52时取等号，∴△AOB 面积的最大值为 3.[子题2] 已知A(2,1)，过点B(3,0)且斜率大于0的直线l 与椭圆E ：x 26＋y23＝1相交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 与x 轴分别相交于M ，N 两点，求|BM|＋|BN|的取值范围． 【解析】解 设直线l 的方程为x ＝my ＋3(m>0)，P(x 1，y 1)， Q(x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)， 可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2y 1－x 1y 1－1，0，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m y 1－3y 1－1，0，同理N ⎝⎛⎭⎪⎫2－m y 2－3y 2－1，0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 2＋2y 2＝6，消去x ，整理得(2＋m 2)y 2＋6my ＋3＝0，由Δ＝36m 2－12(2＋m 2)>0，可得m 2>1， y 1＋y 2＝－6m 2＋m 2，y 1y 2＝32＋m2，所以|BM|＋|BN|＝3－2－m y 1－3y 1－1＋3－2－m y 2－3y 2－1＝6－2－m y 1－3y 1－1－2－m y 2－3y 2－1＝6－4－2m y 1y 2＋m －5y 1＋y 2＋6y 1y 2－y 1＋y 2＋1＝6－24m ＋1m 2＋6m ＋5＝6－24m ＋5，因为m>0，m 2>1，所以m>1，因此0<24m ＋5<4，所以2<6－24m ＋5<6， 所以|BM|＋|BN|的取值范围是(2,6)． 方法总结 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系．(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式．【拓展训练】1．设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆C 1：x 24＋y 2＝1交于不同的两点P ，Q ，若O 在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】解 显然直线x ＝0不满足题设条件，故可设直线l ：y ＝kx ＋2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k 2)>0，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞， ∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k2，根据题意，得0°<∠POQ<90°，即OP →·OQ →>0，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝121＋k21＋4k2＋2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4＝16－4k 21＋4k 2>0，解得－2<k<2. 综上得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 2．(2020·蚌埠模拟)直线y ＝kx ＋2交抛物线C ：x 2＝4y 于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线C 的切线l 1，l 2，若l 1，l 2分别交x 轴于点M ，N ，求四边形ABNM 面积的最小值．【解析】解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝16k 2＋32>0，设A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8，|x 1－x 2|＝4k 2＋2，y ′＝12x ，∴切线l 1的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －14x 21，①同理切线l 2的方程为y ＝12x 2x －14x 22，②联立①②得x ＝x 1＋x 22，y ＝14x 1x 2＝－2，即切线l 1与l 2的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－2，由切线l 1：y ＝12x 1x －14x 21，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0， ∴S △PMN ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 22＝12|x 1－x 2|＝2k 2＋2，又∵|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝41＋k 2k 2＋2，点P 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k x 1＋x 22＋41＋k2＝2k 2＋41＋k2，∴S △PAB ＝12|AB|d ＝4k 2＋2(k 2＋2)，∴四边形ABNM 的面积S ＝S △PAB －S △PMN ＝4k 2＋2(k 2＋2)－2k 2＋2＝ 2k 2＋2(2k 2＋3)，令t ＝k 2＋2≥2，则S ＝4t 3－2t ，当t ≥2时，S ′＝12t 2－2>0成立，S 单调递增，∴当t ＝2，即k ＝0时，四边形ABNM 面积的最小值为6 2.专题训练1．(2020·潍坊模拟)设抛物线E ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1,1)． (1)求抛物线E 的标准方程；(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A)，且BA ⊥BC ，求点C 的横坐标的取值范围．【解析】解 (1)依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，设A(x 0，y 0)， 由线段AF 的中点坐标为(1,1)，得⎩⎨⎧1＝x 02，1＝y 0＋p22，即x 0＝2，y 0＝2－p2，又点A 是E 上一点，所以4＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2， 得p 2－4p ＋4＝0，即p ＝2. 所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y.(2)由题意知A(2,1)，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 24， 则k BA ＝x 214－1x 1－2＝14(x 1＋2)，x 1≠－2，因为x 1≠－2，所以k BC ＝－4x 1＋2， BC 所在直线方程为y －x 214＝－4x 1＋2(x －x 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x 214＝－4x 1＋2x －x 1，x 2＝4y ，因为x ≠x 1，得(x ＋x 1)(x 1＋2)＋16＝0， 即x 21＋(x ＋2)x 1＋2x ＋16＝0， 因为Δ＝(x ＋2)2－4(2x ＋16)≥0， 即x 2－4x －60≥0，故x ≥10或x ≤－6. 经检验，当x ＝－6时，不满足题意．所以点C 的横坐标的取值范围是(－∞，6)∪[10，＋∞)．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l ：x ＝4左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H ，∠HPF 的角平分线交x 轴于点M ，且|PH|＝2|MF|，记动点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l ′交曲线C 于A ，B 两点，设AF →＝λFB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求|AB|的取值范围．【解析】解 (1)设P(x ，y)，由题意可知|MF|＝|PF|， 所以|PF||PH|＝|MF||PH|＝12，即x －12＋y 2|x －4|＝12，化简整理得x 24＋y23＝1，即曲线C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)由题意，得直线l ′的斜率k ≠0， 设直线l ′的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以Δ＝(6m)2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0恒成立， 且y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，①又因为AF →＝λFB →，所以－y 1＝λy 2，② 联立①②，消去y 1，y 2，得4m 23m 2＋4＝λ－12λ，因为λ－12λ＝λ＋1λ－2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12， 所以0≤4m 23m 2＋4≤12，解得0≤m 2≤45.又|AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋123m 2＋4＝4－43m 2＋4， 因为4≤3m 2＋4≤325，所以|AB|＝4－43m 2＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，278.所以|AB|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，278.。