7.子空间的直和
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§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有 dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
二、ห้องสมุดไป่ตู้子空间
(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
称这样的W为U的一个余子空间.
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
注:
① 分解式 1 2 唯一的，意即 若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
1 2 0,1 V1,2 V2 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2）得之）
§6.7 子空间的直和
4）和 V1 V2 是直和 V1,V2 的基合并起来是 V1 V2的基。
5）设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
2、判定
1）定理8 和 V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和
1、定义 设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
§6.7 子空间的直和
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
3、（定理9）和V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2）和 V1 V2 是直和 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有 dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
二、ห้องสมุดไป่ตู้子空间
(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
称这样的W为U的一个余子空间.
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
注:
① 分解式 1 2 唯一的，意即 若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
1 2 0,1 V1,2 V2 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2）得之）
§6.7 子空间的直和
4）和 V1 V2 是直和 V1,V2 的基合并起来是 V1 V2的基。
5）设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
s
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
2、判定
1）定理8 和 V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和
1、定义 设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
§6.7 子空间的直和
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
3、（定理9）和V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2）和 V1 V2 是直和 V1 V2 0.
§6.7 子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面