7.子空间的直和
《子空间的直和》课件
1 符号表示：
V = U ⊕W
2 分量表示：
任意向量v都可以分解为u+w，其中u∈U， w∈W。
7. 直和与基底的关系？
1 基底的直和：
如果U和W 有互不相同的基底，则它们的直和是由这些基底组成的。
2 基底生成子空间：
U和W 的基底加在一起构成直和空间的基底。
子空间的直和
介绍子空间及直和的课件，包括子空间的定义、直和的意义、基底与直和的 关系等内容，以图文并茂的方式呈现。
1. 什么是子空间？
1 定义：
2 例子：
子空间是向量空间中的一个子集，它本身也是向量空间。
平面、直线、原点。
3 性质：
子空间必须包含零向量，对于向量的线性运算封闭。
2. 什么是直和？
1 定义：
直பைடு நூலகம்是将两个或多个子空间进行的一种运算，用于生成一个新的子空间。
2 意义：
直和使得子空间的维数相加，构成合并子空间的一个更大空间。
3. 子空间的交和和运算？
1 交：
两个子空间的交集，即同时属于两个空间的向量的集合。
2 和：
两个子空间的并集，包括两个空间中的所有向量。
4. 两个子空间的和？
1 合并维度：
两个子空间的维数之和等于它们的和空间的维数。
2 示例：
平面与直线的和值空间是三维空间。
5. 直和定理的意义？
1 定理：
若两个子空间的和值空间等于整个空间，且交集为空集，则这两个子空间是直和关系。
2 意义：
直和定理提供了一种分解向量空间的方法，便于研究子空间的性质。
6. 直和定理的表述方式？
6.7子空间的直和
§7. 子空间的直和一 直和的定义引入设 为线性空间V 的两个子空间，由维数公式 有两种情形：此时 即， 必含非零向量. 此时 不含非零向量，即 情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和一、直和的定义设 为线性空间V 的两个子空间，若和中每个向量 的分解式是唯一的，和 就称为直和，记作 注: ① 分解式 唯一的，意即 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12121)dim()dim dim V V V V +<+12dim()0,V V > 12V V12122)dim()dim dim V V V V +=+12dim()0,V V = 12V V {}120V V = 12,V V 12V V +12112,,V V ααααα=+∈∈12.V V ⊕12,V V a 12V V +12ααα=+若有 则 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，，3R 的子空间这里， 在和 中，向量的分解式不唯一，如 所以和 不是直和. 而在和 中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对 都只有唯一分解式：故 是直和.二、直和的判定1、(定理8) 和 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即若则必有 证：必要性. 是直和,的分解式唯一. ,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈1122,.αβαβ==11222333(,),(,),()V L V L V L εεεεε===123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===12V V +(2,2,2)(2,3,0)(0,1,2)(2,1,0)(0,1,2)=+-=+12V V+13V V +(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)=+12313(,,),a a a V V α∀=∈+123(,,0)(0,0,).a a a α=+12V V +12V V +1211220,,V V αααα+=∈∈120.αα==12V V + 12,V V αα∴∀∈+1211220,,V V αααα+=∈∈若而0有分解式 充分性. 设 ，它有两个分解式 于是其中由零向量分解成唯一，且有即 的分解式唯一. 故 是直和.2、和 是直和 证：“ ” 若 则有 即 是直和.“ ” 任取 于是零向量可表成由于 是直和，零向量分解式唯一，故3、和 是直和证：由维数公式+0=00,120,0.αα∴==,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈+0=00,1122,αβαβ==1211220,,.V V αααα+=∈∈{}120V V ⇔= .{}12120V V αα=-∈= 12,V V α∈ 120(),,.V V αααα=+-∈-∈0.αα∴=-={}120.V V = 1212dim()dim dim V V V V ⇔+=+12V V α∈+1122()()0αβαβ-+-=111222,V V αβαβ-∈-∈11220,0.αβαβ-=-=12V V +12V V +⇐120,αα∴==12V V +⇒12V V +12V V +有，是直和. （由2、得之）总之，设 为线性空间V 的子空间，则下面 四个条件等价:1） 是直和 2）零向量分解式唯一3） 4） 4、(定理10) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则必存在一个子空间W ，使称这样的W 为U 的一个余子空间. 证：取U 的一组基把它扩充为V 的一组基则 注余子空间 一般不是唯一的(除非U 是平凡子空间).如，在3R 中，设 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 1212dim()dim dim V V V V +=+12dim()0V V ⇔= {}120V V ⇔= 12V V ⇔+12,V V12V V +{}120V V = 1212dim()dim dim V V V V +=+.V U W =⊕,,,12m ααα ,,,,,,121m m n ααααα+ ,,,12(),m m n W L ααα++= 令.V U W =⊕1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)ααββ====121122(,),(),(),U L W L W L ααββ===令则 但 5、设 分别是线性子空间 的一组基，则是直和 线性无关. 证：由题设，若 线性无关， 则它是 的一组基. 从而有是直和.反之,若 直和，则从而 的秩为r ＋s .所以 线性无关.三、推广 多个子空间的直和1、定义 都是线性空间V 的子空间，若和中每个向量 的分解式 是唯一的，则和 就称为直和，记作31212,R U W U W W W =⊕=⊕≠;1212,,,,,,r sεεεηηη 12,V V 12V V +1212,,,,,,,r s εεεηηη⇔ ,,1121(,),dim r V L V r εεε== 2122(,,,),dim s V L V s ηηη== ,,121212(,,,,,).r s V V L εεεηηη∴+= 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12V V +1212dim()dim dim V V r s V V +=+=+12V V ∴+12V V +1212dim()dim dim V V V V r s +=+=+1212,,,,,,,r s εεεηηη 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12,,,s V V V 121s i s i V V V V ==+++∑ ,,121,2,,s i i V i sααααα=+++∈= 1si i V =∑12s V V V ⊕⊕⊕ α2、判定设 都是线性空间V 的子空间，则下面 四个条件等价:1） 是直和2）零向量分解式唯一，即3） 4） 例1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与② 解空间：② 证明: 证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系 12,,,sV V V ,120,s i i V αααα+++=∈ 0,1,2,,i i sα== 必有1si i W V ==∑{}0,1,2,,i j j i V V i s ≠==∑ 1dim dim sii W V ==∑①120n x x x +++= 12n x x x === 12n P V V =⊕121(1,0,,0,1)(0,1,,0,1)(0,0,,1,1)n εεε-=-=-=- ,,,1121().n V L εεε-∴= 12n x x x === 121000n n n n x x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ (1,1,,1)ε=考虑向量组由于线性无关，即它为n P 的一组基.又 例2、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维 子空间的直和.证：设 是 n 维线性空间V 的一组基,则而得证. 小结：直和的定义与三个判定方法。
高等代数Ⅱ智慧树知到答案章节测试2023年河西学院
绪论单元测试1.对于线性空间的学习，要从三个方面讨论：定义，线性关系（主要是在有限维空间中），子空间。
A:对B:错答案:A2.对于线性空间中线性关系的研究有一个非常重要的概念，就是n维线性空间的基，有了基就可以把数域P上抽象的n维线性空间模型化成具体的空间Pn，而把抽象的向量模型化成它的坐标，即有序数组。
A:错B:对答案:B3.对于线性空间的认识，不仅要知道线性空间的定义，还要了解基本性质以及认识一些具体的线性空间。
A:错B:对答案:B4.线性空间立足于它的基础——集合，于是可以通过学习线性空间的子空间来更好的把握全空间，对于子空间的学习，需要把握其存在性、有限维空间中子空间的构造——生成子空间以及子空间的运算。
A:错B:对答案:B第一章测试1.全体实对称矩阵关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域上维的线性空间。
A:对B:错答案:B2.每一n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
A:错B:对答案:B3.数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。
A:对B:错答案:A4.在中，子集构不成子空间。
A:对B:错答案:A5.在中，向量在基，,，下的坐标是（）。
A:（1,0,0,2）B:（—1,0,0,2）C:（2,—1,1,0）D:（2,—1,0,0）答案:D6.在数域P上的n维线性空间V中，由基到基的过渡矩阵是A，由基到基的过渡矩阵是B。
那么由基到基的过渡矩阵是（）。
A:B:C:D:答案:D7.设是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素。
则（）。
A:是的一个基B:最大公因式是一次多项式C:线性相关D:线性无关答案:D8.子空间的和是直和的充要条件是（）。
A: dimdim＋dimB:C:D:⊂答案:ABC9.下列说法正确的有（）。
A:复数域关于数的加法和乘法构成有理数域上的线性空间B:有理数域关于数的加法和乘法构成实数上的线性空间C:实数域关于数的加法和乘法构成自身上的线性空间D:实数域关于数的加法和乘法构成复数域上的线性空间答案:AC10.在数域Ｐ上的线性空间Ｖ中，如果向量满足且。
子空间的交和和
我们来证明，向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
是 V1 + V2 旳一组基. 这么， V1 + V2 旳维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立.
因为
所以
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) , V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) .
解：1) 任取 L(1 ,2 ) L(1 , 2 )
设 x11 x22 y11 y22 ,
则有 x11 x22 y11 y22 0,
x1 x2 2 y1 y2 0
即
2
x1 x2 y1 x1 x2 3 x1 y1 7
y2 y2
y2
0 0
0
(＊)
1) 互换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多种子空间旳交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V旳子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
i 1
也为V旳子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 旳交空间.
证明 设 V1 , V2 旳维数分别是 s , t , V1∩V2
旳维数是 m . 取 V1∩V2 旳一组基
1 , 2 , …, m .
假如 m = 0 ，这个基是空集，下面旳讨论中
1 , 2 , …, m 不出现，但讨论一样能进行. 由
定理
设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间， 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 , 那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就说
6[1].7 子空间的直和
![6[1].7 子空间的直和](https://img.taocdn.com/s3/m/4f06861652d380eb62946d74.png)
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
6.7 子空间的直和
第六章 线性空间学习单元7： 子空间的直和_________________________________________________________● 导学学习目标：了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。
学习建议：本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。
重点难点：重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。
难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。
_________________________________________________________● 学习内容一、直和的概念观察两个子空间的和的特点例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。
则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。
定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，表法唯一，即由1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。
二、直和的判别定理 设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。
（1）1212V V V V +=⊕；（2）12V V +中零向量表法唯一；（3）12{0}V V =I ；（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。
推广定理 设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。
线性子空间的和与直和
有
线性空间与欧几里得空间
所以
有
back
15
定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
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线性空间与欧几里得空间
back
16
定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
back
20
proof
10
命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
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线性空间与欧几里得空间
back
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命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
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线性空间与欧几里得空间
back
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引理２.３的证明
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明:
7
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
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线性空间与欧几里得空间
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线性子空间的直和，补子空间
proof
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线性空间与欧几里得空间
proof
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多个线性子空间的直和
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线性空间与欧几里得空间
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
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线性空间与欧几里得空间
5
线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
§7子空间的直和
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S
A A P nn , A A ,
T A A P nn , A A
证明:
S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量 的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下 列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若
不变子空间的概念
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) f1( ) u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) E
∴ 对 V , 有
ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换，Wi 都是
的不变子空间，而 i1, i2 , , ini是 Wi 的一组基，且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注：
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 －子空间. 反过来，一个一维 －子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
§7.7 不变子空间
注：
① 当 W时， W ( ) ( ). 当 W时， W ( ) 无意义.
则 i 0, i 1,2, , s. ( j )rj fi ( ), i j
∴ 存在 h( ), 使 fi ( ) h( )( j )rj . 于是 fi ( ) h( )( j E)rj .
§7.7 不变子空间
子空间的和不是直和的例子
子空间的和不是直和的例子
以下是 9 条关于子空间的和不是直和的例子：
1. 想一想平面上两条相交的直线所张成的子空间，这可不是直和呀！比如房间里的两面墙，它们有一个共同的交界线，这就像子空间的和不是直和一样。
2. 音乐中的不同音符组合，有时候几个音符凑在一起形成的子空间可就不是直和呀！难道不是很像不同乐器发出的声音混合起来，不是简单的直和那样单纯。
3. 再看看调色板上的几种颜色混合，哎呀，那混合出的颜色所对应的子空间可不是直和呀！就如同把红色和蓝色混在一起得到紫色，这可不是红色子空间和蓝色子空间的直和呢。
4. 你瞧那复杂的人际关系网，每个人的圈子叠加起来形成的子空间绝不是直和呀！这和几个人的小团体交织在一起的情况不是很相似吗？
5. 回忆一下化学反应中各种物质的作用，产生的新物质对应的子空间可不是直和哦！就好比几种物质搅和在一起发生奇妙变化，可不是直和那么简单明了。
6. 观察一下车水马龙的街道上各种车辆的行驶轨迹，那形成的子空间可不是直和呀！这多像各种车辆的路线交织在一起，复杂得很呢。
7. 想想大脑中不同的思维模式拼凑起来的子空间，可不是直和呀！这不就如同各种思绪在脑子里混战，哪那么容易是直和。
8. 看看拼图游戏中那些拼图碎片组成的画面，这其中的子空间就不是直和嘛！不就类似于把各种形状的碎片凑在一起形成一幅复杂的图。
9. 思考一下星空里那些相互交织的星系，它们形成的子空间绝对不是直和呀！这难道不像宇宙中各种力量相互作用，不是简单相加能说清楚的。
我的观点结论就是：子空间的和不是直和的情况在生活中真是无处不在呀，得仔细去体会和感受呢！。
第六章线性空间
第六章 线性空间［教学目标］1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。
2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。
3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。
4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。
5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空间和生成子空间的性质。
6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。
7了解直和的概念和充要条件。
8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。
［教学重难点］线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。
［教学方法］讲授［教学时间］22学时。
［教学内容］集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构［考核目标］会判断一个集合是否为线性空间。
会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。
会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。
教学过程：§1 集合·映射一 集合的相关概念1、 集合：若干个固定事物的全体，简称集。
一般用大写拉丁字母表示。
把不包含任何元素的集合叫空集，记为。
2、 元素：集合中的每一个事物，简称元。
一般用小写拉丁字母表示。
二者关系：元素属于或不属于某个集合。
记为aA,aA.3、 子集、真子集及其表示方法。
（集合与集合之间是包含或不包含的关系）4、 集合相等：等价于与互相包含。
5、 交集6、 并集7、 性质是、的子集，与是的子集。
二 映射1、定义：是两个集合，是A到B的对应法则，如果，按照这个对应法则，在B中存在唯一的元素与之对应，我们称是A到B的映射，记为，叫在下的象，叫在下的一个原象。
，举例说明。
2、分类：映射3、几个特殊映射：（1）恒等映射：又称单位映射。
子空间的和与直和的区别
直和的数学定义
直和的定义是指两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空间，其中每个原始向量或子空间都是该新向量或子空间 的一个子集。
直和可以通过向量的加法运算或子空间的直积来定义。
直和的物理意义
直和在物理中有广泛的应用 ，例如在量子力学、电磁学
和机械力学等领域中。
1
在量子力学中，直和可以用 于描述两个或多个量子态的
THANKS
感谢观看
应用上的区别
子空间和的应用
子空间和在信号处理、图像处理等领域中有 着广泛的应用。例如，可以将一个信号分解 为多个子空间的叠加，从而对信号进行更好 的分析和处理。
直和的应用
直和在数学、物理等领域中有着广泛的应用 。例如，在数学中，可以将多个向量空间中 的元素进行直和，从而得到一个新的向量空 间；在物理中，可以将多个物理量进行直和 ，从而得到一个新的物理量。
子空间和可以描述物理系统的组合，例如两个粒子的状态可以表示为两个子空间的 和。
子空间和可以描述量子叠加态，即多个量子态的组合。
02 直和的定义
直和的基本概念
直和是一种数学概念，用于描述两个或多个向量或子空间的合并方式。
直和是一种特殊的向量或子空间合并方式，其中两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空 间。
构成。
子空间和的物理应用例子
要点一
量子力学
在量子力学中，波函数是一种重要的物理量，它描述了粒 子的状态。波函数可以定义在一个无限维的函数空间中， 而这个空间的子空间可以用来描述不同的物理状态。
要点二
信号处理
在信号处理中，常常需要将信号投影到一个低维子空间中 以实现信号的压缩和降噪。例如，在主成分分析中，原始 数据可以被投影到一个由数据的主要成分构成的子空间中 。
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。
证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。
（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλ21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。
又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。
证明：（1）s V V V +++ 21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。
证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。
现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλααα 。
高等代数第六章7第七节 子空间的直和 太原理工大学
( i = 1 , 2 ,⋯ , s ) ;
4）维(W)=∑维(Vi) . ） 维 这个定理的证明和s=2的情形基本一样，这里就不 这个定理的证明和 的情形基本一样， 定理的证明 的情形基本一样 再重复了. 再重复了
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V1+V2中每个向量 的分解式 每个向量α的
定理8 和V1+V2是直和的充分必要条件是等式 直和的充分必要条件是等式 定理 α1+α2=0, α1∈V1, α2∈V2 只有在α 全为零(α 时才成立. 只有在 1 , α2全为零 1=α2=0)时才成立 时才成立 定理的条件实际上就是： 证明 定理的条件实际上就是：零向量的分解式是 唯一的. 因而这个条件显然是必要的 下面来证这 这个条件显然是必要的. 唯一的 因而这个条件显然是必要的 下面来证这 个条件的充分性. 个条件的充分性. 它有两个分解式 设α∈V1+V2 ，它有两个分解式 ∈ α=α1+α2=β1+β2 ，αi,βi∈Vi (i=1,2). 于是 (α1-β1)+(α2-β2)=0 .
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子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的 子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的 直和的概念可以推广到多个子空间 情形. 情形 定义10 设V1,V2,…,Vs 都是线性空间 的子空间， 定义 都是线性空间V的子空间， 线性空间 如果和 中每个向量α的 如果和V1+V2+…+Vs中每个向量 βi∈Vi (i=1,2). 由定理的条件，应有 αi-βi=0，αi=βi (i=1,2). ， 这就是说，向量α的分解式是唯一的. 这就是说，向量 的分解式是唯一的 证毕. 证毕
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子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件子空间的直和是线性代数中一个重要的概念。
在研究向量空间时，我们常常遇到将一个向量空间分解成若干个子空间的情况，而子空间的直和就是一种特殊的分解方式。
本文将介绍子空间的直和的充要条件。
假设V是一个向量空间，U和W是V的两个子空间。
我们称V是U和W的直和，记作V=U⊕W，如果满足以下两个条件：1. V=U+W：任意向量v∈V都可以写成v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。
2. U∩W={0}：U和W的交集只包含零向量。
我们来证明V=U⊕W的充分性。
假设V=U⊕W，我们需要证明满足上述两个条件。
对于第一个条件，我们可以将任意向量v∈V表示为v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。
由于V=U⊕W，所以v的表示是唯一的。
对于第二个条件，假设存在一个非零向量x∈U∩W。
由于x∈U，所以x也属于V。
那么我们可以找到另外两个向量u'∈U和w'∈W，使得x=u'+w'。
因为x∈W，所以w'∈W；因为x∈U，所以u'∈U。
因此，x=u'+w'既是U和W的一个表示，也是V的一个表示。
但由于v的表示是唯一的，所以u'+w'=u+w。
因此，我们可以得到u-u'=w'-w。
由于u-u'∈U，w'-w∈W，所以u-u'∈U∩W。
但由于U∩W={0}，所以u-u'=0，即u=u'，w=w'。
因此，x=u'+w'=u+w=0。
这与x是一个非零向量矛盾。
因此，U∩W={0}。
接下来，我们来证明V=U⊕W的必要性。
假设V=U⊕W，我们需要证明满足上述两个条件。
对于第一个条件，任意向量v∈V都可以写成v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。
因此，V=U+W。
对于第二个条件，假设存在一个非零向量x∈U∩W。
那么x既属于U 也属于W，所以x可以写成x=0+0的形式。
维数公式与子空间直和的等价条件
所以
,
≅
二
时结 论也 成 立
,
,
根据 数 学 归纳 法原 理 对 于 任 意 的 自然 数
定理 Ρ : Α
Φ
≅
结 论 成立 证 完
,
4
4
设 <
…
,
<
,
川
是 线性 空 间 Ο 的子 空 间 则下 列 六条 相 互 等 价
。
=
习<
‘
是 直 和 即 < 的 任 意 向量
的 分解 式
。
一
口,
十
…
十 Μ
二
7
。‘
…
4
,
Λ
同:
,
可
…
,
Μ
,
尽
十
=
,
… 几 Λ
,
十
=
…
Λ
=
是<
,
十
<
=
的 一 个 基 因 此 公 式成 立 证 完
,
4
4
定理
> ?≅
设 <
Ε
,
…
Φ
,
<
。
是 线 性 空 间 Ο 的有 限 维子 空间 则
‘ ≅
7习 Α :
‘
习>
止二
礁
≅
一
习>
‘二 Ε
4
‘ ≅
7砚 6
习砚 :
Π二
4
证明
当 ≅
Φ Φ
对 于 子 空 间 的个 数
Σ ? 礁 消? 砚 砒 门 习<
Φ
9
Η
,
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反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有 dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2）得之）
§6.7 子空间的直和
4）和 V1 V2 是直和 V1,V2 的基合并起来是 V1 V2的基。
5）设 1, 2 , , r ; 1,2 , ,s 分别是线性子空间
V1,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
3） V1 V2 0
4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
§6.7 子空间的直和
二、余子空间
(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .
称这样的W为U的一个余子空间.
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ), 则 V U W .
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
注:
① 分解式 1 2 唯一的，意即 若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 ,2 , 2 V2 则 1 1,2 2.
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
§6.7 子空间的直和
3、（定理9）和V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 有， dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和
1、定义 设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，若和V1 V2 中每个向量 的分解式
证：“ ” 若1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0, 即V1 V2 是直和. “ ” 任取 V1 V2 , 于是零向量可表成
0 ( ), V 1, V2.
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0. 故 V1 V2 0.
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 ) 这里，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
§6.7 子空间的直和
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
§6.7 子空间的直和
2、判定
1）定理8 和 V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即
1 2 0,1 V1,2 V2 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
§6.7 子空间的直和
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
由零向量分解成唯一，且 0= 0 0,
有 1 1 0, 2 2 0. 即 1 1, 2 2 的分解式唯一.
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2）和 V1 V2 是直和 V1 V2 0.