高三文科椭圆题型全解

高三文科数学椭圆练习2014.1.24

1．“m>n>0”是“方程mx 2

＋ny 2

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的____________条件．

2．已知椭圆x 2

10－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于___________.

3．若椭圆x 2

m ＋y 2n ＝1（m ＞n ＞0）上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则m

n ＝

________.

4．过椭圆x 2

a 2＋y

2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆

于点P ，F 2为右焦点，若∠PF 2F 1＝30°，则椭圆的离心率为________________.

5．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,

4b 2

]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是________________.

6．已知椭圆C ：x 2

2＋y 2

＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段

AF 交C 于点B.若FA →＝3FB →，则|AF →

|＝_____________.

7．过椭圆x 2

6＋y

2

5＝1内的一点P （2，－1）的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方

程___________.

8．椭圆x 29＋y

2

2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________；

∠F 1PF 2的大小为__________．

9．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3

2

，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________．

10．已知A 、B 为椭圆C ：x 2

m ＋1＋y

2

m ＝1的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且∠APB

的最大值是2π

3，则实数m 的值是__________．

11．已知A 、B 两点分别是椭圆C ：x 2

a 2＋y

2

b 2＝1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶

点，而F 是椭圆C 的右焦点，若AB →·BF →

＝0，则椭圆C 的离心率e ＝________.

12．直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为___________.

13．已知椭圆x 2

16＋y

2

12＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若

|ON|＝1，则MF 1的长等于______________.

14．过椭圆x 2

a 2＋y

2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若

∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率__________.

15．知椭圆x 2a 2＋y

2

b 2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭

圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若AP →＝2PB →

，则椭圆的离心率是_________.

16．椭圆5x 2

－ky 2

＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝________.

17．F 1、F 2是椭圆x 2

a 2＋y

2

9＝1的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边三角形，

则a 2

＝________.

18．已知F 1、F 2为椭圆x 2

25＋y

2

9＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A|＋

|F 2B|＝12，则|AB|＝________.

19．已知（－2，0），B （2，0），过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45

，且直线l 与圆x 2＋y 2

＝1相切，求该椭圆的方程．

20．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是椭圆y 2

a 2＋x 2

b 2＝1（a ＞b ＞0）上的两点，m ＝（x 1b ，y 1

a ），n ＝

（x 2b ，y 2a ），且满足m ·n ＝0，椭圆的离心率e ＝3

2，短轴长为2，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ）（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值．

21．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x 相

切于坐标原点O．椭圆

22

2

1

9

x y

a

+=与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

高三文科数学椭圆练习答案与解析2011.11.27

1．解析：把椭圆方程化为x 21m ＋y 2

1n ＝1.若m>n>0，则1n >1

m >0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，

若椭圆的焦点在y 轴上，则1n >1

m >0即有m>n>0.故为充要条件。

2．解析：因为椭圆x 2

10－m ＋y

2

m －2

＝1的长轴在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧

m －2>010－m>0

m －2>10－m

⇔6

焦距为4，所以m －2－10＋m ＝4⇔m ＝8.

3．解析：由题意得该椭圆的离心率e ＝13＝m －n m

，因此1－n m ＝19，n m ＝89，m n ＝9

8。

4．解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝12|PF 2|，∴3

2

|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|

＝43a ，|PF 1|＝23a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|F 1F 2|2＝|PF 2|2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c)2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2⇒e ＝c a ＝33

. 5．解析：设椭圆的长轴长为2a ，则矩形的最大面积为2ab ，∴3b 2≤2ab ≤4b 2

，即32≤a b ≤2，

又∵b ＝a 2

－c 2

，∴

a 2－c 2

a 2

∈[12，23]，即1－e 2

∈[12，23]，解得：e ∈[53，32

]． 6．解析：如图，BM 垂直于右准线于M ，右准线与x 轴交于N ，易求得椭圆的离心率为e ＝

2

2

，由椭圆的第二定义得BM ＝BF e ，在Rt △AMB 中，BM AB ＝BF e ·AB ＝12e ＝22

，它为等腰直角三角形，

则△ANF 也为等腰直角三角形，FN ＝b 2c ＝1，则|AF →

|＝ 2.

7．解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则22

1122

2216516

5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，且x 1＋x 2

＝4，y 1＋y 2＝－2，∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0，∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝5

3

.∴弦所在直线方程为y

＋1＝5

3

(x －2)，即5x －3y －13＝0.

8．解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7.由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6，∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|

＝2.又|F 1F 2|＝27.在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－1

2

，∴∠F 1PF 2＝120°答案：

2 120°

9．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y

2

9

＝1.

10．解析：由椭圆知，当点P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值，根据题意则有tan π

3＝

m ＋1m

⇒m ＝1

2.

11．解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，∴AB →＝(a ，b)，BF →＝(c ，－b)∴ac ＝b 2

，即ac ＝