5高考复习数学期望试题及详解5

高考复习考点自测(附参考答案)

1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．

A.

65 B.65

C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1. s 2＝－1－2＋－2＋－2＋－12＋－25

＝2.

答案 D

2．已知X 的分布列为

设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．

A.73

B ．4

C ．－1

D ．1 解析

E (X )＝－12＋16＝－13

，

E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73

. 答案 A

3．(2010·湖北)

已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9

解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①

又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②

由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.

答案 A

4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )．

A ．n ＝8，p ＝0.2

B ．n ＝4，p ＝0.4

C ．n ＝5，p ＝0.32

D ．n ＝7，p ＝0.45

解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6， D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧

n ＝8，p ＝0.2.

答案 A

5．(2010·上海)随机变量ξ

该随机变量ξ的均值是解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.

答案 8.2

6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________. 解析 ξ的取值为0,1,2,3，则

P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370

； P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.

∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34

. 答案 34

7．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.

解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35

，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭

⎫4，35， 从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125

. 答案 125

考向一 离散型随机变量的期望和方差

【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，

(1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．

[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0. P (X ＝3)＝23×25×25＝875

， P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875

， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25

， P (X ＝0)＝13×35×35＝325

； 根据题意X ＋Y ＝3，所以

P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875

， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325

. X 的分布列为

Y 的分布列为

(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×25＝15

； 因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315

. 2.广东17.(本小题满分13分)

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图

如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中x 的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，

该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，

求ξ的数学期望。

【解析】（1）

0.0061030.01100.054101010.018x x ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⇔=

（2）成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012

+⨯⨯=人，其中成绩在90分以上（含90分）

的人数为0.0610503⨯⨯=

随机变量ξ可取0,1,2 21129933222121212691(0),(1),(0)112222

C C C C P P P C C C ξξξ========= 69110121122222

E ξ=⨯+⨯+⨯= 答：（1）0.018x =

（2）ξ的数学期望为12

考向二 期望与方差性质的应用

【例2】►设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15

，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，D X －. [审题视点] 利用期望与方差的性质求解．

解 ∵E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155

＝3. E (X 2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15

＝11. D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15

(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)

＝E (X 2)＋4E (X )＋4＝11＋12＋4＝27.

D (2X －1)＝4D (X )＝8，D X －＝D X ＝ 2.

【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．

(1)求X 的分布列、期望和方差；

(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．

解 (1)X 的分布列为

∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5

＝1.5. D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15

＝2.75. (2)由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.

又E (η)＝aE (X )＋b ，

所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2.

当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.