2019-2020学年八年级数学下册 第一部分 基础知识篇 第17课 归纳猜想型问题(B组)瞄准中考
八(下)第17章勾股定理知识总结
例 2. 如图，一根树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处.树折断之前有多少米？
例 9.如果ΔABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a +b +c +50=6a+8b+10c，判断ΔABC 的形状。
2
2
2
例 3.如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形，求图中格点四边形 ABCD 的面积和周长。
C D
要完成这件事情所走的最短路程是多少？
小河 北 东 B 小屋
B
E
A
牧童A
例 15.如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。 知识点 10：勾股定理在实际中的应用 例 20. 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30 ，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得 灯塔 M 在北偏西 45 ，问该货轮到达灯塔正东方向 D 处时，货轮与灯塔 M 的距离是多少？
知识点 6：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个 叫做它的逆命题。 知识点 2：等面积法求直角三角形斜边上的高 直角三角形斜边上的高：
h ab c 【注：a,b 为两条直角边，c 为斜边】
0
知识点 7：利用勾股定理建立方程 例 12. 小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多 1 米，然后将绳子下端拉直，使 它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部 5 米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
2 2 2
13 的点。
最新人教版八年级数学下册 第十七章 小结与复习 精品课件
5＜ 29＜ 37，
∴沿路径走路径最短，最短路径长为5.
11
方法总结
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开 方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
针对训练
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们 的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到 达建筑物的高度是___4___米．
23
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝 角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在 △ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
c b
如果三角形的三边长a，b，c满足 Ca B
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
24
转化思想 例9 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如
图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最
短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= 12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
人教版八年级下册数学教案：第十七章勾股定理小结
举例解释：
-对于逆定理的理解，通过具体例子和图示，解释如何通过已知的边长关系判断三角形是否为直角三角形。
-在解决复杂问题时，指导学生先识别出直角三角形的部分，再应用勾股定理。
-通过练习，让学生熟悉勾股数的定义，并掌握判断勾股数的有效方法。
-设计一些综合性的题目，如斜边和一条直角边长度变化时，对直角三角形的面积和周长的影响，帮助学生深入理解勾股定理的应用。
3.提高学生的数据分析能力，使学生能够运用勾股定理解决实际问题，培养在实际问题中发现、提取和运用数学信息的能力；
4.培养学生的数学建模能力，通过勾股定理的应用，让学生学会构建数学模型，提高解决实际问题的能力；
5.增强学生的数学应用意识，让学生在实际生活中发现勾股定理的应用，体会数学的价值和美感。
三、教学难点与重点
我还发现，对于勾股定理的逆定理部分，学生们普遍感到难以理解。这部分的逻辑推理对学生来说是一个挑战。在今后的教学中，我需要用更多的时间和精力来解释和演示逆定理的应用，通过具体的例子和逐步的引导，帮助学生克服这个难点。
此外，我也在思考如何将勾股定理与学生的生活实际更加紧密地结合起来。数学不应该只是书本上的知识，它应该走进学生的生活，成为解决实际问题的工具。我计划在接下来的课程中，设计更多与生活相关的题目，让学生们感受到数学的实用性和趣味性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习说课稿
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.部分学生对勾股定理的理解不够深入，可能在应用时出现错误。
2.学生在小组合作过程中可能出现分工不均、讨论效率低下等问题。
应对策略：
1.针对学生理解不足的问题，及时进行个别辅导，强化勾股定理的知识点。
2.在小组合作中，加强组织和引导，确保每个学生都能积极参与。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
2.设计有趣的数学游戏和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养学生的合作意识。
3.鼓励学生主动参与课堂讨论，引导学生发现勾股定理的规律，提高学生的自主学习能力。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，具备的前置知识有：勾股定理的基本概念、证明方法以及一些简单的应用。可能存在的学习障碍有：
1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用勾股定理解决问题。
2.勾股数的辨识能力较弱，容易与其他三角形的三边关系混淆。
3.在解决实际问题时，不能将问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解。
4.创设问题情境，引导学生通过探究、合作交流等方式解决问题，让学生在解决问题中体验成功，增强学习信心。
5.结合学生的年龄特点和兴趣，运用多媒体教学手段，直观展示勾股定理的图形和实例，提高学生的学习兴趣和动机。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括：启发式教学法、探究式教学法和小组合作学习法。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：教师提问，学生回答；教师引导学生进行探究，给予指导和反馈。
八年级下册知识点归纳总结数学
八年级下册知识点归纳总结数学数学作为一门重要的学科，对于学生的学习和发展具有十分重要的作用。
八年级下册数学内容丰富，其中涵盖了许多重要的知识点。
为了帮助同学们更好地复习和总结这些知识点，下面对八年级下册的数学知识进行归纳总结。
一、代数与函数1. 初步认识函数（1）函数的概念：函数是一种特殊的关系。
（2）函数的表示方法：函数的三要素是输入、输出和对应关系，可以用表格、图象和公式等形式来表示函数。
（3）函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数（1）一次函数的概念：一次函数是指次数为1的函数。
（2）一次函数的性质：一次函数的图象是一条直线，可以通过两个点来确定一条一次函数。
（3）一次函数的表达式：函数的表达式通常为y=kx+b，其中k 和b为常数。
3. 二次函数（1）二次函数的概念：二次函数是指次数为2的函数。
（2）二次函数的性质：二次函数的图象是一个抛物线，可以通过顶点、对称轴和焦点等来确定二次函数。
（3）二次函数的表达式：函数的表达式通常为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
4. 等差数列（1）等差数列的概念：等差数列是指数之间的差值相等的数列。
（2）等差数列的通项公式：通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
二、图形与尺度1. 平行线与三角形（1）平行线的判定：根据平行线的性质，可通过角的对应关系和直线之间的交错性质来判定平行线。
（2）三角形内部角的性质：三角形内部的角和为180°，其中等腰三角形、直角三角形有一些特殊的性质。
2. 四边形（1）四边形的分类：四边形可分为平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
（2）四边形内角的性质：四边形的内角和为360°，不同类型的四边形有不同的内角性质。
3. 相似与全等（1）相似的概念：相似是指两个图形形状相同但大小可以不同。
（2）相似三角形的性质与判定：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
部编2020八年级数学下册 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理教案
教学环节
教学活动
教师复备
问题： 城市 A 要到达城市 B 必须经过 C 地的一条互相垂直的公路才能到
达，为了城市发展的需要，政府决定在城市 A、B 之间建造一条最短的公
路。如果你是工程师，如何建造？建成之后两个城市之间缩短了多少距 导
离？
阅读教材 P22 至 P24，解决下列问题： 1.发现直角三角形中三条边之间的关系命题：
B
A
7cm
C D
2
教学反思
3
2.这个命题的证明方法： 思
赵爽利用弦．图．证．明．。．
显然 4 个
即 4× 1 × 2
的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.
＋﹝
﹞2＝c2,化简后得到
.
8 公里
c c
b a
1
议
讨论还有没有其他的证明方法？借鉴 P30 内容
(1) 已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则 AB=
.
(2) 已知 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求 AC=
.
(3)已知 Rt△ABC 中，∠ B=90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，
∠C 的对边， c∶a=3∶4，b=15，求 a，c 及斜边高线 h.
展
1、对展示中的出现的错误进行纠正，对主要出现的问题强调
2、总结本节课知识 评
强调：正确运用勾股定理（内涵）
1.一个直角三角形，两直角边长分别是 3 和 4，则斜边的长是
2.已知在 Rt△ABC 中，∠B=90°，a.b.c 是△ABC 的三边，则
⑴c=
.（已知 a.b，求 c）
⑵a= 检
⑶b=
.（已知 b.c，求 a） .（已知 a. c，求 b）
2019年春八年级数学下册 第十七章 勾股定理本章总结提升导学课件 新人教版PPT
图17－T－1
5
本章总结提升
[解析] 在Rt△A′BC中，BC＝5，A′C＝6×2＝12，根据勾 股定理，得A′B2＝BC2＋A′C2＝52＋122＝169，所以A′B ＝13. 因为A′A＝6，所以A′B＋A′A＝13＋6＝19， 所以这个“风车”的外围周长是19×4＝76.
6
本章总结提升
【归纳总结】 在直角三角形中，如果已知两边长，那 么可以直接利用勾股定理求出第三边长；若题目中的条 件不能确定两边长，但能确定两边之间的关系，这时可 以引入未知数，借助方程思想求解．在题目中如果没有 直角三角形，那么需要通过作高或作垂线，构造直角三 角形，再利用勾股定理求解．
7
本章总结提升
【针对训练】
1．直角三角形纸片 ABC 的两直角边长分别为 6，8，现将△ABC 按如
图
17－T－2
那样折叠，使点
A
与点
B
重合，折痕为
CE DE，则BC的值
是( C )
图 17－T－2
A.274
B.
7 3
C.274
D.13
8
本章总结提升
[解析]因为图形的折叠属于全等变换(或轴对称变换)，所以△ ADE≌△BDE，这时 BE＝AE.设 CE＝x，则 AE＝8－x，因此 BE＝
10
本章总结提升
2．四边形ABCD如图17－T－3所示，其中∠A＝∠CBD＝90°， 根据图中给出的数据，请计算该四边形的面积．(图中数据 单位：cm) 解：Rt△ABD 的面积为12×12×16＝96(cm2)， 且 BD＝ 122＋162＝20(cm)， 所以 Rt△BCD 的面积为12×15×20＝150(cm2)， 图17－T－3 所以四边形 ABCD 的面积为 150＋96＝246(cm2)．
八年级数学下册 第一部分 基础知识篇 第17课 归纳猜想型问题(B组)瞄准中考课件
令 1 1 1 t , 则 ( 1 t ) 原 t 1 ( ) ( 1 t 式 1 ) t t 1 t 2 1 t 4 t t 2 1
问题2 : 3 4
5 5 55 5 5
（1）计算
一二 (1111... 1 )(1111... 1 1 ) 读联 2 3 4 2014 2 3 4 5 20124015
之和它给出了(a+b)n(n 为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系
数规律.例如.在三角形中第三行
的三个数1.2.1.恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b3展开式中的系数
一二
;第四行的四个1.3.3.1.恰好对应看(a+b)3=a3+3a2b+3ab3+3
读联
展开式中的系数等等.
利关用键完词全：平方 公杨式辉解三题角。
和解一元二次方程。
： t2 13 -t22 1t0 t t2 1 1 4 t1;2012 5015
2 0 1250 1 52 0 1 25 0 1 5
(2)设 x25x1t,则原方程t(t化 6)为 7, ：
t26t70,解t 得 7或 1 ，
当 t 1 ， x 2 5 x 1 1 ,解 x 1 0 得 ,x 2 5 .
(11111... 1 1 )(111... 1 ); 2 3 4 5 20124015 2 3 4 2014
（2）解方程 (x2 5 x 1 )x (2 5 x 7 ) 7 .
根关据键设词t：的值和 解一t 元值二. 次方
程求解。
第十页，共十四页。
解题技巧
三四
本题考查规律探索
解 ( 1 ) 设 1 1 . .1 . t ,则 ( 1 原 t) ( t 式 1 ) ( 1 t 1 ) t解悟
人教版数学八年级下 第十七章勾股定理知识点总结
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得bacbac cabcab cbaHG F EDCBAa bccbaE D CBA诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得=(cm)因此，第三边的长度是10cm或者例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=512(6+23)=15536+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=336232315536++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD ∴MD=222(3)3AD AD -=33AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。
八年级数学下册 第一部分 基础知识篇 第17课 归纳猜想型问题例题课件浙教级下册数学课件
第十四页，共四十一页。
失误(shīwù)防范
2.规律型--数字的变化类解题基本步骤：
先看增幅是否相等(xiāngděng)，如相等(xiāngděng)，用基本方法（1）解题；
如不相等，综合运用技巧（1）、（2）找规律； 如不行，就运用技巧（3）、（4）、（5），变换成新数列，然后运用技巧 （1）、（2）、找出新数列的规律； 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（2）解题.
解： 由图可知：第一个图案(tú àn)有三角形1个．第二图案
有三角形1+3=4个．
第三个图案有三角形1+3+4=8个，
重找要出结哪论些： 关图部键形分词的发：变生 某图推图化由一重分了是么化答种案断案规特般要析变按规的此规，下.律殊.方法化照律是题律一，到法，什变解的，个： 关键．
第四个图案有三角形1+3+4+4=12个，
第9个数与第三个数相同，即b=﹣2，
∴格子中每3个数“﹣4、6、﹣2”为一个循环组依次循环， ∵2013÷3=671， ∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为﹣2．故答案 为﹣2．
一四三二读悟解联
关表表求数仔排求c而律键格中2.重数类规重分的0细列出得是词所的1要字，律要析值3观规a到解：给未个结的型方法、，察律其本数知格论变.法b从、规题据数的：化：，， 的关键．
第十一页，共四十一页。
举一反三(jǔ yī fǎn sān)
如下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数(zhěngshù)，使得其中 任意三个相邻格子中所填整数(zhěngshù)之和都相等，则第2012个格子 中的整数为 ．
思答案路：分∵析任:根意据三三个个相邻相格邻子格中子所的填整整数数的之和和相都等相列等式，求出a、c的值，再根据第9 个∴数3+是a+2b可=a得+b=+2c，，然解后得找c=出3，格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2012除 以a+b3+，c=根b据+c余+（数﹣的1情）况，确解定得与a第=﹣几1个，数相同即可得解． 所以，数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b， 第9个数与第三个数相同，即b=2， 所以，每3个数“3、﹣1、2”为一个循环组依次循环， ∵2012÷3=670…2， ∴第2012个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1．故答案为：﹣1．
2019-2020年八年级数学下册 第十七章 勾股定理小结与复习教案 (新版)新人教版
2019-2020年八年级数学下册第十七章勾股定理小结与复习教案（新版）新人教版17.2 勾股定理的逆定理（2）【教学目标】知识与技能1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.过程与方法情感、态度与价值观【教学重难点】重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.【导学过程】【知识回顾】在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点． 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．【经典例题】探究一、探究二、探究三、…….【知识梳理】【随堂练习】1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍 3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 8 4.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ） A ．6cm B ．8．5cm C ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结与复习课件(共19张PPT)
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
解:设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE，
∴BC=FC=10.
令BE=FE=x，长方形ABCD，
∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°，
N
P M
B
A
Q
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长 和面积？ 解一般三角形的问题常常通过作高转化成
直角三角形，利用勾股定理解决问题.
第五组练习: 勾股定理及其逆定理的综合应用
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积. 分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助 线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的 形状为直角三角形，再利用勾股定理解题. 解：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°. ∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5 .∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形； ∴四边形的面积为1+ 5.
第二组练习: 用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树 ．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下 ，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心 自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张
大爷的房子吗？（
A．一定不会
A ）
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
理清脉络 构建框架
勾股定理
互逆定理
勾股定理 的逆定理
直角三角 形的判定
人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
勾股定理全章知识点归纳及典型题分类一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n为正整数） 二、典型题归类 类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。
【精编版】2019年人教版数学初二下学期第十七章知识点总结
2019年人教版数学初二下学期第十七章知识点总结第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
2019-2020人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结与复习课件(共39张PPT)
为12厘米，求正方形CDEF的面积。
F
E
AC2=32+42=52
SCDEF=FC2=AF2+AC2=122+52
A
=132=169厘米2
C
D
B
5、如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么
关系？
S3 S1
S2
S1+S2=S3
即：两直角边上的半圆面积之 和等于斜边上半圆的面积。
6、已知三角形ABC中，AB=10， BC=21，AC=17，求BC边上的高线AD。
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a:b: c=3:4:5
_是___ ∠_A__=_9_0;0
_不__是_ _____ ;
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
_是____ ∠__C_=_9_0;0
像25,20,15,能够成为直角三角形
三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
能够成为_直__角__三角形三条边长的三个_正__整__数___称 为勾股数.
9.三角形的三边长为a，b，c，且满足等式 a b2
c2 2ab ，则此三角形是（ B ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
10．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东 北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从 港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后， 则两船相距 （ D ）
解：设BD=X，则DC=21－X。 A ∵AD⊥BC
∴AD2=AB2-BD2=102-X2
BD
C
AD2=AC2-CD2=172-（21-X）2
∴102-X2=172-（21-X）2 解，得 X=6
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h
11
解题技巧
1第对(01.一任)有经个何一过数正列探是整按究数1 一,1.我2 定第们顺,n个发序第数 现和二:与规个第1 律数( 排n是+1 列1-2)1 1的个， 3 数数1:,的 第和1 三-等1 个， 于数1 n 是 (n21 31-241 ) 设列数一读二联的第5个数根为关规据a键律规,那词.律：解题。 1 2122 3 233 4 34 a11,a11,a11 哪个正确? 56 56 56
h
本题由关考题键查意词规依：律次探推索. 出正B方的形坐. 标找 出规律求解。
6
解题技巧
1 1 1 1 1 1 1 1
7.设 S = 1 + 1 2 + 2 2 , S = 1 + 2 2 + 3 2 , S = 1 + 3 2 + 4 2 .S . = 1 + . n 2 + , ( n + 1 ) 2
第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称;.照此规律
解重复下去,则点P2013的坐标为 （0，-2） .
：
根据题意得：P1(2,0),P,0),P6(0,0)... 观察规律得：之后碰到的点的坐标按P1-P6的规律循环，
因为2013÷6=335...3，所以P2013的坐标与P3的坐标相同。
个电动玩具从坐标原点0出发,第一次跳跃到点P1.使得点P1与点O关于点A成中心对
称;第二次跳跃到点P2.使得点P2与点P1关于点B成中心对 称;第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称; 第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称;
一二三四 读联解悟
本题观关考察键查P词规点：律坐探标索。 变中化心求对解称。.
故本题的正确答案为（0，-2）。
h
5
解题技巧
6.如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在
坐标轴上.以它的对角线OB;为边作正方形OB1B2C2，再以正方形
OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3以此类推.则
一二四三
正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 (21008,0) .
12 n212 (n 1 ) 2 。 n 1n (n2 ) n 1n (n2 ) n (n2 )
1 - 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ,1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 ,2 .1 . 0 . 2 1 1 0 2 1 6 2 1 0 2 1 7 1 0 2 1 6 ,1 05 16 将上述201个 6 不等式式子依次得 相， 1 加-2 10 1 1 2 1 2 1 7 2 3 1 2 . .2 .10 2 2 110 5 2 2 1 2 6 1016
： 而2015=215×8+7，可以推断出位于第四象限，其坐标为，
(2 (20 1 ) 1 2 , 52 (20 1 ) 1 2 )5 (2 10 , 0 2 1 70 )07
观察到B7到B8的规律，可知B2016在x轴正半轴上，其坐标为B2016(21008,0)。
故本题的正确答案为(21008,0)。
读联悟解
由题意可以推出B1(1,1)，B2(0,2)，B3(-2,2)，B4(-4,0)，B5(-4,4)，
B6(0,-8),B7(8,-8),B8(16,0),B9(16,16),...,
解
可以看出B1，B2，B5，B7分别位于第一、二、三、四象限； 且横纵坐标的绝对值相等，分别等于20，21，22，23。
解题技巧
1.2615个位上的数字是（
）
A. 2
B. 4
C. 6 D. 8
三一四二 解读悟联
解 21的个位数字是2,
：
22的个位数字是4 23的个位数字是8,
24的个位数字是6,
25的个位数字是2
因为615=4×153+3所以2615的个位数字与23的个位数字相同,即是8.
故选D.
h
本找题关规考键律查词解规：题律。探索， 2的个N次位方. 的个位数 都是以2、4、8、6 循环的，抓住这个 规律就可以解决本 题。
2 23 nn 1
n11(n1)21n22n
n1 n1n 2 2 n n1
故本题的正确答案为 n 1 。
h
7
解题技巧
8.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是
一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为
其上方左右两数之和它给出了(a+b)n(n 为正整数)的展开式(按a的次数
解
n (n 1 )n 2 (n 2 1 n )2 2 2 n 1n (n n (n 1 )1 )1 22
： 所 S n 以 n ( n n (n 1 ) 1 )1 1 n (n 1 1 ) 1 1 n n 1 1
所 S 1 以 1 1 1 1 1 . .1 . 1 1
全，题可。更容易得出
答案。
可得断去部分的小菱形个数为5。
故选B.
h
2
解题技巧
3.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现:从第二个加数起每一个加数
都是前一个加数的6倍，于是她设:S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①然后在①式的两
边都乘以6.得:6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②,②-①
h
8
解题技巧
解
： （1）(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2(-1)4+(-1)5 =(2-1)5=1
h
四三
本题考查了完全平
悟解 方公式的应用。
9
解题技巧
9.阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题，
2 3 4
5 5 55 5 5
问题:
一二 （1）计算
(1111... 1 )(1111... 1 1 ) 2 3 4 201243 4 5 20124015
读联 (11111... 1 1 )(111... 1 );
2 3 4 5 2012401253 4 2014
根关据键设词t：的值和 解一t 元值二. 次方
2012 5015201 25 015
(2)设 x25x1t,则原方程t(t化 6)为 7, ：
t26t70,解t 得 7或 1 ，
当 t 1 ， x 2 5 x 1 1 ,解 x 1 0 得 ,x 2 5 .
当 t-7时x2 ， 5x17,b24a c524180,此时方程无解。
即原方程的解 x1为 0,x： 25.
二一三四 联读解悟
离记为h2015,到BC的距离记为h2015.若h1=1,则h2015的值为（ D ）
本题找关考折键查痕词规和：律规探律索。
解折题叠。.
1
A. 2 2015
1
B. 2 2014
C.
1
-
2
1
2015
D.
2- 1 2 2014
解 连接AA1;由折叠性质可得AA1⊥DE,DA=DA1∵D为AB中点，∴DB=DA,∠BA1D=∠B
由大到小的顺序排列)的系数规律.例如.在三角形中第三行
的三个数1.2.1.恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b3展开式中的系数 一二 ;第四行的四个1.3.3.1.恰好对应看(a+b)3=a3+3a2b+3ab3+3 读联
展开式中的系数等等.
利关用键完词全：平方 公杨式辉解三题角。
(1)根据上面的规律,写出(a+b)5 的展开式. (2)利用上面的规律计算:25 -5X24+10X24.-10X22+5X2-1.
计算 ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 ).
2 3 42 3 4 5 2 3 4 52 3 4
令 1 1 1 t , 则 ( 1 t ) 原 t 1 ( ) ( 1 t 式 1 ) t t 1 t 2 1 t 4 t t 2 1
1
2
3
n
设 SS1n 2S 22 n ... Sn
一二四三
则S=
n 1 (用含n的代数式表示，其中n为正整数). 读联悟解
因 S n 为 1 n 1 2 (n 1 1 )2 n 2 (n 1 n )2 2 ( n ( n 1 )2 1 )2 n 2
本题找关考规键查律词分解：式分的式运
算。。S等式.
求证:2016M
6 2017
4013 2016
h
12
解题技巧
三四
本题考查规律探索
解
(1)a 1 1,
解悟
56
1
1
(2)由题意可知，第n个数为n (n 1，) 第(n+1)个数为 (n2)(n1) ，
和分式运算。
：
第n个数与第(n+1)个数的和为 1 1 1 (11)
n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 ) n 1 nn 2
请你直接写出正确的结论;
(2)请你观察第1个数、第2个数.第3个数，猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第
2