高等几何讲义(第4章)

高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 配极与二次曲线
3x12 2x1x2 2x22 0．
因 22 432 20 < 0，故 为 的无切点线， 从而 a 是 的无切线点． 解法2：由(*)式可得， 与 a 的线坐标方程分别为： : 312 322 232 212 1213 423 0，
d
c
w
§1. 配极与二次曲线 例4 过不在曲线上的已知点 u，作的切线． 作法： 1) 由例3作出 u 的极线，与曲线交得二点； 2) 分别与 u 连线，则得切线． u
y
x Γ
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§1. 配极与二次曲线 例5 直线关于二次曲线Γ的极点．
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q
§1. 配极与二次曲线 在完全四点形 sa//cb// 的对角线 ab上，有 (ba; pc//) 1， 因 a、b 在曲线上，故 p 与 c//是一对共轭点． 又 p 在 c/ 的极线 ab上，故 p 与 c/ 共轭． 因此，p 的极线是 c/c//． p a/ 同理，q 的极线是 a/a//， r 的极线是b/b//． b a// r 从而，因 p、q、r 共线， c /a//、b/b//、 故a c// s /c// 共点． b// c
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定理1
定理1/ 对于二级曲线
1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(2)/ 3 直线 的极点方程为 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(3)/ 3
§1. 配极与二次曲线 推论1 直线 关于二阶曲 推论1/ 点 y 关于二级曲线 线 (2) 的极点坐标为 (2)/ 的极线坐标为 (x1,x2,x3) (1,2,3)(Aij)． (1,2,3) (y1, y2, y3)(aij)． 推论2 在二阶曲线(2)上的 推论2/ 属于二级曲线(2)/ 的 任意点 y 的切线方程为 任意直线的切点方程为 x1 (y1, y2,y3)(aij)x2 0． x3 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0． 3
q
c/
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a
b/
§1. 配极与二次曲线
二次曲线 对应的配极的自极三点形称为二次 曲线 的自极三点形． 定理5 二次曲线的内接完全四点形的对角三点 形是曲线的自极三点形． u 证明：设的内接完全四点形 a x abcd 的对角三点形为 uvw， v d 并设 x (uv)(ad)， y (uv)(bc)， 则 (ad; xw) 1， y c w b 故由定理4 知 x 与 w 共轭， 即 w 的极线过 x； 同理，w 的极线过 y． 因此，w 的极线为 xy uv．
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§1. 配极与二次曲线 因上述二相互对偶的定理，二阶曲线与二级曲线 统一了起来，将二者统称为二次曲线． 方程 (2) 和 (2)/ 分别是二次曲线的点坐标方程和 线坐标方程．
由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的 集合，它与二阶曲线是对偶的．
下述定理表明，二阶曲线与二级曲线就其本质而 言是一样的．
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§1. 配极与二次曲线 定理2 二阶曲线 定理2/ 二级曲线 x1 1 (x1, x2,x3)(aij)x2 0．(2) (1, 2, 3)(bij)2 0． x3 3 的切线集合为二级曲线 的切点集合为二阶曲线 x1 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(2)/ (x1, x2,x3)(Bij) x2 0． x3 3 其中， Aij是(aij)中 aij 的 其中， Bij是(bij)中 bij 的 代数余子式． 代数余子式．
§1. 配极与二次曲线 推论 不在曲线上的点是无切线点 其极线是 无切点线． 例1 已知二次曲线 : x12 3x22 x32 2x1x2 4x1x3 0 和点 a(1, 0, 1)，试判定点 a 是二次曲 线 的哪一类点． 解法1： 方程可改写为： 1 1 2 x1 (x1, x2, x3) 1 3 0 x2 0． (*) 2 0 1 x3 由此可得 a 关于 的极线 : x1 x2 x3 0， 解得 x3 x1 x2，代入 方程得
因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标
准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为：
b1x12 b2x22 b3x32 0． 下面是另一种简化形式： 定理6 以二次曲线的一个二切线点和由此点作出 的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则
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§1. 配极与二次曲线
2. 极点与极线 二次曲线
配极的极点和极线，称为其对应二阶曲线和二级曲 线的极点和极线．
对于二阶曲线 x1 (x1, x2,x3)(aij)x2 0．(2) x3 点 y 的极线方程为 x1 (y1, y2,y3)(aij)x2 0．(3) x3
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§1. 配极与二次曲线



b
a c
1. 切线： 的自共轭直 1. 切点： 的自共轭 线．切点为该直线上的 点．切线为过该点的自 自共轭点；(其等价定义：共轭直线；(其等价定义： 切线是有唯一属于二阶 切点是有唯一属于二级 曲线的点的点列) 曲线的直线的线束) 2. 二切点线(割线)：过 2. 二切线点：有二自共 二自共轭点的直线； 轭直线通过的点； 3. 无切点线(离线)：不 3. 无切线点 ：无自共轭 过自共轭点的直线． 直线通过的点．
a: 1 3 0，
将 a 的线坐标方程代入 的线坐标方程，得
712 212 222 0，
其判别式 22 472 52 < 0， 故线束 a 中无 的切线，即 a 是 的无切线点．
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§1. 配极与二次曲线 若一对点是配极 的共轭点对，则称它们是 对应的二次曲线的共轭点对． 定理4 若过点对 x、x/ 的直线 交二次曲线 于 u、v 两点，则 x 与 x/ 是 的共轭点对 (uv; xx/) 1． 证明：设 ：(x)(aij)(x)T 0． 因 x、x/、u、v共线，故可设 (x) (u) (v)， x u x/ v /) (u) + (v)． (x 又 (x)(aij)(x/)T [(u) + (v)](aij)[(u) + (v)]T
所以，x 与 x/ 是 的共轭点对 (x)(aij)(x/)T 0 [ + ](u)(aij)(v)T 0 +0 (uv; xx/) 1． 注意：此定理将共轭与调和共轭联系了起来．
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§1. 配极与二次曲线 例2 由二次曲线的内接三点形 abc 的各顶点作 此曲线的切线，构成外切三点形 a/b/c/，从不在 上述各直线上任一点 s 与 a、b、c 分别连直线 交对边于 a//、b//、c//． 求证： a/ a//、b/ b//、c/ c// 共点． a/ 证明：因三点形 abc 与三 p 点形a//b//c//对应顶点连线 b 共点，故对应边交点 a// r c (ab)(a//b//) p， c// s (bc)(b//c//) q， b// (ca)(c//a//) r 共线． a c/ b/
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§1. 配极与二次曲线
(u)(aij)(u)T + [ + ](u)(aij)(v)T + (v)(aij)(v)T．
因 u、v 为 上二点，故 (u)(aij)(v)T 0 且
(x)(aij)(x/)T [ + ](u)(aij)(v)T．
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配极对应的二级曲线方 程为： 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(1)/ 3 即 Aijij 0, Aij Aji． 若配极为双曲型，则其 对应二级曲线有无穷多 实直线，故也称为二次 线束． (如下图)
定理3 不在二次曲线上的 点为二切线点 其极线是 二切点线，且极线与曲线 的两交点与此二切线点所 连直线是切线．
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y

x

z
§1. 配极与二次曲线 证明：设过二切线点 x 的 y 两条切线 、 的切点分 别为 y、z． 因 y、z 的极线 、 过 x， x 故 x 的极线过 y、z．
其对应的二阶曲线和二级曲线方程为：
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§1. 配极与二次曲线 配极对应的二阶曲线方 程为： x1 (x1, x2,x3)(aij)x2 0．(1) x3 即 aijxixj 0, aij aji． 若配极为双曲型，则其 对应二阶曲线有无穷多 实点，故也称为二次点 列．(如下图)
作法：直线上任取二不在曲线上的点，作出各
自的极线，则二线交点为直线的极点． 例6 任意点 x 关于二次曲线的极线． 作法：过 x 任取两条直线，由例5作法作二直线 的极点，连接二点所得直线即为 x 的极线．
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§1. 配极与二次曲线
3. 二次曲线方程的简化形式
第四章 二次曲线的射影理论
§1. 配极与二次曲线
1. 二阶曲线与二级曲线
射影平面上，配极的自 射影平面上，配极的自 共轭点的轨迹称为二阶 共轭直线的轨迹称为二 曲线． 级曲线． 给定配极 (1, 2, 3) (x1, x2, x3)(aij) ： (x1, x2, x3) (1, 2, 3)(Aij)． 其中，aij aji，Aij 是 (aij) 中 aij 的代数余子式．
由于配极有两种类型，故曲线也如此．
§1. 配极与二次曲线
若配极是椭圆型的，则 若配极是椭圆型的，则 其对应二阶曲线不存在，其对应二级曲线不存在， 或说对应虚二阶曲线． 或说对应虚二级曲线．
由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念 移植到曲线． 下面就双曲型配极对应的曲线讨论点、直线与曲 线的关系．
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§1. 配极与二次曲线 同理，u 的极线为 wv； v 的极线为 uw． 所以三点形 uvw 是自极三点形． 利用定理5可以解决一些作图问题． 例3 作不在曲线上的已知点 v 关于的极线． u a v b
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z
从而 x 的极线 与曲线交于 y、z 两点．即 是 二切点线． 反之，设点 x 的极线 与曲线交于 y、z 两点． 因点 x 的极线 过 y、z 两点，故 y、z 的极线 、 过x． 这即是说 、 就是过 x 的两条切线．
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