琴生不等式【学生版】
琴生不等式建立幂平均不等式
琴生不等式建立幂平均不等式凹凸性是数学分析的重要概念之一，琴生不等式是不等式理论的最有力工具。
本节，我们采用两种方法，用。
我们由两个简单的引理开始： 引理4.1：设,,a b c 为正实数，在实数空间定义函数：()ln x x xa b c f x 3⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭其中：x R ∈. 则'()()13f 0abc =.证明：ln ln ln '()x x x x x xa ab bc cf x a b c ++=++，则：ln ln ln '()()13a b cf 0abc 3++==引理4.2：设f 为实数空间的连续函数，假设f 在(,)0+∞区间单调递增，且f 在(,)0-∞区间单调递增，则f 为实数空间单调递增。
证明：首先证明f 在[,)0+∞区间单调递增。
根据假设，对所有x 0>都有()()f x f 0≥那么，对所有(,)0x ε∈，总有()()f x f ε≥。
因为f 在x 0=点连续，故：()lim ()()0f x f f 0εε+→≥=同样，f 在(,]0-∞区间单调递增，我们现在证明，f 为实数空间单调递增。
若(,)0x y ∉，由假设我们得到结果。
若x 0y ≥≥，则()()()f x f 0f y ≥≥. 定理4.1：（三变量的幂平均不等式）设,,a b c 为正实数，定义实数空间的函数：(,,)()a b c M 0=(,,)()r r r a b c a b cM r 3⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭（r 0≠） ()47- 则：(,,)a b c M 为单调递增连续函数。
证明一：记(,,)()()a b c M r M r =，首先M 是连续的，M 在所有r 0≠的空间连续。
这足以证明：lim ()r 0M r →=设()ln x x xa b c f x 3⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭，其中： x R ∈. 因为()f 00=,引理4.2是指：()()()limlim '()r 0r 0f r f r f 0f 0r r 0→→-===-因为x e 是连续函数，即：()lim ()lim f r rr 0r 0M r ee →→===现在，我们证明M 是单调递增函数。
：凸函数与琴生不等式(带解答)
For personal use only in study and research; not for commercial use第一讲：凸函数与琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上 方（或曲线上）．③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则 ()f x 为上凸函数。
常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=ln sin ,=ln cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上， 常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上， 二、琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ，总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ；当且仅当12n x x x ===时取到等号。
若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ，总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。
当且仅当12n x x x ===时取到等号。
三、加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++;n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++.n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有附：应用21)(xx f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。
《琴生不等式简介综述》
琴生不等式简介综述1.1基本内容Jensen 在1905年给出了一个定义：设函数的()f x 定义域为[],a b ，如果对于[],a b 内任意两数1x ，2x ，都有1212)())22x x f x f x f ++≥（（,则称为[],a b 上的凸函数。
如果不等号方向反向，则称为[],a b 上的凹函数。
凸函数的几何意义是：如果通过曲线上的任意两点作弦，弦的中点必须在曲线上或在曲线上方。
其推广形式是——若函数()f x 的是[],a b 上的凸函数，则对于[],a b 内的任意数,都有:()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑==n x f n x f n i i ni i 11 当且仅当12=n x x x ==……时等号成立,则称该不等式为琴生（Jensen ）不等式[6]。
1.2 推广形式1.2.1加权形式若()f x 是[],a b 上的凸函数，任意的[]12,,,,n a a a a b ∈……，，且12+1n a a a ++=……,12,,n a a a ……，为正数，则有11221122(+)()()+()n n n n f a x a x a x a f x a f x a f x ++≤++…………当且仅当12=n x x x ==……时等号成立[7]。
1.2.2 积分形式设是()f x 定义在上[],a b 的可积函数，()m f x M ≤≤，[],x a b ∈,()x ϕ是[],m M 上的可微凸函数，则有()11(())()b b a a f x dx f x dx b a b aϕϕ≤--⎰⎰ 积分形式的琴生不等式还有更一般的形式：设f(x)与p(x)均为定义在[a,b]上的可积函数，且m ≤f(x)≤M ，p(x)>0,x ∈[a,b]，φ(x )是[m,M]上的可微凸函数，则有φ(∫p (x )f (x )dxb a ∫p (x )dx b a )≤∫p (x )φ(f (x ))dxb a ∫p (x )dx b a1.2.3 高维形式设f(x)的定义域为M (M 为[a,b],或(a,b),或无穷区间),φ(x)是M 上的连续函数, 且存在反函数φ−1(x),则对于任意的x i ∈M(i =1,2,……，n),有()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥∑∑=-=n i ni i x n nf x f 1i 11)(1ϕϕ 下面给出它的一个高维推广，为了方便，引入下列记号：设M =M 1×M 2×……×M m (M i 为[a i ，b i ],或（a i ，b i ），或无穷区间，m ≥1)对于X i=(x i1,x i2,……，x im )∈M ,i =1,2,……，n⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=n i i i X 11-)(ϕλϕ表示m 维向量： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===n i im m i m n i i i n i i i x x x 11-1221-21111-1)(,)(,)(ϕλϕϕλϕϕλϕ 设f(X)的定义域为M ,φi (x )是定义在M i 上的连续函数,且存在反函数。
_琴生不等式、幂平均不等式
高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则 1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 是上凸的。
琴生不等式三角函数
不等式三角函数
在数学中，三角函数在不等式中经常出现。
以下是一些常见的三角函数不等式：
1. **正弦函数不等式：**
- \( \sin(x) \leq 1 \) 对于所有实数\( x \) 成立。
- \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \) 对于所有实数\( x \) 成立。
- \( \sin(x) \geq -1 \) 对于所有实数\( x \) 成立。
2. **余弦函数不等式：**
- \( \cos(x) \leq 1 \) 对于所有实数\( x \) 成立。
- \( -1 \leq \cos(x) \leq 1 \) 对于所有实数\( x \) 成立。
- \( \cos(x) \geq -1 \) 对于所有实数\( x \) 成立。
3. **正切函数不等式：**
- \( \tan(x) \) 的定义域是所有实数，但要注意分母不为零。
所以\( \tan(x) \) 的不等式通常与\( \cos(x) \) 相关。
4. **余切函数不等式：**
- \( \cot(x) \) 的定义域是所有实数，但要注意分母不为零。
所以\( \cot(x) \) 的不等式通常与\( \sin(x) \) 相关。
这些不等式可以在解三角方程、优化问题和其他数学问题中发挥作用。
在具体的问题中，可能需要结合其他代数或函数性质来解决不等式。
第4届中国数学奥林匹克竞赛 琴生不等式
第4届中国数学奥林匹克竞赛琴生不等式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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琴生不等式
琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+x n)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+x n)/n]>= [f(x1)+f(x2)+……+f(x n)]/n (上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+a n x n)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a n f(x n)(上凸),其中a i>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+a n=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说，对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n>=f((x1+x2+...+x n)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,x n,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(x n))/n<=f((x1+x2+...+x n)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=x n才成立。
《琴生不等式的应用综述》
琴生不等式的应用综述1 三角应用【例12】在∆ABC 中，求证：8cosA +cosB +cosC≤9+cos (A −B )+cos (B −C )+cos(C −A) ≤csc 212A +csc 212B +csc 212C[14]证：令f(x)=cscx ,则f(x)是（0，π）内的一个凸函数，于是有3（csc 212A +csc 212B +csc 212C ）=（12+12+12）（csc 212A +csc 212B +csc 212C ）2csc csc csc 222A B C ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭2(3csc )6π= 36=从上式，有csc 212A +csc 212B +csc 212C ≥12≥9+cos (A −B )+cos (B −C )+cos(C −A)(14)（利用余弦函数的绝对值小于1）下面证明前一个不等式cos (A −B )+cos (B −C )+cos (C −A )=2cos 12(A −C )cos 12(A +C −2B )+2cos 212(A −C )−1=2cos 12(A −C )[cos 12(A +C −2B )+cos 12(A −C)]−1 =4cos 12(A −C )cos 12(A −B)cos 12(C −B)−1利用上式，有9+cos (A −B )+cos (B −C )+cos (C −A ) =8+cos (A −B )+cos (B −C )+cos(C −A)利用不等式(14),有8(cosA +cosB +cosC )=8+32sin A2sin B2sin C2要证明前一个不等式成立，只需证明8sin A 2sin B 2sin C 2≤cos 12(A −C )cos 12(A −B)cos 12(C −B)不等式两端同时乘以正实数cos cos cos 222A B C,即等价证明sinAsinBsinC ≤[cos 12(A −B )cos 12C]×[cos 12(B −C )cos 12A]×[cos 12(C −A )cos 12B]而cos 12(A −B )cos 12C =12[cos 12(A +B −C )+cos 12(A −B −C)] =12[cos 12(π−2B )+cos 12(A −(π−A ))] =12(sinA +sinB )≥√sinAsinB 完全类似的，有cos 12(A −B )cos 12A ≥√sinBsinCcos 12(C −A )cos 12B ≥√sinCsinA将上述三个不等式相乘，可得sinAsinBsinC ≤[cos 12(A −B )cos 12C]×[cos 12(B −C )cos 12A]×[cos 12(C −A )cos 12B]所以，原不等式成立。
延森不等式
延森不等式
延森不等式也就是琴生不等式，琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。
它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
延森不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式，比如幂平均不等式、杨格不等式（Young Inequality），赫尔德不等式（H ölder Inequality），闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）。
关于琴生不等式的结论：
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0，那么f(x)是下凸函数（凸函数）。
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0，那么f(x)是上凸函数（凹函数）。
公式应用：(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（t>1时）；(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（0<t<1时）；取f(x) = x^t。
((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1*x2*...*xn，取f(x)=log(x)。
琴生不等式6个基本题型
琴生不等式6个基本题型琴生不等式是数学中的一个重要不等式，具有广泛的应用。
下面我将介绍琴生不等式的六个基本题型，分别是：1. 单变量不等式，对于一个单变量的不等式，可以使用琴生不等式来求解。
例如，求解不等式 x^2 3x + 2 > 0，我们可以将其转化为 (x-1)(x-2) > 0 的形式，然后根据琴生不等式的规则，得到x < 1 或 x > 2，即解集为 (-∞, 1) ∪ (2, +∞)。
2. 二次函数不等式，对于一个二次函数的不等式，可以使用琴生不等式来求解。
例如，求解不等式x^2 4x 5 ≤ 0，我们可以将其转化为 (x-5)(x+1) ≤ 0 的形式，然后根据琴生不等式的规则，得到 -1 ≤ x ≤ 5，即解集为 [-1, 5]。
3. 有理不等式，对于一个有理函数的不等式，可以使用琴生不等式来求解。
例如，求解不等式 (x-1)/(x+2) > 0，我们可以找到函数的零点 x = 1 和 x = -2，然后根据琴生不等式的规则，得到解集为 (-∞, -2) ∪ (1, +∞)。
4. 绝对值不等式，对于一个绝对值函数的不等式，可以使用琴生不等式来求解。
例如，求解不等式 |x-3| < 2，我们可以分别考虑 x-3 > 0 和 x-3 < 0 两种情况，然后根据琴生不等式的规则，得到解集为 (1, 5)。
5. 分式不等式，对于一个分式函数的不等式，可以使用琴生不等式来求解。
例如，求解不等式 (x+1)/(x-2) ≥ 0，我们可以找到函数的零点 x = -1 和 x = 2，然后根据琴生不等式的规则，得到解集为 (-∞, -1] ∪ [2, +∞)。
6. 根式不等式，对于一个根式函数的不等式，可以使用琴生不等式来求解。
例如，求解不等式√(x-3) > 2，我们可以将其转化为 x-3 > 4 的形式，然后根据琴生不等式的规则，得到 x > 7，即解集为(7, +∞)。
琴生不等式的几何解释,凸组合
琴生不等式的几何解释,凸组合琴生不等式（也称为琴生不等式）是数学中的一个重要不等式，它描述了凸组合的性质和凸函数的性质。
它由捷克数学家数学家约瑟夫·琴生在1934年提出，并在发展凸函数理论方面作出了重要贡献。
首先，我们先来解释琴生不等式的几何意义。
凸组合是指在欧几里得空间中，给定n个不同的点x1, x2, ... , xn以及n个非负实数λ1, λ2, ... ,λn，这些实数满足λ1 + λ2 + ... + λn = 1，那么点y=λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn称为这些点的凸组合。
琴生不等式的几何意义是，给定n个点x1, x2, ... , xn以及其凸组合y=λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn，如果所有的λi都大于等于零，则凸组合y一定位于以x1, x2, ... , xn为顶点的凸包内部。
为了理解琴生不等式的几何意义，我们先来了解一下凸包的概念。
在欧几里得空间中，给定一组点集合，凸包是指这个点集合所张成的最小凸多边形或凸多面体。
简单来说，凸包是由这组点的凸组合所包围的区域。
凸包可以直观地理解为从给定的点集合中取出部分点，使得这些点所组成的多边形或多面体包围了整个点集合。
而凸组合可以理解为在一个n维空间中，用一组点的线性组合方式来表示另外一个点的位置。
在这个表示方式下，所有的点都可以通过凸组合来表示。
下面我们来具体证明琴生不等式的几何意义。
首先我们假设有n个点x1, x2, ... , xn以及凸组合y=λ1x1 + λ2x2 + ... + λnxn，其中所有的λi都大于等于零。
我们要证明y 位于以x1, x2, ... , xn为顶点的凸包内部。
为了证明这个结论，我们可以通过构造一个n维的仿射线性映射将琴生不等式的几何意义转化为一道n元线性方程组的问题。
具体地，我们定义A为一个n×n的矩阵，其中矩阵的每一行都是一个输入的点xi。
我们定义x为一个n维列向量，其中每个元素都是一个λi。
二阶琴生不等式证明
二阶琴生不等式证明【最新版】目录1.二阶琴生不等式的定义2.二阶琴生不等式的证明方法3.二阶琴生不等式的应用正文【1.二阶琴生不等式的定义】二阶琴生不等式（Quadratic Gronwall Inequality）是一个在数学分析中经常用到的不等式，主要用于证明一些关于函数的估计问题。
它的表述如下：设 f(x) 是一个二次函数，即 f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），并且a、b、c 都是实数。
如果对于某个实数 x0，有 f(x0) ≤ 0，那么对于所有的实数 x，都有 f(x) ≤ 0。
换句话说，如果一个二次函数在某一点取得非负值，那么它在整个定义域内都非负。
【2.二阶琴生不等式的证明方法】二阶琴生不等式的证明方法有很多，这里我们介绍一种比较常见的证明方法。
假设我们有一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），并且对于某个实数 x0，有 f(x0) ≤ 0。
我们要证明的是，对于所有的实数 x，都有 f(x) ≤ 0。
我们可以将 f(x) 表示为 f(x) = a(x - x0)^2 + f(x0)，这是因为二次函数的图像是一个开口朝上或者朝下的抛物线，它的顶点就是 x = x0。
由于 a≠0，所以这个抛物线开口朝上或者朝下。
因为对于某个实数 x0，有 f(x0) ≤ 0，所以 f(x) = a(x - x0)^2+ f(x0) ≤ f(x0) ≤ 0。
所以对于所有的实数 x，都有 f(x) ≤ 0。
【3.二阶琴生不等式的应用】二阶琴生不等式在数学分析中有广泛的应用，主要用于证明一些关于函数的估计问题。
例如，它可以用来证明拉格朗日中值定理、洛必达法则等。
琴生不等式积分形式
琴生不等式积分形式
琴生不等式是数学中常用的一种不等式，它的积分形式可以表示为：
∫a^b f(x)g(x)dx ≤ (∫a^b f(x)^pdx)^(1/p) * (∫a^b
g(x)^qdx)^(1/q)
其中，f(x)和g(x)是定义在区间[a,b]上的两个非负可积函数，p和q是满足1/p + 1/q = 1的正实数。
琴生不等式的积分形式在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
它可以用来证明柯西-施瓦茨不等式、霍尔德不等式等多种数学定理，也可以用来计算各种复杂的积分。
对于初学者来说，学习琴生不等式的积分形式可以提高数学思维和解决问题的能力。
在应用中，对于一些需要估计或计算积分的问题，我们可以通过琴生不等式的积分形式来确定上限或下限，从而得到更为精确的结果。
总之，琴生不等式的积分形式是数学中的一种重要工具，具有广泛的应用价值。
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自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。
在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。
3.加权平均琴生不等式：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0nii i λλ==>∑，则11(()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑4．曲线凸性的充分条件：设函数()f x 在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x I ∈，''()0f x ≥，则曲线()y f x =在I 内是下凸的； （2）如果对任意x I ∈，''()0f x ≤，则()y f x =在I 内是上凸的。
幂平均不等式若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1111()()nniii i xx n nαββα==≥∑∑．（幂平均不等式的证明见当堂练习题）【试题来源】2006复旦【题目】 设12,(0,)2x x π∈，且12x x ≠，下列不等式成立的有（1）1212tan tan tan 22x x x x ++> （2）1212tan tan tan 22x x x x ++<（3）1212sin sin sin 22x x x x ++> （4）1212sin sin sin 22x x x x++< 【选项】（A ）（1）（3） （B ）（1）（4） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）【试题来源】【题目】证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数【试题来源】 【题目】用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．【试题来源】 【题目】证明幂平均不等式：若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1111()()nniii i xx n nαββα==≥∑∑【试题来源】【题目】a bc +∈R ，，，且a + b + c = 39．【试题来源】 【题目】()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，，21212()()[()]2x x f x f x f +≥。
求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥。
【试题来源】 【题目】设0i x >(1,2,,)i n=⋅⋅⋅，11nii x==∑，⋅⋅⋅+≥【试题来源】 【题目】已知,,0a b c >，1a b c ++=13≤【试题来源】 【题目】证明赫尔德（Holder ）不等式：,(1)i i a b i n ≤≤是2n 个正实数，,0,1αβαβ>+=，则11221212()()n n n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+【试题来源】匈牙利奥林匹克数学竞赛 【题目】求椭圆()222210x y a b a b+=>>内接n 边形的最大面积【试题来源】02成都模拟 【题目】在ABC ∆中，sinA sin sin B C ++的最大值为（ ）【选项】 A21 B 23C 223D 23【试题来源】02成都模拟改编 【题目】在锐角ABC ∆中，cosA cos cos B C ++的最大值为（ ） 【选项】 A21 B 23C 223D 23【试题来源】 【题目】若12,,...,n a a a 是一组实数，且12...n a a a k +++=（k 为定值），试求22212...n a a a +++的最小值。
【试题来源】 【题目】 设A B C 、、是ABC ∆的三个内角，λ是非负常数，求+的最大值。
【试题来源】 【题目】已知：120,(1,2,,)2,1i n x i n n x x x >=≥+++=，，求证：12121n x x xn x x x n≥.【试题来源】 【题目】 证明不等式3()a b c a b c abc a b c ++≤，其中，,,a b c 均为正数。
【试题来源】 【题目】求证:在凸四边形ABCD 中,有 1)1sin sin sin sin 22224A B C D ≤2)sinsin sin sin 2222A B C D+++≤【试题来源】 【题目】若23A B C π++=则求证：1) 2sin sin 3sin 3A B C ++≤ 2)2327cos cos cos 64A B C ≤【试题来源】 【题目】30P ABC PAB PBC PCA ∆∠∠∠︒若为内任一点，求证、、中至少有一个小于或等于；【试题来源】2011湖北 【题目】 设(),1,2,,k k a b k n =均为正数，证明：（i ）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++，则12121n b b b n a a a ≤（ii ）若121n b b b +++=，则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++。
【试题来源】 【题目】已知3x ≥，求证：（1）当01t <<时，有不等式(1)(2)(3)t t t tx x x x --<---； （2）当1t >时，有不等式(1)(2)(3)ttttx x x x -->---。
【试题来源】 【题目】,01,1,2,...,i i a R x i n +∈≤≤=且11ni i a ==∑求证：12112111...n ni a a a i in a x x x x =≤++∑等号成立当且仅当12...n x x x ===【试题来源】 【题目】设0i x π<<(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，且12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=，证明：1sin sin nni i ix xx x =≤∏【试题来源】IMO 预选 【题目】已知,,0a b c >，且1ab bc ca ++=1abc。