琴生不等式【学生版】

自招竞赛 数学讲义

琴生不等式和幂平均不等式

不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

琴生不等式

1. 凸函数的定义：

设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()

()22

x x f x f x f ++≥

，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2

π上的tan y x =，R +上的2y x =，3

y x =等

常见的上凸（凹）函数有[0,)2π

上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等

2. 琴生(Jensen)不等式

若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()

()n n x x x f x f x f x f n n

++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤

上式等号在12...n x x x ===时取到

反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：

1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；

2）假设n k =时命题成立，即1212()()()(

)k k x x x f x f x f x f k k

++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤

那么当1n k =+时，设121

11

k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，

1211

111(1)(1)(1)()()()22

k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+

++-==

11111()(1)()(1)()11[()()][]22k

i k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k

++=+++-+-≤+≤+∑

所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-

所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。

3.加权平均琴生不等式：

若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且

1

1,0n

i

i i λ

λ==>∑，

则1

1

(()()n n

i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑

4．曲线凸性的充分条件：设函数()f x 在开区间I 内具有二阶导数，

（1）如果对任意x I ∈，''()0f x ≥，则曲线()y f x =在I 内是下凸的； （2）如果对任意x I ∈，''()0f x ≤，则()y f x =在I 内是上凸的。

幂平均不等式

若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1

1

11()()n

n

i

i

i i x

x n n

α

β

βα==≥∑∑．

（幂平均不等式的证明见当堂练习题）

【试题来源】2006复旦

【题目】 设12,(0,

)2x x π

∈，且12x x ≠，下列不等式成立的有

（1）1212tan tan tan 22x x x x ++> （2）1212tan tan tan 22x x x x ++<

（3）1212sin sin sin 22x x x x ++> （4）

1212sin sin sin 22

x x x x

++< 【选项】（A ）（1）（3） （B ）（1）（4） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）

【试题来源】

【题目】

证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数

(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2

h x x π

=在[0，上是下凸函数

【试题来源】 【题目】

用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122

n

n i n a a a a R a n

+++

+∈≥，则．

【试题来源】 【题目】

证明幂平均不等式：若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1

1

11()()n

n

i

i

i i x

x n n

α

β

βα==≥∑∑

【试题来源】

【题目】

a b

c +∈R ，，，且a + b + c = 39．