分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】

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分式方程的应用精品导学案及练习附解析

第2课时分式方程的应用学教目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.3．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。

学教重点：利用分式方程组解决实际问题.学教难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.学教过程：一、温故知新：1、分式方程的解法步骤是什么？完成 P36 第4题。

2、解决应用问题的一般步骤是什么？3、解分式方程二、学教互动：（自主探究）课本例3分析：这是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程。

基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1认真审题，然后回答下列问题：1、怎样设未知数，根据哪个关系？2、题中有哪些相等关系？怎样列方程？三、随堂练习：1.为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。

这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。

如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 132x x=-2. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.四、反馈检测：1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。

已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。

中考数学总复习《分式方程》专项提升练习题及答案(人教版)

中考数学总复习《分式方程》专项提升练习题及答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【考点一】分式方程的概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是去分母把分式方程转化为整式方程．（2）解分式方程的一般步骤：分式方程去分母→ 整式方程解整式方程→ x ＝a 检验→ {分式方程的分母不为零则x ＝a 是分式方程的解分式方程的分母为零则x ＝a 是分式方程的增根（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为“0”的根，称为方程的增根. 因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为“0”的根是增根应舍去．（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为“0”的因式．（5）分式方程的无解与增根：分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解．【考点二】分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行 “双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.一、单选题 1．已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么x 的值为（）3．学校用500元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求A ．()111x --=B ．()111x +-=C ．()112x x --=-D ．()112x x +-=- 5．为了美化环境，某地政府计划对辖区内260km 的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿602=；乙：A ．x 表示原计划平均每月的绿化面积B ．y 表示实际完成这项工程需要的月数C ．□表示1.5xD ．◇表示2y -6．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为（）是非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是( )A ．10B ．13C ．15D ．18二、填空题9．分式方程4122mx x x =+--无解，则m 的值为． 10．若关于x 的方程2233x m x x x++=--的解是正数，则m 的取值范围为． 11．为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的3.5倍，则小陈骑自行车上班需要小时．12．已知关于x 的分式方程()()212323nx x x x x =+----的解为正整数，且关于y 的不等式组()6131n y y y -<-⎧⎨-≥-⎩无解，则满足条件的所有整数n 的和为．13．黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．如图，一芭蕾舞演员的身高为160cm ，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm ，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm ．（黄金分割比0.6≈）三、解答题14．解分式方程：(1)522112x x x +=-- (2)214111x x x +-=--a a>的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下17．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m(1)a-的正方形，两块试验田的小麦都收获了1500kg．的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为()1m(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长．18．今年初冬，受强冷空气影响，12月13日早晨开始，北京市出现强降雪天气，截至14日18时，北京市共出动专业作业人员11.5万人次，出动扫雪铲冰作业车辆1.7万车次，分成若干个小组，及时开展扫雪除冰工作，保障道路畅通及市民出行安全．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作．(1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？(2)如果甲、乙两组合作时对道路交通有影响，单独工作时对交通无影响，且要求完成扫雪工作不超过2.5小时，问如何安排扫雪工作，对道路交通的影响会最小？参考答案 1．C2．D3．B4．D5．D6．A7．A8．B9．1或210．6m >-且3m ≠-11．1.412．2-13．63.7514．(1)=1x -(2)1x =15．(1)1x =(2)1a =或2a =16．小颖有道理17．(1)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；(2)“丰收2号”小麦试验田的边长为40m ．18．(1)甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时(2)应安排甲乙合作1小时，然后再由乙组单独施工1.5小时，对道路交通的影响会最小。

(完整版)分式方程及其应用(习题及答案)

八年级数学上册分式方程及其应用（习题）班级姓名➢ 例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---．【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ∴x =2是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40 经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．➢ 巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-nx mx m x n x 2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程： 2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 4. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________． 5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍．A，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A车间因出现故障而停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A，B两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】附加题：1. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--；（2）100602020x x=+-；（3）3201(1)x x x x +-=--；（4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--；（6）2221114268x x x x x +-=----+．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x =36. （1）x =2（2）（3）无解（4）无解7. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装 8. 商厦共盈利90 260元附加题；1. （1）（2）（3）无解（4）无解（5）无解（6）x =143x =43x =5x =。

人教初中数学八上《分式方程分式方程及其解法》导学案

第1课时分式方程及其解法 1.理解分式方程的意义. 2.了解分式方程的基本思路和解法. 3.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 自学指导：阅读教材P149-151，完成下列问题. 1.填空：(1)分母中不含有未知数的方程叫做整式方程(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.判断下列说法是否正确：①232x +=5是分式方程；②4x -43=3x 4+是分式方程; ③xx 2=1是分式方程;④1x 1+=1-y 1是分式方程. 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数.②是分式方程.因为分母中含有未知数.③是分式方程.因为分母中含有未知数.④是分式方程.因为分母中含有未知数.自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①22-x =3x ;②x 4+y 3=7; ③2-x 1=x 3;④x1)-x(x =-1; ⑤πx -3=2x ；⑥2x+51-x =10； ⑦x-x 1=2；⑧x 12x ++3x=1. 解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数.②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母;(2)解整式方程;(3)验根;(4)小结.活动1 小组讨论例1 解方程:3-x 2=x3. 解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3(x-3).解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解为x=9.例2 解方程:1-x x -1=2)1)(x -(x 3+. 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0.所以x=1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练 1.解方程： (1)2x 1=3x 2+； (2)1x x +=33x 2x ++1； (3)1-x 2=1-x 42； (4)x x 52+-x -x 12=0. 解：(1)方程两边乘2x(x+3),得x+3=4x.去分母：x+3=4x.化简得：3x=3.解得x=1.检验：将x=1代入2x(x+3)≠0.所以x=1是方程的解.(2)方程两边乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3.解得x=23-. 检验：将x=23-代入(3x+3)≠0. 所以x=23-是方程的解. (3)方程两边乘x 2-1,得2(x+1)=4.解得x=1.检验：将x=1代入x 2-1=0，所以x=1不是方程的解.所以，原方程无解.(4)方程两边乘x(x+1)(x-1),得5(x-1)-(x+1)=0.解得x=23. 检验：将x=23代入x(x+1)(x-1)≠0. 所以x=23是原方程的解. 方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.2.解分式方程：(1)1-x x =2-2x 3-2; (2)2-x 3-x +1=x-23; (3)1-2x 2x =1-2x 2+. 解：(1)方程两边乘2x-2，得2x=3-2(2x-2).解得x=67. 检验：当x=67时，2x-2≠0.所以x=67是原方程的解. (2)方程两边乘x-2,得x-3+x-2=-3.解得x=1.检验：当x=1时，x-2≠0.所以，x=1是原方程的解.(3)方程两边乘(2x-1)(x+2),得2x(x+2)=(2x-1)(x+2)-2(2x-1).解得x=0.检验：当x=0时，(2x-1)(x+2)≠0.所以，x=0是原方程的解.课堂小结解分式方程的思路是：教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.角的平分线的性质一、学习目标P N M C B A D C B A 1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

北师大2024八年级数学下册 5.4 第2课时分式方程的解法导学案

第五章分式
5.4 分式方程
第2课时分式方程的解法
学习目标：
1. 掌握解分式方程的基本思路和解法；
2. 理解分式方程可能无解的原因.
自主学习
一、复习导入
解一元一次方程
合作探究一、要点探究
知识点一：分式方程的解法
思考：你能求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
(1)如何把它转化为熟知的整式方程呢？
(2)方程各分母最简公分母是：
追问：x = 100 是原分式方程的解吗？
【归纳总结】
【典例精析】例1 解方程：
议一议
在解方程时，小亮的解法如下：
x = 2 是原分式方程的解吗？
想一想：为什么去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？【要点归纳】
【典例精析】例2 解方程：
练一练
1.(西安校考) 解方程：.
想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤
二、课堂小结
当堂检测
1. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是( )
A. 2(x- 8) + 5x = 16(x- 7)
B. 2(x- 8) + 5x = 8
C. 2(x- 8) - 5x = 16(x- 7)
D. 2(x- 8) - 5x = 8
2. 若关于x的分式方程无解，则m的值为( ) A．－1，5 B．1
C．－1.5 或2 D．－0.5 或－1.5
3. 解方程：
4. 若关于x的方程有增根，求m的值.
参考答案合作探究
知识点一：分式方程的解法
例1解方程：
例2 解方程：
练一练
2.(西安校考)解方程：.
当堂检测
1. A.
2. D.
3.
4.。

中考数学复习《分式方程》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《分式方程》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列关于x 的方程，是分式方程的是( )A.3＋x 2－3=2＋x 5B.2x －17=x 2C.x π＋1=2－x 3D.12＋x =1－2x2.分式方程2x －2＋3x 2－x＝1的解为( ) A.x ＝1 B.x ＝2 C.x ＝13D.x ＝0 3.若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的解，则a 的值是( ) A.5 B.－5 C.3 D.－34.分式方程x ＋1x ＋1x －2＝1的解是( ) A.x ＝1 B.x ＝－1 C.x ＝3 D.x ＝－35.分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( ) A.x ＝1 B.x ＝2 C.x ＝－1D.无解6.解分式方程1x －5﹣2＝35－x，去分母得( ) A.1﹣2(x ﹣5)＝﹣3 B.1﹣2(x ﹣5)＝3C.1﹣2x ﹣10＝﹣3D.1﹣2x ＋10＝37.如果分式方程113122=x++-x a+无解，那么a 的值为( )A.2B.﹣2C.2或﹣2D.﹣2或48.解分式方程2x ＋1＋3x －1=6x 2－1分以下几步，其中错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x －1)(x ＋1)B.方程两边都乘以(x －1)(x ＋1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)=6C.解这个整式方程，得x=1D.原方程的解为x=19.某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )A.30x ﹣361.5x ＝10B.30x ﹣301.5x＝10 C.361.5x ﹣30x ＝10 D.30x ＋361.5x＝10 10.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务. 设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是( ) A.60x －60（1＋25%）x ＝30 B.60（1＋25%）x －60x＝30 C.60×（1＋25%）x －60x ＝30 D.60x －60×（1＋25%）x＝30 二、填空题11.下列方程：①x －12＝16；②x ﹣2x ＝3；③x （x －1）x ＝1；④4－x π＝π3；⑤3x ＋x －25＝10；⑥1x ＋2y＝7，其中是整式方程的有，是分式方程的有 . 12.若关于x 的方程211=--ax a x 的解是x=2，则a= . 13.方程2x ＋13－x ＝32的解是 . 14.关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解满足x ＞0，则a 的取值范围是________. 15.A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程____________________.16.对于实数a ，b ，定义一种新运算⊗为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算.例如：1⊗3＝11－32＝﹣18，则方程x ⊗(﹣2)＝2x －4﹣1的解是__________. 三、解答题17.解分式方程：xx－1﹣2x＝1；18.解分式方程：2x－3＝3x；19.解分式方程：1－xx－2＝x2x－4﹣1；20.解分式方程：xx－1－1＝3(x－1)(x＋2)21.对于分式方程x－3x－2＋1＝32－x，小明的解法如下：解：方程两边同乘(x﹣2) 得x﹣3＋1＝﹣3①解得x＝﹣1②检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0③所以x＝﹣1是原分式方程的解.小明的解法有错误吗？若有错误，错在第几步？请你帮他写出正确的解题过程.22.当x为何值时，分式的值比分式的值小2？23.某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．24.随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：(1)普通列车的行驶路程为多少千米？(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度.25.某中学在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元(1)求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？(2)这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，预算金额不超过3000元.去到商场时恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果该学校此次需购买20个乙种足球，请问该学校购买这批足球所用金额是否会超过预算？答案1.D2.A3.A4.A5.D6.A7.D8.D9.A10.C11.答案为：①④⑤，②③⑥.12.答案为：54 .13.答案为：x＝1.14.答案为：a<－1 且a≠－2.15.答案为：200x﹣200x＋15＝12.16.答案为：x＝517.解：去分母得x2﹣2x＋2＝x2﹣x解得x＝2检验：当x＝2时，x(x﹣1)≠0故x＝2是原方程的解；18.解：(1)方程两边乘x(x﹣3)，得2x＝3(x﹣3).解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x﹣3)≠0.所以，原方程的解为x＝9；19.解：去分母，得2(1﹣x)＝x﹣(2x﹣4)，解得x＝﹣2 检验：当x＝﹣2时，2(x﹣2)≠0故x＝﹣2是原方程的根；20.解：方程两边同乘(x－1) (x＋2)得x(x＋2)－(x－1) (x＋2)＝3化简，得 x＋2＝3解得x＝1检验：x＝1时(x－1) (x＋2)＝0，x＝1不是分式方程的解所以原分式方程无解.21.解：有错误，错在第①步，正确解法为：方程两边同乘(x﹣2)得x﹣3＋x﹣2＝﹣3解得x＝1经检验x＝1是分式方程的解所以原分式方程的解是x＝1.22.解：由题意，得﹣=2，解得，x=4经检验，当x=4时，x﹣3=1≠0，即x=4是原方程的解.故当x=4时，分式的值比分式的值小2.23.解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得．解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．24.解：(1)普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520(千米)；(2)设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5千米/时则题意得：＝﹣3，解得：x＝120经检验x＝120是原方程的解则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时.25.解：(1)设购买一个甲种足球需要x元=×2，解得，x=50经检验，x=50是原分式方程的解∴x+20=70即购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；(2)设这所学校再次购买了y个乙种足球70(1﹣10%)y+50(1+10%)(50﹣y)≤3000解得，y≤31.25∴最多可购买31个足球所以该学校购买这批足球所用金额不会超过预算.。

分式方程及其应用(含答案)

分式方程及其应用【分类解析】例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

分式方程提高练习(含答案)

分式方程复习提高)(11b a x b b x a a ≠+=+ b x a 211+=)2(a b ≠ 417425254=-+-x x x x （换元法）87329821+++++=+++++x x x x x x x x （分离常数法） 41315121+++=+++x x x x （分组通分法）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 41215111+++=+++x x x x6811792--+-+=--+-x x x x x x x x 65322176+++++=+++++x x x x x x x x分式方程求待定字母的方法例1．若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值.例2．若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.提示：032>-=a x 且2≠x ，例3．若分式方程xm x x -=--221无解，求m 的值。

例4．若关于x 的方程11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

例5．若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例6、关于x 的方程的解为非负数，求m 的取值范围是．例7、关于x 的方程的解为非正数，求m 的取值范围．例8、若关于x 的方程233x k x x =+--无解，求k 的值例9、已知方程无解，求k 的值．例10、已知关于x 的方程3)1(2122-=+++x x x x ，求11++x x 的值。

分式方程练习：一、选择题1．若73212++y y 的值为81,则96412-+y y 的值是（）（A ）21-（B ）171- （C ）71- （D ）71 2．已知xz z y x +=+=531,则z y y x +-22的值为（）（A ）1 （B ）23 （C ）23- （D ）41 3．若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x x x n x m 均成立,则mn 的值是（）（A ）8 （B ）8- （C ）16 （D ）16-4.有三个连续正整数,其倒数之和是6047,那么这三个数中最小的是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．若d c b a ,,,满足a d d c c b b a ===,则2222d c b a da cd bc ab ++++++的值为（）（A ）1或0 （B ）1- 或0 （C ）1或2-（D ）1或1-6．设轮船在静水中的速度为v ,该船在流水(速度为v u <)中从上游A 驶往下游B,再返回A ，所用的时间为T,假设0=u ,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回A,所用时间为t ,则（）（A ）t T = （B ）t T < （C ）t T > （D ）不能确定T 与t 的大小关系二、填空题7.已知:x 满足方程20061120061=--x x,则代数式2007200520062004+-x x 的值是_____. 8. 已知:b a b a +=+511,则ba ab +的值为_____. 9.方程71011=++zy x 的正整数解()z y x ,,是_____. 10. 若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数,则a 的取值范围是_____. 11. 若11,11=+=+zy y x ,则=xyz _____. 12.设y x ,是两个不同的正整数,且5211=+y x ,则._____=+y x 三、解答题（每题10分,共40分）13．已知2+x a 与2-x b 的和等于442-x x ，求b a ,之值.14．解方程: 708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x .15． a 为何值时，分式方程()01113=++++-x x a x x x 无解？16．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?练习答案：一、选择题1.解：根据题意, 8173212=++y y .可得1322=+y y . 所以().7932296422-=--=-+y y y y所以7196412-=-+y y . 故选（C ）2.解:由xz z y x +=+=531得x x z x z y 5,3=+=+.从而.,4x y x z -== 所以.2342222=+-+=+-x x x x z y y x 故选（B ）3.解: 98332-=--+x x x n x m . 左边通分并整理,得()()9893322-=-+--x x x n m x n m . 因为对3±=x 以外的一切数上式均成立,比较两边分子多项式的系数,得⎩⎨⎧=+=-.033,8n m n m 解得⎩⎨⎧-==.4,4n m所以()1644-=-⨯=mn .故选（D ）4. 解：设这三个连续的正整数分别为2,1,++x x x .则有 604721111=++++x x x . 根据题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯<+⨯>.3604721,360471x x 解得.4739347391<<x 因x 是正整数,所以2=x 或3=x .经检验2=x 适合原方程.故选（B ）5. 解：设 k ad d c c b b a ====,则ak d dk c ck b bk a ====,,,. 上述四式相乘,得4abcdk abcd =.从而1±=k .当1=k 时,d c b a ===, 12222=++++++dc b a da cd bc ab ; 当1-=k 时, d c b a -==-=.144222222-=-=++++++aa d cb a da cd bc ab . 故选（D ）6. 解:设B A ,相距为s ,则.2,222vs t u v vs u v s u v s T =-=-++= 所以1222>-=uv v t T ,即t T > 故选（C ）二、填空题7. 解:由20061120061=--x x,得200612006=--x x . 所以01=--x x .所以0=x .经检验0=x 满足原方程.故200720052007200520062004-=+-x x . 8. 解: 由b a b a +=+511,得ba ab b a +=+5. 所以()ab b a 52=+.所以().33252222==-=-+=+=+ab ab ab ab ab ab ab b a ab b a b a a b9. 解:由71011=++z y x ,得73111+=++z y x . 因为是正整数,故必有1=x ,因而 312371+==+z y . 又因为z y ,也是正整数,故又必有3,2==z y .经检验()3,2,1是原方程的根.因此,原方程的正整数解()z y x ,,是()3,2,1.10. 解:由方程122-=-+x a x ,得x a x -=+22,从而.32a x -= 又由题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->-.232,032a a 所以⎩⎨⎧-≠<.4,2a a 故a 的取值范围是2<a 且4-≠a .11. 解:由11,11=+=+z y y x ,得yz y y y x -=-=-=11,111. 所以1111-=-••-=y y y y xyz . 12. 解:由条件5211=+y x 得512121=+y x . 显然52,52>>y x ,故可设.52,5221t y t x +=+=则51515121=+++t t .去分母并整理,得2521=t t . 因为y x ,是两个不同的正整数,所以21t t ≠.所以25,121==t t 或1,2521==t t .所以.182261021025252121=+=++=+++=+t t t t y x 三、解答题13. 解：根据题意，有 2+x a +2-x b =442-x x . 去分母,得()()x x b x a 422=++-.去括号,整理得()()x a b x b a 42=-++.比较两边多项式系数,得0,4=-=+a b b a .解得2==b a .14. 解:因为方程的左边()()()()()()()()()().5551151414131312121111115414313212111120911271651231122222+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++++++++++++=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 故原方程可变为()708115552-+=+x x x x . 所以()7081152-+=+x x x x .解得118=x .经检验118=x 是原方程的根.15. 解：方程()01113=++++-x x a x x x 的两边同乘以()1+x x ，去分母，得 ()().013=++-+a x x x整理，得033=++a x 。

分式方程的解法及应用复习学案

分式方程的解法及应用经典例题透析类型一：分式方程的定义1、下列各式中，是分式方程的是（）A．B．C．D．类型二：分式方程的解法3、解方程：4、已知分式方程的解为非负数，求的取值范围?类型三：增根的应用5、当m为何值时，关于x的方程会产生增根？会无解?类型五：分式方程的应用（一）、工程类应用性问题6、某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？（二）、行程中的应用性问题7、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．（三）、营销类应用性问题8、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？【达标测评]一、选择题（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）．A．B．C．D．2．当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D．－33．方程的解是（）．A．1 B．-1C．±1 D．04．把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（）．A．1-（1-x）=1 B．1+(1-x)=1 C．1-（1-x）=x-2 D．1+(1-x)=x-25．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，列方程正确的是（）．A．B．C．D．二、填空题6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案：设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：（1）李明原计划读完这本书需用______________天；（2）改变计划时，已读了______________页，还剩______________页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需______________天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程______________．7．若方程＝无解，则m＝。

分式方程应用题能力提升训练

分式方程应用题能力提升训练一、行程问题1、甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．解析：设普通快车的平均速度为km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5km ／h ，依题意，得：＝，解得经检验，是方程的根，且符合题意．∴当时，答：普通快车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．2、轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．【答案】设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为千米／时，逆水航行速度为千米／时，依题意，得：＝，解得．经检验，是原方程的根．答：船在静水中的速度是10千米／时．二、营销类应用性问题1、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg 少3元，比乙种原料每0.5kg 多1元，问混合后的单价每0.5kg 是多少元？解析：设混合后的单价为每0.5kg x 元，则甲种原料的单价为每0.5kg(x ＋3)元，乙种原料的单价为每0.5kg(x －1)元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为斤，乙种原料的重量为斤，依题意，得＋＝，解得x ＝17经检验，x ＝17是原方程的根，所以x ＝17．答：混合后的单价为每0.5kg 17元．2、先阅读下列文字，再解答下列问题：初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a 与b 的大小，可先求出a 与b 的差，再看这个差是正数、负数还是零。

”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。

试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。

中学数学一元二次方程、分式方程的解法及应用(含答案)

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（）A ．abB ．abC ．a b +D ．a b - 2．（2015•泰安模拟）方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ). A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13-4．如果关于x 的方程2313x mx m -=--有增根，则的值等于（）A.B.C.D. 35．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米6．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7．（2015•平房区二模）方程﹣1=的解为8．关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．9．已知x 1=－1是方程的一个根，则m 的值为；方程的另一根x 2= . 10．某市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72x 2(6)860a x x --+=a 052=-+mx x元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为_____ ___． 11．若关于ｘ的方程11-+x ax －１＝０有增根，则ａ的值为 . 12．当 k 的值是时，方程1-x x =xx x k --22 只有一个实数根.三、解答题 13．（2015•宝应县校级模拟）解下列分式方程：（1）；（2）．14. 若关于x 的方程 12-x k － xx x -2 ＝x kx 1+ 只有一个解，试求ｋ值与方程的解．15．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2010年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2010年到2012年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？16. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设kt βα+=，求t 的最小值．图（16）PQD CBA题乙：如图（16），在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连结DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ．（1）若31=PC BP ，求AQ AB的值；（2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证1==BQABBP BC ．我选做的是_______题．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；【解析】将－a 代入20x bx a ++=中，则a 2－ab+a=0，则a －b+1=0∴a－b=－1（恒为常数）.2.【答案】C ；【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根， ∴（a+1）x+a+1=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时， a=2，故选C ． 3.【答案】B ；【解析】121212113=31x x x x x x ++==--. 4.【答案】B ；【解析】把方程两边都乘以若方程有增根，则x=3,即5+m=3,m=-2. 5.【答案】A ；【解析】如图将路平移，设路宽为x 米，可列方程为：（30－x ）（20－x ）=551，解得：x=1或者x=49（舍去）.6.【答案】C ；【解析】由题意得方程有实数根，则分两种情况，当a －6=0时，a=6,此时x=34，当a －6≠0时，△=b 2－4ac≥0，解得a≤263，综合两种情况得整数的最大值是8.二、填空题 7．【答案】x=；【解析】方程的两边同乘2（3x ﹣1），得4﹣2（3x ﹣1）=3，解得x=．检验：把x=代入2（3x ﹣1）=1≠0． ∴原方程的解为：x=． 8．【答案】2m ≠且1m ≠；【解析】 △＞0且m-1≠0. 9．【答案】m=－4；x 2=5；【解析】由题意得：解得m=－4当m=－4时，方程为解得：x 1=－1 x 2=5 所以方程的另一根x 2=5.10．【答案】272(1)56x -=；【解析】平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) 11．【答案】－１；【解析】原方程可化为：（ａ－１）ｘ＝－２． ∵分式方程有增根, ∴ ｘ=1 把ｘ=1代入整式方程有ａ＝－１. 12．【答案】－１，０，３；【解析】原方程可化为：ｘ２＋２ｘ－ｋ＝０当⊿=２２＋４ｋ＝０，即ｋ＝－１时，ｘ１＝ｘ２＝－１当⊿=２２＋４ｋ＞０，即ｋ＞－１时，方程有两个不等实数根．由题意可知： ① 当增根ｘ＝0时，代入二次方程有k ＝０，方程唯一解为ｘ＝－２；② 当增根ｘ＝１时，代入二次方程有k ＝３，方程唯一解为ｘ＝－３. 所以ｋ＝－１，０，３.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）方程的两边同乘（x+1）（x ﹣1），得 a 05)1()1(2=-⨯-+-m 0542=--x x2﹣（x+1）=（x+1）（x ﹣1），解得x=﹣2或1．检验：把x=1代入（x+1）（x ﹣1）=0． x=1是原方程的增根，把x=﹣2代入（x+1）（x ﹣1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=﹣2．（2）方程的两边同乘x 2，得2（x+1）2+x （x+1）﹣6x 2=0，解得x=﹣或2．检验：把x=﹣代入x 2=≠0．把x=2代入x 2=4≠0．∴原方程的解为：x 1=﹣，x 2=2．14.【答案与解析】原方程可化为：ｋｘ２－（３ｋ－２）ｘ－１＝０当ｋ＝０时，原方程有唯一解ｘ＝21 当ｋ≠０时,⊿=（3k －2）2＋4k=5k 2＋4（k －1）2＞０，知方程必有两个不等实数根．此时由题意可知：一元二次方程两根，一根是分式方程的根，另一根是分式方程的增根０或１．当ｘ＝０时，不符合舍去；当ｘ＝１时，代入得ｋ＝21，分式方程的解是ｘ＝－２．所以当ｋ＝０时，原方程有唯一解ｘ＝21；当ｋ＝21时，原方程有唯一解ｘ＝－２．15.【答案与解析】（1）设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则 2600(1)1176x +=．解之，得0.4x =或 2.4x =-（不合题意，舍去）．所以，A 市投资“改水工程”年平均增长率为40%．（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）． A 市三年共投资“改水工程”2616万元．16.【答案与解析】题甲：（1）∵一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、，∴0≥∆，即0)12(4)2(422≥---k k ，解得2-≤k ．（2）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα，∴2424-=-=+=kk k kt βα， ∵2-≤k ，∴0242<-≤-k， ∴2244-<-≤-k，即t 的最小值为－4．题乙：（1）四边形ABCD 为矩形，∵AB =CD ，AB ∥DC ， ∴△DPC ∽△QPB ，∴31==CP PB DC BQ ， ∴BQ DC 3=，∴4333=+=BQ BQ BQ BQ AB ．（2）证明：由△DPC ∽△QPB ，得BP PCBQ DC =， ∴BPPCBQ AB =， 11=-+=-+=-BQABBP PC BQ AB BP PC BP BQ AB BP BC ．。

人教版九年级数学专题复习《分式方程》学习任务单(公开课导学案)及练习

人教版九年级数学专题复习《分式方程》学习任务单【学习目标】1.进一步掌握分式方程的定义、解法，熟练利用分式方程分析问题、解决问题；2.会分析分式方程的根，理解分式方程无解（产生增根)的原因；3.体会“转化”“方程”的数学思想，进一步体会数学与生活的联系，了解数学的价值．【学习准备】准备好复习学案、草稿纸、笔，边观看边梳理。

【学习方式和环节】观看视频课学习，适时控制播放，按老师指令完成相应的复习和梳理，学习环节主要有：复习梳理分式方程的定义、解法→运用分式方程解决问题→巩固与练习→反思小结。

练习题：1.以下是方程去分母后的结果，其中正确的是( ).A．2－1－x＝1 B．2－1＋x＝1C．2－1＋x＝2x D．2－1－x＝2x2.已知方程有增根，则 a 的值为( )A．5 B．－5 C．6 D．43.解下列分式方程．4.列方程或方程组解应用题：八通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点 18 千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的3/7.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？【参考答案】1.C解析：等号两边同乘以 2x，去分母后为 2－1＋x＝2x.2.B解析：原式去分母后得 x＝3(x－5)－a，把增根 x＝5 代入得 a＝－5.3. （1）x＝6 （2）x1＝2，x2＝1.解：去分母，得 2(x＋3)＋x2＝x(x＋3)，去括号，得 2x＋6＋x2＝x2＋3x，移项、合并同类项，得－x＋6＝0，经检验：x＝6 是原分式方程的解．方程两边同乘以 x(3x－2)得 3x－2＝x2，即 x2－3x＋2＝0，∴(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1，经检验 x1＝2，x2＝1 都是原方程的解，∴原方程的解为 x1＝2，x2＝1.4.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27 千米．解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米依题意，得，解得 x＝27.经检验 x＝27 是原方程的解，且符合题意．答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27 千米．。

分式方程拓展训练培优提高

分式方程拓展训练培优提高分式方程拓展训练一、分式方程的特殊解法1.交叉相乘法例1：解方程：$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2}$解法：交叉相乘得到$x(x+2)=3$，化简后得到$x^2+2x-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$，但$x=-3$不符合原方程的定义域，所以解为$x=1$。

2.化归法例2：解方程：$\frac{12}{x-1}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-1}$解法：通分得到$\frac{10}{x-1}=\frac{1}{x-1}$，解得$x=11$。

3.左边通分法例3：解方程：$\frac{x-8}{x-7}-\frac{1}{x+7-x}=\frac{8}{x-7-x}$解法：左边通分得到$\frac{(x-8)-(x+7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{8}{-2x}$，化简得到$-x^2+2x-15=0$，解得$x=3$或$x=-5$，但$x=-5$不符合原方程的定义域，所以解为$x=3$。

4.分子对等法例4：解方程：$\frac{1}{a}+\frac{1}{a-1}=\frac{b}{x}+\frac{1}{x-1}$，其中$a\neq b$解法：分子对等得到$\frac{x-1+a-1}{ax(a-1)}=\frac{bx+1+abx-ab}{x(x-1)ax(a-1)}$，化简得到$abx^2+(a+b-2)bx+a-1=0$，由于$a\neq b$，所以系数$a+b-2=0$，解得$a=1$，代入原方程得到$x=2$。

5.观察比较法例5：解方程：$\frac{4x}{5x-2}+\frac{17}{5x-2}=\frac{5x+24}{4x}$解法：观察到分母都含有$5x-2$，设$5x-2=t$，则原方程化为$\frac{4}{t}+\frac{17}{t}=\frac{t+24}{4(t+2)}$，化简得到$t^2-50t+76=0$，解得$t=2$或$t=48$，代回得到$x=\frac{4}{5}$或$x=\frac{50}{9}$，但$x=\frac{50}{9}$不符合原方程的定义域，所以解为$x=\frac{4}{5}$。

人教版八年级上册数学试题：第十五章分式方程及应用-提高训练

分式方程及应用提高练习一、基础知识解分式方程的思路解与分式方程有关的应用题的一般步骤：（1）审题，理解题意；（2）设未知数；（3）找出相等关系，列方程；（4）解这个分式方程；（5）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）写出答案．审；设；列；解；答．二、经典例题考点分式方程例1、. m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？针对训练：分式方程0111=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，求k 的值. 延伸训练：1、当a 为何值时，关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解等于零？ 2、若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，求m 的取值范围．例2 解方程：2213(1)411x x x x +++=++ 针对训练：2211231x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭巩固练习：1、若0414=----xx x m 无解，则m 的值是（） A.－2B.2C.3D.－3 2、对于分式方程，下列说法中，一定正确的是（）A ．只要是分式方程，一定有增根；B ．分式方程若有增根，增根代入最简公分母中，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根；D ．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是分式方程的解3、甲、乙两名工人加工某种零件，已知甲每天比乙多加工5个零件，甲加工80个零件和乙加工70个零件所用的天数相同．设甲每天加工x 个零件，则根据题意列出的方程是（）A ．57080+=x xB ．x x 70580=-C ．80705x x=+ D ．57080-=x x 4、关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．1a >- B ．10a a >-≠且 C ．1a <- D ．12a a <-≠-且5、某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为x 天,下面所列方程中错误的是 ( ) A.213x x x +=+; B.233x x =+; C.1122133x x x x -⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭; D.113x x x +=+ 6、如果ba =2，则2222b a b ab a ++-=_____ ____； 7、若x+x 1=3，则x 2+21x=_____ __. 若21x x x -+=7，则2421x x x ++=_________． 8、如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值； 9、某厂库存原材料x 吨，原计划每天用a 吨，若现在每天少用b 吨，则可以多用_ ____ 天。

分式方程的应用题导学案(第1、2课时)

导学—反馈—感悟导学案——16.3 列分式方程解应用题（2个课时）1.本课我们要学什么：1.掌握列分式方程解应用题的步骤.2.能够寻找问题中的等量关系，巧用列表法准确地列出方程进行正确的求解2.自学辅助提纲（预习课本P29——31页）：（1）请用表格法来分析应用题，认真完成下面的例3和例4，“★”表示难度系数）（2）列分式方程解应用题与以前学习的列方程解应用题有什么区别？归纳列分式方程解应用题的一般步骤。

例3：★★（课本29页）两个工程队共同参与一项工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。

哪个队的施工速度快？例4：★★（课本30页）从2004年5月起某列车提速v千米／时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？-------------------------------------------------------------------------------- （上述题目由同学们在课前完成）3.组学落实“导学提纲”：1）小组互学，解决疑惑2）老师引导解疑4.班学师生精讲精练：题组一：工程问题★★1、（课本32页）张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另一半图书，如果李强单独清点这批图书需要几小时？★★★2、（课本37页）一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1小时，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？题组二：路程问题★3、（课本31页）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。

已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度。

★★4、（课本32页）甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分到达目的地。

分式方程导学案及习题

第十七章分式§17.3 可化为一元一次方程的分式方程一．知识点：1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.二．自主学习[例1]解方程思路分析：解这类问题应将可分解因式的分母分解，便于找出最简公分母，x 2－2x ＝x(x －2),最简公分母为x(x －2) 解：方程两边都乘以x(x －2)，约去分母，得4＝2x －(x －2),解这个整式方程，得x ＝2.检验：当x ＝2时，x(x －2)＝2×(2－2)＝0所以2是增根，原方程无解。

[例2]k 为何值时，方程会产生增根？思路分析：此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数k,k 的取值决定着未知数x 的值，故可用k 的代数式表示x 。

结合增根产生是最简公分母x －3＝0时产生的，可建立新的方程求解。

解：去分母，得x －4(x －3)＝k,当x －3＝0即x ＝3时，方程会产生增根。

∴k ＝3. 三．练习（一）基础解分式方程： (1)21211x x =-- (2)2131x x =--(3)3311xx x-=--(4)237+3226x x+=+（5）若方程2111x mx x++=--有一个增根是，则m＝（6）若关于x的分式方程2133mx x=---有增根，求m的值（7）解分式方程：①3222xx x=+--②21212339x x x-=+--（二）巩固解分式方程：(8)1112x x=+（你能用几种方法解这个题）(9)34211x xx x-+=-++(10)33122xx x -+=--(三)提高解分式方程(11)22510x x x x -=+-（12）已知关于x 的方程323-=--x mx x 解为正数,求m 的取值范围.（13）当m 为何值时,解方程115122-=-++x mx x 会产生增根?(14)解关于x 的方程:)0(21122≠-=--+++a b a ab a x b a x。