2014高一数学期中复习

集 合

一、知识导学

1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.具有互异性，确定性，无序性

2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.

3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ∉则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B

A.

4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.

5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s .

6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.

7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ⋂B.

8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.

9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.

12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.

13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *

，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识导析

1.符号⊆，，⊇，

，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”

两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.

2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.

3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.

4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式

中，B=Φ易漏掉的情况.

5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.

6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.

7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.

8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.

9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n

2，所有真子集个数为：n

2-1

函数

函数单调性

单一函数：（1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果

0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

复合函数：

如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

)]([x g f y =是增函数.

1. 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

若函数)(x f y =是偶函数，则ƒ(x)=ƒ(-x),若函数)(x f y =是奇函数，则ƒ

(x)=-ƒ(-x)

注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 对称性

对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=

。 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a 对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2. 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-

(2)()f a x f x ⇔-=.

(2)函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=

对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.

3. 两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称.

25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.