哈密顿算子习题解答
量子力学概论习题答案胡行
量子力学概论习题答案胡行量子力学概论习题答案解析量子力学是一门极具挑战性的物理学科，其理论和应用涉及到许多复杂的概念和现象。
在学习量子力学的过程中，习题是一个重要的学习工具，通过解答习题可以帮助我们更好地理解和掌握这门学科的知识。
在这篇文章中，我们将对一些量子力学概论习题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这些问题的解决方法和相关概念。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相反，求粒子在磁场中的能量。
答案：根据量子力学的基本原理，粒子在外加磁场中的能量可以用哈密顿算符来描述。
对于自旋为1/2的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，粒子在磁场中的能量与磁场的大小和方向有关，当磁场方向与粒子自旋方向相反时，粒子在磁场中的能量为-E = μBσ·B。
2. 问题：一个自旋为1的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相同，求粒子在磁场中的能量。
答案：对于自旋为1的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB 为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，当磁场方向与粒子自旋方向相同时，粒子在磁场中的能量为E = μBσ·B。
通过以上两个问题的解析，我们可以看到量子力学在描述粒子在外加磁场中的行为时，需要考虑到粒子的自旋和磁场的相互作用，这些概念和原理都是量子力学的基本内容。
通过解析这些习题，我们可以更好地理解量子力学的基本原理和应用，为进一步学习和研究量子力学打下坚实的基础。
量子力学经典题目及解答
8 a1
a2
a3
2 a1
a2
a3
第一章
补充：1.设 1 af1(x)ei(x和t) 2 bf2 (x)ei分(x别t表) 示
微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 1 2
时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2为实函数。 解： 2 1 2 2 af1ei( xt) 2 bf2ei( xt) 2
n1
x
2
， px
h
x
n1h , 2a1
同理， py n2h / 2a2, pz n3h / 2a3 n1, n2, n3 1, 2,3
E
p2
2
1
2
(
px2
py2
pz2 )
h2
2
(
n1 2a1
)2
( n2 2a2
)2
( n3 2a3
)2
E h2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ] 2 2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ]
1
hv kT
1 c2
v T
d
c1v3dv ec2v/T 1
c1v3dv c2v /T
c1 c2
Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En
解： 角动量量子化条件，
es2 r2
Ln
v2
r
rnv
(向心力)
(1) （2）
r * (2) :
es2
(v2
)
(1)
(
的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后, k，可由(15)
得 2.8出分对子应间的的能范级德瓦E。n耳斯力所产生的势能可以近似的表示为
chapter原子的结构和性质习题解答
1 π
⎛1
⎜ ⎝
a0
3/2 − a0
⎞⎟ e a0 ⎠
1 π
⎛1
⎜ ⎝
a0
3/2 − 2a0
⎞⎟ e a0 ⎠
= e = 2.71828
而ψ
2 1s
在
r
=
a0
和r
=
2a0
处的比值为： e2
(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表
面发射出的光电子的德补罗意波的波长。
解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：
5
乐山师范学院 化学与生命科学学院
En
=
−2.18 ×10−18
1 n2
J
式中 n 是主量子数。
第一激发态(n＝2)和基态(n＝1)之间的能量差为：
λ
=
hc ∆E
=
2.9979 ×108 m ⋅ s−1 × 6.62618×10−34 J ⋅ s 4.282 ×10−19 J
= 460nm
【2.5】计算氢原子ψ1s 在 r = a0 和 r = 2a0 处的比值。
解：氢原子基态波函数为：
ψ1s =
1 π
⎛1
⎜ ⎝
a0
⎞3/2 ⎟
−
e
r a0
⎠
该函数在 r = a0 和 r = 2a0 处的比值为：
（2）外层电子对内层无屏蔽作用，σ = 0 ；
（3）同一组电子σ = 0.35 （1s 组内电子间的σ = 0.30 ）；
（4）对于 s，p 电子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 0.85；对于 d，f 电
子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 1.00；
量子力学习题解答第八章
第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态（解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是：λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是：βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi ec 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi ec 212-=最后得x σˆ的本征函数：)(21βαδ+=i ex 对应本征值1)(22βαδ-=i ex 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ 因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi ex ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn是),(ϕθ方向的单位矢。
哈密顿算子习题解答
1.4 哈密顿算子习题解答1. 关于哈密顿算子，下列陈述错误的是( ) A. 算子 是一个运算符号，本身并无意义B. 算子 只对右边的量发生作用，对左边的量不起作用C. 算子 是微分和矢量的组合，所以它既有微分的性质，又有矢量的特点D. 算子 在不同的坐标系中其表达式都是相同的 解析：本题考查哈密顿算子的作用规则，基本知识点 习题难度：易算子 在不同的坐标系中其表达式是不同的2. 对任意标量场u ，则u ( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异D. 结果无法确定，但一定为有限值解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识点 习题难度：中0u ，这个运算公式是引出静电场电位函数的数学依据。
3. 对任意矢量场A ，则A( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异D. 结果无法确定，但一定为有限值解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识点习题难度：中()0A，这个运算公式是引出恒定磁场磁矢位函数的数学依据。
4. 从源点M (,,)x y z 到场点N (,,)x y z 的距离矢量为R ，则3RR( )A. 3B. 0C. RRD. R解析：本题考查关于距离矢量R的几个重要公式，基本知识点 习题难度：中因为2311R Re R R R(很重要的公式，在各种场基本方程的引出过程中都要使用上面的表达式) 所以310R R R5. 关于拉普拉斯算子陈述错误的是( )A. 2222222u u uu x y zB. 2222222x y z u u u u e e e x y zC. 2222222A A AA x y zD. 2222222222222222222y y yx x xz z zx y z A A A A A A A A A A e e e xy z x y z x y z解析：本题考查拉普拉斯算子的常用运算公式，基本知识点 习题难度：易2222222u u uu x y z，所以B 选项是错误的。
高等电磁理论习题答案
高等电磁理论习题答案【篇一：电磁场理论补充习题及解答】ass=txt>一、填空与简答1、2、ddadbdduda?a?u3、若a,b为矢量函数，u为标量函数，(a?b)?，(ua)?，dtdtdtdtdtdtddbdaddbda(a?b)?a???b，(a?b)?a???b， dtdtdtdtdtdtdadadu?如果a?a(u),u?u(t)， dtdudt4、?表示哈密顿算子（w.r. hamilton），即??ex????ey?ez。
数量场u梯度和矢量?x?y?z场a的散度和旋度可表示为grad u??u，div a???a，rot a???a。
4、奥氏公式及斯托克斯公式可为??a?ds????(??a)dv，a?dl?(??a)?ds 。
s?ls5、亥姆霍兹（h.von helmholtz场。
6、高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：e?ds?sq?07、电偶极子（electric dipole正电荷指向负电荷。
8、根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。
极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。
等效体电荷密度和面电荷密度分别为?(r?)?????p(r?)，?sp?p(r?)?n 。
9、在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即n?(d2?d1)?场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即n?(e2?e1)?0。
10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而?s，电不是以电荷或电位的形式存在于空间的。
场中任一点的能量密度为we?11、1e?d。
2欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即j??e。
2导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即p??e。
12、在恒定电场中，电流密度j在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即n?(e2?e1)?0，n?(j2?j1)?0。
流体力学习题解答 (解答)
习题一 场论和张量代数(习题一中黑体符号代表矢量)1．(一)用哈密顿符号法证明：rot n n n n n n n n n n n n n nC C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 12因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇(). 注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。
右端表示矢量][)(pk q jpqijk x n n ∂∂εε.直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。
(二)张量表示法证明：()()1()()2n n n ijk jmnk jik jmn k im kn km in k m m mk i k k k k i k in n nn n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n2．(一)哈密顿符号法：grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().于是n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div(二)张量表示法：()()[grad()rot()]()j j j p k i ijk i j ijk kpq q i j i j j p j ii j ip jq iq jp q i j j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j ji i ja n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a其中()0j j i i i jji j j i ij i ja a a aQ n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
哈密顿原理的应用
哈密顿原理的应用解题步骤
分析约束,确定自由度
选好广义坐标
写出系统的
T,V,L
代入
∫
∫
=
+
−
=
=
=
2
1
2
1
)
(
t
t
t
t
dt
q
P
H
s
Ldt
s
α
α
δ
δ
δ
δ
&
或者
x
一半径为r,质量为m的实心圆柱体在一半径为R的大圆柱体内表面作纯滚动,试用哈密顿正原理求其在平衡位置附近作o
4 L
=
2 t
sδ
2
3m
2−
板.设所有接触处均无滑动,今以一水平恒力F
拉板,试用哈密蹲原理求板的加速度.
取如图所示x为广义坐标
T
∫=2
Ldt
s δδ
=
1
t
=
2 t
1
4
3
解:
t δ
mr θδθ
θδθθ&&&&22mr r mr −−
δ
∫= 1[(
t
中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.
0v 自由度数
取如图所示,(θy demonstration
θθ
B
t δ
δ
1
1
S t δ。
量子力学与统计物理习题解答完整版
量子力学与统计物理习题解答 第一章1. 一维运动粒子处于⎩⎨⎧≤>=-)0(0)0()(x x Axe x xλψ的状态，式中λ>0，求（1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）⎰⎰∞-∞∞-*=0222)()(dx e x Adx x x x λψψ令 x λξ2=，则323232023202224!28)3(88λλλξξλξλA AA d e A dx ex Ax=⨯=Γ==-∞∞-⎰⎰由归一化的定义1)()(=⎰∞∞-*dx x x ψψ得 2/32λ=A（2）粒子的几率密度xe x x x x P λλψψ2234)()()(-*==（3）在极值点，由一阶导数0)(=dxx dP 可得方程0)1(2=--xe x x λλ 而方程的根0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。
几率密度在极值点的值0)0(=P ；0)(lim =∞→x P x ；24)/1(-=e P λλ由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为24-e λ，出现在λ/1=x 处。
2. 一维线性谐振子处于状态t i x Aet x ωαψ212122),(--=（1）求归一化因子A ；（2）求谐振子坐标小x 的平均值；（3）求谐振子势能的平均值。
解：（1）⎰⎰∞∞--∞∞-*=dx e Adx x222αψψ⎰∞-=02222dx e A xα⎰∞-=222ξαξd e Aαπ2A =由归一化的定义1=⎰∞∞-*dx ψψ得 πα=A （2） ⎰⎰∞∞-∞∞--==dx xe A dx x xP x x222)(α因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）⎰∞∞-=dx x P x U U )()(⎰∞∞--=dx e kx x 22221απα ⎰∞-=0222dx e x k x απα⎰∞-=222ξξπαξd e k⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k⎰∞-=02221ξπαξd e k 2212ππαk=24αk =将2μω=k 、μωα=2代入，可得02141E U ==ω 是总能量的一半，由能量守恒定律U T E +=0可知动能平均值U E U E T ==-=0021和势能平均值相等，也是总能量的一半。
课后习题答案part2
7.9 已知 25 ØC 时
计算
及
。
，
。试
解：离子的无限稀释电导率和电迁移数有以下关系
课 后 答 案 网
7.10 已知25 ØC时
溶液的电导率为
。
计算 7.3.2。
的解离度 及解离常熟 。所需离子摩尔电导率的数据见表
解：
的解离反应为
查表知
因此，
7.11 25 ØC 时将电导率为
解下来的银与溶液中的 反应生成
，其反应可表示为
。阳极溶
总反应为
通电一定时间后，测得银电量计中沉积了
，并测知阳极区溶液重
，其中含
。试计算 溶液中的
和
。
解：先计算
是方便的。注意到电解前后阳极区中水的量不变， 量的改
变为
课 后 答 案 网
该量由两部分组成（1）与阳极溶解的
极
生成
50
60
70
80
90
12.33 19.92 31.16 47.34 70.10
42.3 60.1 82.9 112.4 149.6
两液体成完全不互溶系统。
（1） 绘出 H2O-CCl4 系统气、液、液三相平衡时气相中 H2O，CCl4 的蒸气分压对
温度的关系曲线；
（2） 从图中找出系统在外压 101.325 kPa 下的共沸点；
解：（1）气-液平衡的温度-组成图为
课 后 答 案 网
（2）
的气相的泡点为 110.3 °C。
（3）
的液相的露点为 112.7 °C。
（4）105.0 °C 时气-液平衡两相的组成
，
。
（5）系统代表点
6.7 已知水-苯酚系统在 30 °C 液-液平衡时共轭溶液的组成 酚溶于水），8.75 %；L2（水溶于苯酚），69.9 %。
量子力学 第三章习题与解答
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学练习参考解答
量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。
1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。
提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。
证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。
【精品】表示力学量的算符习题答案供参考
【关键字】精品第三章量子力学中的力学量1. 证明厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义厄米算符的平均值即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）（2）（3）[解]：（1）（2）正确（3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定。
3. 设归一化，是的本征函数，且（1）试推导表示式（2）求征力学量F的态平均值（3）说明的物理意义。
[解]：（1）给左乘再对积分因是的本函，所以具有正交归一性（2）是的本征函数，设其本征值为则即（3）的物理意义；表示体系处在态，在该态中测量力学量F，得到本征值的几率为。
4. 一维谐振子处于基态0（x）态，求该态中（1）势能的平均值（2）动能的平均值（3）动量的几率分布。
解：(1)（）(2)或(3)动量几率分布函数为5. 氢原子处于态，求（1）r的平均值。
（2）－e2/r的平均值（3）最可几半径.（4）动能平均值.解：(1)（）(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 令当为几率最小位置∴ 是最可几半径。
(4)6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为 ，证：电子的电流密度为 在球极坐标中为 式中为单位矢量中的和部分是实数。
∴看来，7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成(1) 求一圆周电流的磁矩 (2) 求证氢原子磁矩为 z M M == 2meμ- 解：(1) 一圆周电流的磁矩为A dS J iA dM e ⋅==ϕ （i 为圆周电流，A 为圆周所围面积）(2)氢原子的磁矩为原子磁矩与角动量之比为8. 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系[解]设宽为a 的一维无限势阱的波函数为9. 证明氢原子中电子2ˆL 与ˆzL 是守恒量 [证明]氢原子的哈密顿算符 22222ˆˆ()()22L H r u r r r r rμμ∂∂=-++∂∂ 因2ˆL与ˆr 是相互对易的 且2ˆL 与2ˆL 也是对易的。
理论物理导论-李卫1-3章习题解答完整
n 1,2,3,
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
n 1,2,3,
4．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动，
U ( x) ( 2 x2 / 2) qEx ，试证明粒子的能量和波函数分别为
1 q 2E 2 En n 2 2 2
（1）归一化因子A； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？
( x 0) ( x 0)
解：（1） ( x) ( x)dx A
2
0
x 2e 2x dx 令
2x ，则
A2
0
A2 2 x 2 e 2 x dx 3 e d 8 0 A2 3 (3) 8 A2 3 2! 8 A2 3 4
n 1,2,3,
证明：势函数与时间无关，是定态问题。 由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
( x) 0,
| x | a / 2
| x | a / 2
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
2 ( x) E ( x) 2
上式可变形为 2E ( x) 2 ( x) 0
2 证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为
2 1 ( x) 2 x 2 qEx ( x) E ( x) 2u 2
n ( x) N n e
1 2 2 x1 2
H n (x1 ),
x1 x
qE
上式可改写为
E , p k
3、用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 4、戴微孙-革末 为
E , p k
哈密顿正则方程例题
典型例题3 典型例题
经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触， 经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触，使之 竖直地稳定转动是很困难的，一长为 竖直地稳定转动是很困难的，一长为10cm、直径为 、直径为0.8cm的 的 铅笔，即使以角速度ω0=100rot/s高速转动，也不能稳定地 铅笔，即使以角速度 高速转动， 高速转动 竖直转动，试用分析力学方法解释 竖直转动， 分析： 分析： 铅笔是否能稳定地竖直转动
从拉格朗日函数的表达式知： ψ，ϕ为循环坐标，故： 从拉格朗日函数的表达式知： ， 为循环坐标，
& & & pϕ = ∂L = J*ϕ sin 2 θ + J z cos θ (ϕ cos θ + ψ ) = C1 & ∂ϕ & & pψ = ∂L = J z (ϕ cos θ +ψ ) = C2 & ∂ψ
J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) (1 − cos θ) cos θ J *&& = θ [ − 1] + mgrOC sin θ 2 J* sin θ sin θ & d J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 dθ & [ ] + mgrOC cos θ} = J *θ =− { d θ 2 J* sin θ dθ 1 & 2 J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 + mgrOC cos θ = E 积分有： 积分有： J *θ + 2 2 2 J * sin θ
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量⼦⼒学基础习题附参考答案结构化学练习之量⼦⼒学基础习题附参考答案量⼦⼒学基础习题⼀、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒⼆象性的关系式为_______________________________________。
1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值⽐微观物体的λ值_______________。
1103、在电⼦衍射实验中，│ψ│2对⼀个电⼦来说，代表___________________。
1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。
1105、⼀组正交、归⼀的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。
正交性的数学表达式为，归⼀性的表达式为。
1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2代表______________________。
1107、物理量xp y- yp x的量⼦⼒学算符在直⾓坐标系中的表达式是_____。
1108、质量为m的⼀个粒⼦在长为l的⼀维势箱中运动，(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；(2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ；(3)体系处于基态时，粒⼦出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ；(4)势箱越长，其电⼦从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；(5)若该粒⼦在长l、宽为2l的长⽅形势箱中运动，则其本征函数集为____________，本征值谱为_______________________________。
1109、质量为m 的粒⼦被局限在边长为a 的⽴⽅箱中运动。
波函数ψ211(x，y ，z )=_________________________；当粒⼦处于状态ψ211时，概率密度最⼤处坐标是_______________________；若体系的能量为2247ma h ，其简并度是_______________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
4.
从源点
M (x,
y, z) 到场点
N (x,
y,
z)
的距离矢量为 R
，则
R R3
(
)
A. 3
B. 0
R
C. R
D. R
解析：本题考查关于距离矢量 R 的几个重要公式，基本知识点 习题难度：中
因为
1 R
1 R2
eR
R R3
(很重要的公式，在各种场基本方程的引出过程中都要使用上面的表达式
)
所以
R R3
1 0 R
5. 关于拉普拉斯算子陈述错误的是( )
A.
2u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
B.
2u
2u x 2
ex
2u y 2
ey
2u z 2
ez
C.
A2
2 x2
A
2 A y2
2 A z2
D.
2
A
2
Ax
习题难度：易 算子 在不同的坐标系中其表达式是不同的
2. 对任意标量场u ，则 u ( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异 D. 结果无法确定，但一定为有限值 解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识
点 习题难度：中 u 0 ，这个运算公式是引出静电场电位函数的数学依据。
3. 对任意矢量场 A ，则 A ( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异 D. 结果无法确定，但一定为有限值 解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识
x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
e
x
2xA2 y
2 Ay y2
2 Ay z 2
eyΒιβλιοθήκη 2 Az x 22 A z
y2
2zA2zez
解析：本题考查拉普拉斯算子的常用运算公式，基本知识点
习题难度：易
2u 2u 2u 2u ，所以 B 选项是错误的。 x2 y2 z2
2
1.4 哈密顿算子习题解答
1. 关于哈密顿算子，下列陈述错误的是( ) A. 算子 是一个运算符号，本身并无意义 B. 算子 只对右边的量发生作用，对左边的量不起作用 C. 算子 是微分和矢量的组合，所以它既有微分的性质，又有矢量的特点 D. 算子 在不同的坐标系中其表达式都是相同的 解析：本题考查哈密顿算子的作用规则，基本知识点