第24章 圆复习学案

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《第24章 圆》复习学案

一．知识整理

【圆的有关概念与性质】

1.圆的概念 ①线段OA 绕端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转一周,所组成的图形叫圆. ②到定点的距离等于定长的点的集合.

2.等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧.

3.垂径定理及推论：如果一条直线满足①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分

弦所对的劣弧.中的任意两条，必满足其他三条（当以①③为题设时，弦不能是直径）.两条平行弦所夹的弧相等.应用垂径定理计算：如图，r =d +h ，r 2=d 2+2

()2

a .

4. 圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

5.圆周角定理及推论：圆周角等于它所对弧度数的一半；90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角；如果一个三角形一边上中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

【与圆有关的位置关系】

1.点和圆的位置关系有三种： 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d =r ．点在圆内⇔d ＜r ． 2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d =r ，直线与圆相离⇔d ＞r .

3. 切线的性质：如果一条直线满足“①过圆心②过切点③垂直于切线”中的任意两条，必满足第三条. 4d=r

5.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角..

6. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角相等.

7.三角形的外心：不在同一直线上的三个点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．三角形的外心到三个顶点的距离相等.

8. 三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心到三边的距离相等.

9.三角形内切圆半径为r ，周长为C ，则S △=

12Cr ；直角三角形内切圆的半径r =12

(a +b -c )=ab

a b c ++.

10.已知直线与圆相切，往往要连接圆心与切点，得垂直.要证明直线与圆相切，当切点明确时，连接圆心与切点，证垂直；当切点不明确时，过圆心作直线的垂线段，证d=r . 【与圆有关的计算】

圆的周长：C =2πr ； 弧长2360180n n r l r ππ=⋅= 圆的面积：S =πr 2 ； 扇形面积：2360n s r π=⋅或12

s lr = 正多边形的有关概念及计算

1.正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

2.正多边形的计算：①对角线条数：12n (n -3)；②内角度数：(2)180n n -⋅︒；③中心角=外角：360

n

3.正三角形边长为a ，则其面积为2

3a .

二．经典习题一

1. 半径为1的圆中，长度为1的弦所对的圆周角度数为： .

2. ⊙O 半径为5，弦AB =8，CD =6，且AB ∥CD ，则AB 、CD 间的距离是 .

3. 过⊙O 内一点P ，的最长弦是10，最短的弦是6，那么OP 的长为____________.

4.如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE =1，AB =10，求CD 的长.

O E

D

B

A

5. 如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30°，求弦CD 长．

6. 如图所示，AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE =BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．

A B

C D

E

F O

7. AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB =16，AC =8，AD =82DAC 的度数．

O

C

8.如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，求P A ＋PB 的最小值.

9.如图，正△DBC 内接于⊙O ，点A 为DC 上一点，⑴求证：AB =AD +AC ；⑵DE ⊥AB 于E ，求AB AC BE +、AB AC

AE

-的值

O

E

D

C

B

A

10.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．⑴求证：CF ﹦BF ﹦GF ；⑵若CD =9，AC ﹦12，求⊙O 的半径与CE 的长．⑶若D 为AC 中点，且AB =63CF . ⑷若AD =4，⊙O 半径为5，求BC .

O

G

F E

D

C

B

A

经典习题二

1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径长为： . △ABC 周长为10，内切圆半径为2，则△ABC 的面积为 .

2. △ABC 中，∠A =70°，若O 为△ABC 的外心，则∠BOC = ，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC = ，若O 为△ABC 的垂心，则∠BOC = .

3.如图，⊙O 与△ABC 三边分别截于DE 、FG 、HM ，且DE =FG =HM ，若∠A =70°,求∠BOC .

O h d

a

r A

B

C

D

E F

G

H M O