第24章 圆复习学案

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《第24章 圆》复习学案
一．知识整理
【圆的有关概念与性质】
1.圆的概念 ①线段OA 绕端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转一周,所组成的图形叫圆. ②到定点的距离等于定长的点的集合.
2.等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧.
3.垂径定理及推论：如果一条直线满足①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分
弦所对的劣弧.中的任意两条，必满足其他三条（当以①③为题设时，弦不能是直径）.两条平行弦所夹的弧相等.应用垂径定理计算：如图，r =d +h ，r 2=d 2+2
()2
a .
4. 圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5.圆周角定理及推论：圆周角等于它所对弧度数的一半；90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角；如果一个三角形一边上中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
【与圆有关的位置关系】
1.点和圆的位置关系有三种： 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d =r ．点在圆内⇔d ＜r ． 2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d =r ，直线与圆相离⇔d ＞r .
3. 切线的性质：如果一条直线满足“①过圆心②过切点③垂直于切线”中的任意两条，必满足第三条. 4d=r
5.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角..
6. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.如果两个弦切角所夹弧相等，那么这两个弦切角相等.
7.三角形的外心：不在同一直线上的三个点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．三角形的外心到三个顶点的距离相等.
8. 三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心到三边的距离相等.
9.三角形内切圆半径为r ，周长为C ，则S △=
12Cr ；直角三角形内切圆的半径r =12
(a +b -c )=ab
a b c ++.
10.已知直线与圆相切，往往要连接圆心与切点，得垂直.要证明直线与圆相切，当切点明确时，连接圆心与切点，证垂直；当切点不明确时，过圆心作直线的垂线段，证d=r . 【与圆有关的计算】
圆的周长：C =2πr ； 弧长2360180n n r l r ππ=⋅= 圆的面积：S =πr 2 ； 扇形面积：2360n s r π=⋅或12
s lr = 正多边形的有关概念及计算
1.正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
2.正多边形的计算：①对角线条数：12n (n -3)；②内角度数：(2)180n n -⋅︒；③中心角=外角：360
n
3.正三角形边长为a ，则其面积为2
3a .
二．经典习题一
1. 半径为1的圆中，长度为1的弦所对的圆周角度数为： .
2. ⊙O 半径为5，弦AB =8，CD =6，且AB ∥CD ，则AB 、CD 间的距离是 .
3. 过⊙O 内一点P ，的最长弦是10，最短的弦是6，那么OP 的长为____________.
4.如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE =1，AB =10，求CD 的长.
O E
D
B
A
5. 如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30°，求弦CD 长．
6. 如图所示，AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE =BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．
A B
C D
E
F O
7. AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB =16，AC =8，AD =82DAC 的度数．
O
C
8.如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，求P A ＋PB 的最小值.
9.如图，正△DBC 内接于⊙O ，点A 为DC 上一点，⑴求证：AB =AD +AC ；⑵DE ⊥AB 于E ，求AB AC BE +、AB AC
AE
-的值
O
E
D
C
B
A
10.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．⑴求证：CF ﹦BF ﹦GF ；⑵若CD =9，AC ﹦12，求⊙O 的半径与CE 的长．⑶若D 为AC 中点，且AB =63CF . ⑷若AD =4，⊙O 半径为5，求BC .
O
G
F E
D
C
B
A
经典习题二
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径长为： . △ABC 周长为10，内切圆半径为2，则△ABC 的面积为 .
2. △ABC 中，∠A =70°，若O 为△ABC 的外心，则∠BOC = ，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC = ，若O 为△ABC 的垂心，则∠BOC = .
3.如图，⊙O 与△ABC 三边分别截于DE 、FG 、HM ，且DE =FG =HM ，若∠A =70°,求∠BOC .
O h d
a
r A
B
C
D
E F
G
H M O
4
4.O于A，求证：∠P AB=∠C.
P
5.如图，△ABC中，∠C=90°，点O在BC边上，半圆O过点C，切AB于D，交BC于E，BE=1，BD=2，求AD.
延长线上的点，CD切⊙O于D点，CE平分∠DCA，交AD于E点，求∠DEC的大小.
BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点
E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.⑴证明CF是⊙O的切线；⑵设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO.
A
8. 如图，AB为⊙O的直径，D为BC中点，DE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm，⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵求
AC、AB的长.
A
9.如图，AB过⊙O的圆心，BC切⊙O于D，AC⊥BC于C，交⊙O于E．⑴求证：AD平分BAC
∠；⑵若AE=2，DC=
AC=3，BC=4，求BD.
B
10.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足
为E.⑴求证：AB=AC；⑵求证：DE为⊙O的切线；⑶若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长.⑷若DE
AB=5，求AE的长.
C
经典习题三
1.已知圆锥底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是.
2.正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为.
3.将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．
4.如图，半径为4的⊙O中有弦AB，以AB为折痕对折，劣弧恰好经过圆心O，则弦AB的长度是多少？
5.如图，若等边△ABC的边长为6cm长，内切圆O分别切三边于D、E、F，则阴影部分的面积是多少？
B
6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角
线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积
7.如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC
8.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，
求该圆锥的高h的长．
9.已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到
A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
10.如图，AB是⊙O直径，P为弦AC延长线上一点，AC=CP，直线PB交⊙O于点D，（1）求证：CP=CD；（2）若
⊙O直径是2，∠A＝30°，求图中阴影部分面积.
3。