关于圆的证明题
初中数学圆的证明题专项练习大全(精华)
圆有关的证明题专项练习1、如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.C2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高，EF⊥BC，F 为垂足。
（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，C 是弧AD 的中点，AD、BC 交于点E，CF⊥AB 于F，CF 交AD 于G。
（1）求证：CG=EG=AG(2) 求证：AD=2CF（2）若AD= 4 3 ，AC=4，求⊙O 的半径6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点H，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F。
（1）求证：BF 平分∠DFE；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径7、如图，Rt△ABC 内接于⊙O，D 为弧AC 的中点，DH⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。
（1）求证：AC=2DH；（2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB 的值8、在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求SECF 。
9、如图，⊙O 中，直径DE⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点 F。
(1)求证△AOG∽△FAO。
(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求SCGF 。
10、如图，在⊙O 中，弦AB、CD 相交于AB 的中点E，连接AD 并延长至 F 点，使DF=AD,连接BC、BF。
（1）、求证：△CBE∽△AFB。
（2）、若∠C=30º，∠CEB=45º,CE= 3 1,求S ABF .11、如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，D 为弧 AC的中点，连接 BD，交 AC 于G,过 D 作DE⊥AB于E 点，交⊙O于H 点，交 AC 于F 点。
圆的有关计算与证明问题(真题10道+模拟30道)中考数学重难题型押题培优导练案【解析版】
专题15圆的有关计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢考点考查年份考查频率圆的有关计算与证明问题（大题） 2013.2014.2015.2016.2017十年10考2018.2019.2020.2021.2022圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在北京市的2013-2022年10年中考中出现了10次，常见的圆的基础知识和解题技巧如下：1、圆中的重要定理:(1)圆的定义: 主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题.(2)垂径定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推论 : 主要用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理: 主要用来证明垂直关系 .(6)切线的判断定理: 主要用来证明直线是圆的切线 .(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等 .2.圆中几个要点元素之间的相互转变 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变 . 这在圆中的证明和计算中常常用到 .3.判断切线的方法：（ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、勾股定理证垂直；（ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；4、考题形式剖析：主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要判断切线、证明角或线段相等；第2 问主要与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（本质仍是求线段比）【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD=∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．【答案】（1）见详解；（2）GC=6，OF=2511【解析】【分析】（1）由题意易得BD⌢=CD⌢，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE//CG，进而可得△AOF∽△CGF，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∵BD⌢=CD⌢，∵∠BAD=∠CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∵OE=12CG,OE//CG，∵△AOF∽△CGF，∵OA CG =OFGF，∵OE=3，∵CG=6，∵⊙O的半径为5，∵OA=OG=5，∵5 6=OFGF，∵OF=511OG=2511．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．【例2】（2022·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD.(1)求证：∠BOD=2∠A;(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）设AB交CD于点H，连接OC，证明RtΔCOH≅RtΔDOH，故可得∠COH=∠DOH，于是BC⌢=BD⌢，即可得到∠BOD=2∠A；（2）连接，解出∠COB=60°，根据AB为直径得到∠ADB=90°，进而得到∠ABD=60°，即可证明OC//DB，故可证明直线CE为⊙O的切线．(1)证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，∴OC=OD，∠OHC=∠OHD=90°，∵OH=OH，∴RtΔCOH≅RtΔDOH(HL)，∴∠COH=∠DOH，∴BC⌢=BD⌢，∴∠COB=∠BOD，∵∠COB=2∠A，∴∠BOD=2∠A；(2)证明：连接AD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC，∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC，∵∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180°，∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COB=2∠CAO=2×30°=60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90−∠DAO=90°−30°=60°，∴∠ABD=∠COB=60°，∴OC//DE，∵CE⊥BE，∴CE⊥OC，∴直线CE为⊙O的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）如图，AB是∵O的直径，PA，PC分别与∵O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE∵PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∵EPD=∵EDO（2）若PC=6，tan∵PDA=，求OE的长．【答案】（1）见解析（2）√5【解析】【详解】试题分析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∵EPD=∵EDO；（2）连接OC，利用tan∵PDA=34，可求出CD=4，再证明∵OED∵∵DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．试题解析：（1）证明：PA，PC与∵O分别相切于点A，C，∵∵APO=∵EPD且PA∵AO，∵∵PAO=90°，∵∵AOP=∵EOD，∵PAO=∵E=90°，∵∵APO=∵EDO，∵∵EPD=∵EDO；（2）解：连接OC，∵PA=PC=6，∵tan∵PDA=34，∵在Rt∵PAD中，AD=8，PD=10，∵CD=4，∵tan∵PDA=34，∵在Rt∵OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∵EPD=∵ODE，∵∵OED∵∵DEP，∵PD DO =PEDE=EDOE=2，∵DE=2OE在Rt∵OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，∵OE=√5．考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．⌢的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是2．（2014·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是ABOB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长.【答案】(1)证明见解析(2)BH=4√55【解析】【分析】⌢的中点，可知OC∵AB，又BD是切(1)连接OC，若要证明C为AD的中点，只需证OC//BD，已知C是AB线，可知BD∵AB，问题得证(2)由（1）及E为OB中点可知∵COE∵∵FBE，从而可知BF=CO=BO=2，由勾股定理可得AF的长，由面积法即可求出BH的长【详解】（1）连接OC⌢的中点，AB是∵O的直径∵C是AB∵OC∵AB∵BD是∵O的切线∵BD∵AB∵OC//BD∵AO=BO∵AC=CD（2）∵E是OB的中点∵OE=BE在∵COE和∵FBE中{∠CEO=∠FEB OE=BE ∠COE=∠FBE∵∵COE∵∵FBE（ASA)∵BF=CO∵OB=2∵BF=2∵AF=√AB2+BF2=2√5∵AB是直径∵BH∵AFBH=AB⋅BFAF=2√5=4√55考点：1、平行线分线段成比例定理；2、切线的性质；3勾股定理；4、全等三角形3．（2015·北京·中考真题）如图，AB是∵O的直径，过点B作∵O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DA⌢=DC⌢，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（l）求证：∵ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【答案】（1）见解析；（2）2√7【解析】【分析】（1）根据切线的定义可知AB∵BM，又∵BM//CD，∵AB∵CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得∵ACD是等边三角形；（2）∵ACD为等边三角形，AB∵CD，由三线合一可得∵DAB=30°，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得∵∵EBD＝∵DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得BD=2√3，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得，AB=4√3，OB=2√3，在Rt∵OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．【详解】解：（1）∵BM是∵O切线，AB为∵O直径，∵AB∵BM，∵BM//CD，∵AB∵CD，∵AD＝AC，∵AD＝AC，∵DA＝DC，∵DC＝AD，∵AD＝CD＝AC，∵∵ACD为等边三角形.（2）∵ACD为等边三角形，AB∵CD，∵∵DAB＝30°，连结BD，∵BD∵AD.∵EBD＝∵DAB＝30°，∵DE＝2，∵BE＝4，BD=2√3，AB=4√3，OB=2√3，在Rt∵OBE中，OE=√OB2+BE2=√12+16=2√7．【点睛】本题考查圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．4．（2016·北京·中考真题）如图，AB为∵O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC⌢于点D，过点D作∵O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∵DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【答案】（1）证明见解析；（2）32a2.【解析】【详解】试题分析：（1）欲证明AC∵DE，只要证明AC∵OD，ED∵OD即可．（2）作DM∵OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．试题解析：（1）∵ED与∵O相切于D，∵OD∵DE，∵F为弦AC中点，∵OD∵AC，∵AC∵DE．（2）作DM∵OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．∵AC∵DE，AE=AO，∵OF=DF，∵AF∵DO，∵AD=AO，∵AD=AO=OD，∵∵ADO是等边三角形，同理∵CDO 也是等边三角形，∵∵CDO=∵DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，∵AO∵CD，又AE=CD，∵四边形ACDE是平行四边形，易知DM=√32a，∵平行四边形ACDE面积=√32a2．考点：切线的性质．5．（2017·北京·中考真题）如图，AB是∵O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC∵OA于点C，过点B 作∵O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE;（2）若AB=12，BD=5，求∵O的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）152【解析】【详解】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∵4=∵5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∵DEF和sin∵AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）∵DC∵OA，∵∵1+∵3=90°，∵BD为切线，∵OB∵BD，∵∵2+∵5=90°，∵OA=OB，∵∵1=∵2，∵∵3=∵4，∵∵4=∵5，在∵DEB中，∵4=∵5，∵DE=DB.(2)作DF∵AB于F，连接OE，∵DB=DE，∵EF=12BE=3，在RT∵DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ，∵DF=√52−32=4∵sin∵DEF=DFDE = 45，∵∵AOE=∵DEF，∵在RT∵AOE中，sin∵AOE=AEAO =45，∵AE=6，∵AO=152.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.6．（2018·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4√33.【解析】【分析】（1）根据切线的性质定理得到PC=PD，OP平分∠CPD．根据等腰三角形的性质即可得到PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．（2）连接OC、OD．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°．进而得到∠DOQ=12∠COD=30°．在Rt△ODP中，解直角三角形即可.【详解】（1）证明：∵PC、PD与⊙O相切于C、D．∵PC=PD，OP平分∠CPD．在等腰△PCD中，PC=PD，PQ平分∠CPD．∵PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．（2）解：连接OC、OD．∵OA=OD∵∠OAD=∠ODA=50°∵∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=80°同理：∠BOC=40°∵∠COD=180°−∠AOD−∠BOC=60°．在等腰△COD中，OC=OD．OQ⊥CD∵∠DOQ=12∠COD=30°．∵PD与⊙O相切于D．∵OD⊥DP．∵∠ODP=90°．在Rt△ODP中，∠ODP=90°，∠POD=30°∵OP=ODcos∠POD=OAcos30°=√32=43√3．【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．7．（2019·北京·中考真题）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C 的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【答案】依题意画出图形G为∵O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为∵O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得⌢=CD⌢；从而得出弦相等即可．出AD（2）先根据HL得出△CDF∵∵CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∵ABC=∵COD，再证得DE为∵O的切线即可【详解】如图所示，依题意画出图形G为∵O，如图所示（1）证明：∵BD平分∵ABC，∵∵ABD=∵CBD，⌢=CD⌢，∵AD=CD∵AD（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∵CD=CM.∵DF∵BC，∵∵DFC=∵CFM=90°在Rt△CDF和Rt△CMF中{CD=CMCF=CF，∵Rt△CDF∵Rt△CMF（HL），∵DF=MF，∵BC为弦DM的垂直平分线∵BC为∵O的直径，连接OD∵∵COD=2∵CBD，∵ABC=2∵CBD，∵∵ABC=∵COD，∵OD∵BE.又∵DE∵BA，∵∵DEB=90°，∵∵ODE=90°，即OD∵DE，∵DE为∵O的切线.∵直线DE与图形G的公共点个数为1个.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．8．（2020·北京·中考真题）如图，AB为∵O的直径，C为BA延长线上一点，CD是∵O的切线，D为切点，OF∵AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∵ADC=∵AOF；（2）若sinC=13，BD=8，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）连接OD，根据CD是∵O的切线，可推出∵ADC+∵ODA=90°，根据OF∵AD，∵AOF+∵DAO=90°，根据OD=OA，可得∵ODA=∵DAO，即可证明；（2）设半径为r，根据在Rt∵OCD中，sinC=13，可得OD=r，OC=3r，AC=2r，由AB为∵O的直径，得出∵ADB=90°，再根据推出OF∵AD，OF∵BD，然后由平行线分线段成比例定理可得OEBD =OAAB=12，求出OE，OFBD =OCBC=34，求出OF，即可求出EF．【详解】（1）证明：连接OD，∵CD是∵O的切线，∵OD∵CD，∵∵ADC+∵ODA=90°，∵OF∵AD，∵∵AOF+∵DAO=90°，∵OD=OA，∵∵ODA=∵DAO，∵∵ADC=∵AOF；（2）设半径为r，在Rt∵OCD中，sinC=13，∵OD OC =13，∵OD=r，OC=3r，∵OA=r，∵AC=OC-OA=2r，∵AB为∵O的直径，∵∵ADB=90°，又∵OF∵AD，∵OF∵BD，∵OE BD =OAAB=12，∵OE=4，∵OF BD =OCBC=34，∵OF=6，∵EF=OF−OE=2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为BC⌢上一点，过点E作⊙O的切线，分别交DC,AB的延长线于点F，G连接AE，交CD于点P．(1)求证：EF=FP；(2)连接AD，若AD∥FG,CD=8,cosF=45，求⊙O半径．【答案】(1)见解析(2)256【解析】【分析】（1）连接OE，要使EF=FP，需要∵FEP=∵FPE，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得∵FEP=∵FPE，结论可得．（2）设圆的半径为r，在Rt∵ODH中，利用勾股定理可以求得半径r．(1)证明：连接OE，∵EF是圆的切线，∵OE∵EF．∵∵OEF=90°．∵∵OEA+∵AEF=90°．∵CD∵AB，∵∵AHC=90°．∵∵OAE+∵APH=90°．∵OA=OE，∵∵OAE=∵OEA．∵∵AEF=∵APH．∵∵APH=∵EPF，∵∵EPF=∵AEF．∵EF=PF．(2)连接OD，设圆的半径为r，∵直径AB∵CD于H，CD=8，∵CH=DH=4．∵AD∵FG，∵∵ADH=∵F．∵cos∵ADH=cos F=45∴AD=CHcos∠ADH=5∴AH=√AD2−DH2=3∵OH=OA-AH=r-3．在Rt∵ODH中，∵OH2+DH2=OD2,∵（r-3）2+42=r2．∴OE=r=25 6【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理和解直角三角形的知识．使用添加圆中常添加的辅助线是解题的关键．2．（2022·北京房山·二模）如图，已知AB是半⊙O的直径，点H在⊙O上，E是HB⌢的中点，连接AE，过点E作EC⊥AH交AH的延长线于点C．过点E作EF⊥AB于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若FB=2,EFAF =√22，求OF的长．【答案】(1)见解析(2)OF=1【解析】【分析】（1）连接OE，由于E为HB⌢的中点，根据圆周角定理可知∵1=∵2，而AO=EO，则∵3=∵2，于是∵1=∵3，根据平行线的判定知OE∥AC，而AC∵CE，根据平行线的性质知∵OEC=90°，即OE∵CE，根据切线的判定可知CE是∵O的切线；（2）由于AB是直径，故∵AED=90°，而EF∵AB，易知∵2=∵4=∵1，那么tan∵1=tan∵2=tan∵4=EFAF =√22，在Rt∵EFB中，利用正切可求出EF，同理在Rt∵AEF中，可求出AF，得半径OB=3，进而可求出OF．(1)证明：连结OE，∵点E为HB⌢的中点，∵ ∵1=∵2，∵OE=OA，∵∵3=∵2，∵∵3=∵1，∵OE∵AC，∵AC∵CE，∵OE∵CE，∵点E在∵O上，∵CE是∵O的切线．(2)连结EB，∵AB是∵O的直径，∵∵AEB=90°，∵EF∵AB于点F，∵∵AFE=∵EFB=90°，∵∵2+∵AEF=∵4+∵AEF=90°，∵∵2=∵4=∵1，∵EF AF =√22，∵tan∠1=√22，∵tan∵4 =√22，在Rt∵EFB中，∵EFB=90°，FB=2，tan∵4 =√22，∵EF=2√2，设OE=x，则OB= x．∵FB=2，∵OF=x-2，∵在Rt∵OEF中，∵EFO=90°，∵x2=(x-2)2+(2√2)2，∵x=3，∵OF=1．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练掌握圆的切线判定方法，是解题的关键．3．（2022·北京朝阳·二模）如图，AB为∵O的直径，C为∵O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE=DC．(1)求证：DC是∵O的切线；(2)若OA=4，OE=2，求cos D．【答案】(1)见解析(2)35【解析】【分析】（1）连接OC．证∵OCD=90°，即可得出结论；（2）先求出OC=4．再同由勾股定理求出DC=3，OD=5，最后由余弦定义cosD=DC求解．OD(1)证明：如图，连接OC．∵OD⊥AB交AC于点E，∵∠AOD=90∘,∵∠A+∠AEO=90∘．∵∠AEO=∠DEC，∵∠A+∠DEC=90∘．∵DE=DC，∵∠DEC=∠DCE,∵OA=OC，∵∠A=∠ACO，∵∵OCD=∠ACO+∠DCE=90∘，∵DC⊥OC，∵DC是∵O的切线，(2)解：∵∠OCD=90∘，∵DC2+OC2=OD2，∵OA=4，∵OC=4．设DC=x，∵OE=2，∵x2+42=(x+2)2．解得x=3，∵DC=3，OD=5．∵在Rt∵OCD中，cosD=DCOD =35．【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，掌握切线的判定定理是解题的关键．4．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB>AC，∠BAC=90°，在CB上截取CD=CA，过点D作DE⊥AB 于点E，连接AD，以点A为圆心、AE的长为半径作⊙A．(1)求证：BC是∵A的切线；(2)若AC=5，BD=3，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)158【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥BC于F，根据同旁内角互补证得DE//AC，可证得∠DAC=∠ADE，利用AAS可证得△ADE≅△ADF，则可证得AF=AE，根据切线的判定即可求证结论．（2）根据角相等即可得△BDE∼△BCA，利用相似三角形的性质即可求解．(1)过点A作AF⊥BC于F，如图所示，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AED+∠BAC=180°，∴DE//AC，∴∠DAC=∠ADE，∵CD=AC，∴∠DAC=∠ADC，∴∠ADE=∠ADC，在△ADE和△ADF中，{∠AED=∠AFD ∠ADE=∠ADFAD=AD，∴△ADE≅△ADF(AAS)，∴AF=AE，且AE为⊙A的半径，∴AF是⊙A的半径，∴BC是⊙A的切线．(2)∵AC=5，∴CD=AC=5，∴BC=BD+CD=3+5=8，∵∠DEB=∠BAC=90°，∠B=∠B，∴△BDE∼△BCA，∴DEAC =BDBC，∴DE5=38，解得DE=158，∴DE的长为158．【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键．5．（2022·北京平谷·二模）如图，AB是∵O的直径，过B作∵O的切线，与弦AD的延长线交于点C，AD=DC，E是直径AB上一点，连接DE并延长与直线BC交于点F，连接AF．(1)求证：AD⌢=BD⌢；(2)若tan∠BAF=14，∵O的半径长为6，求EF的长．【答案】(1)证明见解析(2)√13【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理、切线性质以及题中AD=DC可得∠BAD=∠ABD=∠CBD=∠C=45°，从而得出结论；（2）连接OD，由（1）知DO⊥AB，得出ΔDOE∼ΔFBE，得出DOBF =OEBE，在RtΔABF中，tan∠BAF=14，∵O的半径长为6，解得BF=3，从而63=OEBE，设BE=x,OE=2x，则BE+OE=OB=6，解得x=2，即BE=2，在RtΔEBF中，利用勾股定理得结论．(1)证明：连接BD，如图所示：∵AB是∵O的直径，∴∠ABD=90°，即BD⊥AC，∵过B作∵O的切线，∴AB⊥BC，∵AD=DC，∴∠BAD=∠ABD=∠CBD=∠C=45°，∴BD=AD，∴AD⌢=BD⌢；(2)解：连接OD，如图所示：在等腰RtΔABD中，∠ADB=90°，∴DO⊥AB，∵∠DEO=∠BEF,∠DOE=∠FBE=90°，∴ΔDOE∼ΔFBE，∴DOBF =OEBE，在RtΔABF中，tan∠BAF=14，∵O的半径长为6，则tan∠BAF=14=BFAB=BF12，解得BF=3，∴63=OEBE，设BE=x,OE=2x，则BE+OE=x+2x=OB=6，解得x=2，在RtΔEBF中，∠EBF=90°，BE=2,BF=3，则利用勾股定理得EF=√BE2+BF2=√22+32=√13．【点睛】本题考查圆综合，涉及到圆周角定理、直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、正切函数求线段长、勾股定理等知识点，根据题意准确作出辅助线是解决问题的关键．6．（2022·北京北京·二模）如图，AB为⊙O的直径，BD⌢=CD⌢，过点A作⊙O的切线，交DO的延长线于点E．(1)求证：AC∥DE；(2)若AC=2，t an E=1，求OE的长．2【答案】(1)见解析(2)5【解析】【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得∠BAD=∠CAD，再利用等边对等角及等量代换即可证得∠CAD=∠D从而证得结论．（2）连接BC，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得∠B=∠E，从而得到tanB=tanE，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案．(1)⌢=CD⌢，证明：∵BD∵∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∵∠D=∠BAD，∵∠CAD=∠D，∵AC∥DE．(2)如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∵∠C=90°，∵AC∥DE，∵∠BAC=∠AOE，∵AE是⊙O的切线，∵OA⊥AE，∵∠C=∠OAE=90°，∵∠B=∠E，∵tanB=tanE=12，在Rt△OAE中，tanB=12，AC=2，∵tanB=ACBC =2BC=12，解得BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√22+C2=2√5，∵OA=√5，∵在Rt△OAE中，tanE=12，∵tanE=AOAE =√5AE=12，解得AE=2√5，∵OE=√OA2+AE2=√(√5)2+(2√5)2=5．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键．7．（2022·北京丰台·二模）如图，AB是∵O的直径，C为BA延长线上一点，过点C作∵O的切线，切点为D，过点B作BE∵CD于点E，连接AD，BD．(1)求证：∠ABD=∠DBE；(2)如果CA＝AB，BD＝4，求BE的长．【答案】(1)证明见解析；(2)43√6．【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由CD切∵O于点A得OD⊥CD，从而得OD∥BE，进而得∠ODB=∠DBE，另外由∠ODB=∠ABD即可得出结论；（2）解：设OA=x，则CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，先证明△COD∽△CBE，得ODBE =COCB=3x4x从而有x=34BE，另外由△ABD∽△DBE得ABBD =DBBE，即可求得BE=43√6．(1)证明：如图，连接OD，∵CD切∵O于点A，∴OD⊥CD，∵BE∵CD，∴OD∥BE，∴∠ODB=∠DBE，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBE；(2)解：如图，设OA=x，则CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，∵OD∥BE，∴∠CDO=∠E,∠COD=∠CBE，∴△COD∽△CBE，∴ODBE =COCB=3x4x即xBE=34，∴x=34BE，∵AB是∵O的直径，∴∠ADB=90°，∵BE∵CD，∴∠E=∠ADB=90°，∵∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =DBBE，∵BD＝4，∴2×34BE4=4BE，解得BE=43√6．【点睛】本题主要考查了圆的切线、勾股定理、相似三角形的判定及性质以及平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．8．（2022·北京密云·二模）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径的∵O与AC交于点D，DE是∵O的切线．(1)计算∠AED的度数；(2)若tanA=12，BC=2√5，求线段DE的长．【答案】(1)90°(2)4√55【解析】【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对圆周角等于90度得∵BDO+∵ODC=∵BDC=90°，再由切线的性质得∵BDE+∵BDO=∵ODE=90°，所以∵BDE=∵ODC，∵ADE=∵BDO，然后由OB-OC，则∵C=∵ODC，BA=BC，则∵C=∵A，所以∵A+∵ADE=90°，最后由三角形内角和定理即可求解；（2）由（1）知：∵AED=∵ADB=90°，则tan∵A=DEAE =BDAD=12，所以AD=2BD，AE=2DE，又因为AB=BC=2√5，在Rt△ADB中，由勾股定理，可求出BD=2，AD=4，再在Rt△ADE中，由勾股定理可求出DE长．(1)解：如图，连接OD，BD，∵BC是∵O的直径，∵∵BDO+∵ODC=∵BDC=90°，∵∵BDE+∵ADE=∵BDA=90°，∵DE是∵O的切线，∵∵BDE+∵BDO=∵ODE=90°，∵∵BDE=∵ODC，∵ADE=∵BDO，∵OD=OC，∵∵C=∵ODC，∵∵C+∵ADE=∵C+∵BDO=90°，∵BA=BC，∵∵C=∵A，∵∵A+∵ADE=90°，∵∵AED=180°-（∵A+∵ADE）=90°；(2)解：由（1）知：∵AED=∵ADB=90°，∵tan∵A=DEAE =BDAD=12，∵AD=2BD，AE=2DE，∵AB=BC=2√5，∵在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，∵（2BD）2+BD2=（2√5）2，∵BD=2，∵AD=4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，（2DE）2+DE2=42，∵DE=4√5．5【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，正切的定义，熟练掌握切线的性质、圆周角定理的推论、正切的定义是解题的关键．9．（2022·北京大兴·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA 为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD=5,DC=3，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）要证BC是∵O的切线，只要连接OD，再证OD∵BC即可．（2）过点D作DE∵AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∵∵BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．(1)连接OD；∵AD是∵BAC的平分线，∵∵1=∵3．∵OA=OD，∵∵1=∵2．∵∵2=∵3．∵OD∵AC．∵∵ODB=∵ACB=90°．∵OD∵BC．∵OD是∵O的半径，∵BC是∵O切线．(2)过点D作DE∵AB，∵AD是∵BAC的平分线，∵CD=DE=3．在Rt△BDE中，∵BED=90°，由勾股定理得：BE=√BD2−DE2=√52−32=4,∵∵BED=∵ACB=90°，∵B=∵B，∵∵BDE∵∵BAC．∵BE BC =DEAC．∵4 8=3AC．∵AC=6．【点睛】^$本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．10．（2022·北京西城·二模）如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E 在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．(1)求证：FA∥CO；(2)若FA=FE，CD=4，BE=2，求F A的长．【答案】(1)见解析(2)3√5【解析】【分析】（1）连接OD，证明△CDO∵△CBO（SSS），得∵COD=∵COB，即∵BOD=2∵COB，又因为OD=OA，得∵OAD=∵ODA，所以∵BOD=∵OAD+∵ODA=2∵OAD，即可证得∵COB=∵OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；（2）由F A=FE，得∵F AE=∵FEA，又由（1）知：∵COB=∵OAD，所以∵COE=∵CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB∵CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得CF=√CB2+BE2=√42+22=2√5，最后证△EOC∵△EAF，得OEAE =CEFE，即46=2√5FE，可求得FE=3√5，即可由F A=FE得出答案．(1)证明：如图，连接OD，∵CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，∵CD=CB，∵OD=OB，OC=OC，∵∵CDO∵△CBO（SSS），∵∵COD=∵COB，即∵BOD=2∵COB，∵OD=OA，∵∵OAD=∵ODA，∵∵BOD=∵OAD+∵ODA=2∵OAD，∵2∵COB=2∵OAD，即∵COB=∵OAD，∵F A∥OC；(2)解：∵F A=FE，∵∵F AE=∵FEA，由（1）知：∵COB=∵OAD，∵∵COE=∵CEO，∵CO=CE，∵CB是∵O的切线，∵OB∵CB，∵OB=BE=2，∵OA=OB=2，∵AE=6，OE=4，∵CB、CD是∵O的切线，∵CB=CD=4，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE=√CB2+BE2=√42+22=2√5，∵F A∥OC，∵∵EOC∵∵EAF，∵OE AE =CEFE，即46=2√5FE，∵FE=3√5，∵F A=FE=3√5．【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．11．（2022·北京顺义·二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A，点E为AC的中点，连接OE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD=4，tanA=12，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由OA=OC得∠A=∠ACO，结合已知条件，根据可得∠BCD+∠OCB=90°，即可得证；（2）证明△DCB∽△DAC，得出CDAD =DBDC=CBAC，根据tanA=12，可得CBAC=12，从而求得DB的长，进而求得OD的长，由点E为AC的中点，根据垂径定理以及∠ACB=90°，证明OF∥BC，根据平行线分线段成比例即可求解．(1)证明：如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD=∠ACO∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，∴△DCB∽△DAC，∴CDAD =DBDC=CBAC，∵tanA=12，可得CBAC=12，∴4AD =DB4=12，∴AD=8,DB=2，∴OB=12AB=12(AD−BD)=3，∵点E为AC的中点，∴OF⊥AC，又∵∠ACB=90°，∴OF∥BC，∴DCCF =BDOB，即4CF=23，∴CF=6．【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，正切，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．12．（2022·北京房山·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE 的垂线于交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，若CD=2，求HF的长度．【答案】(1)见详解(2)2【解析】【分析】（1）连接OE，先证明BF是圆的直径，OE是圆的半径，再证明OE∥BC在，则有∵OEA=∵C=90°，结论得证；（2）连接ED，根据角平分线的性质证明EH=EC，再证∵EHF∵∵ECD，则HF可求．(1)连接OE，如图，∵EF∵BE，∵∵BEF=90°，∵∵O是∵BEF的外接圆，∵BF是∵O的直径，OE是∵O的半径，∵∵OEB=∵OBE，∵BE是∵ABC的角平分线，∵∵OBE=∵CBE，∵∵OEB=∵CBE，∵OE∥BC，∵∵OEA=∵C=90°，即OE∵AC，∵OE是半径，∵AC是∵O的切线；(2)连接ED，如图，∵BE平分∵ABC，且EH∵BA，EC∵BC，∵EH=EC，∵四边形BDEF是∵O的内接四边形，∵∵EFH=∵EDC，∵∵EHF=∵C=90°，∵∵EHF∵∵ECD，∵HF=CD=2，即HF的值为2．【点睛】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确的作出所需辅助线．13．（2022·北京昌平·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC，AC与⊙O交于点F，D，BE为⊙O直径，点E在AB上，连接BD，DE，∠ADE=∠DBE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinA=35，⊙O的半径为3，求BC的长．【答案】(1)过程见详解(2)245【解析】【分析】（1）连接OD，OD=OB=OE，即有∵OBD=∵ODB，∵ODE=∵OED，再根据BE是直径，得到∵BDE=90°=∵DBE+∵DEB=∵ODB+∵ODE，即有∵DBE+∵ODE=90°，再根据∵ADE=∵DBE，有∵ADE+∵ODE=90°，即有OD∵AC，则结论得证；（2）先证OD∥BC，则有BCOD =ABOA，利用sinA=ODOA=35可求出OA，即可求出BC的值．(1)连接OD，如图，∵OD=OB=OE，∵∵OBD=∵ODB，∵ODE=∵OED，∵BE是直径，∵∵BDE=90°=∵DBE+∵DEB=∵ODB+∵ODE，∵∵DBE+∵ODE=90°，∵∵ADE=∵DBE，∵∵ADE+∵ODE=90°，∵OD∵AC，∵OD为半径，∵AC是∵O的切线；(2)根据（1）的结论，有OD∵AC，∵∵C=90°，∵BC∵AC，∵OD∥BC，∵BC OD =ABOA，∵在Rt△ADO中，sinA=ODOA =35，又∵OD=OB=3，∵OA=5，∵AB=OA+OB=8，∵BC OD =ABOA，∵BC=ABOA ×OD=85×3=245．即BC为245．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、直径作对圆周角为90°、平行的性质、勾股定理、三角函数等知识，证明切线是解答本题的关键．14．（2022·北京海淀·二模）如图，AB为∵O的直径，CD为弦，CD∵AB于点E，连接DO并延长交∵O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC．(1)求证：AC∵DF；(2)若AB = 12，求AC和GD的长．【答案】(1)见解析(2)AC =6，DG=4√3【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∵C=∵F，由GA=GC推出∵CAF=∵C，得到∵CAF=∵F，即可得到结论AC∵DF．∠2，进而证得△AOD是等边三角形，（2）连接AD，利用AC∵DF推出∵C=∵1，根据圆周角定理得到∠C=12AB=6．利用垂径定理求出AC=AD=6，利用三角函数求出AG．得到AD=AO=12(1)证明：∵ C，F都在∵O上，∵ ∵C=∵F．∵ GA=GC，∵ ∵CAF=∵C．∵ ∵CAF=∵F．∵ AC∵DF．(2)解：连接AD．∵ AC∵DF，∵ ∵C=∵1，⌢=AD⌢，∵AD∠2．∵∠C=12∠2．∵∵∠1=12∵ AB∵CD于E，∵ ∵BED=90°．∵∠1+∠2=90°．∵∵由∵，∵得∵1=30°，∵2=60°．∵ OA=OD，∵ ∵AOD是等边三角形．AB=6．∵AD=AO=12∵直径AB∵CD于E，∵AC⌢=AD⌢．∵ AC=AD=6．∵ ∵AOD是等边三角形，∵ ∵ADO=60°，∵1=30°．∵ ∵3=∵AOD-∵1=30°∵ DF是∵O的直径，∵ ∵F AD=90°．=4√3．∵ 在Rt∵GAD中，DG=ADcos∠3【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键．15．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，AB 是⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，过点C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于点D ，连接BO 并延长，与⊙O 交于点E ，连接EC ，CD 是⊙O 的切线．(1)求证：∠ABE =2∠E ；(2)若tanE =13，AB =8，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质易得AD ∥CO ，由平行线的性质得到∠ABE =∠BOC ，再结合等腰三角形的性质得到∠OCE =∠OEC ，由三角形外角性质易得∠BOC =∠OCE +∠OEC =2∠BCE 即可求解；（2）连接BC 和AC ，CO ，根据BE 是⊙O 的直径和切线的性质易得∠BCD =∠E ，由圆周角定理得到∠A =∠E ，结合tanE =13得到BD CD =DC AD =13，进而可得CD =3BD ，将AB =8，AD =AB +BD =8+BD 代入即可求解．（1）证明：连接OC ，如下图．∵CD 是⊙O 的切线，过点C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于点D ，∵∠CDA =∠DCO =90°，∵AD ∥CO ，∵∠ABE =∠BOC ．∵OC =OE ，∵∠OCE =∠OEC ，∵∠BOC =∠OCE +∠OEC =2∠BCE，∵∠ABE=2∠E；（2）解：连接BC和AC，CO，如下图．∵BE是⊙O的直径，∵∠BCE=90°，∵∠OCE+∠OCB=90°．∵CD是⊙O的切线，∵∠OCB+∠BCD=90°，∵∠BCD=∠OCE，∵∠BCD=∠E，∵∠A=∠E，tanE=13，∵BDCD=DC AD =13，∵CD=3BD．∵AB=8，AD=AB+BD=8+BD，∵3BD8+BD=13，∵BD=1．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，锐角三角函数值的求法，作出辅助线是解答关键．16．（2022·北京东城·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：∠A=∠BOF；(2)若AB=4，DF=1，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=83【解析】【分析】(1)首先根据等边对等角可证得∠C=∠ODB，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得∠AEB=∠OBF，即可证得△ABE∽△OFB，再根据相似三角形的性质即可求得．(1)证明：∵AB=AC∴∠C=∠ABC∵OB=OD∴∠ODB=∠OBD∴∠C=∠ODB∴AC∥OD∴∠A=∠BOF(2)解：如图：连接BE∵AB是⊙O的直径，AB=4AB=2∴∠AEB=90°，OB=OD=12∵BF是⊙O的切线∴∠OBF=90°。
圆有关的证明题(附答案)
圆有关的证明题1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ；②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BCAB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于点D ，若tan B ＝21，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，求：（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；（2）cos ∠BAP 的值．1．解：（1）连结BC ，9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭是直径⇒∠B=62°． MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．（2）过点B 作BD ⊥MN ，则190BDC ACB MN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ACB ∽△CNB ⇒1AC AB CD BC =⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则190AD C ACB MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ABC ∽△ACD 2 ⇒2CD AC AB CB=⇒CD 2·AB=AC ·CB 2．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，∵OA=OE AB BC =31313124⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切． 3．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ．∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ．（2）①连结AO ，交BC 于点F ，∵ AB ＝AC ，∴ ＝，∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．在Rt △ABF 中，AF ＝tan ∠ABF ，∴ AF ＝21BF ． ∴ AB ＝22BF AF +＝2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ． ∴ 452==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0， ∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝1110． 4．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ， ∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）． 即⊙O 的半径为6cm ．5．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线，∴ AC 2＝AD ·AB ， ∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ，∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10， ∵ k ＞0，∴ k ＝10．∴ AB ＝5k ＝510．∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径，∴ AC ⊥BC ．在Rt △ACB 中，sin B ＝51010510==AB AC ． 6．解法一：连结AC ．∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ． ∵ tan B ＝21， ∴ tan ∠2＝21．∴ CB ACDB CD CD AD ===21．设AD ＝x （x ＞0），CD ＝2x ，DB ＝4x ，AB ＝5x ．∵ PC 切⊙O 于点C ，点B 在⊙O 上，∴ ∠1＝∠B ． ∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ，∴ 21==CB ACPC PA．∵ PC ＝10，∴ PA ＝5，∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，∵ PC 2＝PA ·PB ，∴ 102＝5（5＋5 x ）．解得x ＝3．∴ AD ＝3，CD ＝6，DB ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．解法二：同解法一，由△PAC ∽△PCB ，得21==CB AC PC PA ．∵ PA ＝10，∴ PB ＝20．由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ．∴ PA ＝201022-PB PC ＝5，∴ AB ＝PB －PA ＝15，∵ AD ＋DB ＝x ＋4x ＝15，解得x ＝3，∴ CD ＝2x ＝6，DB ＝4x ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．7．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ，∴ OE ⊥MN ，EN ＝21MN ＝21a ．在四边形EOCD 中，∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ，∴ 四边形EOCD 为矩形．∴ OE ＝CD ，在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ．∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝28πa ．8．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．∴ 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE∴ AB DE ＝ABC CDES S ∆∆＝41＝21，即215=AB ，解得 AB ＝10（cm ），作OM ⊥FG ，垂足为M ，则FM ＝21FG ＝21×8＝4（cm ），连结OF ，∵ OA ＝21AB ＝21×10＝5（cm ）．∴ OF ＝OA ＝5（cm ）．在Rt △OMF 中，由勾股定理，得OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）．∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG AB +·OM ＝2810⨯×3＝27（cm 2）．9．⎭⎬⎫的割线⊙是的切线⊙是O PBC O PA )1(⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PC ＝20⇒半径为7.5⇒圆面积为π4225（或56.25π）（平方单位）．⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P BAP C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC =⇒12=AB AC．∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝55252==x x BC AC 解法二：设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2， 即 x 2＋（2x ）2＝152，解之得 x ＝35，∴ AC ＝65， ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ ∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝5521556==BC AC。
几何圆证明题目(较难)
1对1个性化教案2.已知：如图，AB是⊙∠E=18°，求∠C及∠3.已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过4.已知：如图，A，B是半圆是(1)在CD上求作一点(2)若CD=4cm，求AP5.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为货箱从桥下经过，已知货箱长利通过该桥?在7.已知：如图，△ABC8.已知：如图，AB9.已知：如图，△ABC求证：FE=EH．10.已知：如图，⊙12.已知：如图，ABAF交⊙O于M．求证：∠13.已知：如图，半圆求∠CAD的度数及弦14.已知：如图，割线ABC15.已知：如图，△ABC16.已知：如图，P A切⊙O于求⊙O的半径长．17.已知：如图，⊙O是半径r；(2)若AC=b，BC18.已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠长．19.已知：如图，AB是⊙O上两点，且，过长线于E点，交AB的延长线于(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断∠BCD与∠BAC20.已知：如图，⊙O是Rt21.已知：如图，AB为⊙O的直径，(1)求证：AT平分∠BAC；(2)22.如图，工地放置的三根外径是23.已知：如图，⊙射线DO1交AC24.已知：如图，⊙O1与⊙ODB，连结EB，试判断25.如图，点A，B在直线MN速度自左向右运动，与此同时，26.已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A (1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O27.已知：如图，⊙O 切正方形．求二者的边长比28.已知：如图，⊙O 的半径为A ′B ′和面积比S 内∶29.如图，△ABC 中，BC ＝4交AC 于F ，点P 是⊙A C ．94π8-，30．已知：如图，以线段圆O2于D点．试比较与31．已知：如图，扇形OAB．，＝l2．32.如图，圆锥的轴截面是边长为求在圆锥的侧面上从教研部建议：教研部签字：日期：年月日。
突破中考之圆(解答题)专题训练
与圆有关的计算与证明经典题分类汇编【考点1】与圆性质有关的计算与证明1.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C.（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=0.6，求⊙O的直径．4.如图，AB为⊙O的直径，AB=AC,BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E,∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．AOECDB【考点2】与切线性质有关的证明与计算1.如图，PA、PB、EF分别与⊙O相切于点A、B、C，若△PEF的周长为18cm，且∠APB=60°,求⊙O的半径.2.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF，BD，CE的长.3.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．4.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为弧BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．5.如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．6.直线PD垂直平分⊙O的半径OA，交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sin A=513，求EF的长．【考点3】与切线的判定有关的证明与计算1.如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）证明BC是⊙O的切线．2.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线L垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线L与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．4.如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC 的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长.【考点4】与阴影面积有关的计算与证明1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．2.如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O 经过点E，交BC于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知cos A＝32，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积．4.如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CE＝AE＝23，求阴影部分的面积．5.如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．6.如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点D ，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积.【考点5】与圆有关的计算与证明综合1.如图，AE 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F. （1）求证：OD ∥AC ；（2）求证：DE.DA=DC 2；（3）若tan ∠CAD=21,求tan ∠CDA 的值.2.如图，⊙O 与直线MN 相切于点A ，点B 是⊙O 上异于点A 的一点，∠BAN 的平分线与⊙O 交于点C ．(1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)①若∠CAN ＝15°，⊙O 的半径为23，则AB ＝ ；②当∠CAN ＝ 时，四边形OACB 为菱形．FEDOAC3.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D, DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点； (3)若⊙O 的半径为5, AD ＝6，求ADDB的值．5.如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，BC ＝2，cos ∠ABC ＝1010.点D 为AC ︵上的动点，连接AD 并延长，交BC 的延长线于点E. (1)试求AB 的长；(2)试判断AD ·AE 的值是否为定值？若为定值；请求出这个定值；若不为定值，请说明理由； (3)如图2，连接BD ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，连接CD ，求证：BH ＝CD ＋DH.图1图2。
20题圆的证明
20题、圆的证明1.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）3．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．（1）求证：GC是⊙O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．4．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，A T=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．5．如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E 为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF•EN．（1）求证：QN=QF；（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=，求⊙O的半径．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M 为的中点，且∠DCF=∠P，求证：==．7．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．8．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．9．已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E ，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．。
专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。
弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。
初中数学圆证明题
圆的证明1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．3．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．4．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．5．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．6．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．求∠ACM的度数．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？9、如图，已知矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ，CE•的延长线交⊙A 于F ，CM=2，AB=4．（1）求⊙A 的半径；（2）求CE 的长和△AFC 的面积．10、已知AB 是⊙0的直径，CD 切⊙0于C ，AE CD ⊥，BC 延长线与AE 的延长线交于F 、AF BF =，求A ∠的度数。
（10分）11、如图所示，AB=AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE 。
（1）试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由；（2）如果BC=6，AB=5，求BE 的长。
（12分）12、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点，交AD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）当∠BAC ＝120°时，求∠EFG 的度数．13、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ，点D 在弧BC 上运动（不与B 、C 重合），过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB ＝∠E ．（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB ＝5，BC ＝6时，求⊙O 的半径．14、如图5.1-16，⊙O 的直径AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E. （1）求∠AEC 的度数；（2）求证：四边形OBEC 是菱形.（12分）MCBA E F OAB C DEA CD E G O F15、如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D。
圆的切线专题证明题
1、.已知：如图，CB是⊙O的直径,BP是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证:AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°,PB=2cm，求AC．2、⊿ABC中,AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC于E。
求证:DE为⊙O的切线3、、如图,AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D,作D E⊥BC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30°。
AB=8，求DG的长4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．APOB5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O的切线；6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且求证：直线是⊙0的切线；7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B,D在线段AP上，连接DB，且AD=DB.（1)判断DB与⊙O的位置关系，并说明理由。
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。
(1）若∠CPA=30°，求PC的长(2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由;若不变化，求出∠CMP的值。
9．如图,MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN,交⊙O的弦BC于点P。
若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．10．已知：如图,同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．11、如图,AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3,⊙O的半径为5，求BF的长。
圆的有关计算与证明(共50题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。
最新九年级中考数学复习：圆相关的证明题
2023年九年级中考数学复习：圆相关的证明题1．如图，AB 是半圆O 的直径，AE 是半圆O 的切线（即圆O 的切线）．连接EB ，交半圆于点D ，连接AD ．过点D 作直线CD ，且EDC DAB ∠=∠．(1)求证：直线CD 是半圆O 的切线；(2)求证：点C 是线段AE 的中点；(3)若10AB =，8BD =，求线段CE 的长．2．如图，AB 是O 直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 作DB 的垂线，交AB 的延长线于点G ，垂足为点F ，连结AC ，其中A D ∠=∠．(1)求证：AC CG =；(2)若8CD EG ==，求O 的半径．3．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，△ABC 的平分线BE 交AC 于点E ，△O 是△BEF 的外接圆，交AB 于点F ，圆心O 在AB 上．(1)求证：AC 是△O 的切线；(2)过点E 作EH △AB 于点H ，求证：EF 平分△AEH ；4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为AC的中点，OD与AC交于点E．(1)证明：∥OD BC(2)若△B＝70°，求△CAD的度数；(3)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．5．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠=︒AOC58(1)求∠ADB的度数；(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．6．如图，在△ABC 中，以AB为直径的△O分别交AC，BC于点D，E．连接ED，若ED=EC．(1)求证：AB=AC；(2)填空：△若△C=60°，CD=4，则AB= ；△连接OD，当△A的度数为时，四边形ODEB是菱形．7．如图，O 是Rt ABC ∆的外接圆，AB 为直径，30ABC ∠=︒，CD OC ⊥于C ，ED AB ⊥于F ，(1)判断DCE ∆的形状；(2)设O 的半径为1，且OF DCE OCB ∆≅∆．8．如图，AB 为△O 的直径，PD 切△O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE △PO 交PO 延长线于点E ，连接OC ，PB ，已知PB =6，DB =8，△EDB =△EPB ．(1)求证：PB 是△O 的切线；(2)求△O 的半径；(3)连接BE ，求BE 的长．9．如图，△O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．(1)如图1，若为120°，为50°，求△E 的度数；10．如图，△ABC是△O的内接三角形，AE是△O的直径，AF是△O的弦，且AF△BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．(1)求证：BE=CF；(2)若△ABC=△EAC，求AC的长．11．如图，AB是△O的直径，CD是△O的一条弦，AB△CD，连接AC，OD．(1)求证：△BOD＝2△A；(2)连接DB，过点C作CE△DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为△O的切线．12．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．(1)求证：CD是△O的切线；(2)若△A＝60°，AC＝BD的长．13．如图，已知△ABC 内接于△O ，AB 为直径．(1)若△O 的半径为2cm ，且AB ＝2BC ，求阴影部分的面积；(2)若△ACB 的平分线CD 交△O 于点D ，点E 为CA 延长线上的一点，且△ADE ＝△BCD ，判断DE 与△O 的位置关系，并说明理由．14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD △AC ，OD 与AC 交于点E ．(1)若△CAB ＝20°，求△CAD 的度数；(2)若AB ＝8，AC ＝6，求DE 的长．15．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥于点E ．(1)求证：ABC 是等边三角形；(2)若OB =CE =______．16．如图，O的两条弦AB CD=．、互相垂直，垂足为E，且AB CD(1)求证：AC BD=．(2)若OF CD⊥于G，问，四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．⊥于F，OG AB(3)若13，，求O的半径．==CE DE17．如图，BC是△O的直径，点A在△O上，AD BC⊥，垂足为D，AE=AB，BE分别交AD、AC于点F、G．(1)△BAD=△C吗？为什么？(2)△F AB是等腰三角形吗？请说明理由．18．如图在Rt ABC中，△C=90º，以AC为直径作△O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．(1)求证：DE是△O的切线；(2)如果△O的半径为3，DE=4，求AB的长；(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．19．如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在AC上，且不与点A，C重合），△ADB＝△BAC ＝60°．(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM△AB于点M，EN△BC于点N，连接MN，若AB＝6，求MN的最小值．20．如图，△ABC的边AB为△O的直径，BC与△O交于点D，D为BC的中点，连接AD，过D作DE△AC于E．(1)求证：DE为△O的切线；(2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长．。
圆的证明题试题
一、证明题第1题.（山西省，8分）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．第2题.（四川省自贡市，7分）如图，A 、B 为⊙O 上的点，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．若AC 为∠BAD 的平分线． 求证：（1）AB 为⊙O 的直径 （2）AC 2＝AB ·AD二、猜想、探究题第3题.（湖南益阳，10分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过圆心O 作OD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 上一点，G 是DE 的中点，OG 的延长线交BC 于F ．（1）图中线段OD BC ，所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；（2）猜想线段BE EF FC ，，三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．第4题.（广东茂名，10分）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1． （1）求证：DEC △∽ADC △； （3分） （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线． （3分）第5题.（福建三明，12分）如图①，②，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(4，0)，以点A 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于O ，B 两点，OC 为弦，60AOC ∠=，P 是x 轴上的一动点，连结CP ． （1）求OAC ∠的度数；（2分）（2）如图①，当CP 与A 相切时，求PO 的长；（3分） （3）如图②，当点P 在直径OB 上时，CP 的延长线与A 相交于点Q ，问PO 为何值时，OCQ △是等腰三角形？（7分）第7题.（四川绵阳，12分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC = 60︒，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于D ，连结OC ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形；（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．第8题.（浙江丽水，12分）如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若CPA ∠=30°，求PC 的长；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的值．第9题.（湖北黄石，8分）已知AB 是半圆O 的直径，AP 为过点A 的半圆的切线，在AB 上任取一点C （点C 与A B ，不重合），过点C 作CD AB ⊥于D E ，是CD 的中点，连结BE 并延长交AP 于点F ，连结CF ．（1）当点C 是AB 的中点时（如图（1）），求证：直线CF 是半圆O 的切线；（2）当点C 不是AB 的中点时（如图（2）），试猜想直线CF 与半圆O 的位置关系，并证明你的猜想．P FA O (D )B EC 图1 P F A O (D ) B EC 图2。
九年级上册圆的证明题及答案
DOB C A E PEECOB P D AOAC1．如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA 于D ．（1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径．（1）证明：连结OC ．∵ OC =OA ，∴ ∠OAC = ∠OCA∵ AC 平分∠PAE ，∴ ∠DAC = ∠OAC ，∴ ∠DAC = ∠OCA ， ∴ AD ∥OC ．∵ CD ⊥PA ，∴ ∠ADC = ∠OCD =90°， 即 CD ⊥OC ，点C 在⊙O 上，∴ CD 是⊙O 的切线． 》 （2）解：过O 作OE ⊥AB 于E ．∴ ∠OEA =90°∵ AB =8，∴ AE =4． 在Rt △AEO 中，∠AEO =90°，∴ AO 2=42+OE 2． ∵ ∠EDC = ∠OEA =∠DCO =90°，∴ 四边形DEOC 是矩形， ∴ OC =DE ，OE =CD ．∵ AD:DC =1:3，∴ 设AD =x ，则DC =OE =3x ，OA =OC =DE =DA +AE =x +4， ∴ (x +4)2=42+(3x )2，解得 x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=1．则 OA =5．∴ ⊙O 的半径是5． 2.如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ．@（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BA CE DP ONFBA CE DPNM F解：（1）AB=CD 理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF 连接OA 、OB 、OC 、OD…易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD3．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系为什么解：BD=CD 理由是：如图，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CDBACDO4. 如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．100° C ．50° D ．65° 答案A5．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．^（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．解：（1）CD 与⊙O 相切 ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．6．如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距OM=221()2a a -=123a∴所求正六边形的面积=6×12×AB×OM=6×12×a×32a=323a 2&7．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2． （1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少解：（1）如图所示： ∵300π=2120360R π ∴R=30∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm ）（2）如图所示： ∵20π=20πr ∴r=10，R=30 AD=900100-=202 ∴S 轴截面=12×BC×AD =12×2×10×202=2002（cm 2） 因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2002cm 2．DEBAOM：8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交⋂BC 于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径． 解：(1)不同类型的正确结论有：①BE =CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED =90°④∠BOD =∠A ;⑤AC ∥OD ，⑥AC ⊥BC ; ⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S △ABC ＝BC ·OE ;⑨△BOD 是等腰三角形，⑩△BOE ∽△BAC ; (2)∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC =4．设⊙O 的半径为R ，则OE =OD －DE=R －2． 在Rt △OEB 中，由勾股定理得 OE 2＋BE 2=OB 2，即(R －2)2＋42=R 2．解得R ＝5． ∴ ⊙ O 的半径为5)9.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形为什么 解：（1）PDC △为等边三角形． 理由：ABC ∵△为等边三角形AC BC =∴，又∵在⊙O 中PAC DBC ∠=∠又AP BD =∵ APC BDC ∴△≌△． PC DC =∴ 又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=°1302BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=°303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形．~（2）PDC △仍为等边三角形理由：先证APC BDC △≌△（过程同上） PC DC =∴ 60BAP PAC ∠+∠=∵° 又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠60CPD BCP PBC BAP PAC ∠=∠+∠=∠+∠=∴° 又PC DC =∵ PDC ∴△为等边三角形．10.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B ，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变，AOCP）图①AOCPB：那么上述结论CD=CE还成立吗为什么解：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE)(2)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE11.AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C ，连BC．若30P∠=，求B∠的度数．解：PA切⊙O于A AB，是⊙O 的直径，∴90PAO∠=．30P∠=，∴60AOP∠=．∴1302B AOP∠=∠=12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE CD⊥，垂足为E，DA平分BDE∠．￥（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若301cmDBC DE∠==，，求BD的长．）（1）证明：连接OA，DA平分BDE∠，BDA EDA∴∠=∠．OA OD ODA OAD=∴∠=∠，．OAD EDA∴∠=∠．OA CE∴∥．AE DE⊥，9090AED OAE DEA∴∠=∠=∠=，．AE OA∴⊥．AE∴是⊙O的切线．A·BCPODECOA（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=．3060DBC BDC ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．30ABD EAD ∴∠=∠=．在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，．DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．13.如图，已知在⊙O 中，AB=34，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解：连结AD ．∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD 。
(完整版)初中数学圆的证明题专项练习大全(精华)
OABCDE圆有关的证明题专项练习1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE ∽△ADC ；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。
（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，D 是弧BC 的中点，AD 、BC 交于点E ，CF ⊥AB 于F ，CF 交AD 于G 。
（1）求证：AD =2CF ；（2）若AD=34，BC =62，求⊙O 的半径6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F 。
（1）求证：BF 平分∠DFE ；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径7、如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，D 为弧AC 的中点，DH ⊥AB 于点H ，延长BC 、HD 交于点E 。
（1）求证：AC=2DH ；（2）连接AE ，若DH=2，BC=3，求tan ∠AEB 的值8、在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若BC=6，AD=4，求ECF S 。
9、如图，⊙O 中， 直径DE ⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点F 。
(1)求证△AOG ∽△FAO 。
(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求CGF S 。
10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。
（1）、求证：△CBE ∽△AFB 。
中考专题复习——圆的相关证明(附答案)
中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小； （Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ， 若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小； （Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ． （Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长． 图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解： （Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。
圆的证明题
圆的证明题一、已知圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，且AP=PB，若∠APD=60°，则∠CPB等于多少？A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°（答案：D）二、在圆O内，弦AB的长度是弦CD长度的两倍，且AB与CD不相交，那么弦AB与弦CD 所对的圆心角的关系是？A. 相等B. 两倍关系C. 互补D. 无法确定（答案：D，因为不知道两弦的具体位置关系）三、圆O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，若AC=3，BC=4，则圆O的半径为？A. 3B. 4C. 5D. 7（答案：C，利用勾股定理）四、已知圆O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则过点P的弦中，最长的弦长为？A. 6B. 8C. 10D. 12（答案：C，过点P的最长弦是直径）五、在圆O中，弦AB与弦CD平行，且AB=2CD，那么弦AB与弦CD所对的弧的关系是？A. 相等B. 两倍关系C. 没有直接关系D. 互补（答案：C，平行弦所对的弧不一定有直接的长度关系）六、圆O中，弦AB与半径OC相交于点D，且OD=1/3OC，若∠ADO=30°，则∠BOC等于？A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°（答案：B，利用垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系）七、已知圆O的两条弦AB和CD相交于点E，且AE=CE，BE=DE，那么四边形ABCD是？A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 无法确定（答案：B，根据相交弦定理和给定条件）八、圆O中，弦AB的长度等于半径，弦CD是圆O的直径，那么弦AB与弦CD之间的夹角是？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案：D，因为弦AB等于半径，所以△AOB是等边三角形，而弦CD是直径，所以∠AOC=90°，进而得出弦AB与弦CD之间的夹角为90°）。
中考难点突破圆的证明题50道(含详细解析)
中考难点突破——圆的证明题练习50道（含详细解析）一．解答题（共50小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）填空：①当∠B=时，四边形OCAD是菱形；②当∠B=时，AD与⊙O相切．3．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB、MC的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径．5．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，且∠B=∠A=30°，BD=2√3．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．7．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D 作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．8．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．9．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．10．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．11．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．12．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O 与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求tan∠BAD．13．如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD=√3．（1）求∠C的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求阴影部分面积．14．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；（2）若⊙O的半径为2，AC=3，求BD的长度．17．如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．18．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若AB=4+√3，BC=2√3，求⊙O 的半径．19．如图，已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：∠DAC=∠DCE ；（2）若AB=2，sin ∠D=13，求AE 的长．20．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ；（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由．（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．21．已知四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，∠DAB=45°．（Ⅰ）如图①，判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）如图②，E 是⊙O 上一点，且点E 在AB 的下方，若⊙O 的半径为3cm ，AE=5cm ，求点E 到AB 的距离．22．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA=∠ABC ；（2）如果BD=1，tan ∠BAD=12，求⊙O 的半径．23．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 上一点，且AD=DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连结DE ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若sinC=45，AC=6，求⊙O 的直径．24．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=43，AB=14，求线段PC的长．26．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD ⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；（3）若tan∠PCB=34，BE=5√2，求PF的长．28．在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E．（1）求证：AD∥OC；（2）若AE=2√5，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．30．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC 的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）连接OC交DE于点F，若sin∠ABC=34，求OFFC的值．31．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：EA2=EB•EC；（2）若EA=AC，cos∠EAB=45，AE=12，求⊙O的半径．32．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O 点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．33．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）∠ACB=°，理由是：；（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；（3）若AB=8，AD=6，求BD．34．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BC=4，AC=3CE时，求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF的长．36．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．37．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，√3）为圆心，以2√3长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P 点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．38．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BED=60°，PD=√3，求PA的长．（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．39．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC=FB；（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的直径．40．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．41．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．42．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB 上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°，且⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）44．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD．（2）若BE=3，CD=8，求BC 的长．45．如图，AB 是⊙O 的直径，点D ，E 在⊙O 上，∠A=2∠BDE ，点C 在AB 的延长线上，∠C=∠ABD ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若BF=2，EF=√13，求⊙O 的半径长．46．如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且AF̂=FC ̂=CB ̂，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CD=2√3，∠CAB=30°，求⊙O 的半径．47．如图，在等腰△ABC 中，AB=BC ，以BC 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交CB 延长线于点E ，垂足为点F ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径R=5，tanC=12，求EF 的长．48．如图，AB为⊙O的直径，D为AĈ的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D 作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．49．如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．50．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．圆的证明题练习50道参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD=√82−72=√15，∴S=8√15．菱形ABFC∴S半圆=12•π•42=8π．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）填空：①当∠B=30°时，四边形OCAD是菱形；②当∠B=45°时，AD与⊙O相切．【解答】解：（1）∵OA=OC，AD=OC，∴OA=AD，∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC=∠AOD，∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，∴∠AOC=∠OAD，∴OC∥AD，∴四边形OCAD是平行四边形；（2）①∵四边形OCAD是菱形，∴OC=AC，又∵OC=OA，∴OC=OA=AC，∴∠AOC=60°，∴∠B=12∠AOC=30°；故答案为30．②∵AD 与⊙O 相切，∴∠OAD=90°，∵AD ∥OC ，∴∠AOC=90°，∴∠B=12∠AOC=45°； 故答案为：45°3．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB=∠APB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB 、MC 的长．【解答】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P=90°，而∠COB=∠APB ，∴∠M +∠COB=90°，∴∠OBM=90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）∵∠COB=∠APB ，∠OBM=∠PAM ，∴△OBM ∽△APM ，∴MB AM =OB AP =OM PB =12， 设MB=x ，则MA=2x ，MO=2x ﹣3，∴MP=4x ﹣6，在Rt △AMP 中，（4x ﹣6）2﹣（2x ）2=62，解得x=4或0（舍去）∴MB=4，MC=2．4．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径．【解答】解：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=√3，∴2OA=2PD=2√3．∴⊙O的直径为2√3．5．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作CA ∥BD 交OD 的延长线于点A ，连接BC ，且∠B=∠A=30°，BD=2√3．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC ，交BD 于E ，∵∠B=30°，∠B=12∠COD ， ∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵AC ∥BD ，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=12BD=√3， ∵sin ∠COD=DE OD， ∴OD=2，在Rt △ACO 中，tan ∠COA=AC OC ，∴AC=2√3，∴S 阴影=12×2×2√3﹣60π×22360=2√3﹣2π3． 6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC 的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为120⋅π×4180=8π3．7．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D 作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．【解答】证明：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．（2）连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．8．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．【解答】解：（1）∵∠C=45°，∴∠A=∠C=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=45°；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，∴AB=6，∴⊙O的半径为3．9．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【解答】证明：（1）连接OC，∵CD=AC，∴∠CAD=∠D，又∵∠ACD=120°，∴∠CAD=12（180°﹣∠ACD）=30°，∵OC=OA，∴∠A=∠1=30°，∴∠COD=60°，又∵∠D=30°，∴∠OCD=180°﹣∠COD﹣∠D=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠A=30°，∴∴∠1=2∠A=60°∠1=2∠A=60°．∴∴S扇形OBC =60π×22360=23π，在Rt△OCD中，CD=OC⋅tan60°=2√3．∴S Rt△OCD=12OC×CD=12×2×2√3=2√3．∴图中阴影部分的面积为2√3﹣23π．10．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段BC，AD，BD的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC=√AB2−AC2=8（cm），∵∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，∴AD̂=BD ̂， ∴AD=BD ，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB•cos45°=10×√22=5√2（cm ）． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠B=70°，求∠CAD 的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE 的长．【解答】解：（1）∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD ∥BC ，∴∠AEO=90°，即OE ⊥AC ，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO=12（180°﹣∠AOD ）=12（180°﹣70°）=55°， ∴∠CAD=∠DAO ﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC 中，BC=√AB 2−AC 2=√42−32=√7．∵OE ⊥AC ，∴AE=EC ，又∵OA=OB ，∴OE=12BC=√72． 又∵OD=12AB=2，∴DE=OD ﹣OE=2﹣√72． 12．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O 在BC 边的中线AD 上，⊙O与BC 相切于点E ，且∠OBA=∠OBC ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）求⊙O 的半径；（3）求tan ∠BAD ．【解答】（1）证明：如图，作OF 垂直AB 于点F ，∵⊙O 与BC 相切于点E ，∴OE ⊥BC又∠OBA=∠OBC ，∴OE=OF ，∴AB 为⊙O 的切线（2）解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=√AB 2−AC 2=4，又D 为BC 的中点，∴CD=DB=2，∵S △ACD +S △COB +S △AOB =S △ABC设⊙O 的半径为r ，即12AC•CD +12BD•r +12AC ⋅BC ∴6+2r +5r=12∴r=67∴⊙O 的半径为67（3）解：∵∠C=90°，OE ⊥BC ，∴OE ∥AC ，∴Rt △ODE ∽Rt △ADC ，∴OE AC =DE DC， ∴DE=47， ∴BF=BE=187， ∴AF=AB ﹣BF=177， ∴tan ∠BAD=OF AF =617．13．如图，⊙O 的直径AD 长为6，AB 是弦，∠A=30°，CD ∥AB ，且CD=√3．（1）求∠C 的度数；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；（3）求阴影部分面积．【解答】（1）解：如图，连接BD ，∵AD 为圆O 的直径，∴∠ABD=90°，∴BD=12AD=3， ∵CD ∥AB ，∠ABD=90°，∴∠CDB=∠ABD=90°，在Rt △CDB 中，tanC=BD CD =√3=√3， ∴∠C=60°；（2）证明：连接OB ，∵OA=OB ，∴∠OBA=∠A=30°，∵CD ∥AB ，∠C=60°，∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，∴∠OBC=∠ABC ﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，∴OB ⊥BC ，∴BC 为圆O 的切线；（3）解：过点O 作OE ⊥AB ，则有OE=12OA=32， ∵AB=√AD 2−BD 2=√62−32=3√3，∴S △OAB =12AB•OE=12×3√3×32=9√34， ∵∠AOB=180°﹣2∠A=120°，∴S 扇形OAB =120×32π360=3π，则S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB =3π﹣9√34．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线BM 交AE 于点M ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点M ，交BC 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG 的长．【解答】（1）证明：连接OM ，如图1，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠OBM=∠CBM ，∵OB=OM ，∴∠OBM=∠OMB ，∴∠CBM=∠OMB ，∴OM ∥BC ，∵AB=AC ，AE 是∠BAC 的平分线，∴AE ⊥BC ，∴OM ⊥AE ，∴AE 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为r ，∵AB=AC=6，AE 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE=12BC=2， ∵OM ∥BE ，∴△AOM ∽△ABE ，∴OM BE =AO AB ，即r 2=6−r 6，解得r=32， 即设⊙O 的半径为32； （3）解：作OH ⊥BE 于H ，如图，∵OM ⊥EM ，ME ⊥BE ，∴四边形OHEM 为矩形，∴HE=OM=32， ∴BH=BE ﹣HE=2﹣32=12，∵OH⊥BG，∴BH=HG=1 2，∴BG=2BH=1．15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE 是矩形．∴OF=AE=4cm ．又∵OF ⊥CD ，∴DF=12CD=3cm ． 在Rt △ODF 中，OD=√OF 2+DF 2=5cm ，即⊙O 的半径为5cm ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，经过A 、D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，⊙O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系并证明；（2）若⊙O 的半径为2，AC=3，求BD 的长度．【解答】解：（1）BC 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．又∵OD=OA ，∴∠OAD=∠ODA ．∴∠CAD=∠ODA ．∴OD ∥AC ．∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ．又∵BC 过半径OD 的外端点D ，∴BC 与⊙O 相切．（2）由（1）知OD ∥AC ．∴△BDO ∽△BCA ．∴BO BA =DO CA． ∵⊙O 的半径为2，∴DO=OE=2，AE=4．∴BE+2BE+4=23． ∴BE=2．∴BO=4，∴在Rt △BDO 中，BD=√BO 2−OD 2=2√3．17．如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）AC 与⊙O 相切．理由如下：连结OE ，如图，∵BE 平分∠ABD ，∴∠OBE=∠DBO ，∵OE=OB ，∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OBE=∠DBO ，∴OE ∥BD ，∵AB=BC ，D 是AC 中点，∴BD ⊥AC ，∴OE ⊥AC ，∴AC 与⊙O 相切；（2）设⊙O 半径为r ，则AO=10﹣r ，由（1）知，OE ∥BD ，∴△AOE ∽△ABD ，∴AO AB =OE BD ，即10−r 10=r 6， ∴r=154， 即⊙O 半径是154．18．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若AB=4+√3，BC=2√3，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：连接OA ，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC ，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC ﹣∠P=90°，∴OA ⊥PA ，∴PA 是⊙O 的切线；（2）解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ．在Rt △BCE 中，∠B=60°，BC=2√3，∴BE=12BC=√3，CE=3， ∵AB=4+√3，∴AE=AB ﹣BE=4，∴在Rt △ACE 中，AC=√AE 2+CE 2=5，∴AP=AC=5．∴在Rt △PAO 中，OA=5√33， ∴⊙O 的半径为5√33．19．如图，已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E ．（1）求证：∠DAC=∠DCE ；（2）若AB=2，sin ∠D=13，求AE 的长．【解答】解：（1）∵AD 是圆O 的切线，∴∠DAB=90°．∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC +∠CAB=90°，∠CAB +∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B ．∵OC=OB ，∴∠B=∠OCB ．又∵∠DCE=∠OCB ．∴∠DAC=∠DCE ．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin ∠D=13， ∴OD=3，DC=2．在Rt △DAO 中，由勾股定理得AD=√OD 2−OA 2=2√2．∵∠DAC=∠DCE ，∠D=∠D ，∴△DEC ∽△DCA ．∴DC AD =DE DC ，即2√2=ED 2． 解得：DE=√2．∴AE=AD﹣DE=√2．20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，{OA=OC ∠3=∠2 OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF=√AF 2+OA 2=√32+42=5∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，∴AC=2AE ，△OAF 的面积=12AF•OA=12OF•AE ， ∴3×4=5×AE ，解得：AE=125， ∴AC=2AE=245．21．已知四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，∠DAB=45°．（Ⅰ）如图①，判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）如图②，E 是⊙O 上一点，且点E 在AB 的下方，若⊙O 的半径为3cm ，AE=5cm ，求点E 到AB 的距离．【解答】解：（1）CD 与圆O 相切．证明：如图①，连接OD ，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ．∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 与圆O 相切．（2）如图②，作EF ⊥AB 于F ，连接BE ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．∵AE=5，∴BE=√AB 2−AE 2=√11，∵sin ∠BAE=BE AB =EF AE． ∴√116=EF 5∴EF=5√116．22．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA=∠ABC ；（2）如果BD=1，tan ∠BAD=12，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OA ，∵AE 为⊙O 的切线，BD ⊥AE ，∴∠DAO=∠EDB=90°，∴∠DBA=∠BAO ，又∵OA=OB ，∴∠ABC=∠BAO ，∴∠DBA=∠ABC ；（2）解：∵BD=1，tan ∠BAD=12， ∴AD=2，∴AB=√22+12=√5，∴cos ∠DBA=√55； ∵∠DBA=∠CBA ，∴BC=AB cos∠CBA =√5√55=5．∴⊙O 的半径为2.5．23．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 上一点，且AD=DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连结DE ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若sinC=45，AC=6，求⊙O 的直径．【解答】（1）证明：∵AB=AC ，AD=DC ，∴∠C=∠B ，∠1=∠C ，又∵∠E=∠B ，∴∠1=∠E ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E +∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ，如图，∵DA=DC ，∴CF=12AC=3， 在Rt △CDF 中，∵sinC=DF DC =45， 设DF=4x ，DC=5x ，∴CF=√CD 2−DF 2=3x ，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C ，∴△ADE ∽△DFC ，∴AE DC =AD DF ，即AE 5=54，解得AE=254， 即⊙O 的直径为254．24．如图，已知三角形ABC 的边AB 是⊙O 的切线，切点为B ．AC 经过圆心O 并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CB 平分∠ACE ；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：如图1，连接OB ，∵AB 是⊙0的切线，∴OB ⊥AB ，∵CE 丄AB ，∴OB ∥CE ，∴∠1=∠3，∵OB=OC ，∴∠1=∠2∴∠2=∠3，∴CB 平分∠ACE ；（2）如图2，连接BD ，∵CE 丄AB ，∴∠E=90°，∴BC=√BE 2+CE 2=√32+42=5，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC ，∴△DBC ∽△CBE ，∴CD BC =BC CE， ∴BC 2=CD•CE ，∴CD=524=254，∴OC=12CD=258，∴⊙O的半径=25 8．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=43，AB=14，求线段PC的长．【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠DAC ．∵OC=OA ，∴∠ACO=∠CAO ，∴∠DAC=∠CAO ，即AC 平分∠DAB ；（2）证明：∵AD ⊥PD ，∴∠DAC +∠ACD=90°．又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB +∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB ．又∵∠DAC=∠CAO ，∴∠CAO=∠PCB ．∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACF=∠BCF ，∴∠CAO +∠ACF=∠PCB +∠BCF ，∴∠PFC=∠PCF ，∴PC=PF ；（3）解：∵∠PAC=∠PCB ，∠P=∠P ，∴△PAC ∽△PCB ，∴PC PB =AP PC． 又∵tan ∠ABC=43， ∴AC BC =43， ∴PC PB =43， 设PC=4k ，PB=3k ，则在Rt △POC 中，PO=3k +7，OC=7，∵PC 2+OC 2=OP 2，∴（4k ）2+72=（3k +7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．26．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD ⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）解：①∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．∴∠EAB=30°，在Rt △ABE 中，BE=12AB=12×4=2， AE=√3BE=2√3，在Rt △ADE 中，∠DAE=∠BAE=30°，∴DE=12AE=√3， ∴AD=√3DE=√3×√3=3；②∵OA=OB ，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S 扇形AOE ﹣S △AOE=S 扇形AOE ﹣12S △ABE =120⋅π⋅22360﹣12•12•2√3•2 =43π﹣√3．27．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于P ．弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连结BE ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）探究线段PC ，PF 之间的大小关系，并加以证明；（3）若tan ∠PCB=34，BE=5√2，求PF 的长．【解答】解：（1）连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP=∠D=90°，∴OC∥AD．∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）PC=PF．证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．∴∠PFC=∠PCF．∴PC=PF．（3）连接AE．∵∠ACE=∠BCE，̂=BÊ，∴AE∴AE=BE．又∵AB是直径，∴∠AEB=90°．AB=√2BE=10，∴OB=OC=5．∵∠PCB=∠PAC ，∠P=∠P ，∴△PCB ∽△PAC ．∴PB PC =BC CA． ∵tan ∠PCB=tan ∠CAB=34． ∴PB PC =BC CA =34． 设PB=3x ，则PC=4x ，在Rt △POC 中，（3x +5）2=（4x ）2+52，解得x 1=0，x 2=307．∵x ＞0，∴x =307，∴PF=PC=1207．28．在△ABC 中，∠ACB=90°，经过点C 的⊙O 与斜边AB 相切于点P ．（1）如图①，当点O 在AC 上时，试说明2∠ACP=∠B ；（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O 在△ABC 外部时，求CP 长的取值范围．【解答】解：（1）当点O 在AC 上时，OC 为⊙O 的半径，∵BC ⊥OC ，且点C 在⊙O 上，∴BC 与⊙O 相切．∵⊙O 与AB 边相切于点P ，∴BC=BP，∴∠BCP=∠BPC=180°−∠B2，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣180°−∠B2=12∠B．′即2∠ACP=∠B；（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=√AC2+BC2=10，如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切，连接OP、AO，∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB，设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，∵AC=AP，∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，在△OPA中，∠OPA=90°，根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，解得：x=8 3，在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，∴AO=√AC2+OC2=83√10．∵AC=AP，OC=OP，∴AO垂直平分CP，∴根据面积法得：CP=2×AC⋅OCAO=85√10，则符合条件的CP长大于85√10．由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，综上，当点O在△ABC外时，8√105＜CP≤8．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。
圆证明题
一、例题
例1如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ．
例3如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ，交AB•的延长线于D ，求证：AC=CD ．
例4如图20-12，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，
AB AF ，BF 和AD 交于E ，
求证：AE=BE ．
例5如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 2的弦
相交于D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．
（1）求证：AD=DC ．（2）求证：DE 是⊙O 1的切线．
某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。
为了促销，该经营户决定降价销售。
经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每
天可多售出40千克。
另外，每天的房租等固定成本共24元。
该经营户要想每天盈利200元，则应将每千克的小型西瓜的售价降低多少元？
20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC•交于点E ，求证：△DEC 为等腰三角形．。
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关于圆的证明题
一、1、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
用数量关系表示是：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
（1）直线l和⊙O相交d<r （2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d>r.
2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3、切线的性质定理及其推论切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
二、1、直线和圆的位置关系
2、切线的判定定理
例1、已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．
例2、已知如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.
例3、（1）如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，那么EA是⊙O的切线.
3、切线的性质及其推论
例3如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB•的延长线于点D，∠ACD=120°，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．
例4、已知：如图所示，AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD=3cm，BE=7cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求线段DE的长.
例5、如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点，
求证：AD∥OC，.
例6、已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD＋BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：⊙O和CD相切.
例7如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
例9如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE 是⊙O的切线．
例10、已知:如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D,过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E.求证:BE=CE.
例11如图，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E ， 若∠EAC=∠CAP ，求证：PA 是⊙O 的切线．
例12在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，O 为AB 上一点，AO ＝m ，⊙O 的半径，问
m 在什么范围内取值时，AC 与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。
例13经过⊙O 上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C ，求证：∠ATC=∠TBC
例14已知：AD 是∠BAC 的平分线，BDC 是切线，求证：EF ∥BC
练习：
1、已知，AB 为⊙O 的直径，OC 平行于弦AD ，DC 是⊙O 的切线，求证：BC 是圆的切线．
C
2、如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：AC是⊙O的切线．
3、如图，PA、PB为⊙O的切线，AC为经过切点A的直径，求证：BC∥PO．
4、如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E．
求证：DE是圆O的切线．
5、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半
径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
求证：DE是⊙O的切线．
7、如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE=EC．
8、已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
9、如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．
10、如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD且CD=BD．求证：BD是⊙O的切线
如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）（3分）求证：AE为⊙O的切线．
（2）（3分）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）（3分）在（2）的条件下，求线段BG的长．。