量子力学复习题部分解答
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学复习题附答案
量子力学复习题附答案1. 量子力学的基本假设是什么？答案：量子力学的基本假设包括波函数假设、态叠加原理、测量假设、不确定性原理、薛定谔方程和泡利不相容原理。
2. 描述态叠加原理的内容。
答案：态叠加原理指出，一个量子系统可以处于多个可能状态的线性组合，即叠加态。
系统的态函数可以表示为这些可能状态的叠加。
3. 测量假设在量子力学中扮演什么角色？答案：测量假设指出，当对量子系统进行测量时，系统会从叠加态“坍缩”到一个特定的本征态，其概率由波函数的模方给出。
4. 不确定性原理如何表述？答案：不确定性原理表述为，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，它们的不确定性的乘积总是大于或等于某个常数，即 $\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。
5. 薛定谔方程的形式是什么？答案：薛定谔方程的形式为 $i\hbar\frac{\partial}{\partialt}\Psi(r,t) = \hat{H}\Psi(r,t)$，其中 $\Psi(r,t)$ 是波函数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hbar$ 是约化普朗克常数。
6. 泡利不相容原理的内容是什么？答案：泡利不相容原理指出，一个原子中不能有两个或更多的电子处于相同的量子态，即具有相同的一组量子数。
7. 什么是波函数的归一化？答案：波函数的归一化是指波函数的模方在整个空间的积分等于1，即$\int |\psi|^2 d\tau = 1$，其中 $d\tau$ 是体积元素。
8. 描述量子力学中的隧道效应。
答案：隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其动能小于势垒的高度。
这是量子力学中粒子波性质的体现。
9. 什么是自旋？答案：自旋是量子力学中粒子的一种内禀角动量，它与粒子的质量和电荷有关，但与粒子的轨道角动量不同。
10. 什么是能级和能级跃迁？答案：能级是指量子系统中粒子可能的能量状态，能级跃迁是指粒子从一个能级跃迁到另一个能级的过程，通常伴随着能量的吸收或发射。
量子力学复习题部分解答
s5如果算符αˆ、βˆ满足条件1ˆˆˆˆ=-αββα， 求证：βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-， 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=-， 证] 利用条件1ˆˆˆˆ=-αββα，以βˆ左乘之得 βαββαβˆˆˆˆˆˆ2=- 则有 βαβββαˆˆˆˆ)1ˆˆ(2=-- 最后得 βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-。
再以βˆ左乘上式得 222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆβαββαβ=-， 即232ˆ2ˆˆˆˆˆβαββαβ=- 则有 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 最后得233ˆ3ˆˆβαββα=- 7（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数。
解：ˆzd L i d φ=- 归一化系数。
是积分常数，亦可看成其中解得：c ce l d d i L zi l z z φφψφψφψφφψ ==-=)()()()(ˆ波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得 L z 的本征函数9ππφφψππ2112||2202220=→===⎰⎰c cd c d,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ)2()(πφψφψ+=)2(πφφ+=→zi z i l l cece 12=πzi l e,2,1,022±±==m m l zππ于是 ,2,1,0±±==→m m l z10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为)()()()(2222x E x x U x dx d ψψψμ=+- ①将式中的)(x x -以代换，得)()()()(2222x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ②利用)()(x U x U =-，得)()()()(2222x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学复习题部分解答
s5如果算符、满足条件，求证：，，证] 利用条件，以左乘之得则有最后得。
再以左乘上式得，即则有最后得7<10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。
解：波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得Lz的本征函数910在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为①将式中的代换，得②利用，得③比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。
方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，b5E2RGbCAP④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。
其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1>、(3>方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2>可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得⑤⑥⑤⑥∴由归一化条件得由可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为12设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：可见，动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴动量的平均值为#13 一维运动粒子的状态是其中，求：(1>粒子动量的几率分布函数；(2>粒子的平均动量。
解：(1>先求归一化常数，由∴动量几率分布函数为(2>14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是：A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表：A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的？A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中，一个粒子的波函数可以表示为：B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
2. 解释什么是量子纠缠，并给出一个量子纠缠的例子。
3. 描述量子隧道效应，并解释它在实际应用中的重要性。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中，其波函数为ψ(x) = A *sin(kx)，其中A是归一化常数。
求该粒子的能量E。
2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy)，其中A是归一化常数。
求该电子的动量分布。
答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中ħ是约化普朗克常数。
这一原理揭示了量子世界的基本特性，即粒子的行为具有概率性而非确定性。
2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在，即使它们相隔很远。
例如，两个纠缠的电子，无论它们相隔多远，测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。
3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒，在量子物理中却有一定概率能够穿越。
量子力学复习题答案
2
分别表示什么样的物理意义。
解： ψ (r , = / 2 )
表示电子自旋向上（ s z = = 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
K
∫d
3
K r ψ (r , − = / 2 )
表示电子自旋向下（ s z = − = 2 ）的几率。
18. 二电子体系中，总自旋 S = s1 + s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。
2
解： L , L z 的共同本征函数是球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) 。
2
(
)
L2Ylm (θ , ϕ ) = l (l + 1)= 2Ylm (θ , ϕ ) ,
15. 写出电子自旋 s z 的二本征态和本征值。 解： s z = 16. 解：
L z Ylm (θ , ϕ ) = m=Ylm (θ , ϕ )
K
K
gs = gl =
内禀磁矩 e e ⎞ ⎛ = = 2 ⎜取 为单位 ⎟ 自旋 mc ⎝ 2mc ⎠ 轨道磁矩 e = =1 轨道角动量 2mc
13. 量子力学中，一个力学量 Q 守恒的条件是什么？用式子表示。 解：有两个条件：
2
∂Q = 0 , [Q , H ] = 0 。 ∂t
14.（L , L z） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
2
K
K
K
解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 χ SM S ，则
2
自旋单态为
χ 00 =
1 [α (1) β (2) − β (1)α (2)] 2
自旋三重态为
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数描述了粒子的哪种属性？A. 位置B. 动量C. 能量D. 概率密度答案：D2. 哪个原理表明一个粒子的波函数可以展开成一组完备的本征函数？A. 泡利不相容原理B. 薛定谔方程C. 玻恩规则D. 量子态叠加原理答案：D3. 量子力学中，哪个算符代表粒子的位置？A. 动量算符B. 能量算符C. 位置算符D. 角动量算符答案：C4. 量子力学中，哪个原理描述了测量过程对系统状态的影响？A. 海森堡不确定性原理B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子测量原理答案：D5. 哪个方程是量子力学中描述粒子时间演化的基本方程？A. 薛定谔方程B. 狄拉克方程C. 克莱因-戈登方程D. 麦克斯韦方程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，粒子的状态由______描述，而粒子的物理量由______表示。
答案：波函数；算符2. 根据量子力学，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为______。
答案：海森堡不确定性原理3. 在量子力学中，粒子的波函数在空间中的变化遵循______方程。
答案：薛定谔4. 量子力学中的______原理指出，一个量子系统在任何时刻的状态都可以表示为该系统可能状态的线性组合。
答案：态叠加5. 量子力学中，粒子的波函数必须满足______条件，以保证物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化三、计算题（每题10分，共20分）1. 假设一个粒子处于一维无限深势阱中，势阱宽度为L。
求该粒子在基态时的能量和波函数。
答案：粒子在基态时的能量E1 = (π^2ħ^2) / (2mL^2)，波函数ψ1(x) = sqrt(2/L) * sin(πx/L)，其中x的范围是0 ≤ x ≤ L。
2. 考虑一个粒子在一维谐振子势能中运动，其势能表达式为V(x) = (1/2)kx^2。
求该粒子的能级和相应的波函数。
答案：粒子的能级En = (n + 1/2)ħω，其中n = 0, 1, 2, ...，波函数ψn(x) = (1/sqrt(2^n n!)) * (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx^2/(2ħ)) * Hn(x)，其中Hn(x)是厄米多项式。
量子力学试题含答案
量子力学试题含答案1. 选择题a) 以下哪个说法正确？A. 量子力学只适用于微观领域B. 量子力学只适用于宏观领域C. 量子力学适用于微观和宏观领域D. 量子力学不适用于任何领域答案：A. 量子力学只适用于微观领域b) 以下哪个量不是量子力学的基本量？A. 质量B. 电荷C. 动量D. 能量答案：D. 能量c) 下面哪个原理是量子力学的基础？A. 相对论B. Newton力学定律C. 不确定性原理D. 统计力学答案：C. 不确定性原理2. 填空题a) 波粒二象性指的是在特定条件下，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这种相互转化的现象称为________。
答案：波粒二象性的相互转化b) ____________________是描述微观粒子运动的方程。
答案：薛定谔方程c) Ψ(x, t)代表粒子的波函数，那么|Ψ(x, t)|^2表示__________________。
答案：粒子在坐标x处被测量到的概率密度3. 简答题a) 请简要说明波粒二象性的原理和实验观察。
答案：波粒二象性原理指出，微观粒子既可表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这意味着微观粒子的行为既可以用波动的方式来描述（例如干涉和衍射现象），也可以用粒子的方式来描述（例如在特定的位置进行观测）。
实验观察可以通过使用干涉仪和双缝实验等经典实验来验证波动性质。
当光或电子通过干涉仪或双缝实验时，会出现干涉和衍射现象，这表明了粒子具有波动性。
同时，通过探测器对光或电子的位置进行测量，可以观察到粒子的粒子性。
b) 请解释量子力学中的不确定性原理及其意义。
答案：不确定性原理是由德国物理学家海森伯提出的，它指出在测量某个粒子的某个物理量的同时，不可避免地会对另一个物理量的测量结果带来不确定性。
不确定性原理的意义在于限制了我们对微观世界的认知。
它告诉我们，粒子的位置和动量无法同时被精确地确定。
这是由于测量过程中的不可避免的干扰和相互关联性导致的。
高中量子力学试题及答案
高中量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是波粒二象性，以下哪个现象不是波粒二象性的体现？A. 光的干涉现象B. 光电效应C. 电子的衍射现象D. 牛顿运动定律2. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被准确测量，这是由以下哪个原理所描述的？A. 能量守恒原理B. 泡利不相容原理C. 测不准原理D. 相对性原理3. 量子力学中的波函数是用来描述什么？A. 粒子的电荷B. 粒子的动量C. 粒子在空间中的概率分布D. 粒子的质量4. 量子力学中，一个系统的状态可以用一个什么来描述？A. 波函数B. 动量C. 位置D. 能量5. 以下哪个是量子力学中的一个基本假设？A. 所有物体都遵循牛顿运动定律B. 粒子在没有观察时不具有确定的位置C. 所有物体都具有确定的动量和位置D. 能量守恒定律不适用于微观粒子6. 量子力学中的薛定谔方程是用来描述什么的？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的波函数随时间的变化D. 粒子的总能量7. 量子力学中的量子态叠加原理指的是什么？A. 粒子的动量和位置可以同时被准确测量B. 粒子可以同时处于多个状态的叠加C. 粒子的状态只能由一个确定的波函数描述D. 粒子的状态不能被准确预测8. 量子纠缠是量子力学中的一个现象，它描述了什么？A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的空间关系C. 两个或多个粒子的量子态不能独立于彼此存在D. 两个粒子之间的动量守恒9. 量子力学中的泡利不相容原理指的是什么？A. 两个相同的费米子不能处于同一个量子态B. 两个相同的玻色子不能处于同一个量子态C. 两个不同的费米子可以处于同一个量子态D. 两个不同的玻色子不能处于同一个量子态10. 以下哪个实验支持了量子力学的波粒二象性？A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 万有引力实验二、简答题（每题5分，共30分）1. 请简述量子力学与经典力学的主要区别。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 在量子力学中，一个粒子的状态用波函数表示。
波函数的物理意义是：A. 粒子的位置概率分布B. 粒子的运动速度C. 粒子的自旋状态D. 粒子的能量2. 量子力学的基本假设之一是：A. 粒子的能量是离散的B. 粒子在空间中的轨道是连续的C. 粒子的位置可以同时确定D. 粒子的自旋是固定的3. 哪个原理用于解释原子光谱的发射和吸收现象？A. 波粒二象性原理B. 测不准原理C. 泡利不相容原理D. 量子力学随机性原理4. 薛定谔方程描述了：A. 粒子的位置和动量之间的关系B. 粒子在空间中的运动轨迹C. 粒子的能量和自旋状态D. 粒子波函数随时间的演化5. 量子力学波函数的归一化条件是：A. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于1B. Ψ(x, t)在全空间上的模长平方的积分等于0C. Ψ(x, t)在无限远处趋于零D. Ψ(x, t)的真实部分等于虚部的共轭6. 两个可观测量的对易关系表示为：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示两个算符的对易子。
这意味着：A. A和B的本征态可以同时存在B. A和B的本征值可以同时测量得到C. A和B的测量结果彼此独立D. A和B的测量结果存在不确定性7. 量子力学中的不确定性原理指出，以下哪一对物理量不能同时精确确定：A. 位置和动量B. 能量和时间C. 自旋在X方向和自旋在Y方向D. 角动量在X方向和角动量在Y方向8. 箱中有一自由粒子，其波函数为：Ψ(x) = A sin(kx)其中A和k为常数，该波函数代表：A. 粒子在箱中处于能量本征态B. 粒子在箱中处于动量本征态C. 粒子在箱中处于位置本征态D. 粒子在箱中处于叠加态9. 双缝干涉实验中，当缝宽减小时，干涉图案的特征是：A. 条纹的间距增大B. 条纹的间距减小C. 条纹的亮度增强D. 条纹的亮度减弱10. 量子隧穿现象解释了：A. 电子在金属中的传导现象B. 光子在光学纤维中的传播现象C. 电子在势垒中的穿透现象D. 光子在介质中的反射现象二、填空题（每题6分，共30分）1. 德布罗意波假设将粒子的运动与________联系起来。
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
大学物理量子力学习题答案解析
一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。
写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。
解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。
2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。
4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。
),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。
5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。
6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。
解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。
量子力学考试题库及答案
量子力学考试题库及答案一、选择题1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。
下列关于波函数的描述中，哪一项是正确的？A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式？A. ΔxΔp ≥ ħ/2B. ΔxΔp ≤ ħ/2C. ΔxΔp = ħ/2D. ΔxΔp = ħ答案：A二、填空题3. 在量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程，该方程由薛定谔提出，是量子力学的基本方程之一。
答案：薛定谔方程4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数，即不能同时具有相同的________、________、________和________。
答案：主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数三、简答题5. 简述量子力学中的隧道效应，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其能量低于势垒的高度。
这一现象在经典物理学中是不可能发生的。
一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜（STM），它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。
6. 描述量子力学中的波粒二象性，并解释为什么这一概念是重要的。
答案：波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等，既表现出波动性也表现出粒子性。
这一概念重要，因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为，是量子力学的核心概念之一，对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。
四、计算题7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中，求该粒子的基态能量。
答案：基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²)，其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中，描述一个量子态最基本的方法是（）。
A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的（）和（）不能同时被精确测量。
A. 位置，速度B. 能量，时间C. 动量，位置D. 时间，动量答案：C3. 波函数的绝对值平方代表的是（）。
A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案：C4. 薛定谔方程是一个（）。
A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案：A5. 在量子力学中，泡利不相容原理指的是（）。
A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案：A二、填空题1. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足__________方程，才能保证波函数的归一化条件。
答案：连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应，即观测过程会影响被观测的__________。
答案：系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联，以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态，这种现象被称为__________。
答案：非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。
德布罗意假说提出了物质波的概念，即所有物质都具有波粒二象性。
这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象，而且为量子力学的发展奠定了基础，使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中，从而推动了波函数理论的发展。
2. 什么是量子隧穿效应？请给出一个实际应用的例子。
量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时，即使其能量低于势垒高度，也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。
这一效应是量子力学中特有的，与经典物理学预测的结果不同。
一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管，它利用量子隧穿效应来实现电流的传导，具有非常快的开关速度和低功耗的特性。
量子力学复习题答案
量子力学复习题答案1. 什么是波函数？波函数在量子力学中扮演什么角色？答：波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它提供了粒子在空间中的概率分布信息，即粒子出现在某个位置的概率密度。
波函数的平方给出了粒子在特定位置被发现的概率。
在量子力学中，波函数是基本的物理量，它包含了关于粒子的所有可能信息。
2. 请解释海森堡不确定性原理。
答：海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置确定得越精确，其动量的不确定性就越大，反之亦然。
数学上，这可以表达为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定性，Δp是动量的不确定性，ħ是约化普朗克常数。
3. 什么是薛定谔方程，它在量子力学中的作用是什么？答：薛定谔方程是量子力学中描述波函数随时间演化的基本方程。
它是一个线性偏微分方程，形式为iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中ψ是波函数，H是哈密顿算符，代表系统的总能量。
薛定谔方程在量子力学中的作用是确定波函数随时间的变化，从而预测粒子的行为。
4. 简述泡利不相容原理。
答：泡利不相容原理指出，在同一个原子中，没有两个电子可以具有完全相同的四个量子数。
这意味着电子必须占据不同的能级，且每个能级最多只能有两个电子，它们的自旋必须相反。
这一原理解释了原子的电子排布，以及元素周期表的结构。
5. 什么是量子纠缠，它在量子计算中有何应用？答：量子纠缠是指两个或多个量子系统之间的一种特殊的相关性，即使它们相隔很远，一个系统的状态无论何时被测量，都会立即影响另一个系统的状态。
在量子计算中，量子纠缠是实现量子比特（qubits）之间信息共享和量子逻辑门操作的关键资源，它是构建量子计算机和执行量子算法的基础。
6. 描述一下量子隧穿效应。
答：量子隧穿效应是指粒子通过一个势垒，即使其能量低于势垒的高度，也能有一定概率出现在势垒的另一侧。
这一现象在经典物理学中是不可能发生的，但在量子力学中，由于波函数的非零值可以延伸到势垒内部，粒子有一定的概率能够“隧穿”过去。
高中量子力学试题及答案
高中量子力学试题及答案1. 量子力学的基本原理是什么？答案：量子力学的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理、量子态的叠加原理和量子纠缠等。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性的关系由公式ΔxΔp ≥ ħ/2表示，其中Δx是位置的不确定性，Δp是动量的不确定性，ħ是约化普朗克常数。
3. 什么是量子态的叠加原理？答案：量子态的叠加原理指的是一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，这些状态的线性组合构成了系统的完整描述。
4. 简述波函数的物理意义。
答案：波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数，它包含了关于粒子的所有可能信息，如位置、动量等。
波函数的绝对值的平方给出了粒子在特定位置被发现的概率密度。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个量子系统之间存在一种特殊的关联，即使它们相隔很远，一个系统的状态改变会立即影响到另一个系统的状态。
6. 描述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫思想实验是一个关于量子叠加状态的经典比喻，实验中，一个猫被放置在一个盒子里，盒子内有一个放射性原子、一个盖革计数器、一个锤子和一个毒气瓶。
如果原子衰变，盖革计数器会触发锤子打碎毒气瓶，猫就会死亡。
在没有观察之前，猫的状态是既死又活的叠加态，只有当盒子被打开观察时，猫的状态才会塌缩为确定的死或活。
7. 什么是量子隧穿效应？答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个经典物理中不可能穿越的势垒。
这种现象在量子力学中是可能的，因为粒子的波函数在势垒的另一侧并不完全为零，这意味着存在一定的概率粒子能够出现在势垒的另一侧。
8. 简述量子力学中的波函数坍缩。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统被测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变为一个特定的状态，这个过程是随机的，并且与测量过程有关。
9. 什么是泡利不相容原理？答案：泡利不相容原理指出，在同一个量子系统中，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态。
量子力学考试题讲解及答案
量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，波函数的平方代表的是：A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案：C2. 根据海森堡不确定性原理，下列说法正确的是：A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程是用来描述：A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案：C4. 量子力学中的波粒二象性是指：A. 粒子有时表现为波动性，有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案：B5. 量子力学中，哪个假设是关于测量的？A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。
答案：Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。
答案：h/p3. 在量子力学中，一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。
答案：K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。
答案：费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的，其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。
答案：h/4π三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统的状态被测量时，系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态，这个过程称为波函数坍缩。
2. 解释量子力学中的叠加原理。
答案：叠加原理是指在量子力学中，一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加，即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。
3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态，即它们不能具有相同的一组量子数。
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s
5如果算符、满足条件，
求证：，
，
证] 利用条件，以左乘之得
则有
最后得。
再以左乘上式得
，即
则有
最后得
7<10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。
解：
波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：
求归一化系数
最后，得Lz的本征函数9
10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换，得
②
利用，得
③
比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。
由于它们描写的是同一个状态，因此之
间只能相差一个常数。
方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，b5E2RGbCAP
④
由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤
④乘⑤，得
可见，
当时，，具有偶宇称，
当时，，具有奇宇称，
当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称11一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。
其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
由于(1>、(3>方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2>可变为
令，得
其解为④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
由归一化条件
得
由
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
12设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
∴
∴动量的平均值为
#
13 一维运动粒子的状态是
其中，求：
(1>粒子动量的几率分布函数；
(2>粒子的平均动量。
解：(1>先求归一化常数，由
∴
动量几率分布函数为
(2>
14在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。
粒子能量的本征函数和本征值为
动量的几率分布函数为
先把归一化，由归一化条件，
∴
∴
∴15 15
16氢原子处在基态，求：
(1>r的平均值；
(2>势能的平均值；
解：(1>
17
限高势阱中的粒子
质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：
<1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法
<）求系统能量本征值和
归一化波函数；
解：<1）定态薛定谔方程：
分离变量：，
；；
，
基态：，基态波函数：
18氢原子处于态中，问
<1）是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；
<2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？
19求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：
能量：
对角元：
当时，
#例：作一维运动的粒子被束缚在0<x <a 的范围内，已知其波函数为
()a
x
A x πsin
=ψ求：(1)常数A ；(2)粒子在0到a /2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？解：(1)由归一化条件
1
sin
222
==ψ⎰⎰∞
∞
-a
dx a x
A dx π解得
12
2
=A a a
A 2=
(2)a
x a π22
sin 2=
ψ粒子在0到a /2区域内出现的概率
2
1sin 2
2/0
2
2/0
2
=
=
ψ⎰
⎰
dx a
x
a
dx a a π(3)概率最大的位置应该满足
02sin 22
==ψa
x a dx d ππ即当
,2,1,0,2±±==k k a
x ππ时，粒子出现的概率最大。
因为0<x<a ，故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。
20
21设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
p1EanqFDPw
解：由微扰公式得
得
∴能量的二级修正值为
22一维无限深势阱(0<x<a>中的粒子，受到微扰
作用，求基态能量的一级修正.。
23
24
25.<）粒子在二维无限深方势阱中运动，
<1）
试写出能级和能量本征函数<能量最低的两个态）；
<）加上微扰<2）
求最低的两个能级的一级微扰修正。
解：<）能级和能量本征函数为
<3）
<4）基态是非简并的，能级，本征函数为
<5）
第一激发态是二重简并的，能级,本征函数为
<6）
(>基态能级的一级修正等于的平均值，即<7）
第一激发态<8）结论：在微扰作用下，基态能级升高，第一激发能级的重心也升高，同时分裂为二，裂距为0.065。
质量为m的粒子处于位势
中。
假设它又经受微扰，试求第一激发态能量的一级修正。
六. (16分>
3分粒子的能量为
第一激发态为 1 1 2
1 2 1
2 1 1
，5分
4分于是有：
2分
2分
26用试探波函数，
估计一维谐振子基态能量和波函数
归一化，<2分）
<6分）<动能计算错扣3分）
另一种求法
, <3分）
<3分）
, <结果错扣3分）
27设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为，它在0表象中的表示为
，
A.求的本征值和本征态；
B.若时，粒子处于 1，它在表象中的表示为。
试求
出t > 0时的粒子波函数；
A. ,
， <2分）
, <2分）
B. <4分）
<4分）
28.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。
设电场沿方向：
<1）用微扰法求能量至二级修正；
<2）求能量的准确值，并和<1）所得的结果比较。
[解]<1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有DXDiTa9E3d
令，显然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。
线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是
无微扰时，线性谐振子的零级波函数是
当体系处于第态时，考虑微扰的影响，则能量变为
其中
其中
利用递推公式
故
利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即
这表明能量一级修正为零。
下面求能量的二级修正。
为此计算矩阵元
而
最后得能量的二级修正为
故在准确到二级修正的情况下，总能量为
<2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。
RTCrpUDGiT
其中
定态薛定谔方程是
而
令，则得
故
这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。
28若是电子的自旋算符，求
a. =?
b.
a.
或
5分
b.
29
307.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？5PCzVD7HxA
解：体系可能的状态有4个。
设两个单粒子态为，，则体系可能的状态为
31<15分）一量子体系的哈密顿算符在表象中
，
其中常数，
<1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；
<2）求出体系能量的精确解，并与<1）式结果比较。
申明：
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