《等式与不等式性质,基本不等式习题课》示范公开课教学设计【高中数学人教版】.docx

合集下载

等式性质与不等式性质教学设计(2021)-人教A版高中数学必修第一册

【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两个实数比较大小的方法作差法{a−b>0⟺a>ba−b=0⟺a=ba−b<0⟺a<b作商法{ab>1⟺a>bab=1⟺a=bab<1⟺a<b 2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三题型一不等式性质应用例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）× 解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ；（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ；（3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2（4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb 【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小(2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计

《§3.4.1基本不等式》的教学设计教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。

在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。

二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。

四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。

在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。

探究一：观察上面的会标。

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。

2.1等式性质与不等式性质(教学设计)(2课时)高一数学教学一课到位(人教A版2019)

2.1《等式性质与不等式性质》教学设计（日期：2024年9月4课时第3周）一.教学目标1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.二.教学过程(一)情景问题1（导学）1.情景在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等.类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示.2.问题各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.【设计意图】通过情景问题导入，自然引申出本节课的教学重点——高中不等式的运用及性质.（二）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系（互学）1.不等式的定义是什么？用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接表示不等关系的式子就叫做不等式.例如2x−5 >−3 , 6 < 9 等.2.不等式的解集是什么？能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.例如：2x −5>−3, 解得 x >1故原不等式的解集为 { x ∣x ＞1 }，将其表示在数轴上如下图所示：3.问题探究：用不等式表示不等关系问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速 40 km ∕ℎ；解：设该路段行驶的汽车速度为 v km ∕ℎ，则“限速40km ∕ℎ ”可用不等式表示为0<v ≤40注：高中不等式的形式可能是三边及其以上（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；解：由题意可将题中不等关系表示为{f ≥2.5%p ≥2.3%注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解：由题意可将题中不等关系表示为{b +c >a b −c <a注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.解：设 C 是直线 AB 外任意一点，过点 C 作 CD ⊥AB , 垂足为 D ,E 是直线 AB 上不同于 D 的任意一点，则 CD < CE【设计意图】通过复习旧知与用不等式表示实际问题中的不等关系，既为学生学习新知识做好提前铺垫，同时也让学生初步感受高中不等式知识与初中不等式知识的差异性.（三）探究新知2——实数的大小比较1.利用数轴法比较两数的大小(1)实数与数轴上的点是一一对应的．点 A 表示实数3，点 B 表示实数－2 ,点 A在点 B 右边，那么 3 ＞−2 ．(2)思考：当点 P 在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点 A、点 B 对应的实数的大小．(3)数轴法比较大小由思考及探究可得如下结论：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.2.利用作差法比较两个实数的大小（1）探究1：比较实数3与2的大小；解法一：∵3 −（− 2）=3+2=5＞0∴3＞−2解法二：∵（− 2）− 3=−5＜0∴− 2＜3（2）探究2：比较实数3 与 3 的大小解：∵ 3 −3=0∴ 3=3（3）利用作差法比较两个实数的大小作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b较大小的方法称为作差比较法.3.利用作商法比较两个正数的大小（1）探究3：比较正数 3 与 5 的大小解法一：∵ 35 < 1∴ 3＜5解法二：∵ 53 > 1 ∴ 5＞3（2）探究4：比较正数 3 与 3 的大小解：∵ 33 = 1∴3 = 3（3）利用作商法比较两个正数的大小作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.即：当 a ∈R ,b ∈ R 时 a −b > 0 ⟺ a >b a − b < 0 ⟺a < b a −b = 0 ⟺a = b 即：当 a ＞0 ,b ＞0 时 a b >1 ⟺ a >b a b <1 ⟺ a <b a3.小结（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）【设计意图】通过探究实例，自然引申出实数的大小比较方法——数轴法、作差法与作商法，这样可让抽象的数学知识变得具体形象、简单易知，有效地培养了学生的数学抽象核心素养. （三）小组合作、讨论交流1(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例1 比较 57 与 23 的大小.提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小例2 比较(x +2)(x +3)与(x +1)(x +4)的大小．提示：利用作差法比较大小【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了实数的大小比较方法.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1:解法一（作差法）：∵57−23=1521−1421=121>0∴57>23解法二（作商法）：∵57>0，23> 0而57÷23=57×32=1514>1∴57>23例2:解（作差法）：∵(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)=（x2+5x+6)−(x2+5x+4)=x2+5x+6−x2−5= 2＞0∴ (x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握实数的大小比较方法，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.（五）提升演练1（迁移变通、检测实践）例3.设a、b均为实数，试比较a2+b2−ab与ab的大小.解：∵(a2+b2−ab)−ab=a2+b2−ab−ab=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0∴(a2+b2−ab)≥ab(当且仅当a=b时等号成立)例4已知 a >b , 证明 a>a+b2> b .解（作差法）：∵已知 a >b∴ a −b >0又∵ a−a+b2=2a2−a+b2=2a−(a+b)2=a−b2> 0∴a>a+b2又∵a+b2−b=a+b2− 2b2=(a+b)−2b2=a−b2> 0∴a+b2>b综上所述， a>a+b2> b成立【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地掌握实数的大小比较方法，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.（六）探究新知2——不等式的性质（互学）1.性质1：加法法则（可加性）（1）情景问题2请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考：如果a＞b，那么a−c＞b−c成立吗？（3）（3）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.即：如果a > b , 那么 a±c > b±c简称为：“加减同数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a > b, 那么a+c > b+c证明：∵已知a > b,∴a − b > 0又∵（a+c）− (b+c)= a + c − b − c= a − b>0∴a + c > b + c成立你们还能求证：如果a > b, 那么 a−c > b−c 成立吗？2.性质2：乘法法则（可乘性）（1）情景问题3请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c 成立吗？（3）探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质2 （可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.简称为：“乘除正数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则①吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果 a > b ,c ＞0,那么 ac > bc .证明：∵ 已知 a > b ,c ＞0∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) >0∴ ac > bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c ＞0, 那么 a c >b c ”吗？（6）探究4探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（7）探究5：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;（8）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.简称为：“乘除负数要变号”（9）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则②吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果 a > b ,c ＜0,那么 ac ＜ bc证明：∵ 已知 a > b ,c ＜0，∴ a − b > 0又∵ac − bc = c ( a − b ) ＜0∴ ac ＜ bc 成立你们还能证明“如果 a > b ，c <0, 那么 a c <b c ”吗？3.性质3（传递性）（1）情景问题4请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）性质3 （传递性)（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？ ②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <bc . 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；从左向右：移负为正证明：∵ 已知 a > b ,b ＞c ，∴ a − b > 0,b − c ＞0又∵a − c = a − b + b − c = ( a − b ) + ( b − c ) ＞0∴ a ＞ c 成立4. 性质4（对称性）(1) 如果 a ＞ b , 那么 b ＜ a(2) 如果 b ＜ a , 那么 a ＞ b5.性质5（可移性）（1）探究6：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质5 （可移性）（3）思考：你们能利用可加性证明可移性“ a +b > c ⇔ a > c − b ”成立吗？6.性质6（同向可加性）（1）探究7：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？即： a > b ⟺ b < aa +b >c ⇔ a > c − b ；从左向右：移正为负如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵已知a > b ,c＞d，∴ a+c ＞b+c , b+c ＞b+d （可加性）∴a+c ＞b+d成立（传递性）（4）思考：如果 a＞b ,c＞d,是否有“a−c＞b−d”成立呢？解：不成立，反例为7.性质7（同向同正可乘性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（3）证明∵ a >b ,c >0,∴ ac > bc （可乘性：乘除正数不变号）又∵c>d,b>0 ,∴bc > bd（可乘性：乘除正数不变号）故ac > bd（传递性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质8（同向同正可乘方性）9.性质9（同正可开方性）（1）探究：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质9（同正可开方性）10.性质10（同号可倒性）（1）探究1：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ;如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（2）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（3）性质10（同号可倒性）11.小结：不等式的10条性质如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ; （1）性质1（可加性）如果 a > b , 那么 a ±c > b ±c ；（2）性质2（可乘性） ① 如果 a > b ，c ＞0, 那么 ac > bc 或a c >b c ;②如果 a > b ，c ＜0, 那么 ac ＜ bc 或 a c <b c .（3）性质3 （传递性) 如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c ；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a +b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性）如果 a ＞b ,c ＞d ,那么 a +c ＞b +d ；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ ,那么 a n >b n ; （9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N ∗ , 那么√a n >√b n ;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么 1a <1b ;【设计意图】通过情景问题探究与严密证明，让学生经历感性认识到理性认识，从而深刻掌握不等式的10条性质，有效地培养学生的数学抽象核心素养.（七）小组合作、讨论交流2(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例4.已知 a > b > 0 ,c < 0, 求证ca >cb.【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了不等式的10条性质.（八）成果展示2(迁移变通、检测实践)证明：∵已知a > b > 0∴1a ＜1b（同号可倒性）又∵已知 c < 0∴ca >cb（可乘性：乘除负数要变号）【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握不等式的10条性质，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.四、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？1.了解与认识了不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握了比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握了不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.五、家庭作业1.记背今天所学知识点；2.完成导学案达标检测题目.。

2.1.2 等式性质与不等式性质【课时教学设计】 -高中数学人教版(2019)必修第一册

《2.1 等式性质与不等式性质》教学设计第2课时等式性质与不等式性质教材内容：方程与不等式是数学教学中使用最广泛同时也是最重要的数学工具，因此本节课的学习为学生学习高中的数学知识的学习准备了工具；同时不等式是一种重要的数学思想方法，因此本节课的学习对开拓学生视野，体会数学的思想方法也有着重要的作用。

本节课的学习也将为后续学习基本不等式、函数等相关内容做好铺垫。

教学目标：1.通过了解等式的性质;掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．2.通过对不等式性质的证明，体会类比思想在数学中的应用，提升逻辑思维能力和数学思维的严密性.教学重点与难点：1.重点：不等式的基本性质2.难点：不等式性质的证明与综合应用教学过程设计：问题1；如何求方程5x+4=0的解？解方程的理论依据是什么？学生演练：先将等式两边同时减4，得5x=−4,再将等式两边同时除以5，得x=−4,5.所以方程的解是x=−45师：解方程的理论依据是等式的性质。

等式性质性质1 如果a=b,那么b=a.（对称性）性质2如果a=b，b=c,那么a=c.（传递性）性质3如果a=b,那么a±c=b±c.性质4如果a=b,那么ac=bc.性质5如果a=b,c≠0,那么ac =bc.性质3,4,5是等式对四则运算的不变性.【设计意图】通过解方程例子，自然而然引出等式的性质。

让学生思维有个过渡，为后面的类比思想作铺垫。

问题2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？并进行证明吗？师生活动：师;类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：（1）如果甲同学比乙同学大，那么乙同学比甲同学小，对吗？（2）如果甲同学比乙同学大，且乙同学比丙同学大，那甲同学比丙同学大，对吗？（3）如果a>b，那么a＋c与b＋c的大小关系如何？ac与bc呢？（4）不等式还有哪些性质？生： (1), (2)对；（3）如果a>b，那么a＋c>b＋c.当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc；当c＝0时，ac＝bc.不等式性质性质1 如果a>b,那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2 如果a>b,b>c，那么a>c.(传递性）符号表示：a>b,b>c⟹a>c.性质3 如果a>b，那么a+c>b+c.文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.移项法则：a+b>c⟹a>c−b.性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5 如果a>b，c>d那么a+c>b+d.注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。

高中数学《基本不等式》公开课优秀教案

高中数学《基本不等式》公开课教案教学三维目标：1.知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值 2.过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。

3.情感态度与价值观目标：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用难点：基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件一、新课讲解1．基本不等式：①0,0>>b a ，ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，取等号）变形：ab b a 2≥+，ab b a ≥+2)2(，2≥+abb a②重要不等式：如果R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，取“=”号） 2．最值问题：已知y x ,是正数，①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2；②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值241S .利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

3．称2y x +为y x ,的算术平均数，称xy 为y x ,的几何平均数。

二、例题讲解：例1．已知0<x ，则xx 432++的最大值是________. 例2．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。

例3．求下列函数的最小值（1）)1(11072->+++=x x x x y （2）已知0,0>>y x ，且,1243=+y x 求y x lg lg +的最大值及相应的x ，y 的值。

例4. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位：元)。

《等式与不等式性质,基本不等式习题课》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

等式与不等式性质、基本不等式习题课
复习回顾
问题1 前面我们学习了不等式的基本性质和基本不等式，不等式有哪些性质？基本不等式能解决哪些问题？使用时需注意哪些条件？
不等式性质及注意事项
复习回顾
基本不等式可以证明不等式或解决最值问题：（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y 有最小值；（2）如果正数x，y的和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy 有最大值．
典例研究
*变式4：已知 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
解答：法2：由
x
3y
5xy
，可得
y
x 5x
，x 3
3， 5
∴
3x
4y
3x
4x 5x
3
1 5
15x
20x 5x
12 3
1 5
15x
12 5x
3
4
≥
1 5
(2
(15x 9) 12 13) 5 ， 5x 3
且x＞1，则 x y x 9x x 9 9
x 1
x 1
x 1 9 10 ≥ 2 (x 1) 9 10 16．
x 1
x 1
当且仅当 x 1 9 ，即x＝4时取等号， x 1
∴ x 4，y 12时， x y 取得最小值16．
典例研究
变式1：已知x＞0，y＞0，且 1 9 1 ，求x＋y的最小值． xy
2x 2 y 1
1 (2 y 1 2x 2) ≥ 1 (2 2 y 1 2x 2 ) 2．
2 2x 2 y 1 2
2x 2 y 1
当且仅当 y 1 2x 2，即x 0，y 1时取等号， 2x 2 y 1

基本不等式习题课教学设计

基本不等式习题课教学设计一、教学目标1. 理解基本不等式的概念和性质。

2. 熟练掌握基本不等式的求解方法。

3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 基本不等式的概念和性质。

2. 基本不等式的求解方法。

3. 基本不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点1. 基本不等式的概念和性质的理解和掌握。

2. 基本不等式的求解方法的熟练运用。

四、教学难点1. 基本不等式在实际问题中的应用。

2. 培养学生解决实际问题的思维方式。

五、教学准备1. 教学课件及教学素材。

2. 学生用纸、铅笔等学习工具。

六、教学过程第一步：导入新课1. 引导学生回顾前几节课学习的内容，将基本不等式与前面所学的线性方程和线性不等式对比，引出今天的学习内容。

第二步：概念讲解1. 教师简要介绍基本不等式的概念，即有一个未知数的一次不等式。

2. 引导学生分析基本不等式的性质，包括两边同时加一个相同的数、两边同时减一个相同的数、两边同时乘一个相同的正数、两边同时除一个相同的正数时，不等式的不等关系不变。

第三步：求解方法讲解1. 教师详细讲解基本不等式的求解方法，包括移项法、乘法法则、分数法则等。

2. 通过示例演示每种方法的具体应用过程，引导学生掌握每种方法的使用技巧。

第四步：练习与巩固1. 教师组织学生进行基本不等式的练习，包括解一元一次不等式和应用题。

2. 督促学生独立思考和解题，然后进行讲解和订正，加强学生的基本不等式解题能力。

第五步：实际问题应用1. 通过实际问题的引入，展示基本不等式在生活中的应用价值。

2. 教师指导学生如何把问题转化为数学模型，运用基本不等式解决实际问题。

第六步：课堂总结1. 教师对本节课的重点知识进行总结，强调基本不等式的重要性和应用场景。

2. 鼓励学生在课后继续练习和思考，加深对基本不等式的理解和应用能力。

七、教学反思基本不等式是数学中的重要内容，通过本节课的教学设计，可以帮助学生全面理解和掌握基本不等式的概念、性质和求解方法。

《基本不等式第二课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

设计意图：考查学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力．
参考答案：
1．设底面的长为a，宽为b，则由题意得2ab=32，即ab=16．所以用纸面积为，当且仅当a=b=4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
2．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得a+2b=30，所以，当且仅当a=2b=15时取等号．
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
设计意图：本例是典型的能够用基本不等式求最值的问题．通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型解决实际最值问题，进一步加强学生的逻辑思维能力．
问题3：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m2，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
四、目标检测设计
1．做一个体积为32 m2，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．已知一个矩形的周长为32 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
三、归纳反思、布置作业
问题4：通过本单元的学习，你能说说你学到了哪些知识和方法？有什么体会？
师生活动：学生交流发表自己的体会，教师帮助梳理本单元的学习内容和方法，及学习过程中的体会．
设计意图：从单元的角度对知识进行梳理，有助于建构学生对基本不等式内容的认知结构，提升学生的数学素养．
作业布置：教科书习题2.2第3，6，7，8题．
师生活动：学生回答解题思路和理由，教师肯定后，学生独立书写求解过程．

高中数学人教版A版精品教案《等式性质与不等式性质》

【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过m（含m）而不超过m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超m时应买全价票。

每一成人旅客可免费携带一名身高不足米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。

从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。

师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．53．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。

师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）探索新知探究一用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍。

试写出满足上述所有不等关系的不等式。

通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。

高中数学教案《等式性质与不等式性质》

教学计划：《等式性质与不等式性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够准确理解并掌握等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性），能够运用这些性质进行简单的等式变形和不等式推导。

2.过程与方法：通过实例分析、逻辑推理和动手操作，培养学生的观察能力、分析能力和问题解决能力，同时引导学生学会归纳总结的学习方法。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和严谨的科学态度，感受数学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点和难点●重点：等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性）的理解与应用。

●难点：如何灵活运用不等式性质进行不等式推导，特别是涉及负数时乘法性质的方向性判断。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：以天平称重为例，引导学生思考天平平衡时两边重量相等（等式）和不平衡时一边重于另一边（不等式）的情况，引出等式与不等式的话题。

●提出问题：在等式中，我们可以做哪些操作而不改变其平衡状态？在不等式中，哪些操作会改变或保持其不平衡的方向？●明确目标：简要介绍本节课将要学习的等式与不等式的基本性质，并明确学习目标。

2. 讲解新知（15分钟）●等式性质：o反射性：以“我=你，则你也=我”为例，说明等式两边可以互换。

o对称性：通过具体等式展示，如“a=b，c=d，则a+c=b+d”，说明等式在相等关系下可以进行对称操作。

o传递性：利用“如果a=b，b=c，那么a=c”的逻辑链，强调等式的传递性质。

●不等式性质：o加法性质：以实际情境（如增加相同重量的物品）为例，说明不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变。

o乘法性质：分正数、负数两种情况讨论，通过实例展示（如放大或缩小比例），强调正数时方向不变，负数时方向反转。

o方向性：强调不等式总是指向较大的数，并通过实例加深理解。

3. 案例分析（10分钟）●精选例题：选取几道涉及等式与不等式性质应用的典型例题，逐步分析解题步骤和思路。

《等式性质与不等式性质》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《等式性质与不等式性质》教学设计1、知识与技能（1）能用不等式(组)表示实际问题的不等关系；（2）初步学会作差法比较两实数的大小；（3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.2、过程与方法使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系.3、情感态度与价值观通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，会作差法比较两实数的大小，通过类比法，掌握不等式的基本性质.【教学难点】运用不等式性质解决有关问题.（一）新课导入用不等式(组)表示不等关系中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ).12v v v ≤<（二）新课讲授问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km /h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40.对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩ 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c .对于（4），如图2.1-1，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE .以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图2.1-1接着，就可以用不等式研究相应的问题了问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？解：提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20. ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a ，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A ，B .那么，当点A 在点B 的左边时，a ＜b ；当点A 在点B 的右边时，a ＞b .探究一：比较两个数(式)的大小的方法:我们用数学符号“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.判断两个数(式)的大小的依据是:( 作差法)a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.（三）例题探究例1 比较（x +2）（x +3）和（x +1）（x +4）的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。

《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

适用范围： a>0,b>0
ab
在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，
2
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
课程讲解
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
D
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点
C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C
第二章·第2课
基本不等式
课程导入
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
一般地，∀, ∈ ，有
a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果a>0，b>0，我们用 , 分别代替上式中的a，b，
可得
≤
+
2
当且仅当a=b时，等号成立.
①
课程导入
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality）.其
+
中，
叫做正数a，b的算术平均数，
2
叫做正数a，b的
几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数.
课程讲解
思考: 上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情形获得了基本不等
式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下
面我们来分析一下.
课程讲解
ab
1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式 ab
的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项
的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项
均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三

高中数学《等式与不等式》教案

高中数学《等式与不等式》教案一、教学目标1. 理解等式和不等式的概念及其特点；2. 掌握解一元一次方程和一元一次不等式的基本方法；3. 能应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 等式的概念和性质；2. 解一元一次方程的基本方法；3. 不等式的概念和性质；4. 解一元一次不等式的基本方法。

三、教学重点1. 掌握解一元一次方程的基本方法；2. 掌握解一元一次不等式的基本方法。

四、教学方法1. 讲授法：通过讲解等式和不等式的概念、性质以及解法，帮助学生理解和掌握知识；2. 案例分析法：通过实际问题的分析和解决，培养学生应用知识解决问题的能力；3. 练与讨论：通过课堂练和小组讨论，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

五、教学步骤1. 引入：- 通过一个生活实例引出等式和不等式的概念，并让学生思考其特点。

- 提出解决问题的需求，引发学生的研究兴趣。

2. 讲解：- 介绍等式的定义和性质，重点解释解方程的基本方法。

- 介绍不等式的定义和性质，重点解释解不等式的基本方法。

3. 实例分析：- 提供一些简单的方程和不等式实例，引导学生运用所学解法解决问题。

4. 练与讨论：- 布置一些练题，让学生独立完成并相互交流讨论。

- 对学生的答题情况进行点评和指导。

5. 总结：- 总结本节课的重点和要点，强调解方程和解不等式的基本方法。

- 鼓励学生对所学知识进行总结和归纳。

六、教学评价1. 观察学生在课堂上的参与情况和表现，包括回答问题的准确性和积极性。

2. 批改学生的课堂练和作业，评价他们对所学知识的掌握程度。

3. 针对学生的表现给予及时的反馈和指导，以促进他们的研究进步。

七、教学资源1. 教材：高中数学教材，包含《等式与不等式》单元。

2. 展示工具：黑板、白板、投影仪等。

3. 辅助资料：练册、教学PPT等。

八、教学延伸1. 鼓励学生通过做更多的练题来巩固所学知识。

2. 引导学生探索更复杂的方程和不等式的解法，培养他们的问题解决能力。

《2.1等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计（高中必修第一册..

1【新教材】【新教材】2.12.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A 版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义..同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. .课程目标1. 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.1.数学抽象：不等式的基本性质；数学抽象：不等式的基本性质；2.2.逻辑推理：不等式的证明；逻辑推理：不等式的证明；3.3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.4.数据分析：数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘然后相加或相乘..（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、例如多与少、例如多与少、大与小、长与短、轻与重、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等不超过或不少于等..举例说明生活中的相等关系和不等关系举例说明生活中的相等关系和不等关系. .要求：让学生自由发言，教师不做判断。

2024春新教材高中数学2.1等式性质与不等式性质教学设计新人教A版必修第一册

2024春新教材高中数学 2.1 等式性质与不等式性质教学设计新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容是等式性质与不等式性质。教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容是在学生已经掌握了初中阶段的基本代数运算和初步的不等式知识的基础上进行深入学习的。具体包括等式的基本性质（等式两边加同一个数或式子结果仍得等式，等式两边乘或除以同一个不为0的数或式子结果仍得等式）以及不等式的基本性质（不等式两边加同一个数或式子结果仍得不等式，不等式两边乘或除以同一个正数结果仍得不等式，不等式两边乘或除以同一个负数不等号方向改变）。这些内容是高中数学中的基础，对于学生后续的学习具有重要意义。
（3）鼓励继续努力：教师应对学生进行鼓励，让他们认识到学习是一个持续的过程，只有不断努力，才能取得更好的成绩。同时，教师也应关注学生在作业中出现的问题，针对性地进行辅导。
3. 学生互评：
（1）小组内互评：在合作学习环节，学生可以进行小组内互评，评价内容包括团队合作、沟通交流、解题思路等方面。通过互评，学生可以相互学习，取长补短，提高自己的能力。
（3）因为a<b，所以a^3<b^3，根据等式性质，a^3-b^3=b^3-a^3，所以a^3-b^3的值是b^3-a^3。
3. （1）因为a和b都是负数，所以a+b<0，根据等式性质，a+b的最大值是0。
（2）因为任何数的负一次幂都等于-1，所以(-a)^1=-a。
（3）因为负数除以负数等于正数，所以a/(-b)=-b/a。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验等式性质与不等式性质的应用，提高实践能力。
在等式性质与不等式性质新课呈现结束后，对知识点进行梳理和总结。

《等式与不等式性质第二课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《等式性质与不等式性质（第二课时）》教学设计1．通过梳理等式基本性质及其本质属性，类比等式的基本性质的研究方法探索不等式教学重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异．教学难点：类比等式的性质研究不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异．PPT课件．一、创设情境，明确目标问题1：上节课我们知道了现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，学会从现实问题中抽象出不等式，知道解不等式要用不等式的性质，今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？师生活动：学生自主思考，教师通过提问，对等式性质不断完善．在提问过程中，让学生明白每一个性质反映出不等式的特性．学生容易回答出等式的性质3至5，对于性质1和2需要教师借助问题引导：“等式自身还有哪些特性？”预设的答案：性质1：如果a=b，那么b=a；性质2：如果a=b，b=c，那么a=c；性质3：如果a=b，那么a±c=b±c；性质4：如果a=b，那么ac=bc；教师可以示范其中之一，然后学生模仿完成．注意订正学生在此处证明中容易出现循环论证的错误．实数的其他性质有：（1）两个实数大小关系的基本事实；（2）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数；（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数；（4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；（5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．但是，不需要一下子提供给学生，在需要的时候指明即可．预设的答案：性质1证明：∵a＞b，∴a-b＞0，又由于正数的相反数是负数，∴-(a-b)＜0，即b-a＜0∴b＜a性质2证明：∵a＞b，b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0根据两个正数的和还是正数，得(a-b)+(b-c)＞0，∴a-c＞0，∴a＞c．性质3证明：∵a＞b，∴a-b＞0，∴(a+c)-(b+c)= a-b＞0∴a+c＞b+c追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质3？师生活动：教师引导学生先独立思考，再进行交流．并不断对学生的语言表述进一步规范．预设的答案：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．追问3：两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：教师展示课件，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另外两个点A1和B1，A与B和A1与B1的左右位置不变，学生直观感受不等式的几何意义，并体会向左或向右移动时，对应的实数c的正负．设计意图：为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．追问4：在等式中，如果a+b=c，那么a=c-b，你会利用性质3得到不等式中的移项的结论吗？设计意图：从等式的角度出发，提出问题，学生可以类比得到不等式中的移项结论，同时也是性质3的一个简单应用．进一步提高学生数学思维的逻辑性．师生活动：学生类比得到结论：如果a+b＞c，那么a＞c-b，教师引导学生从性质3出发来证明这个结论，并从文字语言角度进行表述．问题3：上述的性质4和5正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？师生活动：学生发现两个结论不正确，并通过举例进行反驳．教师引导学生思考，需要加上什么条件，才能使结论正确，并利用作差比较来分析，发现ac-bc=(a-b)c，由于a-b ＞0，所以(a-b)c的正负由c的正负决定，从而需要分析讨论．得到性质4的准确表述：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．追问1：用文字语言怎样表述此性质？师生活动：先由学生表述：“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”．教师总结此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”．同时教师强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质．设计意图：让学生体会类比得到的结论不一定正确，并进行修正和证明，一方面让学生经历类比的探究过程，了解类比得到的猜想不一定正确，并学会用举反例的办法进行反驳；另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想需要证明，证明要有依据”．问题4：上面通过类比，从不等式的“自身”和“运算”两个视角，得到了不等式的四条基本性质．不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？师生活动：引导学生从共性和不同两个方面去总结．两者都具有“自身特性”和“运算中的不变性、规律性”．教师强调由于不等号具有方向性，所以“自反性”和“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的特性．设计意图：通过总结两者共性和差异，进一步明确加深对不等式性质的理解，尤其是性质4的理解．问题5：利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？比如在性质3中，不等式的两边同加同一个实数．如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？试试用不等式的性质证明你的猜想．师生活动：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，教师引导学生将其用数学符号表示，即“如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d”．然后让学生独立证明，小组交流证明过程，说出每一步的依据．预设的答案：证明：∵a＞b，c＞d ，∴a-b＞0，c-d＞0．∴(a-b)+(c-d)＞0，即(a+c)-(b+d)＞0．∴a+c＞b+d．设计意图：利用不等式的基本性质，推出其他常用的不等式性质，为以后的推理作准备．追问1：你能用不等式性质证明吗？师生活动：教师引导学生从性质2和3出发，思考如何寻找一个实数，利用性质2将a+c 和b+d联结，联想到实数b+c．要求学生写出证明过程．教师总结这种方法是不等式性质的应用，它的证明为为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例．同时强调这个结论是今后进行逻辑推理的一个重要的理论基础，总结为性质5．预设答案：证明：由性质3，得a+c＞b+c，c+b＞d+b；由性质2，得a+c＞b+d．问题6：在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数．如果同乘不同的实数，能得到什么结论？预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd”．追问1：你认为上述结论是否正确？为什么？如何修正？师生活动：先由学生回答，教师引导学生回到不等式基本性质4中来分析，或者学生可以举反例来说明．在修正时，引导学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号预设方案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质．经历的过程：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程．设计意图：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中．作业：习题2．1第5，7，8，11，12题五、目标检测设计1．用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a ＞b ，c ＜d ，那么a -c ____b -d ；（2）如果a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，那么ac ____bd ；（3）如果a ＞b ＞0，那么221____1b a ；（4）如果a ＞b ＞c ＞0，那么b c a c ____． 2．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，求证：33)()(bc ad ． 3．已知3＜x ＜4，2＜y ＜7，求2x +y ，x -3y 及yx 的取值范围．参考答案：1．（1）＞（2）＜（3）＜（4）＜3．2x+y的取值范围为[8，15]，x-3y的取值范围为[-18，-2]，y 的取值范围为[7，2]。

人教版高中数学高二《基本不等式》名师教学设计

人教A 版必修五3.4《基本不等式》例习题课设计基本不等式是中学数学中重要公式，它是高考常考知识点之一。

它的主要作用是证明不等式和求函数的最值。

本节课是一节例习题课，通过这节课的学习，使学生掌握利用基本不等式求最值的基本思想方法。

这节课的重点是活用基本不等式求一元、二元函数的最值.难点是利用基本不等式求二元函数的最值。

一、复习回顾基本不等式：设，那么.当且仅当时，等号成立.即两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数。

基本不等式求的常见变形是和。

二、例题分析问题一：求函数的最小值。

解析：因为，所以，当且仅当时，即时，式中等号成立。

所以时，函数取最小值2。

变式1：求函数的最大值。

解析：因为所以，，当且仅当时，即时，函数取最大值。

变式2：求函数的最大值。

解析：因为，，当且仅当时，等号成立，但函数取不到最小值2，可证明函数在区间是单调增函数，所以当时，函数取最小值。

设计意图：使学生正确理解基本不等式应用的条件“正、定、等”,掌握基本不等式的正用。

问题二：求函数的最大值。

解析：因为，所以，当时，即时，函数取最大值。

变式3：求函数的最大值。

解析：，当且仅当，即时，函数取最大值。

变式4：求函数的最大值。

解析：已知函数的定义域是，，当且仅当，即时，函数取最大值。

设计意图：进一步体会基本不等式应用的“定”的条件，逐步学会基本不等式的逆用和变用。

问题三：已知，求函数的最小值。

解法一：由，解出，因为所以，。

当且仅当时，时，取最小值36。

解法2：因为所以，当且仅当，且时，即时，函数取最小值36。

变式5：设，求函数的最小值。

解析：。

当且仅当，且，即时，函数取最小值9。

变式6：设，求函数的最大值以及相应的和的值。

解法一：由得，又，所以，当时，即时，函数取最大值。

解法二：因为，所以，当且仅当，且时，即时，函数取最大值。

设计意图：利用均值定理求二元函数的最值有两种基本思路，一是转化为一元函数，构建基本不等式的条件求最值；二是从整体上构建基本不等式的条件，直接求二元函数的最值。

《等式与不等式性质第一课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】.docx

《等式性质与不等式性质（第一课时）》教学设计1.会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生的数学抽象素养；2.理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较两个代数式的大小；3.经历重要不等式的发现过程，并予以证明，提升学生的逻辑推理素养.♦教学重难点教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用.教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式.♦课前准备GEOGEBRA、PPT课件，用纸做四个全等的直角三角形.一、整体感知问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？师生活动：学生自主阅读后、讨论交流.预设的答案：1.本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题.2,方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备.设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善.引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质.(板书：等式性质和不等式性质)★资源名称：【情景演示】等式性质与不等式性质引入★使用说明：本视频中从现实生活中的不等关系出发引出不等式，并提出了类比等式性质探究不等式性质的方法.注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用.二、新知探究1. 从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1) 某路段限速40 km/h ；(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量/■应不小于2.5%,蛋白质的含量 P 应不少于2.3%；(3) 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；(4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系.预设的答案：(1)设速度为v km/h ，贝|0<vW40；(3) 设△ABC 的三条边为 s b, c, Pl!] a+b>c, a~b 〈c ；(4) 设C 是线段AB 外任意一点，CD LAB,垂足为Z), E 是线段A3上不同于Z)的任意一点，则CD<CE.(2) / >2.5%p > 2.3%追问1:你还能举出几个具有相等与不等关系的实际问题的例子吗？这些不等关系如何用式子表示？师生活动：学生自己举例，并用等式和不等式表示，在这个过程中教师不断启发学生，使得结论更科学和严谨.追问2：在上述问题的解决中，你经历了怎样的思考过程？师生活动：学生总结，教师完善：阅读实际问题一一引入变量一一将实际问题的文字语言转化为符号语言一一找到量之间的关系一一获得需要的不等式.设计意图：通过创设问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出不等式，明确数学的价值和作用，提高学生数学抽象素养.并通过这组问题的解决，提炼出所用的方法，为后面解决问题做好铺垫.2.研究不等式性质的必要性问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生独立思考，分析数量关系后用不等式表达.根据问题1总结的程序求解.设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为万元.于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为(8-3|2'0.2)*>20.①.求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.追问：如何解不等式①？解方程的依据是什么？类比解方程的依据，解不等式的依据是什么？师生活动:学生回忆初中解方程方法，教师引导学生得到解方程的依据为等式的性质.因些解不等式要用不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质.设计意图：从实际情境出发，得到不等式，并通过将类比等式的解决，引出不等式性质研究的必要性.3.两个实数大小关系的基本事实问题4：若要研究不等式的性质，首先要用到两个实数大小关系的基本事实.如何比较两个式的大小关系呢？师生活动：让学生回忆初中两个数比较大小的方法，从而得出结论:a>b<=>a-b>Q\追问：这三条就是“两个实数大小关系的基本事实” .据此，要比较两个实数的大小, 可以转化为什么运算完成?预设的答案：转化为减法运算，并将求得的结果与0比较.设计意图：学生通过回忆实数比较大小的方法，明确基本事实，了解把大小比较转化为★资源名称：【知识点解析】两个实数大小关系的基本事实★使用说明：本微课讲解了两个实数大小关系的基本事实，为实数比较大小提供了基本依据.注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用.例 1 比较(x+2)(x+3)和(x+l)(x+4)大小.师生活动：学生独立完成之后展示交流.师生总结求解思路：将问题转化为两个多项式的差与0的大小.教师点拨：0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了 “标杆”.预设的答案:因为(X +2)(X +3)-(X +1)(X +4)=(X 2+5X +6)-(X 2+5J :+4)=2>0,所以(x+2)(x+3) > (x+1 )(x+4).设计意图：两个实数大小关系的基本事实的初步应用，让学生体会作差比较法在比较大小中的作用.4. 重要不等式的探究和证明问题5：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ a>bo a -b > 0 a= b =a b =0 a <b o a b < 1 0 关于实数“ .b 大小关系的基本事实比较。