足球比赛日程安排问题

数学建模论文题目：比赛日程安排问题

学院：计算机科学与工程学院

系别：计算机科学与技术

班级：080402

姓名：李真雄

学号：20082365

TEL ：155****5725

目录

1．题目 (2)

2．摘要 (2)

3.问题重述 (2)

2．模型建立 (3)

2.1模型假设 (3)

2.2符号设定 (4)

2.3模型建立 (5)

3．模型计算 (6)

注：当n支球队比赛时，各队每两场比赛中间隔的场次数的上

限为[(n-3)/2]。 (11)

4．模型推广 (13)

当n支球队比赛时，各队每两场比赛中间隔的场次数的上限为

[(n-3)/2] (13)

附录: (14)

1

1．题目

比赛日程安排

2．摘要

本文在合理假设的基础上，由问题的数学实质，建立出问题的线性规划模型；由问题的特殊性将n分为偶数与奇数分别研究，获得关于各队每两场比赛之间相隔天数上限的一般公式；运用归纳的方法发现了这种特殊排序中的对称规律，并由逆时针法编写出计算程序。文中对赛程优劣的评价指标也作了较多的探讨。

（1）对于7支球队的比赛，给出了一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程，利用图论知识可以得出一个简单可行的日程安排表。

（2）当n支球队比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是[(n-3)/2]，在达到以上上限的条件下，利用循环轮转模型编制了n=8和n=9的赛程。

（3）给出衡量一个赛程优劣的指标，如总间隔数、平均间隔数、间隔数方差等，并使这些指标达到最优！

3.问题重述

（1）7支球队进行单循环比赛，每天一场，给出一个比赛日

2

程，使每支球队在两场比赛之间至少间隔一天(要有安排赛日程的可操作的方法)。

（2）若有8支、9支球队，如何安排；能使每支球队在两场比赛之间至少间隔两天吗。

（3）推广到n支球队的情形，如何安排；每支球队在两场比赛之间可至少间隔多少天。

（4）你建议用哪些指标衡量比赛日程的优劣，如何使这些指标达到最优。

2．模型建立

2.1模型假设

1.基本假设：

（1）设n支参赛队在同一场地上进行单循环赛；

（2）假设赛程的公平性只与赛程安排有关，而与裁判等其它因素无关；

（3）在假设（2）赛程的公平性就是指各队每两场比赛中间得到休整时间均等性，其中“每队每两场比赛”限定为指“每队每相邻两场比赛；

3

2.在假设（1）下，即n个队同一场地进行循环赛共有M=2

C场比赛，

n

有M=（2

C）！种赛程安排，通常M是较大的数字。M种赛程中各队比

n

赛间隔情况不同，因而对各队的比赛有影响。题目中4个问题相互联

系，基本的题是赛程安排公平性及其编排法；

3.各队每两场比赛中间隔的场次数的上限,每个队都满足的间隔上

限，其数学表达：

d=max di

di=min

P i=1,2,3,….. 2n C!

jkt

j,k,t=1,2,3,…n

2.2符号设定

表1

4

2.3模型建立

建模思想[1]：d的数学实质是一个最大值，因此可用一个线性规划模型来描述。具体考虑满足上限d要求的赛程编排法，则由于问题的特殊性，可将n分为偶数与奇数分别考虑；（1）当n=2k,我们建立一种称为‘循环规则”的赛程编制法,并得到d的公式，作出证明；（3）当n=2k+1，建立一种称为“移位规则”的赛程编制法,并得到d的公式，作出证明；两种证明的思路方法一样，都属于“构造证明法”。最后将n为偶数与奇数的上限公式统一起来。一般模型：

d=max di

5

6

di=min jkt

P ⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎧==≠≥∈+===--=∑∑==n t k j C i l m k j a a a N a C C a a a a a a st n

ml jk jk jk n j n

k n n kj kk kj

jk tk tj ...3,2,1,,...3,2,1)

,(1)1(01p .2112

2jkt 3．模型计算

问题（1）的解

n=7的编制过程：（1）.移位规则,考虑一般n=2k+1，先建立一个2k(2k+1)矩阵称之为“生成矩阵”，由此矩阵即可生成赛程。下面是此矩阵的生成规则：

①将任一队（如2k+1队）先占第2k+1列的各行，余下各队占第一行的余下位置，不妨设1，2，…2k 队分别占第一行的1，2，…2k 列。 ②将第一行前2k 个数按下述规则向下移动得第二行，依次类似得其余各行；

将奇数行从第一行算起的第奇数个数右移1位到下一行； A. 将奇数行的第偶数个数左移1位到下一行；

B.将偶数行的第奇数个数左移1位到下一行；

C.将偶数行的第偶数个数右移1位到下一行；

D.不能移动（指移出矩阵外）的数垂直下移到下一行，如此移动n-2

次则生成矩阵，由生成矩阵从第一行

a生起依次相邻两数表示一

11

场比赛。此赛程满足各队每两场比赛中间相隔天数达到上限d=[(n-3)/2].由此可得结果。

（2）表4是用实际方法对n=7编制的赛程（首轮1队轮空，1队不动）。其弊端是此赛程d=1，而按公式d=[(n-3)/2]=2。说明各队每两场比赛中间极不均等，如有间隔6场，有间隔1场，具体到一个队（如5队比赛与休整时间极不均等）。从比赛与休整的节奏，第一队最有利，第五队最不利，另外从各队总间隔场次数看，也有较大差异，说明实际赛程编制法有待改进。而本模型算法提出的“生成规则”（见上文n为奇数编派法）既简便又公平。

表3

7