高一上学期期末考试数学试题(含答案)

高一上学期期末考试数学试题(含答案) 高一上学期期末考试数学试题（含答案）第I卷

选择题（共60分）

1.sin480的值为()

A。-1133

B。-2222

C。2222

D。1133

2.若集合M={y|y=2,x∈R}，P={x|y=x-1}，则M∩P=()

A。(1,+∞)

B。[1,+∞)

C。(-∞,+∞)

D。(-∞。+∞)

3.已知幂函数通过点(2,22)，则幂函数的解析式为()

A。y=2x

B。y=x

C。y=x2

D。y=x1/2

4.已知sinα=-1/2，且α是第二象限角，那么tanα的值等于()

A。-5/3

B。-4/3

C。4/3

D。5/3

5.已知点A(1,3)，B(4,-1)，则与向量AB同方向的单位向量为()

A。(3/5,-4/5)

B。(-3/5,4/5)

C。(-4/5,-3/5)

D。(4/5,3/5)

6.设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两根，则tan(α+β)的值为()

A。-3

B。-1

C。1

D。3

7.已知锐角三角形ABC中，|AB|=4，|AC|=1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为()

A。2

B。-2

C。4

D。-4

8.已知函数f(x)=asin(πx+β)+bcos(πx+β)，且f(4)=3，则f(2015)的值为()

A。-1

B。1

C。3

D。-3

9.下列函数中，图象的一部分如图所示的是()

无法确定图像，无法判断正确选项）

10.在斜△ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，则角A的值为()

A。π/4

B。π/3

C。π/2

D。2π/3

11.已知f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数，则

实数a的取值范围是()

A。(-∞,4]

B。(-∞,4)

C。(-4,4]

D。[-4,4]

12.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin(x-π/6)，其中x∈R，则下

列结论中正确的是()

A。f(x)是最小正周期为π的偶函数

B。f(x)的一条对称轴是x=π/6

C。f(x)的最大值为2

D。将函数y=3sin2x的图像左移π/6，得到函数f(x)的图

像

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，

将答案填在答题卡相应的位置上）

13.已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10，则|b|=5.

14.已知函数$f(x)=\begin{cases}2\cos x & (x\leq 2000) \\ x-100 & (x>2000)\end{cases}$，则$f(f(2014))=f(2\cos

2014)=2\cos(2\cos 2014)$.

15.如图所示，$BC=3CD$，$O$在线段$CD$上，且$O$不与端点$C$、$D$重合，若$AO=mAB+(1-m)AC$，则实数

$m$的取值范围为$\dfrac{1}{4}

16.设$f(x)$与$g(x)$是定义在同一区间$[a,b]$上的两个函数，若函数$y=f(x)-g(x)$在$x\in[a,b]$上有两个不同的零点，则称$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上是“关联函数”，区间$[a,b]$称为“关联区间”．若$f(x)=x^2-3x+4$与$g(x)=2x+m$在$[1,3]$上是

“关联函数”，则$m$的取值范围为$m\in(-\infty。-

\frac{1}{2})\cup(\frac{9}{2},+\infty)$.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：$\dfrac{1}{3}\sin 10^\circ\cos

10^\circ=\dfrac{1}{6}\sin 20^\circ$.

18.已知$\sin(3\pi+\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$，求

$\sin\alpha-4\cos\alpha$和$\sin\alpha+\sin 2\alpha$的值.

解：$\sin\alpha-4\cos\alpha=-

\sqrt{17}\sin(\alpha+\arctan\dfrac{4}{1})$，$\sin\alpha+\sin

2\alpha=2\sin\dfrac{3}{2}\alpha\cos\dfrac{1}{2}\alpha$.

19.已知$|a|=4$，$|b|=8$，$a$与$b$的夹角是$120^\circ$.

1)计算：①$|a+b|=4\sqrt{3}$，②$|4a-2b|=8\sqrt{3}$；

2)当$k$为何值时，$(a+2b)\perp(ka-b)$？

解：(1)由余弦定理，$|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2|a||b|\cos

120^\circ=48$，所以$|a+b|=4\sqrt{3}$；同理可得$|4a-

2b|=8\sqrt{3}$.

2)由内积公式，$(a+2b)\perp(ka-b)$等价于$(a+2b)\cdot(ka-

b)=0$，即$(2k-1)|a|^2+(2-k)|b|^2=0$，代入已知条件得到$k=-\dfrac{1}{2}$.

20.若函数$y=\log_2(3-4x+x^2)$的定义域为$M$，当$x\in M$时，求$f(x)=2^x$的值.

解：由条件得到$3-4x+x^2>0$，解得$x\in(-1,3)$，所以$f(x)=2^x$在$(-1,3)$上有定义，$f(x)=2^x=2^{2-\left(2-

\dfrac{x}{2}\right)}=\dfrac{1}{4}2^{2-\frac{x}{2}}$，所以

$f(x)=\dfrac{1}{4}y^{\frac{1}{2}}$，代入$y=\log_2(3-

4x+x^2)$得到$f(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt{3-4x+x^2}$，所以

$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\sqrt{5}$.

21.已知定义在区间$(1,+\infty)$上的函数$f(x)$满足

$f(x_1)-f(x_2)=f(\dfrac{x_1}{x_2})$，且当$x>1$时，$f(x)

1)求$f(1)$的值；

2)判断$f(x)$的单调性；

3)若$f(3)=-1$，求$f(x)$在$[2,9]$上的最小值.

解：(1)由条件得到$f(1)-f(1)=f(1)$，即$f(1)=0$；

2)当$x>1$时，$f(x)

f(x)<1$，所以$f(x+1)

3)由条件得到$f(3)-f(2)=f(\dfrac{3}{2})$，即$f(3)-f(2)f(3)-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{2}$，又因为$f(3)=-1$，所以$f(2)>-\dfrac{5}{2}$，所以$f(x)$在$[2,9]$上的最小值为$-

\dfrac{5}{2}$.

22.若$a>0$，函数$f(x)=-2a(3\sin x\cos x+\cos x)+3a+b$，当$x\in[\dfrac{\pi}{2},\pi]$时，$-5\leq f(x)\leq 1$.

1)求常数$a$，$b$的值；

2)求$f(x)$在$[\dfrac{\pi}{2},\pi]$上的最小值及相应的$x$的值.

解：(1)当$x=\dfrac{\pi}{2}$时，$f(x)=-6a+3a+b=-3a+b\leq 1$，即$b\leq 3a+1$；当$x=\pi$时，$f(x)=-

2a(3\sin\pi\cos\pi+\cos\pi)+3a+b=-5a+b\geq -5$，即$b\geq 5a-5$，所以$3a+1\geq b\geq 5a-5$，解得$2\leq a\leq 3$，$-1\leq b\leq

10$；

2)由于$f(x)$在$[\dfrac{\pi}{2},\pi]$上单调不升，且

$f(\dfrac{\pi}{2})=-6a+3a+b=-3a+b\geq -5$，$f(\pi)=-5a+b\leq

1$，所以$f(x)$在$[\dfrac{\pi}{2},\pi]$上的最小值为$-5$，当

$x=\pi$时取到.

f(x

1

可得：

f(x)=f(x

1

f(x

2

f(x

2

f(x

2

x∈(0，＋∞)，x≠x

1

f(9)＞f(x)，∀x∈(2，9)．

故f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

2.设g(x)=f(x+π/2)，求XXX[g(x)-1]的单调区间。

首先，将g(x)展开得到g(x)=cos(x)，因为f(x)的定义式为f(x)=ln(1+sin(x))，所以g(x)-1=cos(x)-1=-2sin^2(x/2)。因此，XXX[g(x)-1]=XXX[-2sin^2(x/2)]。

要求XXX[g(x)-1]的单调区间，即要求函数-XXX[-

2sin^2(x/2)]的单调区间。因为函数-XXX(x)的单调性与函数

g(x)的单调性相同，所以我们只需要求出-2sin^2(x/2)的单调区间即可。

根据-2sin^2(x/2)的图像，我们可以发现它是在区间[2kπ。(2k+1)π]上单调递减，在区间[(2k+1)π。2(k+1)π]上单调递增，

其中k∈Z。因此，XXX[g(x)-1]的单调区间为[2kπ。(2k+1)π]

和[(2k+1)π。2(k+1)π]，其中k∈Z。

1.格式错误已经修正，删除了没有明显问题的段落。

2.原文已经被小幅度改写，以提高可读性和表达清晰度。

根据f(x)的定义，可以得到f(9) = f(x) - f(3)，而f(3) = -1，因此f(9) = -2.因此，在区间[2,9]上，f(x)的最小值为-2.

对于函数f(x) = -2asin(2x+6) + 2a + b，可以得到f(x)属于

区间[b,3a+b]。由于-5 ≤ f(x) ≤ 1，因此有b = -5.3a+b = 1，解得

a = 2，

b = -5.

根据f(x) = -4sin(2x+6) - 1，可以得到g(x) = 4sin(2x+6) - 1.

由于lgg(x)。0，因此g(x)。1.根据区间的定义，可以得到单调

增区间为[kπ,kπ+6]，单调减区间为[kπ+6,kπ+3]，其中k∈Z。

因此，对于函数g(x)，其单调增区间为[kπ,kπ+6]，单调减区间为[kπ+6,kπ+3]，其中k∈Z。