第六章 一阶电路-讲稿
电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第6章 一阶电路
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
邱关源《电路》第六章一阶电路1
1、若电容电流保持为有限值，
则换路前后瞬间电容电压不突变：uC (0+) = uC (0-)
2、若电感电压保持为有限值，
则换路前后瞬间电感电流不突变：iL(0+)= iL(0-) uC (0+) 、iL(0+) 称为独立的初始条件，
电路中其余的为非独立初始条件
uR(0+) 、iR(0+) 、 uL(0+) 、iC(0+)等
i
+
取关联参考方向
du iC
dt
+
u
C
微分形式
–
–
电容有隔直通交的作用
du/dt =0 i=0 电容在直流电路中相当于开路。
7
二.什么是动态电路
BUCT
8
t=0
i
U S uc
US
+
Us
S
–
R+
uC
–
R?
i
C
初始状态 0
t1 新稳态
过渡状态
BUCT
t
动态电路：含有动态元件（L、C）的电路。
当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
第六章 一阶电路
BUCT
(First-Order Circuits )
6. 1 动态电路概述及初始值的确定 6. 2 一阶电路三要素法 6. 3 一阶电路的阶跃及冲激响应
1
第六章
BUCT
一阶电路 (First-Order Circuits )
重点： 理解并牢记换路定则；
深刻理解初始值、稳态值及时间常数 的含义并熟练掌握其求法；
BUCT
1. i + uc- C
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
第 六 章 一 阶 电 路
t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
第六章 一阶电路
电感的串联
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + LN
电感元件VCR的积分关系： 的积分关系： 电感元件 的积分关系 1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0
1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
式中，i(0) 称为初始电流； 称为初始电流； 式中， 后一项是在t=0以后电感上形成的电流， 后一项是在 以后电感上形成的电流，它体 以后电感上形成的电流 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 现了在 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流， 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 该时刻的电压值，还取决于 即与电压过去的全部历史有关。 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件 记忆元件。 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
1 t u(t ) = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
有限时， 当i有限时，电容电压不能突变， 有限时 电容电压不能突变，
注意
而是连续变化的。 而是连续变化的。
duc (t ) 能突变， ∵ 若uc(t)能突变，则 ic (t ) = c 能突变 dt
这与“ 为有限值” 这与“ ic(t)为有限值”的前提相矛盾。 为有限值 的前提相矛盾。 ∞，
一阶电路课件PPT
其解为 s － 1 RC
(6 3)
称为电路的固有频率。
于是电容电压变为
t
uC (t) Ke RC
t 0
式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+
时上式变为
t
uC (0 ) Ke RC K
根据初始条件 uC (0 ) uC (0 ) U 0
求 得 K U0
图6-3
最后得到图6－3(b)电路的零输入响应为
Rt
iL (t) Ke L
(t 0)
代入初始条件iL(0+)=I0求得
K I0
最后得到电感电流和电感电压的表达式为
Rt
t
iL (t) I0e L I0e τ
uL
(t
)
L
diL dt
RI0e
Rt L
RI0e
t τ
(t 0) (t 0)
(6 7a) (6 7b)
其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规
0.018U0
0.007U0
0
表6－1
图6－4 RC电路零输入响应的波形曲线
电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为
WR＝
i 2
0R
(t)Rdt
U (
0
0R
t
e RC
)2
Rdt
1 2
CU
2 0
计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的
确全部转换为电阻消耗的能量。
由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻 消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压 衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电 过程的快慢。
将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，
电路分析基础第六章(李瀚荪)
t
t0
t U S uC 1 解二： iC [U S U S (1 e )] R R t US e , t0 R
二、RL电路的零状态响应 t=0
iR
R IS
iL
L
+ uL _
已知：iL(0_ ) = 0，求 iL(t) , uL(t) , t 0 解：１. 定性分析
1. 定性分析
① t＜ 0 —充电 ② t = 0 —换路
③ t≥0 —放电
2. 定量分析
建立图(b)电路的一阶微分方程
u R uC 0
齐次方程通解： 根据初始条件 其解为：
duC RC uC 0 dt
uC (t ) Ke
uC (0 ) Ke
t RC
st
1 S=－ RC
= 18e- 2500tV 18e- 2500t 6 ? 4 9
(t ? 0) 3e- 2500t A(t > 0)
uC (t ) 6 i1 (t ) = ? R 3+ 6
例3： 已知i (0 +) = 2A 求：i(t) , u(t) , t ≥ 0 3
i
0.5u
1
4H
+ u
_
u 3i (0.5u i) 1
t
6e 20 t V
( t 0)
duC U 0 t 6 20 t iC ( t ) C e e dt R 10 103 0.6e 20 t m A ( t 0)
电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电
流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
引例：求图示电路的一阶微分方程。
《电路分析基础》第六章一阶电路
《电路分析基础》第六章一阶电路一阶电路是电路分析中最简单的一种电路，由一个电感或一个电容和一个电压源或电流源组成。
一阶电路是电子工程中非常常见的一种电路，它的特点是响应时间快，稳定性好。
一阶电路主要包括RC电路和RL电路两种类型。
RC电路由一个电阻和一个电容组成，RL电路由一个电阻和一个电感组成。
在分析一阶电路之前，我们首先要了解一些电路的基本概念。
电阻是电路中最基本的元件，用来限制电流的大小。
电容是储存电荷的元件，可以在电路中积累能量，并且具有储能的功能。
电感是储存磁场能量的元件，类似于电容，但储存的是磁场能量。
在一阶电路中，电阻、电容和电感之间存在着不同的关系。
在RC电路中，电压和电流之间的关系是指数关系，电压的变化速度随着时间的增加而减小。
而在RL电路中，电压和电流之间的关系是线性关系，电压的变化速度与时间无关。
一阶电路的分析主要通过微分方程的方法进行。
对于RC电路，我们可以通过二阶微分方程来描述电压和电流的关系，即I(t) = C*dV(t)/dt + V(t)/R。
对于RL电路，我们可以通过一阶微分方程来描述电压和电流的关系，即V(t) = L* dI(t)/dt + I(t)*R。
在分析一阶电路时，我们经常需要查看电路的响应时间和稳定性。
响应时间是指电路在接受输入信号后所需要的时间来达到稳定状态。
稳定性是指当电路处于稳态时，对输入信号的响应是否保持稳定。
对于RC电路和RL电路，我们可以通过解微分方程得到它们的解析解。
对于RC电路，我们可以得到V(t)=V0*(1-e^(-t/RC))的解析解，其中V0是初始电压，R是电阻，C是电容。
对于RL电路，我们可以得到I(t)=I0*(1-e^(-t/RL))的解析解，其中I0是初始电流，R是电阻，L是电感。
通过分析一阶电路的响应时间和稳定性，我们可以更好地理解电路的工作原理，并且可以根据需求来设计出合理的电路。
一阶电路是电子工程中非常重要的一部分，它是电路分析的基础，也是电子产品设计的基础。
第6章 一阶电路
Ke −5τ
变化规律的核心部分
变化规律的核心部分 ② 是指数函数
f ( t ) = Ke
− t RC
此处K 此处K=Us。其中RC乘积的量纲为时间， 其中RC乘积的量纲为时间 乘积的量纲为时间， 令 τ = RC ，称为时间常数。 τ决定uc变化的快 称为时间常数。 慢。 f(t)
K
f (t ) = Ke
R +
解
(t) c δ
-
u(t)
s(t) = (1A)R(1− e τ )ε(t)
ds (t ) h (t ) = dt t − d τ = R ε (t ) − e ε (t ) dt t t − 1 −τ τ = R δ (t ) − δ (t ) e + e ε (t ) τ 1 −τ τ = R e ε (t ) = e ε (t ) τ C 1
§2-2 零输入响应
（2）如何获悉uc(0)或iL(0)? 如何获悉u (0)或 （a）根据t≤0时的电路计算； 根据t≤0时的电路计算 时的电路计算； （b）作为已知条件给出，不必追究其来源。 作为已知条件给出，不必追究其来源。
(3)
例题 4Ω
求iL(t) 、uL(t)及i(t)，t≥0？ t≥0？
例如 t ≥ 0时，，(t) = 5V uS 可记为 此时无需再标示t 此时无需再标示t≥0 。
uS (t) = 5ε (t) ，
延时(delayed)单位阶跃函数 延时(delayed)单位阶跃函数
ε (t)
1
0 ε(t − t0 ) = 1
t < t0 t > t0
0
t0
t
ε(t-t0) 连同ε(t) ，可以用数学形式表明分段常量 ε(t
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第六章一阶电路第一节电路中的过渡现象一、过渡现象及产生的原因：前面讲的稳态电路。
稳态电路的最大特点是当电路中的激励为恒定或作周期性变化时，电路中的响应也为恒定或作周期性变化。
在一定的条件下,电路有一种稳定状态，但当电路结构、电路参数或电源发生变化时，电路就会从一种稳态变化到另一种稳态。
在某些电路中，电压、电流的变化不会在一瞬间完成，要有一个变化的过程，称为过渡过程。
如图6-1-1（a）中电流的变化、(b)中电容的电压的变化。
过渡过程产生的原因：是由于惯性元件L、C的存在。
而电感中磁场能量的不能跃变，导致了电感中电流的连续变化；电容中电场能量的的不能跃变，导致了电容中电压的连续变化即过渡过程的产生。
二、一阶电路：由于L、C中电压、电流的约束关系是通过导数、或积分的关系来表示的，因此描述电路性状的方程将是以电压或电流为变量的微分方程或积分方程来表示的。
如果电路中只有一个储能元件，则微分方程是一阶的，相应的电路称为一阶电路。
如果有两个储能元件，则微分方程是二阶的，相应的电路称为二阶电路。
第二节换路定律及初始条件的确定一、关于换路：为了叙述方便，把引起过渡现象的电路参数、电路结构、电源的变化统称为换路。
二、换路定律解决的问题：求解微分方程必须知道初始条件，数学中的初始条件是给定的，而在电路理论中，是待定的。
必须通过换路前的电路状态得到换路后的初始时刻的电路状态，就要建立起换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。
为了表达方便，把换路的瞬间记为t=0，换路前的终了时刻记为t=0_，换路后的初始时刻记为t=0+，因此换路定律解决的是换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。
三、换路定律：有两条。
（1）对于线性电容：选择电容的端电压u（电荷q）、电流i之间满足关联参考方向，则：(2)对于线性电感：选择电感的电流i 与端电压u 之间满足关联参考方向或电流与磁链之间满足右螺旋关系，用同样的方法可以证明：结论：在换路的瞬间，如果电容的电流保持为有限值，则电容的电荷、电压保持换路前终了时刻的数值而不能跃变；如果电感的电压保持为有限值，则电感的磁链、电流保持换路前终了时刻的数值而不能跃变。
【实例6-1】电路如图例6-1。
开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的瞬间，电容的电压和各支路的电流。
【解】各支路电流及电容电压如图示。
变化。
不能跃变，只能是连续为有限值，则如果在换路的瞬间电流也不例外，则，当为任何值，上式均成立或还可以写为：而或⎩⎨⎧-=+-=+ξξ+-=+ξξ+-=++=ξξ+-=ξξ+ξξ=ξξ+-=ξξ+ξξ===ξξ=ξξ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+----∞----∞-∞-∞-)0(u )0(u )0(q )0(q i d )(i c 1)0(u )0(u d )(i )0(q )0(q 0t t d )(i c1)0(i d )(i c1d )(i c1)t (u d )(i )0(q d )(i d )(i )t (q dtdu cdtdq i d )(i c1)t (u d )(i )t (q 0000t0t00t0t00tt变化。
不能跃变，只能是连续为有限值，则如果在换路的瞬间电压⎩⎨⎧-=+-ψ=+ψξξ+-=+ξξ+-ψ=+ψ⎰⎰+-+-)0(i )0(i )0()0(u d )(u L1)0(i )0(i d )(u )0()0(000【实例6-2】电路如图例6-2。
开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的瞬间电感的电压和各支路的电流。
【解】各支路电流及电感电压如图示。
第三节 一阶电路的零输入响应一阶电路中，如果换路之前储能元件为非零状态，换路后在没有激励情况下的响应称为零输入响应。
一、RC 电路的零输入响应：电路如图6-3-1。
换路之前，电容的电压为U 0。
当t=0时，把开关闭合。
1、 物理过程：开关闭合后，电容通过电阻R 放电，电容的电压和电场能量不断减少，随时间的增长而趋于零，在放电过程中，电容的电场能量转换为热能而消耗掉。
mA6)0(i )0(i 041212R )0(u 12)0(i mA6212R)0(u )0(i KVL KCL V12)0(u )0(u 0t V 12)0(u 0t 2c 1c 12c 2c c c -=+-=+=-=+-=+==+=+=-=++==--=：、根据欧姆定律、时：根据换路定律，时：Ai i i AR i V i R u u i R KCL KVL Ai t A i t L K L L L L L L 67.0167.1)0()0()0(67.110)0(41*4)0()0(0)0()0(14610)0(014610)0(0122=-=+-+=+==+-=-=+-=+∴=+++=+=++==+=--=：、根据时：根据换路定律，时：2、 电压、电流的变化规律：为了讨论在放电过程中，电压、电流的变化规律，从换路后的微分方程入手。
在图中电压、电流参考方向下，由KVL ：3、变化曲线：如图6-3-2。
可见，在放电过程中，电容上的电压从初始值U 0开始，按指数规律下降直至趋近于零。
电流在t=0+时，从0形成一个正跳变U 0/R ，然后按相同的指数规律趋近于零。
4、关于时间常数：电容电压U 0一定的条件下，C 越大，放电时间越长，电阻越大，放电时间也越长。
定义R.C 为电路的时间常数，用τ表示，τ= R.C 。
（1） τ的物理意义：①电容电压衰减为原值的36.8％所需要的时间等于τ。
②τ等于u c (或i)的指数曲线上任意点的次截矩。
（2） τ的求法：τ=R eq .C（3） 过渡过程的时间：从下列表可以的出结论。
RCt 0C RCt 0C 00C C RCt C ptC C C CR R C eRU dtdu Ci e U u 0t U A U 0u 0u Aeu RC1P 01RCP A Ae u 0u dtdu RCdtduC i ,Ri u 0u u ---=-==≥=⇒=-=+=-==+==+-===-放电电流：时：当）（）（数：由初始条件确定积分常则：特征根：方程得特征方程：为积分常数。
代入微分，其中为：微分方程。
其解的形式是一个一阶常系数齐次则方程变为：而衰减为零。
电容电压或电路中电流）时，去，当（后，按此变化率衰减下若电容的电压在）（即）（τ+-=ττ-=τ-====τ-=τ-=-=111t t c 1C 1C t 0t t t 01t t RCt 0t t c t t dtdu t u t u eU )eU (dtd )eU (dtd dtdu 111实际上，经过（4—5）τ后，过渡过程结束。
若R 以“K Ω”，C 以“pF ”计算，则一个τ只是“ ms ”或“μs ”，因此过渡过程时间很短。
二、RL 电路的零输入响应：电路如图6-3-3。
变化曲线如图6-3-4。
三、R 、L 电路的扳断：电路如图6-3-5。
τ-τ--τ--======τ==-=⇒=+==+==+=-t 0L t 0tL R 00t tL R pt1S eRI dtdi Lu eI eI i I A RL Ae Ae i LR P 01P R L Ae i 0Ri dtdi L KVL 210t I R R U )0(i 1，则：数：由初始条件确定时间常。
时间常数所以电流则特征方程为：程。
设为一阶线性齐次微分方：量，由，如果以电流为电路变合向时，把开关从时，电感中的电流开关在连续性。
，如图。
以维持电流的续流二极管端并联一事故。
为此，在电感两关的空气隙击穿，出现，致使开端产生很高的感应电压因此在电感（开关）两电感的电流不能跃变，，在开关打开的瞬间，D RU )0(i S =-【实例6-3】电路如图例6-3。
开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流i(t)。
【解】第四节 一阶电路的零状态响应一阶电路中，如果换路之前储能元件为零状态，换路后在激励作用下的响应称为零状态响应。
一、RC 串联电路对直流激励的零状态响应：电路如图6-4-1。
给定条件：换路前，电路已达稳态，u C (0-)=0。
换路后由KVL ：---=⇒+==-=++=⇒==+=+=+==+SS C C RCt S C RCt C S C C C C S C C C S C U A A U 00)0(u )0(u A AeU u Ae u U u u u u U u dtdu RCdtdu C i U u Ri ，所以由于：数由初始条件确定积分常’’，’。
其中’’’解，简记为：对应齐次微分方程的通一个特解其通解由两部分组成：分方程。
为一阶常系数非齐次微则而.A )ee(24.0)i i (i e 24e24.0e 24.0e)0(i )t (i e24.0dtdu C)t (i e24e 24e 24e)0(u )t (u )0(u V 24100*15010060)0(u )0(i A 24.015010060)0(i t1000t500C L t100010t t t L L t500C C t50010*20*100tt t C C C C L L 322611----τ-τ----τ-τ--=+-====+=-=====+=+==+=-+==+=---则电流路，均为零输入响应。
换路后形成两个独立回变化曲线如图6-4-2。
二、RL 串联电路对直流激励的零状态响应：电路如图6-4-3。
给定条件：换路前，电路已达稳态，i (0-)=0。
换路后由KVL ：变化曲线如图6-4-4。
【实例6-4】电路如图例6-4(a)。
开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流i L (t)及电压源发出的功率。
【解】图(a)中，i L (0-)=0利用戴维南定理等效为电路（b ）。
τ-τ-τ-τ--=-=-==-=++==τ===+==+t S L tSSt S t tL R S S eU u e 1RU i R U A 0)0(i )0(i AeRU i RL AeAei RU i i i i U Ri dtdi L）（则：数，由初始条件确定时间常因此：时间常数’’，’’’’其解：）中：在图（），（电流数：由初始条件确定时间常。
所以：’’，’’’’方程的解为：：满足电路的微分方程为tL2R S L R t L 2RS LL t L2RS LS S tL2R S L tL2R L S L L L L S L L eR2U Ru i a e 2U dt di L u e 1R U i RU A A RU 0Ae RU i Ae i RU i i i i 2U i 2R dtdi L-----====-=-=⇒+=+===+==+本题也可以直接对原电路列方程进行计算。
三、RL 串联电路在正弦激励下的零状态响应：电路如图6-4-5。