高等流体力学(陈小榆)

高等流体力学考题权威版（陈小榆）

1、 柱坐标下V V ⋅∇的表达式（112233V V e V e V e =++）：

()

()

()

()()()22

11i i i i i i j i i j i i j j j j j j i j j i j j i i i i i i i i i j j j j j i i j j i j i i i

V e V e V V V e e V e e e V h q h q q V VV V VV h V e V e V V e e i j i j e e i j h q h q h q h q h h q h q ⎡⎤⎡⎤∂⎛⎫∂∂⎢⎥⋅∇=⋅=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂∂=+≠+==+≠+∂∂∂∂∂∂

对于柱坐标系：1321231,;,,h h h r q r q q z ε======

21211222221213113

23332133

dV V dV dV V dV V dV dV V V =V ++V e +V ++V +e dr r d dz r dr r d dz r dV dV

dV V +V ++V e dr

d dz V V r εεε∴⋅∇⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎛⎫ ⎪⎝⎭

2、 利用哈密尔顿算子证明以下各式： (1) ()

a =0∇⋅∇⨯

()

(

)

2222221233132

23112

122233121

3

a j j i i i j i j ijk k

i i

i j i j i j a e x a

a

a

a =e e e e e e e e x x x x

x x x x a

a a

e e e e e e x x x x x x a e ⎛⎫∂∂⨯ ⎪ ⎪∂∇⨯∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎝⎭∇⋅∇⨯⋅=⋅

=⋅⨯=⨯⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝

⎭⎝⎭

∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂+22331232121213132

a a

e e e e e x x x x x x ∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂

(2) ()0ψ∇⨯∇=

()()2222212331322321

3232121311121222213331323212

i i j

ijk k

i i j i j =e e e e e x x x x x e e e e e e x x x x x x e e e e e e x x x x x x ψψψ

ψψψψ

ψψψ⎛⎫∂∇⨯∂∂∇⨯∇⨯=⨯= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝

⎭

∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂

(3) ()()()

a b a b b a ∇⋅⨯=∇⨯⋅-∇⨯⋅

()

(

)()()i i

i

i

i i i

i

i

a b a b a b a b e e b a e b e a a b b a x x x x x ∂⨯⎛⎫∂∂∂∂∇⋅⨯=⋅

=⋅⨯+⨯=⨯⋅-⨯⋅=

∇⨯⋅-∇⨯⋅

⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

(4) ()()()

a b a b a b b a b a ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯

()

(

)i

i

i i

i i

a b a b

a b e e

b e a a b b a x x x ∂∂⋅∇⋅=⋅+⋅=∇⋅+∇⋅∂=∂∂∂ 又：

()()

b b b b b

a a i i i i i

i i i i i a b e e a e e a a e b a a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()()

i i i i i

i i i i i a a a a a

b a b e b e b e e b b e a b b a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3、 如果n 为闭曲面A 上的微元面dA 的单位外法线向量，12,ϕϕ是闭曲面满足20ϕ∇=的两个

不同的解，试证明：（38页，6） (1)A

ndA=0⎰⎰(2)

2

1

1

2

A

A

dA dA n

n

ϕϕϕϕ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰ 证明：

（1）1A

ndA=d 0τ

τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰

（2）

()

()()()()()2

1

12

211

2

2

1

1

2

212

2

121221212212

211

20

A

A A A

dA dA n n dA

n

n

n n dA d d d τ

τ

τ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕτ

ϕϕϕϕϕϕϕϕτ

ϕϕϕϕτ∂∂-=⋅∇-⋅∇∂∂⎡⎤=

⋅∇-⋅∇=∇⋅∇-∇⎣⎦=∇+∇∇-∇-∇∇=⋅⋅=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

4、 有两族平面正交曲线()(),,,x y c x y d ζη==，已知22,2x y y ζ=-=时4x η=，求()x,y η，

（40页，10） 解：,=0x x y y

ζηζηζη

∂∂∂∂∴

+∂∂∂∂正交， 即2x

2y =0x y

ηη∂∂-∂∂ 40y y =22x 4-22x ηη

∂∂=⋅⨯=∂∂当时，，代入得

22y

x xy c η

η∂∴

=⇒=+∂